高中数学怎么样学号-高中数学怎样才能得高分
2020年湖南省高中数学竞赛试题
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共40分.
在每小题给出的四个答案中,只
有一项是符合题目要求的.)
1.定义集合运算:
A?B?
?
z|z?xy,x?A,y?B
?
.设
A?
?<
br>2,0
?
,
B?
?
0,8
?
,则集合
A?B
的所有元素之和为
A.16 B.18
2.已知
?
a
n
?
是等比数列,
a
2
?2,a
5?
围是
A.
?
12,16
?
B.
?
8,16
?
C. 20
D.22
( )
1
?
,则
a
1
a
2
?a
2
a
3
?????a
n
a
n?1
?
n?N
?
的取值范
4
C.
?
8,
( )
?
32
?
?
?
3
?
D.
?
?
1632
?
,
?
?
33<
br>?
3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一名志愿者的概<
br>率为 ( )
A.
3
5
B.
1
15
C.
5
8
D.
50
81
4.已知
a
、
b
为非零的不共线的向量,设条件
M:
b?a?b
;条件
N:
对一切
x?R
,不
等式
a?xb?a?b
恒成立.则
M<
br>是
N
的 ( )
??
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.充分而且必要条件 D.既不充分又不必要条件
5.设函数
f(x)
定义在
R
上,给出下述三个命题:
①
满足条件
f(x?2)?f(2?x)?4
的函数图象关于点
?
2,2
?
对称;
②满足条件
f(x?2)?f(2?x)
的函数图象关于直线<
br>x?2
对称;
③函数
f(x?2)
与
f(?x?2)
在同一坐标系中,其图象关于直线
x?2
对称.其中,真命
题的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
( )
6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于
2
7
和
43
,
M
、
N
分别为
AB
、
CD
的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面
四个命题:
①弦
AB
、
CD
可能相交于点
M
③
MN
的最大值为5
其中真命题为
A.①③④ B.①②③
00
②弦
AB
、
CD
可能相交于点
N
④
MN
的最小值为1
C.①②④ D.②③④
0
( )
0
7.设
a?sin(sin2008)
,
b?sin(cos2008)
,
c?cos(sin2008)
,
d?cos(cos2008)
,
则
a,b,c,d
的大小关系是
A.
a?b?c?d
C.
c?d?b?a
32
B.
b?a?d?c
D.
d?c?a?b
(
)
8.设函数
f(x)?x?3x?6x?14
,且
f(a)?1
,
f(b)?19
,则
a?b?
( )
A.2
B.1 C.0 D.
?2
二、填空题(本大题共6个小题,每小题8分,共48分. 请将正确的答案填在横线上.)
9.在平面直角坐标系中,定义点
P
?
x
1
,y
1
?
、
Q
?
x
2
,y
2
?
之间的“
直角距离”为
d(P,Q)?x
1
?x
2
?y
1
?y
2
.
若
C
?
x,y
?
到点
A
?
1,3
?
、
B
?
6,9
?
的“
直角距离”相等,其
中实数
x
、
y
满足
0?x?10
、
0?y?10
,则所有满足条件的点
C
的轨迹的长度之和
为
.
22
10.已知集合
??
?
x,y
?
|x?y
?2008
,若点
P(x,y)
、点
P
?
(x
?<
br>,y
?
)
满足
x?x
?
且
??
y
?y
?
,则称点
P
优于
P
?
. 如果集合
?
中的点
Q
满足:不存在
?
中的其它点优于
Q
,<
br>则所有这样的点
Q
构成的集合为 .
11.多项
式
1?x?x
2
?????x
100
??
的展开式在合并同
类项后,
x
3
150
的系数为 .(用
数字作答)
12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面
上
,且该六棱柱的体积为
9
,底面周长为3,则这个球的体积为 . <
br>8
13.将一个
4?4
棋盘中的8个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两
个黑色方格,则
有 不同的染法.(用数字作答)
14.某学
校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第
k
棵树种植在点
Pk
?
x
k
,y
k
?
处,其中
x
1
?1,y
1
?1
,当
k?2
时,
?
?
k?1
??
k?2
?
x?x?1?5?5
?
;
kk?1
?
???
?
?
5
??
5
?
?
?
y
k
?y
k?1
?
?
k?1
?
?
?
k?2
?
.
?<
br>?
?
5
?
?
?
?
5
?
?<
br>?
其中,
?
a
?
表示实数
a
的整数部分,例
如
?
2.6
?
?2
,
?
0.6
?
?0.
按此方案,第2020棵树
种植点的坐标为 .
三、解答题(本大题共4小题,共62分. 要求有必要的解答过程.)
15.(本小题满分
14分)设实数
a,b?
?
?
,
?
?
,求证:
ba
??
???
ab
??
其中等号当且仅当
a?
?
,b?
?
或<
br>a?
?
,b?
?
成立,
?
,
?
为正
实数.
16.(本小题满分14分
)甲、乙两人进行乒乓球单打比赛,采用五局三胜制(即先胜三局者
获冠军).对于每局比赛,甲获胜的
概率为
21
,乙获胜的概率为.如果将“乙获得冠
33
军”的事件称为“爆出
冷门”.试求此项赛事爆出冷门的概率.
<
br>17.(本小题满分16分)已知函数
f(x)?ln
?
1?x
??x
在区间
?
0,n
?
n?N
令
a
n
?ln
?
1?n
?
?b
n
,
p
k
?
求证:
p
1
?p
2
?????p
n?
?
?
?
上的最小值为
b
n,
a
1
a
3
???a
2k?1
k?N
?
,
a
2
a
4
???a
2k
??
2a
n
?1?1.
x
2
y
2
??1
的切线18.(本小题满分18
分)过直线
l:5x?7y?70?0
上的点
P
作椭圆
259
PM
、
PN
,切点分别为
M
、
N
,联结
MN.
(1)当点
P
在直线
l
上运动时,证明:直
线
MN
恒过定点
Q
;
(2)当
MN
∥l
时,定点
Q
平分线段
MN.
参考答案
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分,不设中间档次分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时参照本评分标准
适当档次给
分.
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共40分.
在每小题给出的四个答案中,只
有一项是符合题目要求的.)
z
3
?0?0
?0
,
z
1
?2?0?0
,
z
2
?2?8
?16
,
z
4
?0?8?0
,1.
解:集合
A?B
的元素:
故集合
A?B
的所有元素之和为16.
选A.
1
a
1
1
3
2. 解: 设
?
a
n
?
的公比为
q
,则
q?
5
?
4
?
,进而
q?
.
a
2
28
2
2
所以,数列
?
a
n
a
n?1
?
是以
a
1
a
2
?8
为首项,以
q?
1
为公比
的等比数列.
4
a
1
a
2
?a
2
a<
br>3
?????a
n
a
n?1
1
??
8
?
1?
n
?
4
?
32
?
?
?1
?4
?n
.
1
3
1?
4
??
显然,8?a
1
a
2
?a
1
a
2
?a
2
a
3
?????a
n
a
n?1
?
32
. 选C.
3
5
3.
解:5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为
3?243
种.
每个场馆至少有一
名志愿者的情形可分两类考虑:第1类 ,一个场馆去3人,剩下两场馆各去1人,此
132
类的方法数为
C
3
?C
5
?A
2<
br>?60
种;第2类,一场馆去1人,剩下两场馆各2人,此类
112
的方法数为
C
3
?C
5
?C
4
?90
种.
故每个场馆至少有一名志愿者的概率为
P?
60?9050
?
.选D.
24381
4. 解:设
OA?a
,
OB?b
,则
xb
表示与
OB
共线的任一向量,
a?xb
表示点
A到直
线
OB
上任一点
C
的距离
AC
,而
a?b
表示点
A
到
B
的距离. 当
b?a?b
?
?
时,
AB?OB.
由点与直线之间垂直距离最短知,
AC?AB
,
即对一切
x?R
,不等式
a?xb?a?b
恒成立.反之,如果
AC
?AB
恒成立,则
?
AC
?
min
?AB
,故AB
必
为点
A
到
OB
的垂直距离,OB?AC
,即
b?a?b
. 选C.
5. 解:用
x?2<
br>代替
f(x?2)?f(2?x)?4
中的
x
,得
f(x)?
f(4?x)?4
.如果点
?
x,y
?
在
y?f
(x)
的图象上,则
4?y?f(4?x)
,即点
?
x,y
?
关于点
?
2,2
?
的对称点
??
?
4?
x,4?y
?
也在
y?f(x)
的图象上.反之亦然,故①是真命题.用x?2
代替
f(x?2)?f(2?x)
中的
x
,得
f
(x)?f(4?x)
.如果点
?
x,y
?
在
y?f(x)
的图象上,
则
y?f(4?x)
,即点
?
x,y
?
关于点
x?2
的对称点
?
4?x,y
?
也在
y?f(x)
的图象上,
故②是真命题.由②是真命题,不难推知③也是真命题.故三个命题
都是真命题.选D.
6. 解:假设
AB
.
CD
相交于点
N
,则
AB
.
CD
共面,所以
A
.
B.
C
.
D
四点共圆,
而过圆的弦
CD
的中点<
br>N
的弦
AB
的长度显然有
AB?CD
,所以②是错的.容易证
明,
当以
AB
为直径的圆面与以
CD
为直径的圆面平行且在球心两侧
时,
MN
最大为5,故
③对.当以
AB
为直径的圆面与以
C
D
为直径的圆面平行且在球心同侧时,
MN
最小为
1,故④对.显然是对的.
①显然是对的.故选A.
7.
解:因为
2008?5?360?180?28
,所以,
0000
a?si
n(?sin28
0
)??sin(sin28
0
)?0
;
b?sin(?cos28
0
)??sin(cos28
0
)?0
;
c?cos(?sin28
0
)?cos(sin28
0
)?0;
d?cos(?cos28
0
)?cos(cos28
0
)?
0
.
又
sin28?cos28
,故
b?a?d?c.
故选B.
32
3
8. 解:由
f(x)?x?3x?6x?14?
?
x?1
?
?3
?
x?1
?
?10
,令
g(
y)?y?3y
,则
g(y)
3
00
为奇函数且单调递增.
而
f(a)?
?
a?1
?
?3
?
a?1
?
?10?1
,
f
(b)?
?
b?1
?
?3
?
b?1
?
?1
0?19
,
33
所以
g(a?1)??9
,
g(b?1)
?9
,
g(?b?1)??9
,从而
g(a?1)?g(?b?1)
,
即
a?1??b?1
,故
a?b??2
.选D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题8分,共48分. 请将正确的答案填在横线上.)
9. 解:由条件得
x?1?y?3?x?6?y?9
①
当
y?9
时,①化为
x?1?6?x?6
,无解;
当
y?3
时,①化为
x?1?6?x?6
,无解;
当
3?y?9
时,①化为
2y?12?x?6?x?1
②
若
x?1
,则y?8.5
,线段长度为1;若
1?x?6
,则
x?y?9.5
,线段长度为
52
;
若
x?6
,则
y?3.5
,线
段长度为4.综上可知,点
C
的轨迹的构成的线段长度之和为
1?52?4?52?1
.填
52?1
.
10.解:
P
优于
P
?
,即
P
位于
P
?
的左上方,“不存在
?
中
的其它点优于
Q
”,即“点
Q
的左
上方不存在
?
中
的点”.故满足条件的点的集合为
????
?
?
x,y
?
|x
2
?y
2
?2008,x?0且y?0
.填
?
x,y
?
|x
2
?y
2
?2008,x?0且y?0
.
???
11.解:由多项式乘法法则可知,可将问题转化为求方程
s?t?r?150
①
的不超过去100的自然数解的组数.显然,方程①的自然数解的组数为
C
152
.
下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150,故只能有一个数超
过100,不
妨设
s?100
.将方程①化为
2
(s?101)?t?r?49
记
s
?
?s?
101
,则方程
s
?
?t?r?49
的自然数解的组数为
C
51
.
因此,
x
150
212
的系数为
C
152
?C
3
C
51
?7651
.填7
651.
2
12.解:因为底面周长为3,所以底面边长为
33
1
,底面面积为
S?
.
8
2
又因为体积为
9
2,所以高为
3
.该球的直径为
1?
8
44
4
V
?
?
R
3
?
?
.填
?
.
33<
br>3
2
?
3
?
2
?2
,球的体积
13
.解:第一行染2个黑格有
C
4
种染法.第一行染好后,有如下三种情况:
(1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列,这时其余行都只有一种染法;
(2)第二行染
的黑格与第一行的黑格均不同列,这时第三行有
C
4
种染法,第四行的染
法随
之确定;
(3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列,这样的染法有4种,而在第一.第二这两行染好后,第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列,这时第三行的染
法有2种,第
四行的染法随之确定.
2
因此,共有染法为
6?
?
1?6?4?2
?
?90
种.填90.
?
?
14.解:令
f(k)?
?
,则
??
?
5
??
5
?
?
k?5?1
??
k?5
?2
??
k?1
??
k?2
??
k?1
??
k?2
?
f(k?5)?
?
?
?
?
?
1
??
?
1??
?
?
?
?f(k)
??????555555
????????????
故
f(k)
是周期为5的函数.
计算可知:
f(2)?0
;f(3)?0
;
f(4)?0
;
f(5)?0
;
f(6
)?1
. 所以,
?
k?1
??
k?2
?
x2008
?x
2007
?1?5f(2008)
;
x
2
007
?x
2006
?1?5f(2007)
;…;
x
2<
br>?x
1
?1?5f(2)
.
以上各式叠加,得
x
2
008
?x
1
?2007?5
?
f(2)?f(3)?????f(
2008)
?
?x
1
?2007?5
?
401<
br>?
f(2)?f(3)?????f(6)
?
?f(2)?f(3)
?
?x
1
?2007?5?401?3
;
同理可得
y
2008
?402
.
所以,第2020棵树的
种植点为
?
3,402
?
.填
?
3,402
?.
三、解答题(本大题共4小题,共62分. 要求有必要的解答过程.)
15.证明
:由对称性,不妨设
a?b
,令
a
?t
,则因
?
?
a?b?
?
,可得
b
?
a
?
?t??.
…………………………(3分) ?
b
?
设
f(t)?t?
1
?
?
1<
br>?
?
?
f(t)?1?
,则对求导,得.…………(6分)
??
?t?
t
2
?
t
?
t
?
??
?
易知,当
t?
?
?
?
?
?
?<
br>?
?
t?
f(t)?0
时,,单调递减;当
f(t)
,1
?
?
1,
?
时,
f
?
(t)?0,
f(t)
?
?
?
?
?
?
?
单调递增.
…………………………………………………………………(9分)
故
f(t)
在t?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
f
或
t?
处有最大值且
f
?
及
?
??
??
??
两者相等.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
故
f(t)
的最大值为
??
1
??
?
,即
f
(t)?t???
.………………(12分)
??
t
??
由
ba
??
a
?t
,得
???
,其中等号仅当
a?
?
,b?
?
或
a?
?
,b?
?
成
立.
ab
??
b
……………………………………………………………………
……(14分)
16. 解:如果某方以
3:1
或
3:0
获胜,则
将未比的一局补上,并不影响比赛结果.于是,
问题转化为:求“乙在五局中至少赢三局的概率”.……
……(3分)
?
1
?
乙胜五局的概率为
??
;……………
…………………………………(6分)
?
3
?
?
1
?2
乙胜四局负一局的概率为
C
??
?
;……………………………
…(9分)
?
3
?
3
1
5
4
5
?
2
?
2
?
1
?
乙胜三局负二局的概率为
C
5
??
?
??
.
……………………………(12分) <
br>?
3
??
3
?
以上结果相加,得乙在五局中至少赢三局的概率
为
32
17
.
……………(14分)
81
17.解:(1
)因为
f(x)?ln
?
1?x
?
?x
,所以函数的定义域
为
?
?1,??
?
,…(2分)
又
f
?
(x)?
1x
.……………………………………………(5分)
?1??
1
?x1?x
当
x?
?
0,n
?
时,
f
?
(x)?0
,即
f(x)
在
?
0,n
?
n
?N
?
?
?
上是减函数,故
b
n
?f(n)?ln
?
1?n
?
?n.
a
n
?ln
?
1?n
?
?b
n
?
ln
?
1?n
?
?ln
?
1?n
?
?n?
n.
…………………………(8分)
?
2k?1
??
2k?1?
4k
2
?1
因为
??1
,所以
22
4k
?
2k
?
?
1?3?5?????
?
2k?
1
?
?
?
2k?1
??
2k?1
?
?1
?
1
.
1?33?55?7
????????
?<
br>2?4?????
?
2k
?
?
2k?12k?1
2<
br>2
4
2
6
2
?
2k
?
2
?
?
…………………………………………………………………………(12分)
又容易证明
2
1
?2k?1?2k?1
,所以
2k?1<
/p>
p
k
?
a
1
a
3
???a<
br>2k?1
1?3?5?????
?
2k?1
?
??
a
2
a
4
???a
2k
2?4?????
?
2k
?
1
2k?1
?2k?1?2k?1k?N
?
,
??
………………………………………………………………(14分)
p
1
?p
2
?????p
n
?
?
3?1?
??
5?3?????
??
2n?1?2n?1
?
?2n?1?1
?2a
n
?1?1
.
即
p
1
?p
2
?????p
n
?2a
n?1?1.
……………………(16分)
18.证明:(1)设
P
?<
br>x
0
,y
0
?
.
M
?
x
1
,y
1
?
.
N
?
x
2
,y
2
?
. 则椭圆过点
M
.
N
的切线方程分
别为
x
1
xy
1
yxxyy
??1
,
2
?
2
?1
.…………………………………………(3分)
259259
因为两切线都过点
P
,则有
x
1
x
0
y
1
y
0
xxyy
??1
,
2
0
?
20
?1
.
259259
这表明
M
.
N
均在直线
x
0
xy
0
y
??1
①上.由两点决定一条直线知,式①就是直
259
线
MN
的方程
,其中
?
x
0
,y
0
?
满足直线
l
的方程.…………………(6分)
(1)当点
P
在直线
l
上运动
时,可理解为
x
0
取遍一切实数,相应的
y
0
为
y
0
?
5
x
0
?10.
7
x
0
5x?70
x?
0
y?1?0
②
2563
代入①消去
y
0
得
对一切
x
0
?R
恒成立. …………………………………………………………(9分)
变形可得
x
0
?
?
x5y
??
10y
?
??1
?
?0
?
?
?
?
2563
??
9
?
?
x5y
?
25
?
63
?0,
对一切
x
0
?R<
br>恒成立.故有
?
10y
?
?1?0.
?
9
c由此解得直线
MN
恒过定点
Q
?
?
259
?
,?
?
.……………………………(12分)
?
1410
?
x
0
5x
0
?70
4375
?1
63
(2)当
MN
∥
l
时,由式②知
25?
.
?.
解得
x
0
?
5335?7?70
533
代入②,得此时
MN
的方程为
5x?7y?
?0
③
35
将此方程与椭圆方程联立,消去
y
得
533
2
533128068
x?x??0.
…………………………………………(15分)
2571225
由此可得,此时
MN
截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点
Q
?
?
259
?
,?
?
的横坐标,即
14
10
??
?533
x?x
2
25
x?
1
?
?
7
?.
533
142
2?
25
代入③
式可得弦中点纵坐标恰好为点
Q
?
?
259
?
,?
?
的纵坐标,即
1410
??
y?
5255331
?125533
?
9
??????.
??
7147?3
549
?
22
?
10
?
259
?
,??
平分线段
MN
.……………………………(18分)
1410
??
这就是说,点
Q
?