2018-2019学年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题 Word版含解析

2018-2019学年福建省高中数学竞赛
暨2018-2019学年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参
考答案
最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你 能高中，马到功自成，金榜定题名。最新试卷多少汗水曾洒下，
多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹 尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

（考试时间：2018-2019学年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中
的横线上） ??
)
?
?0
）1．若函数
f(x)?3cos(
?< br>x?)?sin(
?
x?
（的最小正周期为
?
，则
f (x)
63
?
?
?
在区间
?
0，
?
上的最大值为 。
?
2
?
【答案】
23

【
f(x)?3co
?
s(x?
解答】∵
?
6
?)
?
sixn?(
3
?
?)
?
3xco?s(?
?
)x?sin?(

662
???
)
?3cos(
?
x?)?cos(
?
x?)?4cos(
?
x?)
，且
f(x)
的最小正周期为
?
。 666
???
?
??
7
?
?
?
? ∴
?
?2
，
f(x)?4cos(2x?)
。又
x?
?
0，
?
时，
?2x??
，
6666
2
??
∴
2x?
?
6
??
?
?
?
，即
x?0
时，
f(x)
在 区间
?
0，
?
上取最大值
23
。
6
?< br>2
?
?
?
，若
A?B
，则实数
?
1
?
2．已知集合
A?
?
xx
2
?3x?2?0?
，
B?
?
x?a
x?3
?
a
的取值 范围为 。
1
??)
【答案】
(?，
2
1?ax?3a?1
?a
，得
?0
。 【 解答】
A?
?
x1?x?2
?
。由
x?3x?3
∴ a?0时，
B?
?
xx?3
?
。满足
A?B
。 < br>1
x?(3?)
?ax?3a?1
a
?0
，
B??
xx?3或x?3?
1
?
。
a?0
时，由
? 0
，得
??
x?3
a
x?3
??

满足
A?B
。
1
x?(3?)
?ax?3a?1
a
?0
，
B?
?
x3?
1
?x?3
?。由满
a?0
时，由
?0
，得
??
x?3
a< br>x?3
??
足
A?B
，得
3?
11
?1，
??a?0
。
a2
11
??)
。 综合得，
a??
。
a
的取值范围为
(?，
22
3．函数
f (x)?x
2
lnx?x
2
?2
零点的个数为 。
【答案】 1
?x?2x?x(2ln?x
。 【解答】 ∵
f
?
(x)?2xlnx
0?x?e
?
3
2
时，< br>f
?
(x)?0
；
x?e
?
3
2
?
3
2
时，
f
?
(x)?0
。
?
3
2
∴
f(x)
在区间
(0，e
又
0?x?e
?
3
2
?
3
2
)
上为 减函数，在区间
(e，??)
上为增函数。
31
时，
lnx?1? ??1???0
，
f(x)?x
2
(lnx?1)?2?0
； 22
f(e
3
)?e
?3
(??1)?2?0
，
f(e)?2e
2
?2?0
。
2
∴ 函数
f(x)
的零点个数为1。
或：作图考察函数
y?lnx
与
y?

4．如图，在正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
中，二面角
B?AC
1
?D
的大小
为 。
【答案】
120?

E
，连结
DE
。【解答】设正方体棱长为1。作
BE?AC

1
于
2
?1
图像交点的个数。
x
2
D< br>1
A
1
D
A
B
B
1
C
1< br>由正方体的性质知，
△A
1
DC≌△A
1
BC
。
∴
DE?
1
，
?BED
为二面角
B?AC< br>AC
1
?D
的平面角，
且
BE?DE?
C
2
，
BD?2
。

3