广东省东莞市2020年高中数学竞赛决赛试题新人教A版

2020年东莞市高中数学竞赛决赛试题

一、选择题（本大题共6小题，每 小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选
择支正确．请把正确选择支号填在答题表的相 应位置．）
1．若集合
M?{a,b,c}
中的元素是
?ABC
的 三边长，则
?ABC
一定不是（ ）
A．锐角三角形
?
B．直角三角形
?
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．设
cos100?k
，则
tan80
=（ ）
1?k
2
k
1?k
2
1?k
2
A． B．
?
C．
?
D．
?

2< br>k
k
k
1?k
3．如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图均 为全等的等腰直角三角形，如果直角
三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的体积为（ ）


正视图
A．
左视图 俯视图
111
B． C． D．1
632
2222
4． 若
A
、
B
两点分别在圆x?y?6x?16y?48?0和x?y?4x?8y?44?0
上运
动，则
| AB|
的最大值为（ ）
A．13 B．19 C．32 D．38
5．设
x
1
,x
2是函数
f(x)?2008
定义域内的两个变量，且
x
1
?x< br>2
，若
a?
么，下列不等式恒成立的是（ ）


A．
|f(a)?f(x
1
)|?|f(x
2
)?f(a) |

C．
|f(a)?f(x
1
)|?|f(x
2
)?f(a)|

B．
f(x
1
)f(x
2
)?f(a)

D．
|f(a)?f(x
1
)|?|f(x
2
)?f(a)|

2
x
1
(x
1
?x
2
)
，那2
6．已知函数
f(n)?cos
A．1
f(1)?f(2)???f(2008)
n
?
?
（ ） < br>(n?N*)
，则
f(10)?f(21)?f(32)?f(43)
5
B．0 C． -1 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）

7．右图的发生器对于任意函数
f
?
x
?
，
x?D
可制造出一
系列的数据，其工作原理如下：①若输入数据
x
0
?D
，
则发生器结束工作；②若输入数据
x
0
?D
时，则发生
器 输出
x
1
，其中
x
1
?f
?
x
0
?
，并将
x
1
反馈回输入端.现
定义
f
?
x
?
?2x?1
,
D?(0,50)
.若输入
x
0
?1
,那么,
当发生器结束工作时,输出数据的总个数为 ．
输入
x
0

x
0
?x
1

输出
x
1

x
1
?f(x
0
)

x
0
?D

否
结束
是
（第7题图）
8．若点（1,1）到直线
xcos
?
?ysin
?
?2< br>的距离为
d
，则
d
的最大值是 ．
9. 从[0，1]之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25的概率是_______．
10．函数
y?x
2
?x?
1
（
x?
?
n,n?1< br>?
，其中
n
为正整数）的值域中共有2020个整数，则正
2
整数
n?
.
11. 把1，2，3，…，100这100个自然 数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的数
取出来，所得10个数的和记为
S
.若
S
的最大值为
M
，最小值为
N
，则
M?N?
.
12．设集合
A?xx
2
?
?
x
?
?2
，
B?xx?2
，其中符号
?
x
?
表示不大于x的最大整数，则
??
??
A?B?
.
三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
13．（本小题满分12分）
已知向量
AB?(1?tanx,1?tanx)< br>，
AC?(sin(x?
（1）求证：
?BAC
为直角；
（2）若
x?[?











?
4
),sin(x?
?
4
))
．
??
,]
，求
?ABC
的边
BC
的长度的取值范围．
44

14．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?ax ?(a?2)x?1
.若
a
为整数，且函数
f(x)
在
(? 2,?1)
内恰有一个零
点，求
a
的值.













15．（本小题满分12分）
设
A
、
B
是函数
y?log
2
x
图象上两点, 其横坐标分别为
a
和
a?4
, 直线
l:x?a?2
与函数
y?log
2
x
的图象交于点
C
, 与直线
AB
交于点
D
.
(1)求点
D
的坐标；
(2)当
?ABC
的面积大于1时, 求实数
a
的取值范围.

























2

16．（本小题满分14分）
如图，在正方体
ABCD? A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
、
F
分别
为棱
AD
、
AB
的中点．
（1）求证：
EF
∥平面
CB
1
D
1
；
（2）求证：平面
CAA
1
C
1
⊥平面
CB
1
D
1
；
（3）如果
AB?1
，一个动点从点
F
出发在正方体的
A
1
D
1
B
1
C
1
E
A
D
F

B
C
表面上依次经过棱
BB
1
、
B
1
C
1
、
C
1D
1
、
D
1
D
、
DA
上的点，最终又 回到点
F
，指
出整个路线长度的最小值并说明理由.














17．（本小题满分14分）
已知以点
C(t,)(t?R,t?0)< br>为圆心的圆与
x
轴交于
O、A
两点，与
y
轴交于O
、
B

两点，其中
O
为坐标原点.
（1）求证：
?OAB
的面积为定值；
（2）设直线
y??2x? 4
与圆
C
交于点
M、N
，若
|OM|?|ON|
， 求圆
C
的方程.






2
t

18．（本小题满分14分）
对于函数
f(x)
，若
f(x)?x
，则称
x
为
f(x)
的“不动点”，若
f( f
?
x
?
)?x
，则称
x
为
f(x)的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为
A
和
B
， 即
A?
?
x|f
?
x
?
?x
?
，
B?x|f
?
f
?
x
?
?
?x
.
（1）求证：
A?B
；
（2）若
f
?
x
?
?ax
2
?1
?
a?R,x?R
?
，且
A?B??
，求实数
a
的取值范围；
（3）若
f(x)
是
R
上的单调递增函数，
x
0
是函数的稳定点，问
x
0
是函数的不动点吗？若
是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.





??
2020年东莞市高中数学竞赛决赛
参 考 答 案
一、选择题D B A C D C
二、填空题
7．5 8．
2?
三、解答题
13．（1）证明：因为
AB?AC?(1?tanx)sin(x?
2
9．
?
10．1003 11．1505 12．
{?1,3}

16
?
4
)?(1?tanx)si n(x?
?
4
)


?
2cosx?sinxcosx?sinx
[(sinx?cosx)?(sinx ?cosx)]

2cosxcosx
?
0， …………4分
?
所以
AB?AC
，即
?BAC?90
． …………5分
所以
?ABC
是直角三角形． …………6分
（2）解：
|AC|?sin(x?
2
?
)?sin
2
(x?)?1
，
44
?
因为
?ABC
是直角三角形，且
AB?AC
，
所以
|BC |
2
?|AB|
2
?|AC|
2
?3?2tan
2
x
…………9分
又因为
x?[?
??
,]
，
0?tan
2
x?1
，
44

所以
3?|BC|?5
．
所以，
BC
长度的取值范围是

14．解：（1）
a?0< br>时，令
f(x)??2x?1?0
得
x?
…………2分
（2 ）
a?0
时，由
f(x)?ax?(a?2)x?1,??(a?2)?4a?a?4 ?0
恒成立，
知
f(x)?ax?(a?2)x?1
必有两个零点． …………5分
若
f(?2)?0
，解得
a??
2
2
?
3,5
?
． …………12分
1
，所以
f(x)
在
(?2,?1)
内没有零点；
2
22
53
?Z
；若
f(?1)?0
，解得
a? ??Z
，
62
所以
f(?2)f(?1)?0
． …………7分
又因为函数
f(x)
在
(?2,?1)
内恰有一个零点，
所以
f(?2)f(?1)?0
即
(6a?5)(2a?3)?0
． …………10分
解得
?
由
a?Z,
35
?a??,

26
?a??1

综上所述，所求整数
a
的值为
?1
． …………12分

15．解：（1）易知D为线段AB的中点, 因
A(a,log
2
)
，
B(a?4,log
2
所以由中点公式得
D(a?2,log
2
a(a?4)
a
(a?4)
)
，
)
． …………2分
（2）连接AB，AB与直线
l: x?a?2
交于点D，D点的纵坐标为
y
D
?
1
(log< br>2
a?log
2
(a?4))
． ………
2
…4分
所以
S
?ABC
?S
?ACD< br>?S
?BCD

?
1
|CD|?(2?2)

2
?2|CD|

?2
?
log
2
(a?2)?(log
2
a?log< br>2
(a?4))
?

2
??
?
1
?

(a?2)
2
= log
2
…………8分
a(a?4)
(a?2)
2
由S
△
ABC
= log
2
>1, 得
0?a?22?2
， …………10分
a(a?4)
因此, 实数a的取值范围是
0?a?22?2
. …………12分

16．（1）证明:连结
BD
.
在正方体
AC
1
中，对角线
BDB
1
D
1
.
又
Q
E、F为棱AD、AB的中点，

?EFBD
.

?EFB
1
D
1
. …………2分
又B
1
D
1
?
?
平面
C B
1
D
1
，
EF?
平面
CB
1
D
1
，
?
EF∥平面CB
1
D
1
. …………
4分
（2）证明:
Q
在正方体
AC
1
中，AA
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1
，
而B
1
D
1
?
?
平面A
1
B
1
C
1
D
1
，
?
AA
1
⊥B
1
D
1
.
又< br>Q
在正方形A
1
B
1
C
1
D
1中，A
1
C
1
⊥B
1
D
1
，
?
B
1
D
1
⊥平面CAA
1
C
1
. …………6分
又
Q
B
1
D
1
?
?
平面CB
1
D
1
，
F
?
平面CAA
1< br>C
1
⊥平面CB
1
D
1
． …………8分
（3）最小值为
32
. …………10分
F
如图，将正方体六个面展开成平面图形， …………
12分
从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB
1
、B
1
C
1
、C
1
D
1
、D
1< br>D、DA上的中
点，所求的最小值为
32
. …………14分

17．解：（1）
?圆C过原点O
，
?OC?t?
4
．
t
2
2
2
4
22
设圆
C
的方程是
(x?t)?(y?)?t?
2

t
t
22

令
x?0
，得
y
1
?0,y
2
?
4
；令< br>y?0
，得
x
1
?0,x
2
?2t
. …………2分
t
?S
?OAB
?
114
OA?OB??| |?|2t|?4
，即：
?OAB
的面积为定值. ……4分
22t
（2）
?|OM|?|ON|,|CM|?|CN|,
? OC
垂直平分线段
MN
.

?k
MN
??2,?k
oc
?
?
11
，
?
直线
OC
的方程是
y?x
.…………6分
22
21
?t
，解得：
t?2或t??2
. …………8分
t2
5
， 当
t?2
时，圆心
C
的坐标为
(2,1)
，
OC?
此时
C
到直线
y??2x?4
的距离
d?
1
5?5
，
圆
C
与直线
y??2x?4
相交于两点． …………10分
当
t??2
时，圆心
C
的坐标为
(?2, ?1)
，
OC?
此时
C
到直线
y??2x?4
的距 离
d?
5
，
9
5
?5

圆
C
与直线
y??2x?4
不相交，
?t??2
不符合题意舍去． …………13分
?
圆
C
的方程为
(x?2)
2
?(y?1)
2
?5
. …………14分

18．解：（1）若
A??
，则
A?B
显然成立；若
A??
，设
t?A
，则
f
?
t
?
?t,f
?
f
?
t
?
?
?f
?
t
?
?t
，
?t?B
，故
A?B
. …………4分
2
1
2
2
（2）
QA??,?ax?1?x
有实根，
?a??
.又
A?B
，所以
a
?
ax?1
?
?1?x
，
4
即
ax?2ax?x?a?1? 0
的左边有因式
ax?x?1
，
从而有
ax
2
? x?1a
2
x
2
?ax?a?1?0
. …………6分
34222
????
QA?B
，
?a
2x
2
?ax?a?1?0
要么没有实根，要么实根是方程
ax
2
?x?1?0
的根.若
a
2
x
2
?ax?a?1? 0
没有实根，则
a?
3
22
；若
ax?ax?a?1?0< br>有实根且实根是方程
4
22222
ax
2
?x?1?0
的根，则由方程
ax?x?1?0
，得
ax?ax?a
，代入
ax ?ax?a?1?0
，

有
2ax?1?0
.由此 解得
x??
围是
?
?
1113
，再代入得
??1? 0
，由此
a?
，故a的取值范
2a4a2a4
?
13
?
,
?
. …………10分 < br>44
??
（3）由题意：
x
0
是函数的稳定点则
f< br>?
f
?
x
0
?
?
?x
0
， 设
f
?
x
0
?
?x
0
，
f
?
x
?
是
R
上的单调增函数，
则
f
?< br>f
?
x
0
?
?
?f
?
x
0
?
，所以
x
0
?f
?
x
0
?，矛盾.若
x
0
?f
?
x
0
?
，f
?
x
?
是
R
上的单调增函数，则
f
?
x
0
?
?f
?
f
?
x
0
?
?
，所以
f
?
x
0
?
?x
0
，矛盾，故
f
?
x
0
?
?x
0
， 所以
x
0
是函数的不动点.
14分

…………