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广东省东莞市2020年高中数学竞赛决赛试题新人教A版

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 12:35
tags:高中数学联赛试题

高中数学说题轨迹方程-高中数学特殊符号E

2020年9月22日发(作者:茹遂初)


2020年东莞市高中数学竞赛决赛试题

一、选择题(本大题共6小题,每 小题6分,共36分.每小题各有四个选择支,仅有一个选
择支正确.请把正确选择支号填在答题表的相 应位置.)
1.若集合
M?{a,b,c}
中的元素是
?ABC
的 三边长,则
?ABC
一定不是( )
A.锐角三角形
?
B.直角三角形
?
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.设
cos100?k
,则
tan80
=( )
1?k
2
k
1?k
2
1?k
2
A. B.
?
C.
?
D.
?

2< br>k
k
k
1?k
3.如图,一个空间几何体的正视图,左视图,俯视图均 为全等的等腰直角三角形,如果直角
三角形的直角边长都为1,那么这个几何体的体积为( )


正视图
A.
左视图 俯视图
111
B. C. D.1
632
2222
4. 若
A

B
两点分别在圆x?y?6x?16y?48?0和x?y?4x?8y?44?0
上运
动,则
| AB|
的最大值为( )
A.13 B.19 C.32 D.38
5.设
x
1
,x
2是函数
f(x)?2008
定义域内的两个变量,且
x
1
?x< br>2
,若
a?
么,下列不等式恒成立的是( )


A.
|f(a)?f(x
1
)|?|f(x
2
)?f(a) |

C.
|f(a)?f(x
1
)|?|f(x
2
)?f(a)|

B.
f(x
1
)f(x
2
)?f(a)

D.
|f(a)?f(x
1
)|?|f(x
2
)?f(a)|

2
x
1
(x
1
?x
2
)
,那2
6.已知函数
f(n)?cos
A.1
f(1)?f(2)???f(2008)
n
?
?
( ) < br>(n?N*)
,则
f(10)?f(21)?f(32)?f(43)
5
B.0 C. -1 D.4
二、填空题(本大题共6小题,每小题6分,共36分.请把答案填在答题卡相应题的横线上.)


7.右图的发生器对于任意函数
f
?
x
?

x?D
可制造出一
系列的数据,其工作原理如下:①若输入数据
x
0
?D

则发生器结束工作;②若输入数据
x
0
?D
时,则发生
器 输出
x
1
,其中
x
1
?f
?
x
0
?
,并将
x
1
反馈回输入端.现
定义
f
?
x
?
?2x?1
,
D?(0,50)
.若输入
x
0
?1
,那么,
当发生器结束工作时,输出数据的总个数为 .
输入
x
0

x
0
?x
1

输出
x
1

x
1
?f(x
0
)

x
0
?D


结束

(第7题图)
8.若点(1,1)到直线
xcos
?
?ysin
?
?2< br>的距离为
d
,则
d
的最大值是 .
9. 从[0,1]之间选出两个数,这两个数的平方和小于0.25的概率是_______.
10.函数
y?x
2
?x?
1

x?
?
n,n?1< br>?
,其中
n
为正整数)的值域中共有2020个整数,则正
2
整数
n?
.
11. 把1,2,3,…,100这100个自然 数任意分成10组,每组10个数,将每组中最大的数
取出来,所得10个数的和记为
S
.若
S
的最大值为
M
,最小值为
N
,则
M?N?
.
12.设集合
A?xx
2
?
?
x
?
?2

B?xx?2
,其中符号
?
x
?
表示不大于x的最大整数,则
??
??
A?B?
.
三、解答题(本大题共6小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
13.(本小题满分12分)
已知向量
AB?(1?tanx,1?tanx)< br>,
AC?(sin(x?
(1)求证:
?BAC
为直角;
(2)若
x?[?











?
4
),sin(x?
?
4
))

??
,]
,求
?ABC
的边
BC
的长度的取值范围.
44


14.(本小题满分12分)
已知函数
f(x)?ax ?(a?2)x?1
.若
a
为整数,且函数
f(x)

(? 2,?1)
内恰有一个零
点,求
a
的值.













15.(本小题满分12分)

A

B
是函数
y?log
2
x
图象上两点, 其横坐标分别为
a

a?4
, 直线
l:x?a?2
与函数
y?log
2
x
的图象交于点
C
, 与直线
AB
交于点
D
.
(1)求点
D
的坐标;
(2)当
?ABC
的面积大于1时, 求实数
a
的取值范围.

























2


16.(本小题满分14分)
如图,在正方体
ABCD? A
1
B
1
C
1
D
1
中,
E

F
分别
为棱
AD

AB
的中点.
(1)求证:
EF
∥平面
CB
1
D
1

(2)求证:平面
CAA
1
C
1
⊥平面
CB
1
D
1

(3)如果
AB?1
,一个动点从点
F
出发在正方体的
A
1
D
1
B
1
C
1
E
A
D
F

B
C
表面上依次经过棱
BB
1

B
1
C
1

C
1D
1

D
1
D

DA
上的点,最终又 回到点
F
,指
出整个路线长度的最小值并说明理由.














17.(本小题满分14分)
已知以点
C(t,)(t?R,t?0)< br>为圆心的圆与
x
轴交于
O、A
两点,与
y
轴交于O

B

两点,其中
O
为坐标原点.
(1)求证:
?OAB
的面积为定值;
(2)设直线
y??2x? 4
与圆
C
交于点
M、N
,若
|OM|?|ON|
, 求圆
C
的方程.






2
t






18.(本小题满分14分)
对于函数
f(x)
,若
f(x)?x
,则称
x

f(x)
的“不动点”,若
f( f
?
x
?
)?x
,则称
x

f(x)的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为
A

B
, 即
A?
?
x|f
?
x
?
?x
?

B?x|f
?
f
?
x
?
?
?x
.
(1)求证:
A?B

(2)若
f
?
x
?
?ax
2
?1
?
a?R,x?R
?
,且
A?B??
,求实数
a
的取值范围;
(3)若
f(x)

R
上的单调递增函数,
x
0
是函数的稳定点,问
x
0
是函数的不动点吗?若
是,请证明你的结论;若不是,请说明的理由.





??
2020年东莞市高中数学竞赛决赛
参 考 答 案
一、选择题D B A C D C
二、填空题
7.5 8.
2?
三、解答题
13.(1)证明:因为
AB?AC?(1?tanx)sin(x?
2
9.
?
10.1003 11.1505 12.
{?1,3}

16
?
4
)?(1?tanx)si n(x?
?
4
)


?
2cosx?sinxcosx?sinx
[(sinx?cosx)?(sinx ?cosx)]

2cosxcosx
?
0, …………4分
?
所以
AB?AC
,即
?BAC?90
. …………5分
所以
?ABC
是直角三角形. …………6分
(2)解:
|AC|?sin(x?
2
?
)?sin
2
(x?)?1

44
?
因为
?ABC
是直角三角形,且
AB?AC

所以
|BC |
2
?|AB|
2
?|AC|
2
?3?2tan
2
x
…………9分
又因为
x?[?
??
,]

0?tan
2
x?1

44


所以
3?|BC|?5

所以,
BC
长度的取值范围是

14.解:(1)
a?0< br>时,令
f(x)??2x?1?0

x?
…………2分
(2 )
a?0
时,由
f(x)?ax?(a?2)x?1,??(a?2)?4a?a?4 ?0
恒成立,

f(x)?ax?(a?2)x?1
必有两个零点. …………5分

f(?2)?0
,解得
a??
2
2
?
3,5
?
. …………12分
1
,所以
f(x)

(?2,?1)
内没有零点;
2
22
53
?Z
;若
f(?1)?0
,解得
a? ??Z

62
所以
f(?2)f(?1)?0
. …………7分
又因为函数
f(x)

(?2,?1)
内恰有一个零点,
所以
f(?2)f(?1)?0

(6a?5)(2a?3)?0
. …………10分
解得
?

a?Z,
35
?a??,

26
?a??1

综上所述,所求整数
a
的值为
?1
. …………12分

15.解:(1)易知D为线段AB的中点, 因
A(a,log
2
)

B(a?4,log
2
所以由中点公式得
D(a?2,log
2
a(a?4)
a
(a?4)
)

)
. …………2分
(2)连接AB,AB与直线
l: x?a?2
交于点D,D点的纵坐标为
y
D
?
1
(log< br>2
a?log
2
(a?4))
. ………
2
…4分
所以
S
?ABC
?S
?ACD< br>?S
?BCD

?
1
|CD|?(2?2)

2
?2|CD|

?2
?
log
2
(a?2)?(log
2
a?log< br>2
(a?4))
?

2
??
?
1
?


(a?2)
2
= log
2
…………8分
a(a?4)
(a?2)
2
由S

ABC
= log
2
>1, 得
0?a?22?2
, …………10分
a(a?4)
因此, 实数a的取值范围是
0?a?22?2
. …………12分

16.(1)证明:连结
BD
.
在正方体
AC
1
中,对角线
BDB
1
D
1
.

Q
E、F为棱AD、AB的中点,

?EFBD
.

?EFB
1
D
1
. …………2分
又B
1
D
1
?
?
平面
C B
1
D
1

EF?
平面
CB
1
D
1

?
EF∥平面CB
1
D
1
. …………
4分
(2)证明:
Q
在正方体
AC
1
中,AA
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1

而B
1
D
1
?
?
平面A
1
B
1
C
1
D
1

?
AA
1
⊥B
1
D
1
.
又< br>Q
在正方形A
1
B
1
C
1
D
1中,A
1
C
1
⊥B
1
D
1

?
B
1
D
1
⊥平面CAA
1
C
1
. …………6分

Q
B
1
D
1
?
?
平面CB
1
D
1

F
?
平面CAA
1< br>C
1
⊥平面CB
1
D
1
. …………8分
(3)最小值为
32
. …………10分
F
如图,将正方体六个面展开成平面图形, …………
12分
从图中F到F,两点之间线段最短,而且依次经过棱BB
1
、B
1
C
1
、C
1
D
1
、D
1< br>D、DA上的中
点,所求的最小值为
32
. …………14分

17.解:(1)
?圆C过原点O

?OC?t?
4

t
2
2
2
4
22
设圆
C
的方程是
(x?t)?(y?)?t?
2

t
t
22



x?0
,得
y
1
?0,y
2
?
4
;令< br>y?0
,得
x
1
?0,x
2
?2t
. …………2分
t
?S
?OAB
?
114
OA?OB??| |?|2t|?4
,即:
?OAB
的面积为定值. ……4分
22t
(2)
?|OM|?|ON|,|CM|?|CN|,
? OC
垂直平分线段
MN
.

?k
MN
??2,?k
oc
?
?
11

?
直线
OC
的方程是
y?x
.…………6分
22
21
?t
,解得:
t?2或t??2
. …………8分
t2
5
, 当
t?2
时,圆心
C
的坐标为
(2,1)

OC?
此时
C
到直线
y??2x?4
的距离
d?
1
5?5


C
与直线
y??2x?4
相交于两点. …………10分

t??2
时,圆心
C
的坐标为
(?2, ?1)

OC?
此时
C
到直线
y??2x?4
的距 离
d?
5

9
5
?5


C
与直线
y??2x?4
不相交,
?t??2
不符合题意舍去. …………13分
?

C
的方程为
(x?2)
2
?(y?1)
2
?5
. …………14分

18.解:(1)若
A??
,则
A?B
显然成立;若
A??
,设
t?A
,则
f
?
t
?
?t,f
?
f
?
t
?
?
?f
?
t
?
?t

?t?B
,故
A?B
. …………4分
2
1
2
2
(2)
QA??,?ax?1?x
有实根,
?a??
.又
A?B
,所以
a
?
ax?1
?
?1?x

4

ax?2ax?x?a?1? 0
的左边有因式
ax?x?1

从而有
ax
2
? x?1a
2
x
2
?ax?a?1?0
. …………6分
34222
????
QA?B

?a
2x
2
?ax?a?1?0
要么没有实根,要么实根是方程
ax
2
?x?1?0
的根.若
a
2
x
2
?ax?a?1? 0
没有实根,则
a?
3
22
;若
ax?ax?a?1?0< br>有实根且实根是方程
4
22222
ax
2
?x?1?0
的根,则由方程
ax?x?1?0
,得
ax?ax?a
,代入
ax ?ax?a?1?0



2ax?1?0
.由此 解得
x??
围是
?
?
1113
,再代入得
??1? 0
,由此
a?
,故a的取值范
2a4a2a4
?
13
?
,
?
. …………10分 < br>44
??
(3)由题意:
x
0
是函数的稳定点则
f< br>?
f
?
x
0
?
?
?x
0
, 设
f
?
x
0
?
?x
0

f
?
x
?

R
上的单调增函数,

f
?< br>f
?
x
0
?
?
?f
?
x
0
?
,所以
x
0
?f
?
x
0
?,矛盾.若
x
0
?f
?
x
0
?
f
?
x
?

R
上的单调增函数,则
f
?
x
0
?
?f
?
f
?
x
0
?
?
,所以
f
?
x
0
?
?x
0
,矛盾,故
f
?
x
0
?
?x
0
, 所以
x
0
是函数的不动点.
14分

…………

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