中公教师高中数学试讲答辩-高中数学必修三2.3.1
2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
(考试时间:2010年9月4日9:00—11:30)
二
题号 一
总分
9 10 11 12
得分
评卷人
复核人
[来源:Z&xx&]
[来源:Z+xx+][来源:学_科_网Z_X_X_K]
注意:
1.本试卷共12小题,满分150分;
2.用钢笔、圆珠笔或签字笔作答;
3.书写不要超过装订线;
4.不能使用计算器.
一、填空题(每小题8分,共64分)
1.函数
f(x)?2x?4x?x
2
的值域是_____________________
_____.
2.函数
y?
_____________________的图象与
y?e
x
的图象关于直线
x?y?1
对称.
3.正八面体
的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于__________________________.
x
2
y
2
??1
与双曲线
xy?1
相切,则t?
__________________________. 4.设椭圆
t?1t?
1
5.设
z
是复数,则
|z?1|?|z?i|?|z?1|
的最小
值等于__________________________.
6.设
a
,b
,
c
是实数,若方程
x?ax?bx?c?0
的三个根构成公
差为1的等差数列,
则
a
,
b
,
c
应满足的充分必
要条件是__________________________.
7.设
O
是<
br>?ABC
的内心,
AB?5
,
AC?6
,
BC?7<
br>,
OP?xOA?yOB?zOC
,
32
0?x,y,z?1
,动点
P
的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于______________________
__.
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是____________
______.
二、解答题(共86分)
9.(20分)设数列
?a
n
?
满足
a
1
?0
,
a
n
?
1
2
,
n?2
.求
a
n
的通项公式.
1?a
n?1
10.(22分)求最小正整数<
br>n
使得
n?n?24
可被2010整除.
11.(22分)已知<
br>?ABC
的三边长度各不相等,
D
,
E
,
F
分别是
?A
,
?B
,
?C
的平
分线与边
B
C
,
CA
,
AB
的垂直平分线的交点.求证:
?ABC的面积小于
?DEF
的面积.
12.(22分)桌上放有
n
根火柴,甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取,第一次可取走至多
n?1
根火柴,此
后每人每次至少取走
1
根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最
后一
根火柴者获胜.问:当
n?100
时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.
2
2
2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
参考答案及评分标准
一、填空题(每小题8分,共64分)
1.答案:
?
4?25,8
?
.
??
提示:因<
br>0?x?4
,设
x?2?2
?
co
(
0?
?
?
?
),则
y?4c
?
o?s
?
2?si
?n
?
4
(其中
?
s
,
?
2?5
cos
?c
?
o(
sin
?
?
)
2
5
1
,
4
?
为锐
5
?
角),所以当?
?0
时,
y
max
?8
,当
?
?<
br>?
?
?
时,
y
min
?4?25
,故
y?
?
4?25,8
?
.
?
2.
答案:
1?ln(1?x)
提示:因两函数图象关于直线
x?y?1
对称,所以
x?y?1
,
y?1?x
,∴
1?x?e
1?
y
,解得
y?1?ln(1?x)
.
3.
答案:
?
1
3
提示:正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成,
所以
任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面
角
?
的两倍.
∵
tan
?
?2
,∴
cos
?
?
2
11
?
,则
1?tan
2
?
3
1
cos
2
?
?2cos
2
?
?1??
.
3
4.
答案:
5
?
x
2
y
2
?
x?t
?1cos
?
??1
知,
t?1
,设其参数方程为
?
提示:由椭圆方程(
?
为
t?1t?1
?
?
y?t?1s
in
?
参数)代入双曲线方程
xy?1
,得
sin2
??
2
t?1
2
.
因两曲线相切,∴
2
t?1
2
?1
,故
t?5
.
5.
答案:
1?3
提示:在复平面上,设
A(?1,0)
,
B
(1,0)
,
C(0,1)
,则当
Z
为
?ABC
的
费马点时,
3
|z?1|?|z?i|?|z?1|
取得
最小值,最小值为
1?
32323
???1?3
.
333
a
2
a
3
a
?
.
?1
且
c?
6. 答案:
b?
273
3
提
示:设三个根为
?
?1
,
?
,
?
?1
,则
x
3
?ax
2
?bx?c?(x?
?
?1)(x?
?
)(x?
?
?1)
,
右边展开与左边比较得
?
a?3
?
,
b?(
?
?1)
?
?
?
(
?
?1)?(
?
?1)(
?
?1)?3
?2
?1
,
?
a
2
b??1
?
?
3
?c?(
?
?1)
?
(
?
?1)
,消
去
?
得
?
,这就是所求
3
?
c?
a
?
a
?
273
?
的充要条件.
7.
答案:
126
提示:如图,根据向量加法的几何意义,知点
P
在图
中的三个平形四边形及其内部运动,所以动点
P
的轨迹所覆
盖的平面区域的面
积等于等于
?ABC
面积的2倍,即
126
.
8.
答案:
6
7
3
提示:从正方体的八个顶点中随机选取三点,共有<
br>C
8
个三角形,其中直角三角形有
3
12?C
4
6<
br>.
?
3
C
8
7
12?C
3
4个,所求“构成直角三角形”的概率是
二、解答题(共86分)
9.
解:特征根法. 又
a
n
?2?
4?2a
n?1
1?an?1
,
a
n
?1?
,????(10分)
1?a
n?1
1?a
n?1
?(?2)
n
, 得<
br>a
n
?2a?2a?2
?(?2)?
n?1
?(?2)
2
n?2
?
a
n
?1a
n?1
?1a
n
?2
?1
(?2)
n
?2
于是
a
n
?.??????(20分)
(?2)
n
?1
4
?
n
2
?n?24?0mod2
?
n
2
?n?0mod3
?
2
?
2
?
n?n?24?0mod3
10. 解:
2010|n
2
?n?24?
?
?
?
n?n?1mod5
2
?
n?n?24?0mod5
?
n
2
?n?43mod67
?
?
n
2
?n ?24?0mod67
?
????(10分)
又
n?n?0mod3?n?0
或
2mod3
,
2
n
2
?n?1mod5?n?2mod5
,
n
2
?n?43mod67?n?10
或
56mod67
,
故所求最小正整数
n?77
.????(22分)
11. 证明 :由题设可证
A
,
BC
,
D
,
E
,
F
六点共圆. ????(10分)
不妨设圆半径为1,则有
S
?ABC
?
1
(siAn?2B?siCn2
,
2
sin2)
S
?DEF
?
1
(sinA?sinB?sinC)
.
2
由于
sin2A?sin2B?sin2C
111
?( sin2A?sin2B)?(sin2B?sin2C)?(sin2C?sin2A)
2 22
?sin(A?B)sin(A?B)?sin(B?C)sin(B?C)?sin(C?A)s in(C?A)
?sin(A?B)?sin(B?C)?sin(C?A)
?sinA?sinB?sinC
∴
?ABC
的面积小于
?DEF
的面积. ????(22分)
12. 解:把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目
n
从小到大排序 为:
n
1
,
n
2
,
n
3
,?,< br>不难发现其前4项分别为2,3,5,8.
下面我们用数学归纳法证明:
(1)?
n
i
?
满足
n
i?1
?n
i
?n
i?1
;
(2)当
n?n
i
时,乙总可取到最后一 根火柴,并且乙此时所取的火柴数目
?n
i?1
;
(3)当
ni
?n?n
i?1
时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目?n
i
.
??????????????(10分)
设
k? n?n
i
(
i?4
),注意到
n
i?2
?
n
i
?n
i?1
.
2
5
当
1?k?
当
n
i
时,甲第一次时可取
k
根火
柴,剩余
n
i
?2k
根火柴,乙无法获胜.
2
n
i
?k?n
i?1
时,
n
i?2
?k?n
i?1<
br>,根据归纳假设,甲可以取到第
k
根火柴,并且甲此
2
时所取的火柴数
目
?n
i?2
,剩余
n
i
?2n
i?2
根
火柴,乙无法获胜.
当
k?n
i?1
时,设甲第一次时取走
m根火柴,若
m?k
,则乙可取走所有剩小的火柴;
若
m?k
,则
根据归纳假设,乙总可以取到第
k
根火柴,并且乙此时所取的火柴数目
?n
i
?2
,
剩余
n
i
?2n
i?2
根火柴,甲无法获胜
.
综上可知,
n
i?1
?n
i
?n
i?1
.
因为100不在数列
?
n
i
?
,所以当
n?100
时,甲有获胜策略. ????(22分)
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