北京市西城区教辅资料-学习探究诊断-高中数学选修2-1全本练习-含详细答案

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
北京市西城区学习探究诊断高中数学选修2-1
全本练习册及参考答案
第一章 常用逻辑用语
测试一 命题与量词
Ⅰ 学习目标

会判断命题的正误，理解全称量词与存在量词的意义．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．下列语句中不是命题的是( )
(A)团结就是力量 (B)失败乃成功之母
(C)世上无难事 (D)向雷锋同志学习
2．下列语句能作为命题的是( )
(A)3＞5 (B)星星和月亮 (C)高一年级的学生 (D)x
2
＋｜y｜＝0
3．下列命题是真命题的是( )
(A)y＝sin｜x｜是周期函数 (B)2≤3
(C)空集是集合A的真子集 (D)y＝tanx在定义域上是增函数
4．下列命题中真命题的个数是( )
①
?
x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；
③
?
x∈{x｜x是无理数}，x
2
是有理数．
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
5．下列语句中表示真命题的是( )
(A)x＞12 (B)函数
y?x
在(0，＋∞)上是减函数
1
2
(C)方程x
2
－3x＋3＝0没有实数根
x
2
?2x
(D)函数
y?
是奇函数
x?2
6．已知直线a，b和平面
??
，下列推导错误的是( ) < br>(A)
a?
?
?b?a
?
?
?
?
?
?a?b
(B)
a
?
?
?
?ab

?b?
?
?
a
?
?
?
?ab
< br>b?
?
?
(C)
?a?b
?
?
?a?
?
或
a
?

b?
?
?
(D)
7．下列命题是假命题的是( )
(A)对于非零向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b
(B)若｜a｜＝｜b｜，则a＝b
(C)若ab＞0，a＞b，则
(D)a
2
＋b
2
≥2ab
11
?

ab

1

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8．若命题“ax
2－2ax＋3＞0对x∈R恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是( )
(A)0≤a＜3 (B)0≤a≤3 (C)0＜a＜3 (D)0≤a＜
3

二、填空题
9．在R上定义运算
?
：x
?
y＝x(1－y )，若不等式(x－a)
?
(x＋a)＜1对于
?
x∈R均成立，
则 实数a的取值范围是______．
10．设A、B为两个集合，下列四个命题：
①A
?
B
?
对任意x∈A，有x
?
B
③A
?
?
B
?
A
?
B
②A
?
?
B
?
A∩B＝
?

④A
?
?
B
?
存在x∈A，使得x
?
B
其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上)
三、解答题
11．判断下列语句哪些是命题？如果是命题，是真命题还是假命题？
(1)末位数字是0的整数能被5整除；
(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；
(3)两直线平行则斜率相等；
(4)△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B；
(5)余弦函数是周期函数吗？



12．用符号“
?
”、“
?
”表达下列命题：
(1)实数的平方大于等于0；
(2)存在一个实数x，使x
3
＞x
2
；
(3)存在一对实数对，使2x＋3y＋3＜0成立．



13．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除；
(3)
?
x∈{x｜x∈Z}，log
2
x＞0．



参考答案
第一章 常用逻辑用语
测试一 命题与量词
1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A
9．
?
13
?a?
； 10．④
22
11．(1)是命题，是真命题 (2)是命题，是假命题 (3)是命题，是假命题

2

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(4)是命题，是真命题 (5)不是命题
12．(1)
?
x∈R，x
2
≥0．
(2)
?
x∈R，使x
3
＞x
2
．
(3)
?
(x，y)，x、y∈R，使2x＋3y＋3＜0成立．
13．(1)全称命题，真命题． (2)存在性命题，真命题． (3)存在性命题，真命题．
测试二 基本逻逻辑联结词
Ⅰ 学习目标

1．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．
2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．命题“菱形的对角线互相垂直平分”是( )
(A)简单命题 (B)“非p”形式的命题
(C)“p且q”形式的命题 (D)“p或q”形式的命题
2．下列结论中正确的是( )
(A)p是真命题时，“p且q”一定是真命题
(B)p是假命题时，“p且q”不一定是假命题
(C)“p且q”是假命题时，p一定是假命题
(D)“p且q”是真命题时，p一定是真命题
3．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )
(A)q一定是真命题 (B)q不一定是真命题
(C)p不一定是假命题 (D)p与q的真假相同
4．“xy≠0”是指( )
(A)x≠0且y≠0 (B)x≠0或y≠0
(C)x，y至少一个不为零 (D)x，y不都为零
5．命题
p:5
的值不超过2，命题
q:2
是无理数，则( )
(A)命题“p或q”是假命题
(C)命题“非p”是假命题
6．下列命题的否定是真命题的是( )
(A)
?
x∈R，x
2
－2x＋2≥0
(C)
?
x∈R，｜x－1｜＜0
7．下列命题的否定是真命题的是( )
(A)
?
x∈R，x
2
＝1
(C)
?
x∈R，x
2
－2x＋1＞0
(B)命题“p且q”是假命题
(D)命题“非q”是真命题
(B)所有的菱形都是平行四边形
(D)
?
x∈R，使得x
3
＋64＝0
(B)
?
x∈R，使得2x＋1≠0成立
(D)
?
x∈R，x是x
3
－2x＋1＝0的根
8．已知 U＝R，A
?
U，B
?
U，若命题
p:2?A
∪B，则命题 “
?
p”是( )
(A)
2
?
A
(C)
2
?
A∩B


(B)
2
∈
U
B
(D)
2
∈(
U
A)∩(
U
B)
9．由 下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题中，“p或q”为真、
“p且q ”为假、“非p”为真的是( )

3

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(A)p：11不是质数，q：6是18和15的公约数
(B)p：0∈N，q：{0}{－1，0}
(C)p：方程x
2
－3x＋ 1＝0的两根相同，q：方程2x
2
－2＝0的两根互为相反数
(D)p：矩形的对角线相等，q：菱形的对角线互相垂直
10．命题p：
?
a∈R，使方程x
2
＋ax＋1＝0有实数根，则“
?
p”形式的命题是( )
(A)存在实数a，使方程x
2
＋ax＋1＝0没有实数根
(B)不存在实数a，使方程x
2
＋ax＋1＝0没有实数根
(C)对任意实数a，使方程x
2
＋ax＋1＝0没有实数根
(D)至多有一个实数a，使方程x
2
＋ax＋1＝0有实数根
二、填空题
11．命题“
?
x∈A，x∈A∪B”的命题的否定是______________ __．
12．“l⊥
??
”的定义是“若
?
g
?
??
，l⊥g，则称l⊥
??
”，那么“直线l不垂直于平面
??
” 的
定义是_____________________________．
13．已知命题：“非空集合A的元素都是集合B的元素”是假命题．
那么给出下列命题：①“A中的元素都不是集合B的元素”；
②“A中有不属于B的元素”；
③“A中有B的元素”；
④“A中的元素不都是B的元素”．
其中真命题的序号是______．(将正确命题的序号都填上)
14．“A是B的子集”可 以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A，都有x∈B，则称A
?
B”．那
么“A 不是B的子集”可用数学语言表达为________________．
三、解答题
15．写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)质数都是奇数；
(2)
?
x∈R，3x－5＞2x；
(3)
?
A
?
U(U为全集)，
?
是集合A的真子集．



16．命题p：正方形是菱形；q：正方形是梯形．写出其构成的“p或q”，“p且q”，“非p”
形式的命题，并判断其真假．



测试二 基本逻辑联结词
1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C
11．
?
x∈A，但x
?
A∪B
12．
?
g
?
?
，l不垂直g，则称直线l不垂直于平面
??

13．②④
14．若
?
x∈A但x
?
B，则称A不是B的子集
15．解：(1)命题的否定：质数不都是奇数，真命题
(2)命题的否定：
?
x∈R，使3x－5≤2x，真命题
(3)命题的否 定：
?
A
?
U，
?
不是集合A的真子集，真命题

4

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16．答：p或q：正方形是菱形或梯形．(真命题)
p且q：正方形是菱形且是梯形．(假命题)
非p：正方形不是菱形．(假命题)
测试三 充分条件、必要条件与四种命题
Ⅰ 学习目标

1．了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．
2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．“两个三角形相似”的一个充分不必要条件是( )
(A)它们的面积相等 (B)它们的三边对应成比例
(C)这两个三角形全等 (D)这两个三角形有两个对应角相等
2．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
3．条件p：ac
2
＞bc
2
是条件q：a＞b
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
4．若条件甲：“
AB?DC
”，条件乙：“ABCD是平行四边形”，则甲是乙的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
5．若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的( )
(A)逆命题 (B)否命题
(C)逆否命题 (D)非四种命题关系
6．原命题的否命题为假，可判断( )
(A)原命题为真 (B)原命题的逆命题为假
(C)原命题的逆否命题为假 (D)都无法判断
7．已知集合 A＝{x｜x
2
－5x－6≤0}，B＝x｜x
2
－6x＋8≤0，则x∈A 是x∈B的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
8．在下列命题中，真命题是( )
(A)命题“若ac＞bc，则a＞b”
(B)命题“若a
n
是n的一次函 数，则数列{a
n
}是等差数列”的逆命题
(C)命题“若x＝3，则x
2
－4x＋3＝0”的否命题
(D)命题“若x
2
＝4，则x＝2”的逆命题
9．设x，y∈R，｜x－1｜＋(y－2)
2
≠0等价于( )
(A)x＝1且y＝2 (B)x＝1或y＝2
(C)x≠1或y≠2 (D)x≠1且y≠2
10．下列4组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是( )
(A)甲：a＞b，乙：
11
?

ab
(B)甲：ab＜0，乙：｜a＋b｜＜｜a－b｜

5

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(C)甲：a＝b，乙：
a?b?2ab

(D)甲：
?
?
0?a?1
?
0?a?b?2
，乙：
?

?
0?b?1
?
?1?a?b?1
二、填空题
11．原命 题“若x＜3，则x＜4”的逆否命题是_________________________.
1 2．“直线l∥平面
??
”是“直线l在平面
??
外”的_________ _________条件．
13．命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题是__________________.
14．“函数y＝x
2
＋bx＋c，x∈[1，＋∞)是单调函数”的充要条件是__ ________________．
15．举一个反例，说明命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是假命题：
____________________________________.
16．给出下列命题：
①“角平分线上的点到角的两边距离相等”的逆否命题
②“圆内接四边形的对角互补”的否命题
③“若ac＞bc，则a＞b”的逆命题
④“若a＋5∈Q，则a∈Q”的逆命题
其中正确的命题是______(请填入正确命题的序号)．
17．①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若a≤－1，则方程x
2
－2 ax＋a
2
?
＋a＝0有实数根”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A
?
B”的逆否命题．
其中正确的命题是______．(填上你认为正确的命题序号)
18．设全集为S，集合A，B
?
S，有下列四个命题：
①A∩B＝A； ②
s
A
?
s
B； ③(
s
B)∩A＝
?
； ④(
s
A)∩B＝
?
．
其中是命题A
?
B的充要条件的命题序号是______．
测试三 充分条件、必要条件与四种命题
1．C 2．B 3．A 4．B 5．B 6．B 7．B 8．D 9．C 10．D
11．若x≥4，则x≥3
12．充分不必要
13．若x≠0且y≠0，则xy≠0
14．b≥－2
15．
a?2,b ??2
都是无理数，但a＋b＝0是有理数；也可举例
a?1?2,b??2
等．
16．①②④
17．①③
18．①②③
第二章 圆锥曲线与方程
测试四 曲线与方程
Ⅰ 学习目标

1．了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．
2．初步掌握求曲线方程的基本方法．

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Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．在点A(4，4)，B(3，4)，C(－3，3)，
D(2,26 )
中，有几个点在方程x
2
－2x＋y
2
＝24
的曲线上( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2．方程x
2
＋3(y－1)
2
＝9的曲线一定( )
(A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称
(C)关于原点对称 (D)以上都不对 < br>3．已知等腰△ABC的底边两端点的坐标分别为B(4，0)，C(0，－4)，则顶点A的轨迹方程是( )
(A)y＝x (B)y＝x(x≠2) (C)y＝－x (D)y＝－x(x≠2)
4．方程log
(
2x
)
y＝1与下列方程表示同一曲线的是( )
(A)y＝2x(x≥0) (B)y＝2x(x＞0且
x?
?
1
)
2
(C)y＝2x(x＞0) (D)y＝2x(y＞0)
5．方程(2x－y－ 1)(3x＋2y＋1)＝0与方程(2x－y－1)
2
＋(3x＋2y＋1)
2＝0的曲线是( )
(A)均表示两条直线 (B)前者是两条直线，后者表示一个点
(C)均表示一个点 (D)前者是一个点，后者表示两条直线
二、填空题
6．直线x＋2y－9＝0与曲线xy＝10的交点坐标为______．
7．圆x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0(D
2
＋E
2
－4 F＞0)经过坐标原点的充要条件是______．
8．到两平行线l
1
：3x＋2 y－4＝0，l
2
：3x＋2y－8＝0距离相等的点的轨迹方程是______．
9．若动点P到点(1，1)的距离等于它到y轴的距离，则动点P的轨迹方程是______． 10．已知两定点A(－1，0)，B(3，0)，动点P满足
|PA|1
?
，则 动点P的轨迹方程是
|PB|2
________________________．
三、解答题
11．已知动点P到两定点M(1，3)，N(3，1)的距离平方之和为20，求动点P的轨迹方程．



12．试画出方程｜x＋｜y｜＝1的曲线，并研究其性质．



13．如图，设D为圆C：x
2
＋y
2－4x＋4y＋6＝0的圆心，若P为圆C外一动点，过P向圆C
作切线PM，M为切点，设
PM?2
，求动点P的轨迹方程．

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Ⅲ 拓展性训练
14．如图，已知点P(-3，0)，点Q在x轴上，点A在y轴上，且PA
?
AQ?0
，
QM?2AQ
．
当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．




8

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第二章 圆锥曲线与方程
测试四 曲线与方程
1．C 2．B 3．D 4．B 5．B
6．(5，2)，
(4,)
7．F＝0 8．3x＋2y－6＝0
9．
(y?1)?2(x?)
10．3x
2
＋3y
2
＋14x－5＝0
11．x
2
＋y
2
－4x－4y＝0．
12．方程的曲线如图．
2
5
2
1
2

(1)曲线的组成：由四条线段首尾连接构成的正方形；
(2)曲线与坐标轴的交点：四个交点分别是(1，0)、(0，1)、(－1，0)、(0，－1)；
(3)曲线的对称性：关于两坐标轴对称，关于原点对称
13．

圆C化简为：(x－2)
2
＋(y＋2)
2
＝2，
∴圆心D(2，－2)，半径
r?2
，
设点P(x，y)，由题意，得DM⊥PM，
∴｜PD｜
2
＝｜PM｜
2
＋｜DM｜
2
， ∵
PM?2
,
|DM|?
22
2
,
|PD|? 6
,
∴
(x?2)?(y?2)?6
，
故动点P的轨迹方程为(x－2)
2
＋(y＋2)
2
＝6．
14．设动点M(x，y)，A(0，b)，Q(a，0)，
∵P(－3，0)，
∴
PA?(3,b),AQ?(a,?b),QM?(x?a,y)
，

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∵
PA
?
AQ?0
，
∴(3，b)·(a，－b)＝0，即3a－b
2
＝0． ①
∵
QM?2AQ
，
∴(x－a，y)＝2(a，－b)，即x＝3a，y＝－2b． ②
由①②，得y
2
＝4x．
∴轨迹E的方程为y
2
＝4x．
测试五 椭圆A
Ⅰ 学习目标

1．理解椭圆的定义，掌握椭圆的两种标准方程．
2．掌握椭圆的几何性质，椭圆方程中的a ，b，c，e的几何意义、相互关系、取值范围
等对图形的影响．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．长半轴长为4，短半轴长为1，目焦点在x轴上的椭圆标准方程是( )
x
2
y
2
22
(A)(B)
x??y?1

?1

44
x
2
y
2
2．椭圆
? ?1
的焦点坐标是( )
1625
(A)(0，3)，(0，－3)
(C)(0，5)，(0，－5)
x
2
(C)
?y
2
?1

16
y
2
(D)
x??1

16
2
(B)(3，0)，(－3，0)
(D)(4，0)，(－4，0)
x
2
y
2
3．若椭圆则P到另一焦点F
2
的距离为 ( )
??1
上一点P到其焦点F
1
的距离为6，
1003 6
(A)4 (B)194 (C)94 (D)14
4．已知F
1
，F< br>2
是定点，
F
1
F
2
?8
，动点M满足｜M F
1
｜＋｜MF
2
｜＝8，则动点M的轨迹
是( )
(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
5．如果方程x
2
＋ky
2
＝1表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
(A)k＜1 (B)k＞1 (C)0＜k＜1 (D)k＞1，或k＜0
二、填空题 < br>6．经过点
M(3,?2)
，
N(?23,1)
的椭圆的标准方程是_ _____．
7．设a，b，c分别表示离心率为
大小关系是______．
1< br>的椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a、b、c的
2
x
2
y2
8．设P是椭圆
??1
上一点，若以点P和焦点F
1
、F2
为顶点的三角形的面积为1，
5
4
则点P的坐标为_______．
9．过椭圆4x
2
＋2y
2
＝1的一个焦点F
1
的 弦AB与另一个焦点F
2
围成的△ABF
2
的周长是
_______ ．
10．已知△ABC的周长为20，B(－4，0)，C(4，0)，则点A的轨迹方程是____ ________．

10

北京市西城区教辅-学习探究诊断- 高中版
三、解答题
x
2
y
2
11．设椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的两个焦点为F
1
，F
2
，点P在椭圆C上，且PF
1
⊥，
ab
414
F
1
F
2
，
|PF
，，求椭圆C的方程．
|?|PF|?
12
33



x
2y
2
12．已知椭圆
C
1
:??1
，设椭圆C
2
与椭圆C
1
的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆
10064
C2
的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C
1
的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C
2
的方程，并研究其性质．


x
2
y
2
13．设椭圆
C:
F
2
，点 P为C上的动点，若
PF
??1
的左右焦点分别为F
1
，
1
?
PF
2
?0

94
求点P的横坐标的取值范围



测试五 椭圆A
1．C 2．A 3．D 4．D 5．B
15
x
2
y
2
x
2
y
2
6．
,?1)
9．
22
10．
???1
7．a＞b＞c 8．
(?
?1(y?
?
0)

2
15
5
3620
11．因为点P在椭圆C上，所以2a＝｜PF
1
｜＋｜PF
2
｜＝6，所以a＝3．
在Rt△PF
1
F
2
中，
|F
1
F
2
|?|PF
2
|?|PF
1
|?25
，
故椭圆的半焦距
c?
22
5
，从而b
2
＝a
2
－c
2
＝4，
x
2
y
2
所以，椭圆C的方程为
??1
．
94
12．(1)长半轴长10，短半轴长8，焦点坐标(6，0)、(－6，0)，离心率
e?
3
；
5
y
2
x
2
(2)椭圆
C
2
:??1
，
10064
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴，y轴，原点对称；
③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；
④离心率：
e?
3
．
5
13．由题意，
F
1
(?5,0),F
2
(5,0)
，设P(x，y)，

11

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
则
PF< br>1
?(?5?x,?y),PF
2
?(5?x,?y)
，
2 2
所以
PF
1
?PF
2
?x?5?y?0
， x
2
y
2
4x
2
4x
2
22
由，代入上式，得
x?1???1
，得
y?4??0
，
9499
3535
解得
?
．
?x?
55
测试六 椭圆B
Ⅰ 学习目标

1．能初步应用椭圆的定义、几何性质解决与椭圆有关的简单问题．
2．通过解决与椭圆的有关问题，进一步体会数形结合的思想、函数与方程的思想．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
x
2
y
2
1．椭圆??1(m?2)
的焦点坐标是( )
m?5
m?2
(A)(±7，0) (B)(0，±7) (C)
(?7,0)
(D)
(0,?7)

2．过点(3，－2) 且与椭圆4x
2
＋9y
2
＝36有相同焦点的椭圆方程是( ) x
2
y
2
x
2
y
2
x
2y
2
(A)(B)
??1

??1
(C)
??1

5
1015101015
x
2
y< br>2
x
2
y
2
3．曲线
??1(k?9)
有相 同的( )
??1
与
259
25?k9?k
(A)短轴 (B)焦点 (C)长轴
x
2
y
2
(D)
??1

2520
(D)离心率
x
2
y
2
4．已知F(c ，0)是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的右焦点，设 b＞c，则椭圆C的离心率
ab
e满足( )
(A)
0?e?2
(B)
0?e?
2

2
(C)
0?e?
1

2
(D)
2
?e?1

2
5．已知两定点M(－1 ，0)、N(1，0)，直线l：y＝－2x＋3，在l上满足｜PM｜＋｜PN｜
＝4的点P有( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
二、填空题
x
2
y
2
6．若方程
??1
表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范 围是______.
25?m16?m
x
2
y
2
1
??1(k??8)
的离心率
e?
，则k的值为________. 7．若椭圆< br>k?8
9
2
x
2
y
2
8．过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的中心的直线l与椭圆相交于两点A、B，设F2
为该椭圆
ab
的右焦点，则△ABF
2
面积的最大值是___ _____.

12

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
x
2
y
2
9．椭圆
??1
上一点M到左焦点F1
的距离为2，点N是MF
1
的中点，设O为坐标
259
原点， 则
ON
＝________.
x
2
y
2
??1< br>上一点，左右焦点分别为F
1
、F
2
，若∠F
1
PF
2
＝60°，则△PF
1
F
2
10．P为椭圆
10 0
64
的面积为________.
三、解答题
x
2
y
2
11．求出直线y＝x＋1与椭圆B的坐标，并求线段AB中点的坐标．
??1
的公共点A，
42



12．已知点P为 椭圆x
2
＋2y
2
＝98上一个动点，A(0，5)，求｜PA｜的最值．



13．求过点P(3，0)且与圆x
2
＋6x＋y< br>2
－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．



Ⅲ 拓展性训练
y
2
x
2
x
2
y
2
14．我们把由半椭圆
2
?
2
?1(x?0)
与半椭圆
2< br>?
2
?1(x?0)
合成的曲线称作“果
ab
bc
圆 ”，其中a
2
＝b
2
＋c
2
，a＞0，b＞c＞0．

如图，设点F
0
，F
1
，F
2
是相应椭 圆的焦点，A
1
，A
2
和B
1
，B
2
是“ 果圆”与x，y轴的交
点，M是线段A
1
A
2
的中点．
( 1)若△F
0
F
1
F
2
是边长为1的等边三角形，求该“果 圆”的方程；
y
2
x
2
(2)设P是“果圆”的半椭圆
2
?
2
?1(x?0)
上任意一点．求证：当｜PM｜取得最
bc小值时，P在点B
1
，B
2
或A
1
处；
(3)若P是“果圆”上任意一点，求｜PM｜取得最小值时点P的横坐标．




13

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
测试六 椭圆B
1．C 2．A 3．B 4．B 5．C
6．
95
643

?m?25
7．4或
?
8．
ba
2
?b
2
9．4 10．
3
2
4
提示：
9．设F
2
为椭圆的右焦点 ，由椭圆的定义｜MF
2
｜＋MF
1
｜＝2a，
得｜MF
2
｜＝10－2＝8，在△MF
1
F
2
中，∵｜MN｜＝NF
1
｜，｜OF
1
｜＝｜OF
2
｜，
∴
|ON|?
1
|MF
2
|?4
．
2< br>222?22
10．设｜PF
1
｜＝r
1
，｜PF
2
｜＝r
2
，由椭圆定义，得r
1
＋r
2
＝20…… ①
由余弦定理，得
(2c)?r
1
?r
2
?2r
1
r
2
cos60
，即
r
1
?r
2
?r
1
r
2
?144??②
，
由①
2
－②，得3r
1
r
2
＝256，∴
S
?PF
1F
2
?
11．设A(x
1
，y
1
)，B(x< br>2
，y
2
)，
112563643
r
1
r
2
sin60
?
????
．
2
2233
x
2
y
2
把y＝x＋1代入椭圆方程
??1
，得3x
2
＋4x－2＝0，
42
?2?10?2?10
解得
x
1
?
，
,x
2
?
33
?2?101?10?2?101?10
所以
A(,),B(,)
，
3333
21
x?x
2
y
1
?y
2
故AB中点
(
1
,)
的坐标为
(?,)
．
22
33
(注：本题可以用韦达定理给出中点横坐标，简化计算)
12．设 P(x，y)，则
|PA|?x
2
?(y?5)
2
?x
2< br>?y
2
?10y?25
，
因为点P为椭圆x
2
＋2 y
2
＝98上一点，所以x
2
＝98－2y
2
，－7≤y≤ 7，
则
|PA|?98?2y
2
?y
2
?10y?25? ?(y?5)
2
?148
，
因为－7≤y≤7，
所以，当y＝－ 5时，
PA|
max
?148?237
；当y＝7时，｜PA｜
mi n
＝2．
13．圆的方程整理为(x＋3)
2
＋y
2
＝1 0
2
，圆心为C
1
(－3，0)，半径R＝10．
设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，
则有
?
?
|CP|? r,
消去r，得CC
1
｜＋CP｜＝10，
|CC|?R?r.
1
?
又C
1
(－3，0)，P(3，0)，｜C
1
P｜＝6＜ 10，
所以，由椭圆的定义知圆心C的轨迹是以C
1
，P为焦点的椭圆，
且半焦距c＝3，2a＝10，a＝5，从而b＝4，
x
2
y
2< br>所以，所求的动圆的圆心C的轨迹方程为
??1
．
2516

14

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
14．(1)∵< br>F
0
(c,0),F
1
(0,?b
2
?c
2
),F
2
(0,b
2
?c
2
)
，
22
∴
|F
0
F
2
|?(b
2
?c2
)?c
3
?b?1
,
|F
1
F
2< br>|?2b?c?1
，
3
2
7
,a?b
2
?c
2
?
，
44
4
2
4
222
所求“果圆”方程为
x?y?1 (x?0),y?x?1(x?0)
．
73
a?c
(2)∵M是线段A1
A
2
的中点，又A
1
(－c，0)，A
2
( a，0)，∴
M(,0)
，
2
b
2
2
y
2
x
2
22
设P(x，y)，则
2
?
2
? 1
，即
y?b?
2
x
，
bc
c
a?c< br>22
又
|PM|?(x?)??y
2

2
b
2
2
(a?c)
2
?(1?
2
)x?(a?c).x??b
2
,?c?x?0
，
4
c
b
2
2
∵
1?
2
?0
∴|PM|的最小值只能在x＝0或x＝－c处取到． c
于是
c?
2
即当｜PM｜取得最小值时，P在点B
1
，B
2
或A
1
处．
x
2
y
2
( 3)∵｜A
1
M｜＝｜MA
2
｜，且B
1
和B
2< br>同时位于“果圆”的半椭圆
2
?
2
?1(x?0)

ab
y
2
x
2
和半椭圆
2
?
2
? 1(x?0)
上，所以，由(2)知，只需研究P位于“果圆”的半椭
bc
x
2
y
2
圆
2
?
2
＝1(x≥0)上的情形即可．
ab
a?c
2
|PM|
2
?(x?)?y
2

2
c
2
a
2
(a?c)
2
(a?c)
2
a
2
(a?c)
2
2
?
2
[x ?]?b??
．
4
a4c
2
2c
2
a
2
(a?c)
a
2
(a?c)
2
?a
即a≤2c时， ｜PM｜的最小值在
x?
当
x?
时取到，
2
2c
2c
2
a
2
(a?c)
此时P的横坐标是
2
2c
a
2
(a?c)
?a
，即a＞2c时，由于｜PM｜
2在x＜a时是递减的， 当
x?
2
2c
｜PM｜
2
的最 小值在x＝a时取到，此时P的横坐标是a．
a
2
(a?c)
综上所述，若 a≤2c，当｜PM｜取得最小值时，点P的横坐标是；若a
2c
2
＞2c，当｜PM ｜取得最小值时，点P的横坐标是a或－c．

15

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
测试七 双曲线
Ⅰ 学习目标

1．理解双曲线的定义，掌握椭圆的两种标准方程．
2．掌握双曲线的几 何性质，双曲线方程中的a，b，c，e的几何意义、相互关系、取值
范围等对图形的影响．
3．能初步应用双曲线的定义、几何性质解决与双曲线有关的简单问题，并初步体会数
形结合的思想．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
y
2
x
2
1．双曲线
??1
的焦点坐标为( )
817
(A)(±5，0) (B)(±3，0) (C)(0，±3) (D)(0，±5)
2．顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，离心率
e?
x
2
y
2
x
2
y
2
(A)(B)
??1< br>
??1

1691625
x
2
y
2
3．若方程
??1
表示双曲线，则m的取值范围为( )
2?mm?1
5
的双曲线为( )
4
x
2
y
2
x
2
y
2
(C)
??1
(D)
??1

9162516
(A)m＞－1 (B)m＞－2
(C)m＞－1，或m＜－2 (D)－2＜m＜1
4．设动点M(x，y)到A(－5， 0)的距离与它到B(5，0)距离的差等于6，则M点的轨迹方
程是( )
y
2
x
2
(B)
??1

916
x
2
y
2
(D)
??1(x?3)

916
1
5．若双曲线经过点
(6,3)
，且渐近线方程是
y??x
，则双曲线的方程是( )
3
x
2
y
2< br>x
2
y
2
(A) (B)
??1

??1

369819
x
2
x
2
y
2
2
(C) (D)
?y?1

??1

9183
二、填空题
6．双曲线4x
2
－9y
2
＝36的焦点坐标____________，离心率____________，渐近线方程是
___ _______.
x
2
y
2
(A)
??1
< br>916
x
2
y
2
(C)
??1(x??3)

916
x
2
y
2
7．与双曲线
??1
共渐 近线，且过点
A(23,?3)
的双曲线的方程为________．
169
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
与双 曲线
2
??1
有相同的焦点，则a＝____________. 8．椭圆
4
a
2
2
a
x
2
y
2
9．双曲线
??1
上的一点P，到点(5，0)的距离为15，则点P到点(－5，0)的距离
1 69
为_____________________.

16

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
x
2
y
2
π
10．已知双曲线
2
??1(a?2)
两条渐近线的夹角为，则 此双曲线的离心率为
2
a
3
_________________.
三、解答题
11．已知三点P(5，2)，F
1
(－6，0)，F
2
(6，0)．
(1)求以F
1
，F
2
为焦点，且过点P的椭圆的标准方程； (2)设点P，F
1
，F
2
关于直线y＝x的对称点分别为P′，F1
′，F
2
′，求以F
1
′，F
2
′
为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．



12．已知定圆O
1
：x
2
＋y
2
＋10x＋24＝0，定圆O
2
： x
2
＋y
2
－10x＋9＝0，动圆M与定圆O
1
，
O
2
都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．



x2
y
2
13．以双曲线
C:
2
?
2
? 1(a?0,b?0)
的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做C的
ab
共轭双曲线．
x
2
y
2
(1)写出双曲线
??1
的共轭双曲线的 方程；
5
4
(2)设双曲线C与其共轭双曲线的离心率分别为e
1
，e
2
，求证



11
?
2
?1
.
e
1
2
e
2
测试七 双曲线
1．D 2．A 3．C 4．D 5．C
132
y
2
x
2
(13,0),,y??x
7．
??1
8．－1或1 6．
(?13,0)、
3
4
9
3
4
9．7或23 10．
23

3
2222
11．(1)
|PF
1< br>|?11?2?55,|PF
2
|?1?2?5
，
由椭圆定义，得< br>2a?|PF
1
|?|PF
2
|?65,c?6
，
所以b
2
＝a
2
－c
2
＝9，
x
2
y
2
所以，椭圆的方程为
??1
；
459
(2)点P，F
1
，F
2
关于直线y＝x的对称点分别为P '(2，5)，F
1
'(0，－6)，F
2
'(0，6)，
由双 曲线定义，得2a＝｜
P
?
F
1
?
｜－｜
P
?
F
2
?
｜＝
45
，c＝6，

17

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
所以，b
2
＝c
2
－a
2
＝16，
y
2
x
2
所以，双曲线的方程为
??1
．
2016
12．圆O
1
方程化为：(x＋5)
2
＋y
2< br>＝1，所以圆心O
1
(－5，0)，r
1
＝1，
圆O
2
方程化为：(x－5)
2
＋y
2
＝16，所以圆心O
2
(5，0)，r
2
＝4，
设动圆半径为r，
因为动圆M与定圆O
1
，O
2
都外切，所以｜MO
1
｜＝r＋1，｜MO
2
｜＝r＋4，
则｜MO
2
｜－MO
1
＝3，
由双曲线定义，得动点M轨迹是以O
1
，O
2
为焦点的双曲线的一支(左支 )，
391
,c?5,b
2
?c
2
?a??
，
24
4
2
4
2
3
故双曲线的方程为
x?y ?1(x???)
．
9912
x
2
y
2
y
2
x
2
13．(1)双曲线
??1
的共轭双曲线的方程为
??1
；
5
4
5
4
所以
a?
c
(2)在双曲线C中，半焦距
c?a?b
，所以离心率
e
1
??a
22
a
2
?b
2
；
a
y
2
x
2
双曲线C共轭双曲线方程为
2
?
2
?1(< br>?
?0,b?0)
，
a
b
其半焦距为
a?b
，所以离心率
e
2
?
22
a
2
?b
2< br>．
b
所以，
1
e
2
1
?
1
2
e
2
a
2
b
2
???1
．
a
2
?b
2
a
2
?b
2
测试八 抛物线A
Ⅰ 学习目标

1．初步掌握抛物线的定义、简单性质和抛物线的四种形式的标准方程．
2．初步了解用抛物线的定义及性质去求抛物线的方程，了解抛物线的简单应用．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．顶点在原点，焦点是(0，5)的抛物线的方程是( )
(A)y
2
＝20x (B)x
2
＝20y (C)
y?
2
1
x

20
(D)
x?
2
1
y

20
2．抛物线x
2
＝－8y的焦点坐标是( )
(A)(－4，0) (B)(0，－4) (C)(－2，0) (D)(0，－2)
3．若抛物线y
2
＝8x上有一点P到它的焦点距离为20，则P点的坐标为( )
(A)(18，12) (B)(18，－12)
(C)(18，12)，或(18，－12) (D)(12，18)，或(－12，18)
4．方程2x
2
－5x＋2＝0的两根可分别作为( )
(A)一椭圆和一双曲线的离心率 (B)两抛物线的离心率

18

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
(C)一椭圆和一抛物线的离心率 (D)两椭圆的离心率
5．点P到点F(4，0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹方程为( )
(A)
y?
2
1
x

6
(B)y
2
＝4x (C)y
2
＝16x (D)y
2
＝24x
二、填空题
6．准线为x＝2的抛物线的标准方程是____________．
7．过点A(3，2)的抛物线的标准方程是___________．
8．抛物线y＝4x
2
的准线方程为____________．
9．已知 抛物线y
2
＝2px(p＞0)，若点A(－2，3)到其焦点的距离是5，则p＝_____ ___.
10．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
能使这抛物线方程为y
2
＝10x的条件是_______．(要求填写合适条件的序号)
三、解答题
11．抛物线的顶点在原点，焦点在直线x－2y－4＝0上，求抛物线的标准方程．



2
12．求以抛物线
y
＝8x的顶点为中心，焦点为右 焦点且渐近线为
y??3x
的双曲线方程．



13． 设P是抛物线
y?
1
2
x
上任意一点，A(0，4)，求｜PA｜的 最小值．
2
测试八 抛物线A
491
x
或
x
2
?y
8．
y??
9．4 10．②，④
3216
1．B 2．D 3．C 4．A 5．C
2
6．
y??8x
7．
y?
2
11．由题意，焦点既在坐标轴上，又在直线x－2y－4＝0上，
令x＝0，得焦点为(0，－2)；令y＝0，得焦点为(4，0)
当焦点为(0，－2)时，抛物线方程为x
2
＝－8y；
当焦点为(4，0)时，抛物线方程为y
2
＝16x．
12．抛物线y
2
＝8x的顶点为(0，0)，焦点为(2，0)，
所以，双曲线的中心为(0，0)，右焦点为(2，0)，
y
2
由双曲线的 渐近线为
y??3x
知，可设所求双曲线方程为
x??
?
(
?
?0)
，
3
x
2
y
2
即
?? 1
，由
c
2
?a
2
?b
2
，得λ＋3λ＝ 4，解得λ＝1，
?
3
?
y
2
2
所以，所求双曲 线方程为
x??1
．
3
2
13．由题意，设P(x，y)，

19

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
则|PA|?(x?0)
2
?(y?4)
2
?
因为P(x，y)是 抛物线
y?
代入上式，得
PA|?
x
2
?y
2?8y?16
，
1
2
x
上任意一点，所以x
2
＝2y，y≥0，
2
y
2
?6y?16?(y?3)
2
?7
，
因为y≥0，所以当y＝3时，｜PA｜
min
＝
7
，
即当点
P(?6,3)
时，｜PA｜有最小值
7
．
测试九 抛物线B
Ⅰ 学习目标

1．进一步掌握抛物线定义、性质、图形及其应用．
2．通过解决与抛物线有关的问题，进一步体会数形结合的思想，函数与方程的思想．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．抛物线x
2
＝y的准线方程是( )
(A)4x＋1＝0 (B)4y＋1＝0 (C)2x＋1＝0 (D)2y＋1＝0
2．抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x
2
＋y
2
＝1的一个焦点，则此抛 物线的焦点到准线的
距离是( )
(A)
23
(B)
3
(C)
1
3

2
(D)
1
3

4
3．连接抛物线x
2< br>＝4y的焦点F与点M(1，0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标
原点，则三角形O AM的面积为( )
(A)
?1?2
(B)
3
?2

2
7

5
(C)
1?2
(D)
3
?2

2
4．抛物线y＝－x
2
上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
(A)
4

3
(B)(C)
8

5
(D)3
5．设O为坐标原点，F为抛物线y
2
＝4x的焦点， A为抛物线上的一点，若
OA
?
AF??4
，
则点A的坐标为( )
(A)
(2,?22)
(B)(1，2) (C)(1，±2) (D)
(2,22)

二、填空题
6．过抛物线y
2
＝6 x的焦点F，作垂直于抛物线对称轴的直线l，设l交抛物线于A，B两点，
则｜AB｜＝______ ___．
7．抛物线y＝－ax
2
(a＞0)的焦点坐标为_________．
8．已知圆x
2
＋y
2
－6x－7＝0与抛物线y
2
＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝_________．
9．过抛物线y
2
＝4x的焦点作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为3，
则｜AB｜＝_________．
10．设F是抛物线y
2
＝6x的焦点 ，A(4，－2)，点M为抛物线上的一个动点，则｜MA｜＋
｜MF｜的最小值是_________．

20

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
三、解答题
11．设抛 物线C的焦点在y轴正半轴上，且抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离为5，求
其抛物线的标准方 程．



12．已知抛物线C：y
2
＝2px(p＞0 )的焦点为F，点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2(x
2
，y
2
)，P
3
(x
3
，y< br>3
)在抛
物线C上，且2x
2
＝x
1
＋x
3
，求证：2|FP
2
｜＝｜FP
1
|＋｜FP
3
｜ ．


13．已知点A(0，－3)，B(2，3)，设点P为抛物线x
2
＝y上一点，求△PAB面积的最小值
及取到最小值时P点的坐标．



Ⅲ 拓展性训练
14．设F为抛物线C：y
2
＝2px(p＞ 0)的焦点，点P为抛物线C上一点，若点P到点F的距
离等于点P到直线l：x＝－1的距离．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设B(m，0)，对于C上的动点M，求｜BM|的最小值f(m)．



测试九 抛物线B
1．B 2．B 3．B 4．A 5．C
6．6 7．
(0,?
111
)
8．2 9．8 10．
4a2
11．由题意，设抛物线为x
2
＝2py(p＞0)，
因为点Q(－3，m)在抛物线上，
所以(－3)
2
＝2pm，即
m?
9

2P
①
② 因为点Q(－3，m)到焦点的距离为5，所以
|m|?< br>由①②得，
P
?5

2

9p
??5
，解得p＝1或9，
2p2
所以抛物线的标准方程为x
2
＝2y，或x
2
＝18y．
12．由抛物线定义，知
| PF
1
|?x
1
?
ppp
,
|P
2
F|?x
2
?
,
|P
3
F|?x
3
?< br>,
222
所以｜FP
1
｜＋｜FP
3
｜＝x
1
＋x
2
＋p，2｜FP
2
｜＝2x
2
＋p，
又x
1
＋x
3
＝2x
2
，所以2｜FP
2
｜＝｜FP
1
｜＋｜FP
3
｜．
13．直线AB的方程为
y?
3?3
x?3
，即3x－y－3＝0，
2?0
|AB|?(0?2)
2
?(?3?3)
2
?210
，

21

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
因为点P在x
2
＝y上，所以设P(x，x
2
)，
33
|(x?)
2
?|
|3x?x?3|
24
， 所以点P到直线AB的距离
d??
1?910
2
因为x∈R，所以当
x?
3
3
时，
d
min
?
,
2
410
133
?210??
．
2
410
4
故当
P(,)
时，△PAB面积有最小值
S?
39
24
14．(1)由抛物线定义，知抛物线的方程为
y?4x
；
(2)设C上的动点M的坐标为(x
0
，y
0
)，
∴|BM|?
2
2
22
(x
0
?m)
2
?(y
0
?0)
2
?x
0
?2mx
0
?m
2
?y
0
，
∵
y
0
＝4x
0
，
∴
|BM|?
2
x
0
?2mx
0
?m
2
?4x
0?[x
0
?(m?2)]
2
?4m?4
．
∵x
0
≥0，
∴当m－2＜0时，｜BM｜
min
＝｜m｜；
当m
－
2≥0时，
|BM|
min
?4m?4
;
综上，对于C上的动点M，｜BM｜的最小值
f(m)?
?
(m?2)
?
|m|,
．
2m?1,(m?2)
?
测试十 圆锥曲线综合练习(选学)
Ⅰ 学习目标

1．能熟练地解决直线和圆锥曲线的位置关系问题．
2．能应用数形结合思想、方程思想等数学思想解决圆锥曲线综合问题．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．过点P(2，4)作直线l，使l与抛物线y
2
＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
2．一个正三角形的顶点都在抛物线y
2
＝4x上，其中一 个顶点在坐标原点，则这个三角形的
面积是( )
(A)
483

2
(B)
243
(C)
16
3

9
(D)
463

y
2
3．过双曲线
x? ?1
的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若｜AB｜＝4，则这
2
样的直线有 ( )
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

22

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
x
2
y
2
4．已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上总存在点P， 使
PF
1
?
PF
2
?0
，其中F
1
，F
2
是椭圆
ab
的焦点，那么该椭圆的离心率的取值范围是( )
(A)
[2?1,]

1
2
(B)
(0,2?1)
(C)
[,
12
]

2
2
(D)
[
2
,1)

2
x< br>2
y
2
5．已知双曲线
2
?
2
?1(a?0 ,b?0)
的左焦点F
1
，左、右顶点分别为A
1
、A
2< br>，P为双
ab
曲线上任意一点，则分别以线段PF
1
，A
1< br>A
2
为直径的两个圆的位置关系为( )
(A)相切 (B)相交
(C)相离 (D)以上情况都有可能
二、填空题
6．直线y＝x＋1与抛物线y
2
＝4x的公共点坐标为____________．
x
2
y
2
??1
恒有公共点，则m的取值范围是_____ ______． 7．若直线y＝kx＋1与椭圆
5
m
8．设P是等轴双曲线x
2
－y
2
＝a
2
(a＞0)右支上一点，F
1
、 F
2
是左右焦点，若
PF
2
?
F
1
F2
?
0，
｜PF
1
｜＝6，则该双曲线的方程是______ _______________．
x
2
y
2
9．过椭圆
??1
的焦点，倾斜角为45°的弦AB的长是_______________．
259< br>b
x
2
y
2
10．若过双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的右焦点F，作渐近线
y?x
的垂线与双曲线左、
ab
a
右两支都相交，则此双曲线的离心率e的取值范围是____________ ___．
三、解答题
11．中心在原点，一个焦点为
F(0,50)
的椭 圆C，被直线y＝3x－2截得的弦的中点的横
坐标为0.5，求椭圆C的方程．



12．已知双曲线C：3x
2
－y
2
＝1，过点M(0， －1)的直线l与双曲线C交于A、B两点．
(1)若
|AB|?10
，求直线l的方程；
(2)若点A、B在y轴的同一侧，求直线l的斜率的取值范围．


< br>13．正方形ABCD在坐标平面内，已知其一边AB在直线y＝x＋4上，另外两点C、D在抛
物线y
2
＝x上，求正方形ABCD的面积．




23

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
Ⅲ 拓展性训练
x
2
y
2
14．设点M在x轴上，若对过椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
左焦点F的任一条与两坐标
ab
轴都不垂直的弦AB，都有MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左
特征点”．
(1)判断椭圆的“左特征点”是否存在，若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理
由；
x
2
y
2
(2)参考椭圆的“左特征点”定义，给出双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的“左特征点”
ab
定义， 并指出该点坐标．



测试十 圆锥曲线综合练习(选学)
1．B 2．A 3．C 4．D 5．A
6．(1，2) 7．m≥1且m≠5 8．x
2
－y
2
＝4 9．
90
10．
e?2

17
y
2
x
2
?1
, 11．由题意，设椭圆C:
2
?
2
a?50
a
yx
2
?1< br>, 把直线y＝3x－2代入椭圆方程
2
?
2
a?50
a得(a
2
－50)(3x－2)
2
＋a
2
x
2
＝a
2
(a
2
－50)，
整理得(10a
2－450)x
2
－12(a
2
－50)x－a
4
＋54 a
2
－200＝0，
设直线与椭圆的两个交点A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，则有
12(a
2< br>?50)
x
1
?x
2
?
,?＝144(a
2
－50)
2
－4(10a
2
－450)(－a
4
＋ 54a
2
－200)＞0，
2
10a?450
x
1
?x
2
6(a
2
?50)1
??
，解得a
2＝75， 由题意，得
2
2
10a?4502
y
2
x< br>2
??1
． 所以椭圆方程为
7525
12．(1)设直线l：y＝k x－1或x＝0(舍去)，A(x
1
，y
1
)、B(x
2
， y
2
)，
?
3x
2
?y
2
?1,
联立
?

?
y?kx?1.
消去y，得(3－k
2
)x
2
＋ 2kx－2＝0．
由题意，得3－k
2
≠0，?＝(2k)
2
－4 ·(3－k
2
)·(－2)＝24－4k
2
＞0，
且
x< br>1
?x
2
?
2k
,
k
2
?3
2
x
1
?
x
2
?
2
，
k2
?3
22
∴
|AB|?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?1?k
?
|x
1
?x
2
|


24

北京市西城区教辅- 学习探究诊断-高中版
?1?k
2
?
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
．
2k
2
2
)?4??10
，
k
2
?3k
2
?3
33
解得k＝±1，或
k??
．
7
∴
1?k
2
?
(
验证知3－k
2
≠0且?＞0，
∴直线l的方程为：y＝±x－1，或
y??
33
x?1
；
7
?
3?k
2
?
?
0
?
2
?< br>?0
， (2)由A、B在y轴的同一侧，得
?
x
1
.x2
?
2
k?3
?
2
?
??24?4k?0?
解得：
k?(?6,?3)
∪
(3,6)
．
13．因为ABCD，所以设直线CD方程为y＝x＋t，
把y＝x＋t代入y
2
＝x，
消去y，得x
2
＋(2t－1)x＋t
2
＝0，
设C(x
1
，y
1
)、D(x
2
，y
2
)，
所以x
1
＋x
2
＝1－2t， x
1
·x
2
＝t
2
，?＝(2t－1)
2
－4t
2
＞0，
所以
|CD|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?2[(1?2t)
2
?4 t
2
]?2(1?4t)
，
|t?4|
，
2
又 AB与CD间的距离为
|AD|?
由正方形ABCD，得｜AD｜＝｜CD｜，即
2( 1?4t)?
解得t＝－2，或t＝－6，
从而，边长|AD|＝
32
或
52
，
|t?4|
，
2
22
所以正方形面积为
S
1?(32)?18
或
S
2
?(52)?50
．
14．(1)判断：椭圆的“左特征点”存在，具体证明如下．
方法1：设x轴上点M(x
0
，0)是椭圆的“左特征点”，F(－c，0)，
其中c
2
＝a
2
－b
2
(c＞0)．
设过F与两坐标轴都不垂直的直线AB：
y＝k(x＋c)(k≠0)，A(x
1< br>，y
1
)、B(x
2
，y
2
)．
?
x
2
y
2
?
??1
联立方程
?
a
2
b
2
，
?
?
y?k(x?c)
消去y，得： (b
2
＋a
2
k
2
)x
2
＋2a
2
k
2
cx＋a
2
k
2
c
2
－a
2
b
2
＝0，

25

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
?2a
2
k2
c
a
2
k
2
c
2
?a
2< br>b
2
∴
x
1
?x
2
?
2
，
x
1
.
x
2
?
，
b
2
?a
2
k
2
b?a
2
k
2
?
?( 2akc)?4(b?ak)(akc?ab)
＞0．
又∵直线AM的斜率为：
k< br>AM
?
22222222222
y
1
?0k(x
1< br>?c)
?
，
x
1
?x
0
x
1?x
0
直线BM的斜率为：
k
BM
?
y
2?0k(x
2
?c)
?
．
x
2
?x
0
x
2
?x
0
∴
k
AM
?k
BM
?
k(x
1
?c)k(x
2
?c)k(x
1
?c)(x
2
?x
0
)?k(x
2
?c)(x
1
?x
0
)
??
，
x
1
?x
0< br>x
2
?x
0
(x
1
?x
0
)(x< br>2
?x
0
)
上式中的分子：k(x
1
＋c)(x2
－x
0
)＋k(x
2
＋c)(x
1
－x0
)
＝k[2x
1
·x
2
＋c(x
1
＋x
2
)－x
0
(x
1
＋x
2
)－2c x
0
]
?k[2?
2a
2
k
2
c
2
?a
2
b
2
b?a
222
k
?2a< br>2
k
2
c?2a
2
k
2
c
?c?< br>2
?x
0
??2cx
0

22
222
b?ak
b?ak
∵M(x
0
，0)是椭圆的“左特征点”，∴∠AMF＝ ∠BMF．
∴k
AM
＝－k
BM
，即k
AM
＋k
BM
＝0，
∴分子
k[2?
2a
2
k
2
c
2
?a
2
b
2
b?a
222
k
?2a
2
k
2
c?2a
2
k
2
c
?c?
2
?x
0
??2cx
0
＝0，
2 22
b?a
2
k
2
b?ak
∵上式要对任意非零实数k都成 立，
∴
2?
2a
2
k
2
c
2
? a
2
b
2
b?a
222
k
?2a
2
k
2
c?2a
2
k
2
c
?c?
2
?x
0
??2cx
0
?0

222
b?a
2
k
2
b?ak
∴2a
2
k
2
c
2
－2a
2
b
2
－2a
2
k
2
c
2
＋2a
2
k
2
cx
0
－2b
2
cx
0
－2a
2
k
2
cx
0
＝ 0，
a
2
∴
?2ab?2bcx
0
?0
∴
x
0
??
．
c
222
a
2
故对过F与 两坐标轴都不垂直的任意弦AB，点
M(?
c
,0)
都能使MF为△AMB< br>的一条内角平分线，
a
2
所以，椭圆的“左特征点”存在，即为点
M (?
c
,0)
．
方法2：先用特殊值法(可用一条特殊直线AB，如斜率为 1的直线)找出符合“左
a
2
特征点”性质的一个点M(具体找的过程略，可找到点< br>M(?
c
,0)
，即为椭圆的左
准线与x轴的交点)，再验证对任意一 条与两坐标轴都不垂直的弦AB，∠AMF＝
∠BMF都成立．(证明过程可类似方法1，或用下面方 法证明)如图，椭圆的左准
线与x轴的交点为M，过A作AP垂直左准线于P，过B作BQ垂直左准线于 Q，

26

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由椭圆第二定义，得
|BF||AF|
??e
(其中e为椭圆离心率)
|BQ||AP|
∴
|AP||AF|
?
．
|BQ||BF|
又∵APBQx轴, ∴
|MP||AF|
?
,
|MQ||BF|
∴
|MP||AP|
?
．
|MQ||BQ|
∵∠APM＝∠BQM＝90°，
∴△APM∽△BQM．
∴∠PAM＝∠QBM，
∵∠PAM＝∠AMF，∠QBM＝∠BMF，
∴∠AMF＝∠BMF．
故对过F与两坐标轴都不垂直的任意弦AB，MF都为△AMB的一 条内角平分线，
所以，椭圆的左准线与x轴的交点M是椭圆的“左特征点”．
(2)双曲线左特征点定义：
x
2
y
2
设点M在x轴上， 若对过双曲线
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
左焦点F 的任一条与
ab
两坐标轴都不垂直的弦AB，且A，B在双曲线左支上，都有MF为△AMB的 一条内
角平分线，则称点M为该双曲线的“左特征点”．
a
2
点
M (?
c
,0)
是双曲线的左特征点．(其中
c?a
2
?b< br>2
)．
第三章 空间向量与立体几何
测试十一 空间向量及其运算A
Ⅰ 学习目标

1．会进行空间向量的加法、减法、数乘运算．
2．会利用空间向量基本定理处理向量共线，共面问题以及向量的分解．
3．会进行空间向量数量积的运算，并会求简单的向量夹角．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，
BA?BC?DD
1
＝( )

27

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(A)
D
1
B
1

(C)
DB
1



(B)
D
1
B

(D)
BD
1

2．平行六面体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M为AC和BD的交点，若
AB?a,AD?b,AA
1
?c
，
则下列式子中与
B
1
M
相等的是( )

11
a?b?c

22
11
(C)
?a?b?c

22
(A)
?


11
a?b?c

22
11
(D)
?a?b?c

22
(B)
3．在平行六面体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，向量
ABAD
1
、BD
是( )
1
、
(A)有相同起点的向量 (B)等长的向量
(C)共面向量 (D)不共面向量
4．已知空间的基底{i，j，k}，向量a＝i＋2j＋3k，b＝－2i＋j＋ k，c＝－i＋mj－nk，若向
量c与向量a，b共面，则实数m＋n＝( )
(A)1 (B)－1 (C)7 (D)－7
5．在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝1，AD＝2，AA
1
＝3，则
BD
?
AC
1
( )
(A)1
二、填空题
(B)0 (C)3 (D)－3
6．在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，化简
AB?AD?A A
1
?
______.
7．已知向量i，j，k不共面，且向量a＝mi＋ 5j－k，b＝3i＋j＋rk，若a∥b，则实数m＝______，
r＝______.
8．平行六面体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1中，所有的棱长均为2，且
AB
?
CC??2
，则
?AB
,
CC
1
＞＝_______；异面直线AB与CC
1
所成的角的 大小为______.
9．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，且a＝2i－j＋k，b＝i＋j －3k，则a·b＝______．
10．平行六面体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，所有棱长均为1，且∠A
1
AB＝∠ A
1
AD＝60°，AB⊥

28

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AD，则AC
1
的长度为______.
三、解答题
11．如图 ，平行六面体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB?a,AD?b,AA
1
?c
，E为A
1
D1
中点，
用基底{a，b，c}表示下列向量

(1)
DB
1
,BE,AF
；
(2)在图中画出
DD
1
?DB?CD
化简后的向量．



12．已知向量a＝2i＋j＋3k,b＝－i－j＋2k，c＝5i＋3j＋4 k，求证向量a，b，c共面．



13．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长为1，E为CC
1
中点，

(1)求
AB
1
?
BC
；
(2)求
AB
1
?
BE,cos?AB
1
,BE?
．



Ⅲ 拓展性训练
14．如图，点A是△BCD所在平面外一点，G是△BCD的重心，
求证：
AG?
1
(AB?AC?AD)
．
3
(注：重心是三角形三条中线的交点，且CG∶GE＝2∶1)

29

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第三章 空间向量与立体几何
测试十一 空间向量及其运算A
1．D
2．C
B
1
M?B
1
B?BM??c?
111 1
BD??c?(AD?AB)??a?b?c
．
2222
3．C ∵
ADAD
1
、BD
共面．
1
?AB
1
?B
1
D
1
?BD,?AB
1
、
4．B c＝a＋b＝－i＋3j＋4k＝－i＋mj－nk，m＝3，n＝－4，m＋n＝－1．
22
5．C
BD
?
AC
1
?(AD?AB)< br>?
(AB?AD?AA
1
)?AD?AB?(AD?AB)
?
AA
1

?|AD|
2
?|AB|
2
?0?3
．
6．AB?AD?AA
1
?AC?AA
1
?A
1
C
．
7．
m?15
，
r??
8．120°；60°．
9．－2．
2
10．
5;|AC|
2
?(AB?AD?A A
1
)

1
．
5
?AB
2
?A D
2
?AA
1
?2AB
?
AD?2AD
?
AA
1
?2AB
?
AA
1

2
＝1＋1＋1＋0＋2cos60°＋2cos60°＝5．
11．(1)
DB
1
?a?b?c;BE?BA?AA
1
?A
1
E?? a?c?
11
A
1
B
1
??a?b?c
；
22
111
AF?AB?BF?AB?BB
1
?B
1
F? a?c?(BC?BB
1
)?a?b?c
．
222
(2)
DD
1
?DB?CD?DD
1
?(CD?DB)?DD
1
? CB?DD
1
?D
1
A
1
?DA
1
．
12．解：设c＝ma＋nb，则
5i＋3j＋4k＝m(2i＋j＋3k)＋n(－i－j＋2k)
＝(2m－n)i＋(m－n)j＋(3m＋2n)k，

30

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?
2m?n?5
?
m?2
?
m?n?3
，解得，所以c＝2a－b，所以向量a，b，c共面 ．
?
?
?
n??1
?
3m?2n?4
?
13．
AB
1
?BC
1
?(AB?BB
1
)?(B C?CC
1
)

AB?BC
1
?AB?CC
1?BB
1
?BC?BB
1
?CC
1
?0?0?0?1? 1

AB
1
?BE?(AB?BB
1
)?(BC?CE)

?AB?BC?AB?CE?BB
1
?BC?BB
1
?CE

?0?0?0?
11
?
．
22
5AB
1
?BE10
．
,cos?AB
1< br>,BE???
210
|AB||BE|
1
|AB
1
| ?2,|BE|?
14．证明∵
AG?AC?CG

22111
CG ?CE?[(CB?CD)]?(CB?CD)?(CA?AB?CA?AD)

33233< br>11
∴
AG?AC?(2CA?AB?AD)?(AB?AC?AD)
．
33
测试十二 空间向量及其运算B
Ⅰ 学习目标

1．会进行向量直角坐标的加减，数乘，数量积的运算．
2．掌握用直角坐标表示向量垂直，平行的条件．
3．会利用向量的直角坐标表示计算向量的长度和两个向量的夹角．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a＋6b－8c＝( )
(A)(14，－3，3) (B)(14，－3，35)
(C)(14，－3，－12) (D)(－14，3，－3)
2．下列各组向量中不平行的是( )
(A)a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4) (B)c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
(C)e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0) (D)g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)
3．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，若a⊥b，则x＝( )
(A)2 (B)－2 (C)
10

3
122
,?)

333
(D)
?
10

3
4．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是( )
(A)
( ,
122
122
,?)
和
(?,?,)

333
333
(B)
(,

31

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(C)
(,,)
和
(?,?,?)

122
333
1
3
2
3
2
3
(D)
(?,?,)

1
3
22
33
5．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1 ，2)，且a与b的夹角余弦为
(A)2
二、填空题
(B)－2 (C)－2或
2

55
8
，则λ等于( )
9
2
(D)2或
?

55
6．已知点A(3，2， 1)，向量
AB
＝(2，－1，5)，则点B的坐标为______，｜
AB
｜＝______．
7．已知3(2，－3，1)－3x＝(－1，2，3)，则向量x＝______．
8．若向量a＝(2，1，－2)，b＝(6，－3，2)，则cos＝______． < br>9．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是_ _____．
10．若空间三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)共线 ，则p＝______，q＝______．
三、解答题
11．已知向量a＝(1，－1，2)，b＝(－2，1，－1)，c＝(2，－2，1)，求
(1)(a＋c)·a；
(2)｜a－2b＋c｜；
(3)cos〈a＋b，c〉．



12．已知向量a＝(2，－1，0)，b＝(1，2，－1)，
(1)求满足m⊥a且m⊥b的所有向量m．
(2)若
|m|?230
，求向量m．
13．已知向量a＝(－2，1，－ 2)，b＝(1，2，－1)，c＝(x，5，2)，若c与向量a，b共面，
求实数x的值．



14．直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA
1
＝2 ，M、
N分别是A
1
B
1
，A
1
A的中点。如图， 建立空间直角坐标系．

(1)求
BN
的坐标及BN的长；
(2)求
cos?BA
1
,CB
1
?
的值；
(3)求证：A
1
B⊥C
1
M．


32

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测试十二 空间向量及其运算B
1．A
2．D b＝－2a
?
a∥b；d＝－3c
?
d∥c；而零向量与任何向量都平行．
3．C 4．A
5．C
cos?a,b??
a?b6?
?< br>8
2
??,
?
??2
或
|a||b|
3< br>?
2
?5
9
55
6．(5，1，6)，
30
7．
x?(,?
10．p＝3，q＝2
7
3
117
5
,0)
8．
cos?a,b??
9．
21
3
5
2

6
11．
(a?c)?a?12;|a?2b?c|?99
；
cos ?a?b,c???
12．(1)设m＝(x，y，z)由已知得
?
?
m?
a?0
?
2x?y?0
，
?
，设x＝a，则y＝2a ，z＝5a，
x?2y?z?0
m
?
b?0
?
?
所以m＝(a，2a，5a)(a∈R)．
(2)
|m|?a
2
?4a2
?25a
2
?230
，得a＝±2，
所以m＝(2，4，10)或m＝(－2，－4，－10)．
13．因为c与向量a，b共面，所以设c＝ma＋nb(m，n∈R)
?
x??2 m?n
?
m??3
??
(x，5，2)＝m(－2，1，－2)＋n(1，2 ，－1)，
?
5?m?2n
，所以
?
n?4

?< br>2??2m?n
?
x?10
??
14．(1)解：依题意得B(0，1 ，0)，N(1，0，1)，
BN?(1,?1,1)

∴
|BN|?(1?0)?(0?1)?(1?0)?3
．
(2)解：A< br>1
(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B
1
(0，1，2 )，
∴
BA,?1,2),CB
1
?(0,1,2)
，
1
?(1
∴
BA
1
?CB
1
?3,|BA
1
|?6,|CB
1
|?5

∴
cos?BA
1< br>,CB
1
??
222
BA
1
?CB
1
|BA
1
||CB
1
|
?
30

10< br>11
22
11
∴
A
1
B?(?1,1,?2),C< br>1
M?(,,0)
∴
A
1
B?C
1
M?0< br>∴A
1
B⊥C
1
M．
22
(3)证明：∵C
1
(0，0，2)，
M(,,2)
，
测试十三 直线的方向向量与直线的向量方程

33

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Ⅰ 学习目标

1．会写出直线的向量参数方程以及利用它确定直线上点的坐标．
2．会用向量共线定理处理四点共面问题．
3．会利用直线的方向向量和向量共线定理证明线线平行、线面平行，线线垂直、线面
垂直．
4．会利用向量求两条异面直线所成的角．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．向量
OA
=（1，2，0），
OB
=（－1，0，6）点C为线 段AB的中点，则点C的坐标为( )
(A)(0，2，6) (B)(－2，－2，6) (C)(0，1，3) (D)(－1，－1，3)
2．已知点A(2，－2，4)，B(－1，5， －1)，若
OC?
(A)
(2,?
1410
,)

33
2
AB
,则点C的坐标为( )
3
0
(B)
(?2,,?)
(C)
(2,?,?)
(D)
(?2,?,)

333333(B)
DM?
3．下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )
(A)
DM?2OA?OB?OC

(C)
MA?2MB?MC?
0
111
OA?OB?OC

532
(D)
OM?OA?OB?OC?
0
4．正方体ABCD－ A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长为2，O是底 面ABCD的中心，E，F分别是CC
1
，AD
的中点，则异面直线OE与FD
1
所成角的余弦值为( )

(A)
10

5
(B)
15

5
(C)
4

5
(D)
2

3
5．已知A(0，0，0)，B(1，1， 1)，C(1．2，－1)，下列四个点中在平面ABC内的点是( )
(A)(2，3，1) (B)(1，－1，2) (C)(1，2，1) (D)(1，0，3)
二、填空题
6． 已知点A(1，2，0)，B(－2，1，3)，若点P(x，y，z)为直线AB上任意一点，则直线
AB的向量参数方程为(x，y，z)＝______，若
AP?2BP
时，点P的坐标为__ ____.
7．已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若有
OP?
12
OA?OB?
?
OC
确定
53
的点与A，B,C三点共面， 则λ＝______．
8．若直线l
1
∥l
2
，且它们的方向向量 分别为a＝(2，y，－6)，b＝(－3，6，z)，则实数y＋
z＝______
9．正 方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长 为2，M是DC的中点，点N在CC
1
上，且D
1
M⊥AN，
则NC 的长度为______．

34

北京市西城区教辅- 学习探究诊断-高中版

10．正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AB＝AA
1
＝2，则A
1
C与BC
1
所成角的余弦值为______．
三、解答题
11．直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC
1< br>＝1．

(1)求异面直线AC
1
与CB
1
所成角的大小；
(2)证明：BC
1
⊥AB
1
．



12．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，E，F分别
是AB，PC的中点．求证：EF⊥平面PCD．




13．如图，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AC ＝BC＝CC
1
，
AC⊥BC，点D是AB的中点．

(1)求证：AC
1
∥平面CDB
1
；
(2)求异面直线AC
1
与B
1
D所成的角的大小．
14 ．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，M，N分别是AB，A
1
D
1
的中点，求证：MN∥平面BB
1< br>D
1
D．

35

北京市西城区教辅- 学习探究诊断-高中版



测试十三 直线的方向向量与直线的向量方程
1．C 2．B 3．C
MC??MA?2MB
．
4．B如图，建立空间直角坐标系D－xyz,
FD,0,2)
，
1
?(?1
15
OE?(?1,1,1 )
,
|cos?FD
1
,OE?|?
5
．

5．D
AD?2AB?AC
所以向量
AD,AB,AC
共面，点 (1，0，3)在平面ABC内．
6．(x，y，z)＝(1，2，0)＋t(－3，－1，3)；(－5，0，6)，此时t＝2．
7．
212
；因为
??
?
?1
．
53
15
1
如图，建立空间直角坐标系O－xyz，
4
8．5． 9．1．
10．

则
CA
1?(?3,1,2),BC
1
?(3,1,2)
,
|cos?CA
1
,BC
1
?|?
1

4
11．解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz

36

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版

则A(1，0，0)， B(0，1，0)，B
1
(0，1，1)，C
1
(0，0，1)
( 1)
AC
1
?(?1,0,1),CB
1
?(0,1,1)
，
cos?AC
1
,BC
1
??
11
?
，
2?2
2
异面直线AC
1
与CB
1
所成角为60° ．
(2)
BC
1
?(0,?1,1),AB,1,1)
，
1
?(?1
得
BC
1
?AB
1
?0
，所 以BC
1
⊥AB
1
．
12．证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2，

则：A(0，0 ，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
∵E为AB的中点，F为PC的中点，
∴E(1，0，0)，F(1，1，1),
EF?(0,1,1)

∵
CD?(?2,0,0),CD?EF?(?2,0,0)?(0,1,1)?0

∴EF⊥CD
．

∵
PD?(0,2,?2),PD?EF?(0,2,?2)?(0,1,1)
＝0 ∴EF⊥PD
．

因为PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．
13．解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz，

设AC＝BC＝CC
1
＝2，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，

37

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
B(0，2，0) ，C
1
(0，0，2)，B
1
(0，2，2)，D(1，1，0)．
(1)设BC
1
与B
1
C的交点为E，则E(0，1，1)．
∵
DE?(?1,0,1),AC
1
?(?2,0,2)
，
1
AC
1
,∴DE∥AC
1
．
2
∵DE
?
平面CDB
1
，AC
1
?
平面CDB
1
，∴AC
1
∥平面CDB
1
．
∴
DE?
(2)设异面直线AC
1
与B
1
D所成的角为
??
， AC
1
=(－2，0，2)，
B
1
D
=(1，－1，－ 2)，
cos
?
?|cos?AC
1
,B
1
D? |?
3
，所以
??
＝30°
2
异面直线AC
1
与B
1
D所成的角为30°
14．设
AB?a,AD?b,AA
1
?c

则
MN?MA?AA
1
?A
1
N??
因为MN
?
平面BB
1
D
1
D，
所以MN∥平面BB
1
D
1
D．
1111
a?c?b?(b?a)?c?BD?AA
1
，
2222
测试十四 平面的法向量和平面的向量表示
Ⅰ 学习目标

1．会求平面的法向量．
2．会利用平面的法向量证明两个平面平行和垂直问题．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．过点A(2，－5，1)且与向量a＝(－3，2，1)垂直的向量( )
(A)有且只有一个 (B)只有两个且方向相反
(C)有无数个且共线 (D)有无数个且共面
2．设平面
??
内两个向量的坐标分别为(1，2，1)，( －1，1，2)，则下列向量中是平面
??
的
法向量的是( )
(A)(－1，－2，5) (B)(－1，1，－1) (C)(1，1，1) (D)(1，－1，－1)
3．已知空间中三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－ 1，5)，若向量a分别与
AB,AC
都垂直，且
|a|?3
，则a＝( )
(A)(1，1，1) (B)(1，－1，1)
(C)(－1，1，1) (D)(－1，－1，－1)或(1，1，1)
4．已知
??
⊥
??
，平面
??
与平面
??
的法向量分别为m＝(1，－2，3)，n＝(2， 3
λ
，4)，则
λ
＝( )
(A)
5

3
(B)
?
5

3
(C)
7

3
(D)
?
7

3
5．平面
??
的法向量为m，若向量
AB?m
，则直线AB与平面
??
的位置关系为( )

38

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
(A)AB
?
??
(B)AB∥
???
(C)AB
?
??
或AB∥
??
(D)不确定
二、填空题
6． 已知
??
∥
??
，平面
??
与平面
??
的 法向量分别为m，n，且m＝(1，－2，5)，n＝(－3，6，
z)，则z＝______． 7．如图，在正三棱锥S－ABC中，点O是△ABC的中心，点D是棱BC的中点，则平面
ABC 的一个法向量可以是______，平面SAD的一个法向量可以是______．

8．若 A(0，2，1)，B(1，1，0)，C(－2，1，2)是平面
??
内的三点，设平面??
的法向量a＝
(x，y，z)，则x∶y∶z＝______．
9．如图A B是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上非A，B的任意一点，
则图中直角三角形共有 ______个．

三、解答题
10．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2，

(1)在图 中找出平面ABCD，平面ADD
1
A
1
，平面BDD
1
B
1
的一个法向量；
(2)以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出(1)中三个法向量的坐标．



11．如图，四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝P D＝2．AB
＝4，E，F分别为CD,PB的中点．
求平面AEF的一个法向量的坐标．

39

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版




12．如图，在正四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝2，AA
1
＝4，E，F， M，N分另是A
1
D
1
，
D
1
D，BC，BB1
的中点．
求证：平面EFC
1
∥平面AMN．




13．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，P，M，N分别是DC，CC
1
，BC中点．
求证：平面PA
1
A⊥平面MND．

测试十四 平面的法向量和平面的向量表示
1．D 2．B 3．D 4．C 5．C 6．－15 7．
OS;BC

8．x∶y∶z＝2∶－1∶3 9．4个，△PAC，△PAB，△ABC，△PBC
10．解：(1)由正方体可得：DD
1
⊥平面ABCD，AB⊥平面ADD
1
A
1
，
平面ABCD的一个法向量为
DD
1
，

40

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
平面ADD
1
A
1
的一个法向量为
AB
，
连接AC，AC⊥BD，AC⊥BB
1
，得AC⊥平面BB
1
D
1
D，
平面BDD
1
B
1
的一个法向量为
AC
．
(2)如图，建立空间直角坐标系D－xyz，

可得D
1
(0， 0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)．
DD
1
?(0,0,2),AB?(0,2,0),AC?(?2,2,0)

11．如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设AD＝2，

可得A(0，2，0)，B(4，2，0)，C(4，0，0)，P(0，0，2)，
E(2，0，0)，F(2，1，1)．
平面AEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
AE?(2,?2,0),AF?(2,?1,1)
，
?
2x?2y?0
，令x＝1，得y＝1，z＝－1，m＝(1，1，－1)．
?
?
2x?y?z?0
12．如图，建立空间直角坐标系D－xyz，

可得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B
1
(2 ，2，4)，
D
1
(0，0，4)，C
1
(0，2，4)，E(1 ，0，4)，F(0，0，2)，
M(1，2，0)，N(2，2，2)．
平面EFC
1
的一个法向量为m＝(x，y，z)，

41

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
EC
1
?(?1,2,0),EF?(?1,0,?2)
,
??
?x?2y?0
?
EC
1
?m?0
，所以，
?
?
?
?
?x?2z?0
?
EF?m?0
令y＝ 1，得x＝2，z＝－1，m＝(2，1，－1)．
设平面AMN的一个法向量为n＝(a，b，c)．
AM?(?1,2,0),AN?(0, 2,2)
，所以
?
?
?a?2b?0
．
?
2b?2c?0
令b＝1，得a＝2，c＝－1，n＝(2，1，－1)．
因为m＝n，所以平面EFC
1
∥平面AMN．
13．如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设AB＝2，

可得A(2，0，0 )，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B
1
(2，2，2)，
C
1
(0，2，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1，2，0)．
平面PA
1
A的一个法向量为m＝(x，y，z)，
AA,0)
，
1
?(0,0,2),AP?(?2,1
?
2z?0
，令x＝1，得 y＝2，m＝(1，2，0)，
?
?2x?y?0
?
同理，平面AMN的一个法向量为n＝(a，b，c)，
?
a?2b?0
．
DN?(1,2,0),DM?(0,2,1)
，所以
?
?
2b?c?0
令b＝1，得a＝－2，c＝－2，n＝(－2，1 ，－2)．
因为m·n＝0，所以m⊥n，所以平面PA
1
A⊥平面MND．
测试十五 直线与平面的夹角、二面角
Ⅰ 学习目标

1．会利用定义求直线与平面的夹角，二面角．
2．会利用平面的法向量求直线与平面的夹角，二面角．
3．会根据所给的几何体，合理的建立空间直角坐标系解决相关角度问题．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．若直线l与平面
??
成角为
π
，直线a在平面
??
内，且直线l与直线a异面，则直线l与直
3
42

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
线a所成的角的取值范围是( )
π2ππππ
(C)
[,]
(D)
(0,]

]

33322
π
2．已知二面角
?
－l－
??
的大小为，异面直线a，b分别垂直于平面
??
，
??
，则异 面直线a，
3
(A)
(0,]
(B)
[,
b所成角的大小为( )
(A)
π
3
π

6
π

6
(B)
π

3
π

4
(C)
π

2
π

3
(D)
2π

3
π

2
3．正 方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，B C
1
与平面BDD
1
B
1
所成角的大小为( ) < br>(A)(B)(C)(D)
4．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，点E为BB
1
中点，平面A
1
EC与平面ABCD所成二面角的
余弦值为( )

(A)
2

2
(B)
3

2
(C)
6

3
(D)
3

3< br>5．ABCD为正方形，E是AB中点，将△DAE和△CBE折起，使得AE与BE重合，记A，
B重合后的点为P，则二面角D－PE－C的大小为( )

(A)
π

6
(B)
π

4
(C)
π

3
(D)
π

2
二、填空题
6．设n
1
，n
2
分别为一个二面 角的两个半平面的法向量，若
?n
1
,n
2
??
2
π
，则此二面角的
3
大小为______.
7．棱长为1的正方体ABCD －A
1
B
1
C
1
D
1
，P是棱CC
1
上一点，CP＝m，且直线AP与平面
BB
1
D
1
D所 成的角的正弦值为
22
，则m＝______．
3
8．正四棱锥的底面边长 为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______．
9．在三棱锥O－ABC中， 三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB
的中点，则OM与平面ABC所 成角的余弦值是______．
10．如图，已知正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的所有棱长都相等，D是A
1
C
1
的中点， 则直线AD
与平面B
1
DC所成角的正弦值为______．

43

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版

三、解答题
11．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2，E，F分别为AD，AB的中点，求BC
1
与平 面A
1
EF
所成角的大小．




1 2．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，点E为AB中点，求二面角A
1
－EC－B的余弦值．





44

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版 13．正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AB＝BB
1
，D是BC的中点，

(1)求直线BB
1
与平面AC
1
D所成的角余弦值；
(2)求二面角C－AC
1
－D的大小．



14．三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝BC．

(1)求AC与平面SBC所成角的大小．
(2)求二面角A－SC－B的大小．



测试十五 直线与平面的夹角、二面角
1．C 2．B
3．A 建立空间直角坐标系，平面BDD
1
B
1
的法向量为
AC
．
4．C
5．C EP⊥PD，EP⊥PC，∠DPC是二面角D－PE－C的平面角，且P D＝PC＝CD，二面
角的平面角的大小为
6．
π
．
3
2
π
π
或．
33
1
7．
m?
．建立空间直角坐标系D－xyz，设P(0，1，m)，得
AP
＝(－1，1，m) ，平面
2
BB
1
D
1
D的法向量为
AC
= (－1，1，0)，设AP与平面BB
1
D
1
D所成角为
??
，则sin?＝

45

北京市西城区教辅-学习探究诊断- 高中版
|cos?AP,AC?|
?
8．
2
m
2
?2
?
22
．
3
25

5
3
9． 以为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设OA＝2，得
3
6
OM
＝(1，1，0)，平面ABC的法向量为m＝(1 ，1，1)，则
|cos?OM,m?|??

3
4
10．
5
11．解：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，AB＝2，

则A
1
(2，0，2)，E(1，0，0)，F(2，1，0)，B(2，2，0)，
C
1
(0，2，2),
BC
1
(?2,0,2),EF?( 1,1,0),

A
1
E?(?1,0,?2)
．
设平面A
1
EF的法向量为m＝(x，y，z)，
?
x?y?0
则
?
．
?x?2z?0
?
令z＝1，则x＝－2，y＝2，所以m＝(－2，2，1)． < br>设BC
1
与平面A
1
EF所成角为
??
，则
sin
?
?|cos?m,BC
1
?|?
BC
1
与 平面A
1
EF所成角的大小为
2
，
2
π
．
4
12．解：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设AB＝2，

则A
1
(2，0，2)，E(2，1，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)．
因为DD
1
⊥平面EBC，
所以平面EBC的法向量为
DD
1
?(0,0,2)
．

46

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
设平面A
1
EC的法向量为m＝(x，y，z)，
?
?2x?y?0
．
EC?(?2,1,0),A
1
E? (0,1,?2)
，则
?
?
y?2z?0
令z＝1，则y＝2，x＝ 1，所以m＝(1，2，1)，
cos?m,DD
1
??
m?DD
1
|m||DD
1
|
?
6
．
6
因为二面角 A
1
－EC－B为钝角，所以二面角A
1
－EC－B的余弦值为
?< br>13．解：取BC的中点D，如图，建立空间直角坐标系D－xyz，
6
．
6

设AB＝BB
1
＝2，
A
(3,0,0)< br>，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，C
1
(0，－1，2)，
(1)设平面AC
1
D的法向量为m＝(x，y，z)，
DA?(3,0,0),DC?(0,?1,2)
，
?
x?0
则
?
．令z＝1，则y＝2，所以m＝(0，2，1)．
?y?2z?0
?
设直线BB
1
与平面AC
1
D所 成的角为
??
，
BB
1
?(0,0,2)
，
则< br>sin
?
?|cos?m,BB
1
?|?
m?BB
1
|m||BB
1
|
?
5
，所以AC与平面SBC所成角的余 弦值
5
为
25
.
5
(2)设平面ACC
1
的法向量为n＝(x，y，z)
?
?3x?y?0
．
AC?(?3,?1,0),CC
1
?(0,0,2)
，则
?
?
z?0
令x＝1，则
y??3< br>，所以
n?(1,?3,0),cos?m,n??
m
?
n15
．
??
5
|m||n|
15
．
5
因为二面角 C－AC
1
－D为锐角，所以二面角A－SC－B余弦值为

47

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
14．解：如图，建立空间直角坐标系B－xyz，设AB＝1，

则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，S(0，1，1)．
(1)设平面SBC的法向量为m＝(x，y，z)，
SB?(0,1,1),BC?(1,0,0)

?
y?z?0
则< br>?
．令z＝1，则y＝－1，所以m＝(0，－1，1)．
x?0
?
设AC与平面SBC所成角为
??
，
AC?(1 ,?1,0)
,则
sin
?
?|cos?m,AC?|?
AC与平面 SBC所成角为
m
?
AC
|m||AC|
?
1
．
2
π
．
6
(2)设平面ASC的法向量为n＝(x，y，z)，
?
x?y?0
．
AS?(0,0,1),AC?(1,?1,0)
则
?
?
z?0
令x＝1，则y＝1，所以m＝(1，1，0)，
co s?m,n??
m
?
n1
??
．
|m||n|2
因为二面角A－SC－B为锐角，所以二面角A－SC－B为
π
．
3
测试十六 距离(选学)
Ⅰ 学习目标

1．掌握点到直线距离，点到平面的距离的向量公式．
2．会求两点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离．
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1．已知a
?
??
，A
?
??
，点A到平面
??
的距离为m，点A到直线a的距离为n，则( )
(A)m≥n (B)m＞n (C)m≤n (D)m＜n
2．正方体ABCD－A< br>1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，M是棱A1
A的中点，O是BD
1
的中点，则MO的
长为( )
(A)
3

3
(B)
2

2
(C)
2
(D)
6

3
3．矩形AB CD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则P到矩形对角线BD的距

48

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
离( )
(A)
13

5
(B)
17

5
(C)
1
29

2
(D)
1
129

5
4．已知直线a∥平面??
，且a与平面
??
的距离为d，那么到直线a的距离与到平面
??< br>的距离
都等于d的点的集合是( )
(A)一条直线 (B)三条平行直线 (C)两条平行直线 (D)两个平面
5．如图，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，O是底面A
1
B
1
C
1
D
1
的中心，则O到平面
ABC
1
D
1
的距离为( )

(A)
1

2
(B)
2

4
(C)
2

2
(D)
3

2
二、填空题
6．棱长为4的正方 体内一点P，它到共顶点的三个面的距离分别为1，1，3，则点P到正
方体中心O的距离为_____ _.
7．线段AB在平面
??
外，A，B两点到平面
??
的距离分 别为1和3，则线段AB的中点C到
平面
??
的距离为______．
8． 二面角
??
－l－
??
为60°，点A∈
??
，且点A到平 面
??
的距离为3，则点A到棱l的距离为
9．正方体ABCD－A
1B
1
C
1
D
1
的棱长为a，则直线BC到平面AB1
C
1
的距离为______．
10．如图，正方体的棱长为1，C， D分别是两条棱的中点，A，B，M是顶点，那么点M到
截面ABCD的距离是______．

三、解答题
11．正四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝2，BB
1
＝4，点E，F分别是C C
1
，A
1
D
1
的中点．

(1)求EF的长；
(2)求点A到直线EF的距离．

49

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版



12．正四棱锥S－ABCD的所有棱长均为2，E，F，G分别为棱AB，AD，SB的中点．

(1)求证：BD∥平面EFG，并求出直线BD到平面EFG的距离；
(2)求点C到平面EFG的距离．



13．长方体ABCD －A
1
B
1
C
1
D
1
中，AD＝1，AB ＝2，BB
1
＝3．
求两个平行平面AB
1
D
1
与平面BDC
1
之间的距离．

14．如图所示的多面体是由底面为ABC D的长方体被截面AEC
1
F所截面而得到的，其中
AEC
1
F为平 行四边形且AB＝4，BC＝2，CC
1
＝3，BE＝1．

(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC
1
F的距离．




50

北京市西城区教辅-学习探究诊断- 高中版
测试十六 距离(选学)
1．C 2．B 3．A 4．C 5．B
6．
3
以共顶点的三条棱为坐标轴建立空间直角坐标系，可得点P的坐标为(1， 1，3)，
中心O的坐标为(2，2，2)，所以
PO?(1,1,?1),|PO|?3．
7．1或2 分A，B两点在平面
??
同侧和异侧两种情况讨论．
8．
23

2
a

2
2
10． 如图，建立空间直角坐标系，可得
AM
=(0，1，0)，平面ABCD的法向量为m＝
3
9．
(－2，2，－1)，
d?
|AM
?
m|2
?
．
|m|3

11．解：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，

则A(2，0，0)，E(0，2，2)，F(1，0，4)．
EF
=(0，－2， 2)，所以
|EF|?1
2
?2
2
?(?2)
2
? 3
．
AF?(?1,0,4),|cos?AF,EF?|?
226
，
317
7
．
317
所以
sin?AF
?
EF??

51

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
d?|AF|sin
?A F,EF?|?
2
226
，即点A到直线EF的距离为
26
． 3
317
12．解：(1)因为E，F分别为棱AB，AD的中点，所以EF∥BD．又E F
?
平面EFG，BD
?
平面EFG，所以BD∥平面EFG．
如图建立空间直角坐标系，

则A(
2
，0，0)，B(0，2
，0)，D(0，－
2
，0)，
S(0，0，
2
)，E(
2222
，，0)，F(，－，0)，
2222
G(0，
22
，)．
22
设平面EFG的法向量 为m＝(x，y，z)，
EF?(0,?2,0),EC?(?
可得m＝(1，0，1)，
22
,0,)
,
22
EB?(?
22
|EB?
m|1
,,0)
，所以点B到平面EFG的距离为
d??
．
22
|m|2
即直线BD到平面EFG的距离
1
．
2(2)
EC?(?
322
|EC
?
m|3
,?,0), d?
?
．
22
|m|2
13．如图，建立空间直角坐标系D－xy z，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，B
1
(1，2，3)，D
1
( 0，
0，3)，C
1
(0，2，3)，设平面AB
1
D
1< br>与平面BDC
1
的一个法向量为m＝(x，y，z)，
AD
1
(－
1，0，3)，
DB
1
＝(1，2，0)．
?
?x?3z?0
，设x＝6，则y＝－3，z＝2，
?
x?2y?0
?
所以m＝(6，－3，2)．
平面AB
1
D
1
与平面BDC
1
之间的距离等于点到B平面AB
1< br>D
1
的距离，
AB
＝(0，2，0)，

52

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
所以
d?
6|AB
?
m|6
?
．平面AB
1
D
1
与平面BDC
1
之间的距离等于．
7
|m|7

14．解：(1)如图，建立空间直角坐标系D－xyz，

则D(0，0，0)，B(2，4，0)，
A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C
1
(0，4，3)．
设，F(0，0，z)．
∵AEC
1
F为平行四边形，
∴
AF?EC
1
，(－2，0，z)＝(－2，0，2)
∴z＝2 ．∴F(0，0，2)．∴
BF
＝(－2，4，2)，
|BF|?26
． < br>(2)设n
1
为平面AEC
1
F的法向量，显然n
1
不垂直于平面ADF，
所以设n
1
＝(x，y，z)．
?
?4y?z?0,
?
n
1
?
AE?0
由
?
，得
?
,
设y＝1，则x＝－4，z＝－4，
?2x?2x?0
?
?
?
n
1
?
AF?0
∴n
1
＝ (－4，1，－4)．
又
CC
1
?(0,0,3),d?
433< br>|CC
1
?n
1
|433
∴C到平面AEC
1
F的距离为.
?
11
|n
1
|11

53

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
测试十七 角和距离的综合运算(选学)
Ⅰ 学习目标

会建立适当的坐标系处理角度和距离的综合问题．
Ⅱ 基础性训练

解答题
1．如图，长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB＝BC＝1，BB
1
＝2，连接B
1
C，过B作B
1
C的垂
线交CC
1
于E，交B
1
C于F,
(1)求证：A
1
C⊥平面EBD；
(2)求点A到平面A
1
B
1
C的距离：
(3)求直线DE与平面 A
1
B
1
C所成角的正弦值．



2．已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90° ，PA⊥底面ABCD，
且PA＝AD＝DC＝

1
AB?1
，M是PB的中点。
2
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；
(2)求AC与PB所成的角的余弦值；
(3)求平面AMC与平面PMC所成二面角的余弦值．



3 ．如图，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，∠ABC＝ 90°，AB＝BC＝BB
1
＝1，点D是A
1
C的
中点．

(1)求A
1
B
1
与AC所成的角的大小；

54

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
(2)求证：BD⊥平面AB
1
C；
(3)求二面角C－AB
1
－B的余弦值．



4．如图，正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的所有棱长都 为2，D为CC
1
中点．

(1)求证：AB
1
⊥平面A
1
BD；
(2)求二面角A－A
1
D－B的余弦值；
(3)求点C到平面A
1
BD的距离．



5 ．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC
＝< br>22
，M，N分别为AB，SB的中点．

(1)证明：AC⊥SB；
(2)求二面角N－CM－B的余弦值；
(3)求点B到平面CMN的距离．



6．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥B C，PD⊥CD，且
PA＝2，E为PD中点．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求二面角E－AC－D的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面 PAF的距离为
F的位置；若不存在，请说明理由．

55

25
5
？若存在，确定点

北京市西城区教辅-学习探究诊断- 高中版
测试十七 角和距离的综合运算(选学)
1．解：如图建立空间直角坐标系A－xyz．
(1)A(0，0，0，)，A
1< br>(0，0，2)，E(1，1，
1
)B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1 ，0)，
2
1
?A
1
C?(1,1,?2),BE?(0,1,2 ),DE?(1,0,)
.
2
?
A
1
C
?
BE?0,A
1
C
?
DE?0
，
A
1
C?BE,A
1
C?DE,
即A
1
C⊥BE，A
1
C⊥DE．
∵BE∩DE＝E所以A
1
C⊥平面EBD．

(2)设平面A
1
B
1
C的一个法向量为m＝(x，y，z)， < br>?
?
A
1
B
1
?
m?0
?
x?0
?
?
则，
?
，令z＝1，得m＝(0，2，1)．
y?2z
?
?
B
1
C
?
m?0
?
?
AA
1
=(0，0，2)，
所以，所求的距离为
d?
| AA22
1
?m|
??5
．
|m|
5
5
1
2
(3)由(2)知，m＝(0，2，1)．
?ED?(?1,0,?)
，
设
ED
与m所成角为
??
，则
sin
?
? |cos?m,ED?|?
|m?ED|
|m|?|ED|
?
1
．
5
所以直线ED与平面A
1
B
1
C所成角的正弦值为
1
.
5
2．解一：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD，∴AB⊥底面PAD．
∵AB∥DC，∴DC⊥底面PAD．
∵DC
?
平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．
解二：(1)如图，建立空间直角坐标系A－xyz，

56

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版

P(0，0，1)，D (1，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，M(0，1，
1
)
2可求出平面PAD法向量为
AD
＝(0，2，0)，平面PDC法向量为a＝(1，0，< br>1)，
AD
·m＝0，所以平面PAD⊥平面PCD．
(2)
AC< br>＝(1，1，0)，
PB
＝(0，2，－1)，
|cos?AC,PB?|?< br>角的余弦值为
10
AC与PB所成的
5
10
．
5
(3)设平面AMC的一个法向量为m＝(x，y，z)，
1
?
1
?
y?z?0
，令z＝2，则y＝－1，x＝1，
AM?(0,1,),AC?(1,1,0),
?
2
2
?
?
x?y?0
所以m＝(1，－1，2)．
同理可求平面PMC的法向量为n＝(1， 1，2)，
cos?m,n??
4
6
?
6
?
2．
3
平面AMC与平面PMC所成二面角的余弦值
3．解：建立空间直角坐标系 B－xyz，如图，
2
．
3

则B(0，0，0)，A(1，0 ，0)，C(0，1，0)，B
1
(0，0，1)，A
1
(1，0，1)，D (
(1)
A
1
B
1
＝(－1，0，0)，
AC＝(－1，1，0)，
所以
|cos?A
1
B
1
,A C?
111
，，)．
222
|A
1
B
1
?
AC|2
，
?
2
|A
1
B
1
?
AC|
所以A
1
B
1
与AC所成的角为45°．
(2)则
BD
=(< br>111
，，)，
AC
=(－1，1，0)，
222
57

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
AB
1
=(－1，0，1)．∴
BD
?
AC?0,BD
?
AB
1
?0.

∴BD⊥AC，BD⊥AB
1
，且AC∩AB
1< br>＝A．∴BD⊥平面AB
1
C．
(3)∵BC⊥BB
1
，BC⊥AB，AB∩BB
1
＝B，
∴BC⊥平面ABB
1
，∴
BC
是平面ABB
1
的法向量 ．
由(2)可知
BD?(,
111
,)
是平面AB
1C的法向量．
222
1
3
BC
?
BD3
．即 二面角C－AB
1
－B的余弦值为．
cos?BC,BD???
2
?
3
3
3
|BC||BD|
2
4．解：(1)取BC中点O ，连接AO．

∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，平面ABC⊥平面BCC
1
B
1
，∴AO⊥平面BCC
1
B
1
．
取B1
C
1
中点O
1
，以O为原点，
OB,OO
1
,OA
的方向为x，y，z轴的正方向建立
空间直角坐标系，则
B(1，0 ，0)，D(－1，1，0)，A
1
(0，2，
3
)，A(0，0，
3
)，B
1
(1，2，0)，
∴
AB,2,?3),BD?(?2,1,0),BA,2,3)
．
1?(1
1
?(?1
∵
AB
1
?
BD??2?2 ?0?0,AB
1
?
BA
1
??1?4?3?0
，
∴
AB
1
?BD,AB
1
?BA
1
．AB
1
⊥平面A
1
BD．
(2)设平面AB⊥的法向量为n＝(x，y，z) ．
AD
=(－1，1，－
3
)，
AA

1
＝(0，2，0)．
?
?
n
?
AD?0,
?
?x? y?3z?0,
?
y?0,
∵
n|AD,n?AA
∴
?∴
?

1
，∴
?
?
?
x??3z.< br>?
n
?
AA
1
?0,
?
2y?0,
令z＝1得n＝(
?3
，0，1)为平面A
1
AD的一个法向量．
由(1)知AB
1
⊥平面A
1
BD，∴
AB
1
为平 面A
1
BD的法向量．

58

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版
cos?n,AB
1??
|n||
?
|AB
1
|
n?AB
1
?
?3?36
??
．
4
2
?
22
∴二 面角A－A
1
D－B的余弦值为
6
．
4
(3)由(2)，
AB
1
为平面A
1
BD法向量，
∴点C到平面A
1
BD的距离
d?
|BC
?
AB
1
|
|A B
1
|
?
|?2|2
．
?
2
22
5．解：取AC的中点O，连接SO，BO，因为SA＝SC＝
23
，所以SO⊥AC，平面 SAC⊥
平面ABC，SO⊥平面ABC，又BO⊥AC
所以，如图建立空间直角坐标系O－xyz，

则A(2，0，0)，B(0，23
，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，
22
)，
M(1，
3
，0)，N(0，
3
，
2
)．
(1)
AC?(?4,0,0),SB?(0,23,?22),AC
?
SB?0< br>，∴
AC?SB
，即
AC?SB
．
(2)平面BCM的法向量为
OS?(0,0,22)

设平面CMN的一个 法向量为m＝(x，y，z)，
CM
＝(3，3
3
，0)，
MN＝(－1，0，
2
)
?
?
3x?3y?0
所以
?
．令z＝1，则，
x?2,y??6
，所以
m?(2,?6,1)
．
?
?
?x?2z?0
cos?OS,m??
1
1?
．即二面角N－CM－B的余弦值为．
3
|OS||m|
3
42
|MB
?
m|42
，所以点B到平面CMN的距离为．
?
3
3
|m|
OS?m
(3)
MB?(?1,3,0),d?
6．(1)证明：∵底面ABCD为正方形，
∴BC⊥AB，又BC⊥PB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA．
同理CD⊥PA，∴PA⊥平面ABCD．
(2)解：建立如图的空间直角坐标系A－xyz，

59

北京市西城区教辅-学习探究诊断-高中版

则A(0，0，0)，C(2，2，0)，E(0，1，1)．
设m＝(x，y，z)为平面AEC的一个法向量，
则
m?AE,m?AC
．又
AE
＝(0，1，1)，
?
y?z?0,
AC
＝(2，2，0)，∴
?
令x＝1，
?
2x?2y?0.
则y＝－1，z＝1，得m＝(1，－1，1)．
又
AP
(0，0，2)是平面ACD的一个法向量，
所以
cos? m,AP??
m
?
AP
|m|
?
|AP|
?
2
3
?
．
3
3
?
2
又二面角E－AC－D为锐二面角，
∴二面角E－AC－D的余弦值为
3
．
3
(3)解：设F(2，t ，0)(0≤t≤2)，n＝(a，b，c)为平面PAF的一个法向量，
则n⊥
AP
，n⊥
AF
．又
AP
＝(0，0，2)，
AF
＝(2，t ，0)，
∴
?
?
2c?0,
令a＝t，则b＝－2，c＝0，得n ＝(t，－2，0)．又
AE
(0，1，1)，
?
2a?tb?0.
|AE
?
n|2
225
，∴，
|?
?
2
2
|n|
5
t?4
t?4
25
，且F为BC中点．
5
∴点E到平面PAF的距离
?
解得t＝1，即F(2，1，0)．
∴在线段BC上存在点F，使得点E到平面PAF的距离为


60