2014年广东省高中数学竞赛(高数联预赛)试题参考答案

2014年广东省高中数学竞赛试题参考答案

题 号
得 分
评卷人
复核人

（考试时间：2014年6月21日上午10：00－11：20）
二
一 合 计
9 10 11



注意事项：
1．本试卷共二大题，全卷满分120分。 2．用圆珠笔或钢笔作答。
3．解题书写不要超过装订线。 4．不能使用计算器。

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．
1．设集合A?xax?2?0,B?
?
?1,2
?
，满足
A?B
，则实数
a
的所有可能取值为 ．
解：当
A??
时，< br>a?0
；当
A??
时，
A?
?
?
?
，
?
故应填
?1,0,2
．
2．袋中装有大小、形状相同的5个红 球，6个黑球，7个白球，现在从中任意摸出14个球，
刚好摸到3个红球的概率是 ．
311
C
5
C
13
13
13
解：P?
，故应填．
?
14
51
C
18
51??
?
2
?
?
a
?
2
??1
或
2
，即
a?2
或
?1

a
?
1 3
?
?
3．复数
?
?
?
22
i
?
??
6n
6n
?
n?N
?
?
的值是 ．
6n
?
13
?
??
??
解：
?
?cos?isin
?
?cos2n
?
?isin2n
?
?1
，故应填
1
．
?
22
i
?
?
?
?
33
??
??
?
1?x?y?3,
2
4．已知
?
则
2x?3y
的最大值是 ．
?
? 1?x?y?1.
解：令
2x?3y??3b
，则
y?
当
x ?2,y?1
时，
2x?3y


2
y
2
2
x?b

3
?
2
?
max
?5
，故应填
5
．
Ox
b

5．已知各项均为正数的等比数列
?
a
n
?
满足：
a
2
?a
3
?14,a
1
a2
a
3
?343
，则数列
?
a
n
?< br>
的通项公式为 ．
7
?
2
?
? a
2
?a
3
?14,
?
a
1
q?a
1
q?14,
?
a
1
?,
解：
?
，即< br>?
，解之
?
3

33
aaa?343.
?< br>123
?
?
?
a
1
q?343.
?
q?3.
7
a
n
?a
1
q
n?1
??3< br>n?1
?7?3
n?2
，故应填
a
n
?7?3
n?2
．
3
6．已知
?
为锐角，向量
a?
?< br>cos
?
,sin
?
?
,b?
?
1,?1< br>?
满足
a?b?
22
，则
3
5
?
??
sin
?
?
?
?
?
． < br>12
??
解：
0?
?
22
?
?
2< br>?
?a?b?cos
?
?sin
?
，即
cos
?
?
?
?
?
，且
0?
?
?
< br>4
3
4
?
3
?
?
?
?
?< br>45
??
．
sin
?
?
?
?
?1 ?cos
2
?
?
?
?
?1??
4
?
4
?
93
??
5
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
??
?
?
???
sin
?
?
??sin
?
???sin
?
?co s?cos
?
?
???????
sin

??
12
?
4
?
6
?
4
?
64
?
6
???
?
?
?
5321151
151
?????
，故应填
?
．
323263
63
22
7．若方程
x?xy?2y?x?a?0
表示两条直线，则
a
的值是 ．
解：令
x?xy?2y?x?a?
?
x?y?m
??
x ?2y?n
?
，则
22
1
?
m?
?
3< br>?
m?n?1
?
2
2
?
?
?
n?2 m?0
，解之
?
n?
，故应填．
3
9
?
?
mn?a
?
2
?
a?
?
9
?
8 ．已知
?
2?1
?
21
?a?b2
，其中
a
和
b
为正整数，则
b
与27的最大公约数是 ．
nn
解：令
a
n
1?2
?
?
?
1?2< br>??
?
22
，则
a
n?1
?2a
n
?a
n?1
,a
1
?1,a
2
?2
，

2
2
?3
?
?23
?
mod27< br>?
，
a
3n
?a
n
8a
n
?3< br>?
?1
?
，
b?a
21
?a
7
?< br>8a
7
n
??
?
b,27
?
?
?< br>a
21
,27
?
?
?
23,27
?
?1
，故应填
1
．
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
9．（本题满分16分）

得分
矩形
ABCD中，
AB?2,AD?4
，
E,F
分别在
AD,BC

评卷人


上，且< br>AE?1,BF?3
，将四边形
AEFB
沿
EF
折起，使点< br>B
在
平面
CDEF
上的射影
H
在直线
DE
上．求二面角
A?DE?F
的大小．
B













AED
A
B
F
C

H
E
FC
D

解：如图1，延长
FE、BA
相交于点
O
,连结
OH
，过
A
作
AG?OH,垂足为
G
,则
AG?平面CDEF
，过
G
作
GQ?EH
，垂足为
Q
，连结
AQ
，则由三垂线定理可得
AQ?EH
，
?AQG
为二面角
A?DE?G
的平面角．
? AGE
与
?BHF
关于点
O
位似，
位似比为







O




1
，
GH?2OG
，
BH?3AG
.
3
B
O
G
A
A
Q
E
H
P
D
G
E
Q
P
H
D
FC
B
F

C




图1
图2

如图2，
BP?
OF3
91
，
PH?PE?BE
2?BP
2
?5??
；
?
2
2
2
2< br>如图1，
BH?BP
2
?PH
2
?
91
22
??2
，
AG?
，又图2知
GQ?
，
33
22
，

4
3
?
故
二面角
A?DE?F
的大小为．
4

即
AG?GQ
，于是
?AQG?
10．（本题满分20分）

得分
?
22
xy
??1< br>的右焦点
F
作直线交椭圆
C
于
评卷人




过椭圆
C:
2516

A、B
两点，已知
AB?8
，试求直线
AB
的方程． ?
x
1
2
y
1
2
??1
?
?
2516
解：令
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，直线
A B
的斜率为
k
，则
?
2

2
?
x
2
?
y
2
?1
?
?
2516
两式 相减并整理得
k
y
1
?y
2
16
??
< br>x
1
?x
2
25
10
3
?
25?
3
?
25
?
x?x?
得
?x??x
12
1
?
2
???
3
5
?
353
???
由
8?AB?AF?BF?
32
y
1
?y
2
?
25
2
又
k?

?
15k
解 得
k??
x
1
?x
2
10
5
?6
?3
3
2
32
?8
不合题意， 若
k
不存在，则< br>AB?
5
故所求直线
AB
的方程为
y??








25
?
x?3
?
．
5

11．（本题满分20分）

得分
?
1
?

评卷人




已知不等式
?
1?
?
?
n
?

数
a
的取值范围．
n?a
?e
对任意正整数
n< br>都成立，试求实
?
1
?
解：由
?
1?
??
n
?
n?a
?e
得
a?n?
1
?< br>1
?
ln
?
1?
?
?
n
?
，令
f
?
x
?
?x?
1
?
1
?< br>ln
?
1?
?
?
x
?
?
x?0?
，则
1
1?
1
1
x
，
f'?
x
?
?1??1?
11
????
ln
2?
1?
?
x
2
?x
?
ln
2
?
1?
?
?
?
x
??
x
?
利用不 等式
0?ln
?
1?
?
1
x
2
?
?
1
?
?
?
x
?
1
x?x
2?
x?0
?
得
f'
?
x
?
?0
，
11
，则
x?
，
xt?1
从而
f
?
x
?
?x?
1
?
1
?
ln
?
1?
?
?
x
?
?
x?0
?
是减函 数，令
t?1?
1
?
lnt?t?11?t
?
1

limf
?
x
?
?lim
?
??lim?lim? lim
?
t?1x???t?1
t?1
t?1t?1
1
ln t
?
tlnt?lnttlnt?t?1
?
lnt?1?
t
?11
?lim??
．
t?1
lnt?1?12
1
故实数
a
的取值范围为
a??
．
2
1
?1
t