2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题及答案

2016年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
（5月22日下午14：30——16：30）



三

题 目 一 二总成绩
13 14 15 16

得 分

评卷人

复核人

考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分140分.
2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答. 3、计算器、通讯工具不准带入考场.
4、解题书写不要超过密封线.

得 分 评卷人
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）



1、在
?ABC
中，设内角A、B、C的对边长分别为a，b，c
?ABC
是正三角形，命题p：B+C=2A,且b+c=2a；，命题q：则命题p是命题q的 【 】

A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件6 D、既不是充分条件也不是必要条件
2、若i为虚数单位，复数
z?
A、-1
31
?i
，则
z
2016
的值是 【 】
22
C、 i D、1 B、-i
2
3、已知函 数
f(x)?x?2tx?t,
当
x?[?1,1]
时，记
f(x)
的最小值为m，则m的最大值是
【 】
1
D、1
4
n
(,)
表示不超过
[ ]
，且与n互质的正整数的个数，则
f(100,3)?
4、对任意正整数n与k（
k?n
），
fnk
k
A、-2 B、0 C、
【 】
A、11 B、13 C、 14 D、19
5、设数列｛
a
n
｝满足：
a
1< br>?6,a
n?1
?[a
n
?
5
4
3
2
a
n
?2],n?N
*
其中[x] 表示不超过实数x的最大 整数，
4
S
n
为｛
a
n
｝前n项和，则
S
2016
的个位数字是 【 】
A、1 B、2 C、 5 D、5
?
6、已 知
F
1
,F
2
是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点， 且
?F
1
PF
2
?60
,则该椭圆和双曲线的
离心 率之积的最小值是 【 】
A、

3

3
B、
3

2
C、 1 D、
3

2016年全国高中数学联赛（四川初赛）第1页 （共8页）

得 分 评卷人

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）


7、在
(x?
4
?4)
5
的展开式中
x
3
的系数是 （用具体数字作答）
x
8、 若实数
?
,
?
,
?
构成以2为公比的等比数列，
s in
?
,sin
?
,sin
?
构成等比数列，则
c os
?
的值为
9、已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为4，
?
ASB=
30
，过点A作截面与侧棱SB、SC、SD分别交于E、F、
G，则截面 AEFG周长的最小值是

?
????????????
10、已知
?ABC
的外心为O，且
2OA?3OB?4OC?
0, 则
cos?BAC
的值是
11、实数
x,y,z, w
满足
x?y?z?w?1
，则
M?xw?2yw?3xy?3zw?4xz ?5yz
的最大值是
12、对于任何集合S，用
S
表示集 合S中的元素个数，用n(S)表示集合S的子集个数.若A、B、C是三个
有限集，且满足条件： < br>①
A?B?2016
;②
n(A)?n(B)?n(C)?n(A?B?C)< br>则
A?B?C
的最大值是
得 分 评卷人

三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）

13、设等比数列< br>{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且< br>S
n
?2
n
?r
（
r
为常数），
记
b
n
?2(1?log
2
a
n
)

(n?N)
．
（1）求数列
{a
n
b
n< br>}
的前
n
项和
T
n
；
（2）若对于任意的正整数
n
，都有









2016年全国高中数学联赛（四川初赛）第2页 （共8页）

*
1?b
n
1?b
1
1?b
2
?????kn?1
成立，
b
1
b
2
bn

14、已知
a
、
b
、
c
为正 实数，
求证：
abc?
a?b?c
?(a?b?c)(b?c?a)(c? a?b)

111
?
2
?
22
abc











15、已知抛物线y
2
?2px过定点C(1,2)，在抛物线上任取不同于点C的一 点A，直线AC与直线y?x?3
交于点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点B．
（1）求证：直线AB过定点；
（2）求△ABC面积的最小值．













2016年全国高中数学联赛（四川初赛）第3页 （共8页）

16、已知
a
为实数，函数f(x)?|x
2
?ax|?lnx，请 讨论函数f(x)的单调性．


2016年全国高中数学联赛（四川初赛）第4页8页）





























（共

2016年全国高中数学联赛（四川）初赛试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的 评阅，请严格按
照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生 的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适
当划分档次评分， 5分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、A 2、D 3、C 4、C 5、A 6、B
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、180 8、
?
1
13
9、
43
10、 11、 12、2015
2
42
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、 设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n< br>，且
S
n
?2
n
?r
（
r
为常数） ，
记
b
n
?2(1?log
2
a
n
)< br>
(n?N)
．
（1）求数列
{a
n
bn
}
的前
n
项和
T
n
；
（2）若对于任意的正整数
n
，都有
求实数
k
的最大值．
解：（1）由条件易知
a
1
?2?r,a
2
?S
2
?S
1
?2,a
3
?S
3
?S
2
?4,
2
又由
a
2
?a
1
a
3
得
r??1
． ……5分
*
1?b
n
1?b
1
1?b
2
?????kn?1
成立，
b
1
b
2
b
n
于是
S
n
?2
n
?1
．故
a
n
?2
n?1
，
b
n
?2(1?log
2
a
n
)?2n
，
a
n
b
n
?n?2
n
．
因此
T
n
?1?2
1
?2?2
2
???(n?1)?2
n?1
?n?2
n
①
< br>2T
n
?1?2
2
?2?2
3
???(n?1)?2
n
?n?2
n?1
②
由①-②得：
?T
n< br>?2
1
?2
2
???2
n?1
?2
n
?n?2
n?1
，故
T
n
?(n?1)?2
n?1
?2
．
所以，数列
{a
n
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
?(n?1)?2
n?1
?2(n? N
*
)
． ……10分
(2) 因为
k?
1?b
n
1?b
1
1?b
2
111?21?41?2n
，
???
?
?????
?
?
b
2
b
n42n
n?1
b
1
n?1
2
构造
f(n)?< br>11?21?41?2n
???
?
?
，
242n
n?1
2016年全国高中数学联赛（四川初赛）第5页 （共8页）

f(n?1)n?11?2(n?1)4n
2
?12n?9
则
????1
， ……15分
2
f(n)4n?12n ?8
n?2
2(n?1)
于是
{f(n)}
严格单增，则
f (n)
的最小值为
f(1)?
即实数
k
的最大值是
3
2
，
4
3
2
． ……20分
4
14、已知
a
、
b
、
c
为正实数，
a?b?c
?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b)
．
111?
2
?
22
abc
a?b?c
证明：（1）先证：abc?

111
??
a
2
b
2
c< br>2
求证：
abc?
等价于证明：
(ab)
2
?(bc)
2
?(ca)
2
?abc(a?b?c)
，
令
x?ab,y?bc,z?ca
，
由不等式
x
2
?y
2
?z
2
?xy?yz?zx
知结论成 立． ……5分
（2）再证：
a?b?c?(a?b ?c)(b?c?a)(c?a?b)
?
?
111
?
?
2< br>?
2
?
（*）
2
?
abc
?
由于不等式是轮换对称的，不妨设
a?max{a,b,c}
，则
a?b?c?0,c ?a?b?0

①当
b?c?a?0
时，结论显然成立；
②当
b?c?a?0
时，令
a?y?z,b?z?x,c?x?y
，
111
(b?c?a)
，
y?(c?a?b)
，
z?(a? b?c)
， ……10分
222
故
x,y,z
均大于0.
则
x?
不等式（*）变为：
2(x?y?z)?8xyz[
111
??]

(y?z)
2
(z?x)
2
(x?y)
2
只需证：
111444
?????
， ……15分
222
yzzxxy(y?z)(z?x)(x?y)
2
注意到：
(y?z)?4yz
，则
41
?
,
(y?z)
2
yz
同理：

41
41
?
?
，．所以，原不等式成立． ……20分
22
(z?x)zx
(x?y)xy
2016年全国高中数学联赛（四川初赛 ）第6页 （共8页）

15、已知抛物线y
2
?2px过 定点C(1,2)，在抛物线上任取不同于点C的一点A，直线AC与直线y?x?3
交于点P，过点P 作x轴的平行线交抛物线于点B．
（1）求证：直线AB过定点；
（2）求△ABC面积的最小值．
解：（1）由抛物线y
2
?2px过定点C(1,2)，
y
A
可得抛物线方程为y
2
?4x．
2
y
0
设点A坐标为(,y
0
)( y
0
≠2)，
4
C
O
P
B
Q
x
y?2
则直线AC的方程为y?2?
0
2
(x?1)，
y
0
?1
4
4
即y?2?(x?1)，
y
0
?2
与y?x?3联立解得P点坐标为(
?y
0
?62y
0
?12
,)． ……5分
y
0
?2y
0
?2
(y
0
?6)
2
2y
0
? 12
所以B点坐标为(,)．
y
0
?2(y
0
?2)2
2
当
y
0
?12时，A坐标为(3,y
0
) ，B点坐标为(3,
2y
0
?12
)，直线AB过定点Q(3,2)． y
0
?2
2y
0
?12
22
y
0y
0
y
0
?2
(y
0
?6)
2
2
当
y
0
≠12时，≠，直线AB的方程为y? y
0
?
2
(x?)，
44
(y
0
?2)
2
y
0
(y
0
?6)
2
?
4(y
0
?2)
2
y
0
?
2
y
0
(y
0
?2)
(y
0
?2)
2
化简得，y? y
0
?
2
(4x?
y
0
)，（或：y? y
0
?
2
( x?)，）
4
y
0
?12
y
0
?3
4
易得，直线AB也过定点Q(3,2)． ……10分
法2：由抛物线y
2
?2px过定点C(1,2)，可得抛物线方程为y
2
?4x．
设直线AB的方程为x?my?a，与抛物线方程联立得，y
2
?4my?4a?0．
设A(x
1
,y
1
)，B(x
2
,y
2< br>)，则y
1
?y
2
?4m，y
1
y
2
??4a，
P点坐标为B(y
2
?3,y
2
)，因为AP过定点C，
y?2
y?2
所以
2
?
1
，又x
1
?my
1
?a，
y
2
?3?1
x
1
?1
所以(m?1)y
1
y
2
?(2m?4)y
1
?(a?1 )y
2
?2a?6?0． ……5分
将y
1
y
2
??4a，y
2
?4m?y
1
代入上式，得(?2m?3?a)y
1
?(2a?4m?6)?0．
即(?2m?3?a)(y
1
?2)?0．
因此式对任意y
1
≠2都成立，所以?2m?3?a?0，即3?2m?a，
因此直线x?my?a过定点Q(3,2)． ……10分
（2）由（1）可设直线AB的方程为x?3?m(y?2)，
与抛物线方程联 立得y
2
?4my?4(2m?3)?0．则y
1
?y
2
? 4m，y
1
y
2
?4(2m?3)，
S
△
ABC
?
1
|CQ|?|y
1
?y
2
|?|y
1
?y
2
|?
(y
1
?y
2
)
2< br>?4y
1
y
2
?4
(m?1)
2
?2
．??
2
所以当m?1时，△ABC面积的最小值为4
2
． ……20分
2016年全国高中数学联赛（四川初赛）第7页 （共8页）

16、已知
a
为实数，函数f(x)?|x
2
?ax|?lnx， 请讨论函数f(x)的单调性．
解：由条件知函数
f(x)
的定义域为
(0 ,??)
．?
（???若a≤0，则f(x)? x
2
?ax?lnx， < br>12x
2
?ax?1
??于是
f
?
(x)?2x?a ??
，令
f
?
(x)?0
，得?
xx
a?a
2
?8a?a
2
?8
x
1
??0
，
x< br>2
??0
．
44
a?a
2
?8a?a
2< br>?8
所以，
f(x)
在(0,)上单调递减，在(,?∞)上单调递增．……5 分
44
?
x
2
?ax?lnx,当x≥a时
?
（2）若a＞0，则f(x)?
?
2
?，
?x?ax?lnx,当0＜x＜a时
?
?
2
① 先讨论g(x)?x?ax?lnx (x≥a)的单调性．
a?a
2
?8
1
2x
2
?ax?1
g′ (x)?2x?a??．令g′ (x)?0，得x?＞0，
4
x
x
a?a
2
?8
当＞a
，
即a＜1时，
4
a?a
2
?8a?a
2
?8
g(x)在(a,)上单调递减，在(,?∞)上单调递 增；
44
a?a
2
?8
当≤a
，
即a≥1时，g (x)在(a,?∞)上单调递增． ……10分
4
② 再讨论当a＞0时，h(x)??x
2
?ax?lnx (0＜x＜a)的单调性．
1
?2x
2
?ax?1
h′ (x)??2x?a??．
x
x
当??a
2
??≤0，即0＜a≤
22
时，h′ (x)≤0，h(x)在(0, a)上单调递减；
当??a
2
??＞0，即a＞
22
时，
a?a
2
?8a?a
2
?8
?a
， 令h′(x)? 0，得
0?x
1
?
＜a，
0?x
2
?
44
a?a
2
?8a?a
2
?8
所以h(x) 在(0,)，(,a)上单调递减，
44
a?a
2
?8a?a
2< br>?8
在(,)上单调递增． ……15分
44
综上可得：
a?a
2
?8a?a
2
?8
① 当a＜1时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,?∞)上单调递增；
44
② 当1≤a≤
22
时，f(x)在(0, a)上单调递减，在(a,?∞)上单调递增；
a?a
2
?8a?a
2
?8
③ 当a＞
22
时，f(x)在(0,)，(,a)上单调递减，
44
a?a< br>2
?8a?a
2
?8
在(,)，(a,?∞)上单调递增． ……20分
44



2016年全国高中数学联赛（四川初赛）第8页 （共8页）