成都教师高中数学面试-全国高中数学一等奖
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案
一、选择题(本大题共6个小题,每小题5
分,满分30分.每小题所提供的四
个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.设集合
S?
?
A
0
,A
1
,A
2
,A
3
?
,在
S
上定义运算“
?
”为:
A
i<
br>?A
j
?A
k
,其中
k
为
i?j
被
4
除的余数,
i,j?0,1,2,3.
则满足关系
?
x?
x
?
?A
2
?A
0
的
x
?
x?S
?
的个数为()
A.1B.2C.3D.4
答案:B.
提示:
因为
?
x?x
?
?A
2
?A
0
,
,设
x?x?A
k
,所以
A
k
?A
2
?a
0
,k?2,
即
x?x?A
2
,故
x?A
1
或
x?A
3
.
答案:A.
2.一个骰子由1
-6六个数字组成,根据如图所示的三种状态显示的数字,可推得
“?”的数字是()
A.6B.3C.1D.2
3.设函数
f
?
x
?
?2x?cosx,
?
a
n
?
是公差为的等差数列,
f?
a
1
?
?f
?
a
2
?
?L
?f
?
a
n
?
?5
?
,
则
??
f
?
a
3
?
?
?
?a
1<
br>a
5
?
()
A.
0
B.
1113
?
C.
?
D.
?
2
16816
2
?
8
答案:D.
提示:因为
?
a
n
?
是公差为的等差数列,且
即
2
?
a
1
?a
2
?L?a
5
?<
br>?
?
cosa
1
?cosa
2
?L?cosa
5
?
?5
?
,所以
?
即
10a
3?
?
?
2cos?2cos?1
?
cosa
3
?5
?
.
48
??
?
2cos?2cos?1<
br>记
g
?
x
?
?10x?
?
??
co
sx?5
?
,则
48
??
?
8
??
??
??
??
g
?
?
x
?
?10?
?
2cos?2cos?1
?
sinx?0
,
48
??
p>
即
g
?
x
?
在
R
为增函数,有
唯一零点
x?
,所以
a
3
?.
22
?<
br>?
?
?
??
??
??
??
?
13<
br>2
所以
?
fa?aa?2??0
?
??
3
?
15
??
?
?
?
??
?
?
??
.
?
2
???
24
??
24?
16
2
2
4.设
m,n
为非零实数,
i为虚数单位,
z?C
,则方程
z?ni?z?mi?n
与方程
z
?ni?z?mi??m
在同一复平面内的图形(其中
F
1
,F
2<
br>是焦点)是()
答案:B.
提示:
z?ni?z?mi?n
表示以
F
1
?
0,?n
?
,F
2
?
0,
m
?
为焦点的椭圆且
n?0.
z?ni?z?mi??m
表示以F
1
?
0,?n
?
,F
2
?
0,m<
br>?
为焦点的双曲线的一支.由
n?z?ni?z?mi?m?n
,知
m
?0.
故双曲线
z?ni?z?mi??m
的一支靠近点
F
2
.
?
1?31?3
?
5.给定平面向量
?
1,1
?
,那么,平面向量
?
?
2
,
2
?
?<
br>是将向量
?
1,1
?
经过变换得到的,
??
答案是(
)
A.顺时针旋转
60
o
所得B.顺时针旋转
120
o<
br>所得
C.逆时针旋转
60
o
所得D.逆时针旋转
120o
所得
答案:C.
?
1?31?3
?
,
?
?
?
?
1,1
?
22
1
?
提示:设两向量
所成的角为
?
,则
cos
?
?
?
?,
又
2
2?2
o
oo
?
,所以.又
?
?60<
br>?
?
?
0,180
??
1?31?3
?0,?0,所以
C
正确.
22
6.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手
各比赛一场,但有3名选手各比
赛了两场之后就退出了,这样全部比赛只进行了50场,那么上述3名选
手之间
比赛场数是()
A.0B.1C.2D.3
答案:B.
提示:设
这3名选手之间比赛的场数是
r
,共
n
名选手参赛,依题意有
2
C
n?3
?6?r?50
,即
?
n?3
??
n?4
?
?44?r.
2
因为
0?r?3
,所以分4种情况讨论:
①当
r?0<
br>时,有
?
n?3
??
n?4
?
?88
,即<
br>n
2
?7n?76?0
,但它没有正整数解,故
r?0
; <
br>②当
r?1
时,有
?
n?3
??
n?4
?<
br>?90
,解得
n?13
,故
r?1
符合题意;
③当
r?2
时,有
?
n?3
??
n?4
?
?9
2
,即
n
2
?7n?80?0,
但它没有正整数解,故
r?
2
;
④当
r?3
时,有
?
n?3
??
n
?4
?
?94
,即
n
2
?7n?82?0
,但它没
有正整数解,故
r?3.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题8分,满分48分
,解题时只需将正确
答案直接填在横线上.)
7.规定:对于
x?R
,当且
仅当
n?n?n?1
?
n?N
*
?
时,
?
x
?
?n
.则不等式
4
?
x
?
?36<
br>?
x
?
?45?0
的解集是.
2
答案:
2?x?8.
提示:所求不等式为关于
?
x
?
的一元二次不等式.由
4
?
x
?
?36?
x
?
?45?0
,得
?
?
x
??
2
3
2
15
,
2
故
2?
?
x
?
?7
,即
2?x?8.
8.在三棱锥
S
-
ABC
中,
SA?4,SB?7,SC?9,AB?5,BC?6,A
C?8,
则三棱锥的体积的最
大值为.
答案:
86
.
S
A
2
?AB
2
?SB
2
4
2
?5
2
?7
2
1
???
,故提示:设
?SAB?
?,根据余弦定理有
cos
?
?
2SA?AB2?4?55
sin
?
?1?cos
2
?
?
261
,S
?SA
B
??SA?ABsin
?
?46.
由于棱锥的高不超过它的侧棱,所
52
以
F
CSAB
?S
?SAB
?BC?86.
事实上,取
SB?7,BC?6
,且
CB?
面
SAB
时,可
以满足已知
条件,此时
V
CSAB
?86.
9.一个均匀
小正方体的六个面中,三个面上标以数字
0
,两个面上标以数字
1
,一个面上标以数字
2
。将这个正方体的抛掷两次,则向上的数之积的数学期望是
1
3
答案;
.
提示:由题意知,抛掷小正
方体向上的数为
0
的概率为,向上的数为
1
的概率为,
向上为
2
的概率为,如下表所示:
4
9
1
2
1
3
1
6
第一次抛掷
第二次
0
0 1 2
1
2
于是所得向上的数之积的分布列为:
0 1 2 4
10.观察下列等式:
15
C
5
?C
5
?2
3
?2
;
159
C
9
?C
9
?C
9
?2
7
?2
3
;
15913
C
13
?C
13<
br>?C
13
?C
13
?2
11
?2
5
;
。。。。。。
由以上等式推测出一般的结论:
1594n?1
对于<
br>n?N*,
C
4n?1
?C
4n?1
?C
4n?1<
br>?L?C
4n?1
?
答案:
2
4n?1
?
?
?1
?
?2
2n?1
.
11.方程<
br>16sin
?
xcos
?
x?16x?
的解的集合是
11
?
答案:
?
?
,?
?
.
?
44
?
n
1
x
提示:当
x?0时,
16x??8
,当且仅当
x?
时取“
?
”.而16sin
?
xcos
?
x?8sin2
?
x?8,
当且仅当
x??k,k?Z
时取“
?
”号.于是,当
x?0
时,方程只有一个解
x?.
由奇函
11
?
1
数的性质可知,
x??
是方程的另一个解.故方程的解集合为
?
?
,
?
?
.
1
x
1
4
1
4
1
4
4
?
44
?
12.当一个非空数集
F
满足条件“如果
a,b?F
,则
a?b,a?b,a?b?F
,且当
b?0
时,
?F
”
时,我们称
F
就是一个数域。以下四个关
于数域的命题:
①
0
是任何数域的元素;②若数域
F
有非零元素,
则
2016?F
;③集合
P?
?
x|x?3k,k?Z
?<
br>是一个数域;④有理数集是一个数域。
其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号)
答案:①②④.
提示:根据数域的定义判断,①②④均正确.取
a?3,b?6,则
a,b?P
,但
??P
,
即③错误.
三、简答题(本大题共4个小题,满分72分)
x
2
y
2
1
13.(本小题满分16分)已知椭圆
C:
2
?
2
?1(
a?b?0)
经过点
0,3
,离心率为,
ab
2
a
b
1
2
a
b
??
经过椭圆
C
的右焦点F
交椭圆于
A,B
两点,点
A,F,B
在直线
x?4<
br>的射影依次是
D,K,E
。
(1)求椭圆的
C
的方程; <
br>(2)连接
AE,BD
,试探求当直线
l
的倾斜角变化时,直线
AE
与
BD
是否相交于定点?
若是,请求出定点的坐标并给予证明;否则,
说明理由。
c
1
解:(1)由经过点
0,3
,得
b?3,
由离心率为,得
e??
a
2
??
a
2
?b
2
1
?
,得
a?2.
a2
x
2
y
2
故椭圆
C
的方程为
C:??1.
4
3
(2)当直线
l
的斜率不存在时,直线
l?x
轴,则
AB
ED
为矩形,由对称性知,直线
AE
???
,0
N,0
与<
br>BD
相交于
FK
的中点
N
?
,由此猜想直线与相交于
定点
AEBD
????
.
2
2
??
??
55
证明:设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,D
?
4,y
1
?
,E
?
4,y
2
?
直线
AB
的方程为
y?k
?
x?1
?
,联
立椭圆
C
的
方程消去
y
得
3x
2
?4k<
br>2
?
x?1
?
2
?12
,即
?
3?
4k
2
?
x
2
?8k
2
x?4k
2
?12?0,
8k
2
4k
2
?12
y
2
?y
1
5
x
1
?x
2
?,xx?.
l:y
?y?x?4
又因为,当时,
x?
??
12
AE2
4?x<
br>1
3?4k
2
3?4k
2
2
y?k
?
x
2
?1
?
?
k
?
x
2
?x<
br>1
?
3
5k
?
x
1
?x
2
?
?2kx
1
x
2
?8k
??
4?x<
br>1
22
?
4?x
1
?
?0
,
?<
br>?8k
?
3?4k
2
?
?2k
?
4k
2
?12
?
?5k?8k
2
2
?
4?x
1
?
?
3?4k
2
?
?
即点
N
?
?
,0
?
在直线
l
AE
上.
2
??
?
,0
同理可证,点
N
?
??
在直线
l
BD
上,所以,当直线
l
的倾斜角变化时,直线
AE
与<
br>BD
相
2
??
?
,0
交于定点
N
?
??
.
2
??
5
5
5
14.(
本小题满分16分)已知四边形
ABCD
是正方形,
P
是边
CD上一点(点
P
不与顶
点重合),延长
AP
与
BC
的延长线交于点
Q
。设
?ABQ
,
?PAD
,
?
PCQ
的内切圆半径分
别是
r
1
,r
2
,r
3
。
(1)证明:
r
1
2
?4r
2
r
3
,并指出点
P
在什么位置时等号成立;
(2)若
AB?
1,
试求证:
3?22?r
1
2
?r
2
2
?r
3
2
?
。
证明:(1)如图所示,因为△
ABQ∽△
PDA
∽△
PCQ
,所以
r
1
:r
2
:r
3
?AB:PD:PC.
而
AB?CD?PD?PC
,
故
r
1
?r
2
?r
3
?2r
2
r
3
,即
r
1
2
?4r
2
r
3
.
当且仅当
r
2
?r
3
,即
P
为
CD
的中点时,等号成立. <
br>(2)由(1)得
r
1
?r
2
?r
3
,所以
有
?
?
0?
?
?
记
?DAP?
?
?
??
,则
?
4
?
1
2
t
2
?1
.
令
cos
?
?cos
?
?t
,则
1?t?2
,且
sin
?
cos
?
?
2
故
它是关于
t
的单调递增函数,所以
3?2
即
3?22?r<
br>1
2
?r
2
2
?r
3
2
?.
1
2
2
??
2?
?
2?1
?
3?
2
2
?r?r
2
?r
3
?
2
1
22
3?1
2
?
1?1
?
2
1
?.
2
15.已知函数
f(x)?xlnx?mx
2
?x
,m?R.
(1)当
m??2
时,求函数
f(x)
的所有零点;
(2
)若
f(x)
有两个极值点
x
1
,x
2
,且
x
1
?x
2
,求证:
x
1
?x
2
?e
2
。
解:(1)当
m??2
时,
f
?x
?
?xlnx?x
2
?x?x
?
lnx?x?1?
,x?0.
设
p
?
x
?
?lnx?x?1,
x?0,
则
p
?
?
x
?
?
1?1?0
,于是
p
?
x
?
在
?
0,?
?
?
上为增函数.
x
1
2
又
p
?
1
?
?0
,所以,当
m??2
时,函数
f
?x
?
有唯一零点
x?1.
(2)若
f
?x
?
有两个极值点
x
1
,x
2
,则导函数f
?
?
x
?
有两个零点
x
1
,x2
.
由
f
?
?
x
?
?ln
x?mx
,可知
?
?
lnx
1
?mx
1
?
0,
?
lnx
2
?mx
2
?0.
要证<
br>x
1
x
2
?e
2
,可转化为证明:
lnx<
br>1
?lnx
2
?2.
?
lnx
1
?mx
1
?0,
lnx?lnx
2
.
由
?
可得
m?
1
x?x
lnx?mx?0
12
?
22
由
?
?
lnx
1
?mx
1
?0,
lnx?lnx
2
.
可得
m?
1
x
1
?
x
2
?
lnx
2
?mx
2
?0
lnx1
?lnx
2
lnx
1
?lnx
2
?.
进一步,得
x
1
?x
2
x
1
?x
2<
br>两式联立,得
设
0?x
1
?x
2
,则
0?t
?
?
1?t
?
lnt
.
x
1
?1
,
lnx
1
?lnx
2
?
下面证只须证明:
x<
br>2
t?1
2
?
t?1
?
当
0?t?1
时恒成立.
t?1
2
?
1?t
?
lnt
?2<
br>t?1
,即证
lnt?
2
?
t?1
?
?t?1
?
?0,
14
?
设函数
g
?
t
?
?lnt?
,则
g
?
?
t
?
?
?
22
t
?
t?1
?
t?1
t
?
t?1
?
故函数
g
?
t
?
在
?
0,1
?
上为增函数,
g
?
t
?
?g?
1
?
?0.
所以,
lnt?
2
?
t?1
?
当
0?t?1
时恒成立,即
x
1
x
2
?e
2
.
t?1
16.已知
互异的正实数
x
1
,x
2
,x
3
,x
4<
br>满足不等式
(x
1
?x
2
?x
3
?x
4
)
?
?
?
1111
?
???
?
?17
。
?
?
x
1
x
2
x
3
x
4
?
求证:从
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
可任取3个数作为边长,共可构成4个不同的三角形。
证
明:由于
C
4
3
?4
,故从
x
1
,x2
,x
3
,x
4
中任取3个数作为边长,共可构成4个
不同的三角形,即是任取3个数作为边长均可构成不同的三角形.下面用反证
法给出证明:
若
存在某三个数为边长的不能构成三角形,由对称性可知不妨设这三个数
为
x
1
,x
2
,x
3
,且满足
x
1
?x
2
?x
3
.
因为
由
?
x
2
?x
3
?
?
?
11
?
x
114
??4
?
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这与上面所得结论矛盾.所以,原命题成立.