2010全国高中数学联赛模拟试题10

2010全国高中数学联赛模拟试题（十）
（命题人：杨建忠 审题人：李潜）
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、设集合M={?2,0,1}，N={1,2, 3,4,5}，映射f：M→N使对任意的x∈M，都
有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映 射f的个数是
（A）45 （B）27 （C）15 （D）11
2、已知sin 2
?
=a，cos2
?
=b，0＜
?
＜
①
?
?
??
，给出
tan
?
?
?
?
值的五个答案：
4
4
??
ba1?b1?a
； ②； ③； ④；
1?a1?bab
a?b?1
⑤．
a?b?1
其中正确的是：
（A）①②⑤ （B）②③④ （C）①④⑤ （D）③④⑤
3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，
则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是
（A）64 （B）66 （C）68 （D）70
4、递增数列1,3,4,9,10,12,13,?，由一些正整数组成，它们或者是3 的幂，
或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为
（A）729 （B）972 （C）243 （D）981
?
n?1
?
594m?1
5、C
1
（其中
[x]表示不超过x的最大整数）
m?
?C?C?< br>?
?C
nnnn
?
4
?
，
??
的值 为
（A）
2
n
cos
n
?

4
（B）
2
n
sin
n
?

4
1
?
n
?
?
（C）
?
2
n?1
?2
n
cos
?

2
?
4
?
1
?n
?
?
（D）
?
2
n?1
?2
nsin
?

2
?
4
?
6、一个五位的自然数< br>abcde
称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d
＞e（如12430，1 3531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是
（A）8568 （B）2142 （C）2139 （D）1134

二、填空题：（每小题9分，共54分）
x
2
y
2
??1
上任意一点P，1、过椭圆作椭圆的右准线的垂线PH （H为垂足），
32

并延长PH到Q，使得H Q=
?
PH（
?
≥1）．当点P在椭圆上运动时，点Q
的轨迹的离心 率的取值范围是 ．
2、已知异面直线a、b所成的角为60°，过 空间一点P作与a、b都成角
?
（0＜
?
＜90°）的直线l，则这样的直线 l的条数是f(
?
)= ．
3、不等式
?
1 ?
4x
2
1?2x
?
2
?2x?9
的解集为 ．
4、设复数z满足条件|z?i|=1，且z≠0，z≠2i，又复数
?
使得?
?2iz
?
为
?
z?2i
实数，则复数
?< br>?2的辐角主值的取值范围是 ．
1111
??
?
??
，则
2?a
1
2?a
2
2?a
2 002
2
5、设a
1
,a
2
,?,a
2002均为正实数，且
a
1
a
2
?a
2002
的最小 值是 ．
6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶 数个数字8，则称它为
“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选” 数码
（如2348756，958288等），则长度不超过n（n为自然数）的所有“优
选” 数码的个数之和为 ．

三、（20分）

已知数列{a
n
}是首项为2，公比为
（1） 用S
n
表示S
n+1
；
（2） 是否存在自然数c和k，使得

1
的等比数列，且前n项和为S
n
．
2
S
k?1
?c
＞2成立．
S
k
?c
四、（20分）

设异面直线a、b成60°角， 它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线
段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上移动．求线 段AB中点P的
轨迹方程．

五、（20分）







已知定义在R
+
上的函数f(x)满足
（i）对于任意a、b∈R
+
，有f(ab)=f(a)+f(b)；
（ii）当x＞1时，f(x)＜0；
（iii）f(3)=?1．
现有两个集合 A、B，其中集合A={(p,q)|f(p
2
+1)?f(5q)?2＞0，p、q∈
p
1
)+=0，p、q∈R
+
}．试问是否存在p、q，使
2q
R
+
}，集合B={(p,q)|f(

A?B??
，说明理由．
第二试
一、（50分）
< br>如图，AM、AN是⊙O的切线，M、N是切点，L是劣弧MN上异于
M、N的点，过点A平行于 MN的直线分别交ML、NL于点Q、P．若
S
⊙O
?
2
?
3
S
△POQ
，求证：∠POQ=60°．
M
P
O
L
A
N
Q

二、（50分）

已 知数列a
1
=20，a
2
=30，a
n+2
=3a
n+1
?a
n
（n≥1）．求所有的正整数n，
使得1+5a
na
n+1
是完全平方数．

三、（50分）

设M为 坐标平面上坐标为(p·2002,7p·2002)的点，其中p为素数．求
满足下列条件的直角三角 形的个数：
（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点；
（2） 三角形的内心是坐标原点．

参考答案
第一试
一、选择题：
题号
答案

二、填空题：
1
A
2
C
3
B
4
D
5
D
6
B

?
3
?
1、
?
,1
?
；
?
?
3
?

?
0,0??
??30?
?
1,
?
?30?
?
?
2、
f
?
?
?
?
?
2,30??
?
?60?< br>；
?
3,
?
?60?
?
?
?
4, 0??
?
?90?

?
1
??
45
?3、
?
?,0
?
?
?
0,
?
；
?
2
??
8
?

4
??
4、< br>?
?
?arctan,
?
?
；
3
??


5、4002
2002
；
1
?
10
n?1
8
n?1
142
?
?
6、
?
．
??
??
2
?
9763
?
（2）不存在． 三、（1）
S
n?1
?

1
S
n
?2
；
2

x
2
?y
2
?1
． 四、
9

五、不存在．
第二试

一、证略；

二、n=3．

三、 p≠2,7,11,13时，324个；p=2时，162个；p=7,11,13时，180个．