北京市西城区教辅资料-学习探究诊断-高中数学(必修5)第二章-数列

北京市西城区教辅资料-学习探究诊断-高中数学
必修五全册练习和参考答案
第二章：数列
测试三 数列
Ⅰ 学习目标
1．了解数列的概念和几 种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊
的函数.
2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.
3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．数列{a
n
}的前四项依次是：4，44，4 44，4444，…则数列{a
n
}的通项公式可以是(
(A)a
n
＝4n (B)a
n
＝4
n

(C)a
n
＝
4
9
(10
n
－1) (D)a
n
＝4×11
n

2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，……中，x的值是( )
(A)30 (B)35 (C)36 (D)42
3．数列{a
n
}满足 ：a
1
＝1，a
n
＝a
n
－
1
＋3n，则 a
4
等于( )
(A)4 (B)13 (C)28 (D)43
4．156是下列哪个数列中的一项( )
(A){n
2
＋1} (B){n
2
－1} (C){n
2
＋n} (D){n
2
＋n－1}
5．若数列{a
n
}的通项公式为an
＝5－3n，则数列{a
n
}是( )
(A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对
二、填空题
6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：
(1)
1,
23
,
1
2
,
2
5
,
1
3,?,a
n
＝________；
(2)0，1，0，1，0，…，a
n
＝________.
7．一个数列 的通项公式是a
n
2
n
＝
n
2
?
1
.
(1)它的前五项依次是________；
(2)0.98是其中的第________项.
8．在数列{a
n
}中， a
1
＝2，a
n
＋
1
＝3a
n
＋1，则a
4
＝________.
9．数列{a
1
n
}的通项公式 为
a
n
?
1
?
2
?
3
???(2n
?
1)
(n∈N
*
)，则a
3
＝___ _____.
10．数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n
2
－15n＋3，则它的最小项是第________项.
三、解答题
11．已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝14－3n.
(1)写出数列{a
n
}的前6项；
(2)当n≥5时，证明a
n
＜0.
)

n
2
?n?
1
12．在数列{a
n< br>}中，已知a
n
＝(n∈N
*
).
3
(1)写出a
10
，a
n
＋
1
，
a
n
2
；
(2)79



13．已知函数
f(x)?x?
2
是否是此数列中的项？若是，是第几项？
3
1
，设a
n
＝f(n)(n∈N
＋
).
x
(1)写出数列{a
n
}的前4项；
(2)数列{a
n
}是递增数列还是递减数列？为什么？



测试四 等差数列
Ⅰ 学习目标
1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题.
2．掌握等差数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．数列{a
n
}满足：a
1
＝ 3，a
n
＋
1
＝a
n
－2，则a
100
等 于( )
(A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－198
2．数列 {a
n
}是首项a
1
＝1，公差d＝3的等差数列，如果a
n
＝2008，那么n等于( )
(A)667 (B)668 (C)669 (D)670
3．在等差数列{a
n
}中，若a
7
＋a
9
＝16 ，a
4
＝1，则a
12
的值是( )
(A)15 (B)30 (C)31 (D)64
4．在a和b(a≠b)之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则该数列的公差为( )
b?ab
?
ab
?
ab
?
a
(B) (C) (D)
nn?1n?1n?2
5．设数列{a
n
}是等差数列，且 a
2
＝－6，a
8
＝6，S
n
是数列{a
n
}的前n项和，则( )
(A)S
4
＜S
5
(B)S
4
＝S
5
(C)S
6
＜S
5
(D)S
6
＝S
5

二、填空题
6．在等差数列{an
}中，a
2
与a
6
的等差中项是________.
7．在等差数列{a
n
}中，已知a
1
＋a
2
＝5，a< br>3
＋a
4
＝9，那么a
5
＋a
6
＝____ ____.
8．设等差数列{a
n
}的前n项和是S
n
，若S17
＝102，则a
9
＝________.
9．如果一个数列的前n 项和S
n
＝3n
2
＋2n，那么它的第n项a
n
＝____ ____.
10．在数列{a
n
}中，若a
1
＝1，a
2
＝2，a
n
＋
2
－a
n
＝1＋(－1)
n
(n∈N
*
)，设{a
n
}的前n项和是S
n
，< br>(A)

则S
10
＝________.
三、解答题
11．已知数列{a
n
}是等差数列，其前n项和为S
n
，a
3
＝7，S
4
＝24．求数列{a
n
}的通项公式.



12．等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
， 已知a
10
＝30，a
20
＝50.
(1)求通项a
n
；
(2)若S
n
＝242，求n.



13．数列{a
n
}是等差数列，且a
1
＝50，d＝－0.6．
(1)从第几项开始a
n
＜0；
(2)写出数列的前n项和公式S
n
，并求S
n
的最大值.



Ⅲ 拓展训练题
14．记数列{a
n
} 的前n项和为S
n
，若3a
n
＋
1
＝3a
n
＋2(n∈N
*
)，a
1
＋a
3
＋a
5
＋…＋a
99
＝90，求
S
100
．



测试五 等比数列
Ⅰ 学习目标
1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题.
2．掌握等比数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．数列{a
n
}满足：a
1
＝ 3，a
n
＋
1
＝2a
n
，则a
4
等于( )
3
(A) (B)24 (C)48 (D)54
8
2．在各项都为正 数的等比数列{a
n
}中，首项a
1
＝3，前三项和为21，则a
3
＋a
4
＋a
5
等于( )
(A)33 (B)72 (C)84 (D)189
3．在等比数列{a
n
}中，如果a
6
＝6，a
9
＝9，那么a
3
等于( )
316
(C) (D)3
29
4．在等比数列{a
n
}中，若a
2
＝9，a
5
＝243，则{a
n
}的前四项和为( )
(A)81 (B)120 (C)168 (D)192
－
5．若数列{a
n
}满足a
n
＝a
1
q
n
1
(q＞1) ，给出以下四个结论：
①{a
n
}是等比数列； ②{a
n
}可能是等差数列也可能是等比数列；
③{a
n
}是递增数列； ④{a
n
}可能是递减数列.
(A)4 (B)

其中正确的结论是( )
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
二、填空题
6．在等比数列{a
n
}中,a
1
，a
10
是方程3x
2
＋7x－9＝0的两根， 则a
4
a
7
＝________.
7．在等比数列{a
n
}中，已知a
1
＋a
2
＝3，a
3
＋a
4
＝6，那么a
5
＋a
6
＝________.
8．在等比 数列{a
n
}中，若a
5
＝9，q＝
1
，则{a
n
}的前5项和为________.
2
8
27
9．在和之间插入三 个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.
2
3
1 0．设等比数列{a
n
}的公比为q，前n项和为S
n
，若S
n＋
1
，S
n
，S
n
＋
2
成等差数列， 则q＝________.
三、解答题
11．已知数列{a
n
}是等比数 列，a
2
＝6，a
5
＝162.设数列{a
n
}的前n项和 为S
n
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若S
n
＝242，求n.



12．在 等比数列{a
n
}中，若a
2
a
6
＝36，a
3< br>＋a
5
＝15，求公比q.



13．已知实数 a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，且a＋b＋c＝15，求a，
b，c.



Ⅲ 拓展训练题
14．在下列由正数排成的数表中，每行 上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于
q，每列上的数从上到下都成等差数列.a
ij
表示位于第i行第j列的数，其中a
24
＝
a
42
＝1 ，a
54
＝
a
11

a
21

a
31

a
41

…
a
i1

…
1
，
8
5
.
16
a
13

a
23

a
33

a
43

…
a
i3

…
a
14

a
24

a
34

a
44

…
a
i4

…
a
15

a
25

a
35

a
45

…
a
i5

…
…
…
…
…
…

…
a
1j

a
2j

a
3j

a
4j

…
a
ij

…
…
…
…
…
…

…
a
12

a
22

a
32

a
42

…
a
i2

…
(1)求q的值；
(2)求a
ij
的计算公式.

测试六 数列求和
Ⅰ 学习目标
1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和.
2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( )
(A)15 (B)17 (C)19 (D)21
2．若数列{a
n
}是 公差为
1
的等差数列，它的前100项和为145，则a
1
＋a
3< br>＋a
5
＋…＋a
99
的
2
值为( )
(A)60 (B)72.5 (C)85 (D)120
－
3．数列{a
n
}的通项公式a
n
＝(－1)
n
1
·2n(n∈N
*
)，设其前n项和为S
n
，则S
100
等于( )
(A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200
4．数列
?
(A)
??
1
?
的前n项和为( )
?
(2
n
?1)(2
n
?1)
?
n2 nn2n
(B) (C) (D)
2n?12
n?
14n?2
n ?
1
5．设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，a
2
＝2，且a
n
＋
2
＝a
n＋3(n＝1，2，3，…)，则S
100
等于( )
(A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950
二、填空题
6．
1
2
?
1
?
1
3
?
2
?
1
4
?
3
???
1
n?
1
?n
＝_____ ___.
7．数列{n＋
1
}的前n项和为________.
2
n
22
2
8．数列{a
n
}满足：a
1
＝1，a
n
＋
1
＝2a
n
，则a
1
＋a
2
＋…＋a
n
＝________.
9．设n∈N
*
，a∈ R，则1＋a＋a
2
＋…＋a
n
＝________.
10．1?
1111
?2??3????n?
n
＝________.
2482
三、解答题
11．在数列{a
n
}中，a
1＝－11，a
n
＋
1
＝a
n
＋2(n∈N
*< br>)，求数列{|a
n
|}的前n项和S
n
.



12．已知函数f(x)＝a
1
x＋a
2
x
2< br>＋a
3
x
3
＋…＋a
n
x
n
(n∈ N
*
，x∈R)，且对一切正整数n都有f(1)
＝n
2
成立.
(1)求数列{a
n
}的通项a
n
；
(2)求
111
????
.
a
1
a
2< br>a
2
a
3
a
n
a
n
?
1< /p>

13．在数列{a
n
}中，a
1
＝1，当n≥2时，a
n
＝
1
?



Ⅲ 拓展训练题
14．已知数列{a
n
}是等差数列，且a
1< br>＝2，a
1
＋a
2
＋a
3
＝12.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)令b
n
＝a< br>n
x
n
(x∈R)，求数列{b
n
}的前n项和公式.



111
????
n
?
1
， 求数列的前n项和S
n
.
242
测试七 数列综合问题
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1．等差数列{a
n
}中，a
1
＝1，公差d≠0，如果a
1
，a
2
，a
5
成等比数列，那 么d等于( )
(A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2
2．等比数列{ a
n
}中，a
n
＞0，且a
2
a
4
＋2a
3
a
5
＋a
4
a
6
＝25，则a
3
＋a
5
等于( )
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
3．如果a
1
，a
2
，a
3
，…，a
8
为各项都是正数的等差数列，公差d≠0，则( )
(A)a
1
a
8
＞a
4
a
5
(B)a
1
a
8
＜a
4
a
5

(C)a
1
＋a
8
＞a
4
＋a
5
(D)a
1
a
8
＝a
4
a
5

4 ．一给定函数y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a
1
∈(0，1)，由关系式an
＋
1
＝f(a
n
)得到
的数列{a
n
}满足a
n
＋
1
＞a
n
(n∈N
*
)， 则该函数的图象是( )

5．已知数列{a
n
}满足a
1
＝0，
a
n
?
1
?
a
n
?
3
(n∈N
*
)，则a
20
等于( )
3a
n
?
1
(C)
3
(D)(A)0
二、填空题
(B)－
3

3

2
?1
a,
?
1
?
2
n
6．设数列{a
n
}的首项a
1
＝，且
a
n
?
1
?
?
4
?
a
?
1
,
n
?
4
?
n
为偶数,
则a
2
＝________，a
3
＝
n
为奇数.

________.
7．已知等差数列{an
}的公差为2，前20项和等于150，那么a
2
＋a
4
＋a
6
＋…＋a
20
＝________.
8．某种细菌的培养过程中 ，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细
菌可以由1个繁殖成_______ _个.
9．在数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
n
＋
1
＝a
n
＋3n(n∈N
*
)，则a
n
＝________.
10．在数列{a
n
}和{b
n
}中，a< br>1
＝2，且对任意正整数n等式3a
n
＋
1
－a
n< br>＝0成立，若b
n
是a
n
与
a
n
＋
1
的等差中项，则{b
n
}的前n项和为________.
三、解答题
11．数列{a
n
}的前n项和记为S
n
，已知a
n
＝5S
n
－3(n∈N
*
).
(1)求a
1
，a
2
，a
3
；
(2)求数列{a
n
}的通项公式；
(3)求a
1
＋a< br>3
＋…＋a
2n
－
1
的和.



12．已知函数f(x)＝
式.



13．设等差数列 {a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
3
＝12，S
12
＞0，S
13
＜0.
(1)求公差d的范围；
(2)指出S
1
，S
2
，…，S
12
中哪个值最大，并说明理由.



Ⅲ 拓展训练题
14．甲、乙两物体分别从相距70m的 两地同时相向运动.甲第1分钟走2m，以后每分钟比
前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每 分钟比前1分钟多走1m，乙继续每
分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？



15．在数列{a
n
}中，若a
1
，a
2
是正整数，且a
n
＝|a
n
－
1
－a
n
－
2
|，n＝3，4，5，…则称{a
n
}为“绝
对差数 列”.
(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；
(2)若“ 绝对差数列”{a
n
}中，a
1
＝3，a
2
＝0，试求出通 项a
n
；
(3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.



2
2
*
(x＞0)，设a＝1，a
1
n?1
·f(a
n
)＝2(n∈N)，求数列{a
n
}的 通项公
2
x?
4

测试八 数列全章综合练习
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1．在等差数列{a
n
}中，已知a
1< br>＋a
2
＝4，a
3
＋a
4
＝12，那么a
5
＋a
6
等于( )
(A)16 (B)20 (C)24 (D)36
2．在50和350间所有末位数是1的整数和( )
(A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)4877
3．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax< br>2
＋bx＋c的图象与x轴的交点个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定
4．在等差数列{a
n
}中，如果前5项的和为S
5
＝20，那么a
3
等于( )
(A)－2 (B)2 (C)－4 (D)4
5．若{a
n
}是等差数列，首项a
1
＞0，a
2007
＋a
2008
＞0，a
2007
·a
2008＜0，则使前n项和S
n
＞0
成立的最大自然数n是( )
(A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015
二、填空题
6．已知等比数列{a
n
}中，a
3
＝3，a
10
＝384 ，则该数列的通项a
n
＝________.
7．等差数列{a
n
}中，a
1
＋a
2
＋a
3
＝－24，a
18
＋a
19
＋a
20
＝78，则此数列前20项和S
20
＝ ________.
8．数列{a
n
}的前n项和记为S
n
，若S
n
＝n
2
－3n＋1，则a
n
＝________. a
3
?
a
6
?
a
9
9．等差数列{a
n
}中，公差d≠0，且a
1
，a
3
，a
9
成等比数列，则
a
＝________.
4
?
a
7?
a
10
10．设数列{a
n
}是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a
n?1
－na
n
＋a
n
＋
1
a< br>n
＝0(n∈N
*
)，则它的通
项公式a
n
＝___ _____.
三、解答题
11．设等差数列{a
n
}的前n项和为Sn
，且a
3
＋a
7
－a
10
＝8，a
11
－a
4
＝4，求S
13
.


< br>12．已知数列{a
n
}中，a
1
＝1，点(a
n
， a
n
＋
1
＋1)(n∈N
*
)在函数f(x)＝2x＋1的 图象上.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)求数列{a
n
}的前n项和S
n
；
(3)设cn
＝S
n
，求数列{c
n
}的前n项和T
n
.



13．已知数列{a
n
}的前n项和S
n< br>满足条件S
n
＝3a
n
＋2.
(1)求证：数列{a
n
}成等比数列；
(2)求通项公式a
n
.



14．某渔业公 司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从
第二年开始包括维修费在 内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总
收入为50万元.
2
2

(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；
(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？
(3)若当盈利总 额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益
是多少万元？



Ⅱ 拓展训练题
15．已知函数f(x)＝
(1)求a
n
；
(2)设b
n
＝a
n?1
＋a
n?2
＋…＋a
2n?1
，是否存 在最小正整数m，使对任意n∈N
*
有b
n
＜
成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.



16．已知f是直角坐标系平面xO y到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q
＝f(P).
设P
1(x
1
，y
1
)，P
2
＝f(P
1
) ，P
3
＝f(P
2
)，…，P
n
＝f(P
n
－
1
)，….如果存在一个圆，使所
有的点P
n
(x
n< br>，y
n
)(n∈N
*
)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn
(x
n
，y
n
)的一个收敛
圆.特别地，当P
1
＝f(P
1
)时，则称点P
1
为映射f下的不动点.
若点P(x，y)在映射f下的象为点Q(－x＋1，
2
22
1
x?
4
2
(x＜－2)，数列{a
n
}满足a
1
＝1，a
n
＝f(－
1
a
n
?
1
)(n∈N
*< br>).
m
25
1
y).
2
(1)求映射f下不动点的坐标；
(2)若P
1
的坐标为(2， 2)，求证：点P
n
(x
n
，y
n
)(n∈N
*< br>)存在一个半径为2的收敛圆.

北京市西城区教辅资料-学习探究诊断-高中数学
必修五全册练习和参考答案
第二章 数列
测试三 数列
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4．C 5．B
二、填空题
1
?
(
?1)
n
2
6．(1)
a
n
?
(或其他符合要求 的答案) (2)
a
n
?
(或其他符合要求的答案)
2n
?
1
1491625
1
7．(1)
,,,,
(2)7 8．67 9． 10．4
15
25101726
提示：
9．注意a
n
的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.
10．将数列{an
}的通项a
n
看成函数f(n)＝2n
2
－15n＋3，利用 二次函数图象可得答案.
三、解答题
11．(1)数列{a
n
}的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；
(2)证明：∵n≥5，∴－3n＜－15，∴14－3n＜－1，
故当n≥5时，a
n
＝14－3n＜0.
109n
2
?< br>3n
?
1n
4
?
n
2
?
1
,a
n
?
1
?
,a
n
2
?
12． (1)
a
10
?
；
333
2
是该数列的第15项.
3
1
38
15< br>13．(1)因为a
n
＝n－，所以a
1
＝0，a
2
＝，a
3
＝，a
4
＝；
23
4
n
(2) 79
(2)因为a
n
＋
1
－a
n
＝[(n＋1)< br>?
1
1
1
]－(n－)＝1＋
n
(
n?< br>1)
n
?
1
n
又因为n∈N
＋
，所以an
＋
1
－a
n
＞0，即a
n
＋
1＞a
n
.
所以数列{a
n
}是递增数列.
测试四 等差数列
一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．B 5．B
二、填空题
6．a
4
7．13 8．6 9．6n－1 10．35
提示：
10．方法一：求出前10项，再求和即可； < br>方法二：当n为奇数时，由题意，得a
n
＋
2
－a
n
＝0，所以a
1
＝a
3
＝a
5
＝…＝a
2m
－
1
＝1(m∈
N
*
).
当n为偶数时，由题意，得a
n
＋
2
－a
n
＝2，
即a
4
－a
2
＝a
6
－a
4
＝… ＝a
2m
＋
2
－a
2m
＝2(m∈N
*
) .

所以数列{a
2m
}是等差数列.
故S
10< br>＝5a
1
＋5a
2
＋
5?(5?1)
×2＝35.
2
三、解答题
11．设等差数列{a
n
}的公差是d，依题意得
?
a
1
?
2d
?
7,
?
a
?
3,
?
解得
?
1

?
4
?< br>3
d
?
2.
4a
1
?
d
?
24.
?
?
2
?
∴数列{a
n
}的通项公式为a< br>n
＝a
1
＋(n－1)d＝2n＋1.
12．(1)设等差数列{a
n
}的公差是d，依题意得
?
a1
?
9d
?
30,
?
a
?
12,解得
?
1

?
a
?
19d
?
50.
d
?
2.
?
?
1
∴数列{a
n}的通项公式为a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝2n＋10.
n?(n?1)
×2＝n
2
＋11n，
2
∴S
n
＝n
2
＋11n＝242，解得n＝11，或n＝－22(舍).
13．( 1)通项a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝50＋(n－1)×(－0.6)＝－ 0.6n＋50.6.
解不等式－0.6n＋50.6＜0，得n＞84.3.
因为n∈N
*
，所以从第85项开始a
n
＜0.
(2)数 列{a
n
}的前n项和S
n
＝n×12＋
(2)S
n
＝na
1
＋
n(n?1)
n(n?1)
d＝50n＋×(－0.6 )＝－0.3n
2
＋50.3n.
2
2
由(1)知：数列{an
}的前84项为正值，从第85项起为负值，
所以(S
n
)
max
＝S
84
＝－0.3×84
2
＋50.3×84＝2108. 4.
14．∵3a
n
＋
1
＝3a
n
＋2，∴a< br>n
＋
1
－a
n
＝
2
，
3
2
的等差数列.
3
100
.
3
由等 差数列定义知：数列{a
n
}是公差为
记a
1
＋a
3
＋a
5
＋…＋a
99
＝A，a
2
＋a
4
＋a
6
＋…＋a
100
＝B，
则B＝(a
1
＋d )＋(a
3
＋d)＋(a
5
＋d)＋…＋(a
99
＋d)＝ A＋50d＝90＋
所以S
100
＝A＋B＝90＋90＋
1
100
＝213.
3
3
测试五 等比数列
一、选择题
1．B 2．C 3．A 4．B 5．D
提示：
5． 当a
1
＝0时，数列{a
n
}是等差数列；当a
1
≠0时， 数列{a
n
}是等比数列；
当a
1
＞0时，数列{a
n< br>}是递增数列；当a
1
＜0时，数列{a
n
}是递减数列.
二、填空题
6．－3 7．12 8．279 9．216 10．－2
提示：
10．分q＝1与q≠1讨论.
当q＝1时，S
n< br>＝na
1
，又∵2S
n
＝S
n
＋
1
＋S
n
＋
2
，

∴2na
1
＝(n ＋1)a
1
＋(n＋2)a
1
，
∴a
1
＝0(舍).
a
1
(1
?
qn
)
当q≠1，S
n
＝.又∵2S
n
＝S
n< br>＋
1
＋S
n
＋
2
，
1
?
q
a
1
(1
?
q
n
)a
1
(1< br>?
q
n
?
1
)a
1
(1
?
q
n
?
2
)
?
∴2×＝，
1
?
q1
?
q1
?
q
解得q＝－2，或q＝1(舍).
三、解答题
－
11．(1)a
n
＝2×3
n
1
； (2)n＝5.
12．q＝±2或±
1
.
2
?
a
?
c
?
2b,
?
a
?
2
?
a< br>?
11
?
??
13．由题意，得
?
(a
?< br>1)(c
?
4)
?
(b
?
1)
2
， 解得
?
b
?
5
，或
?
b
?
5.
?
c
?
8
?
c
??
1
?
a
?
b
?
c
?
15.
??
?a
54
?
a
24
5
?
2
51
?
168
?
1
.
?
316
14．(1)设第4列 公差为d，则
d
?
故a
44
＝a
54
－d＝
a
511
1
??
，于是q
2
＝
a
44< br>?
.
42
4
16164
由于a
ij
＞0， 所以q＞0，故q＝
1
.
2
111
(2)在第4列中，a
i4
＝a
24
＋(i－2)d＝
?
(i
?
2)?
i
.
81616
由于第i行成等比数列，且公比q＝
所以， a
ij
＝a
i4
·q
j
4
＝
－
1
，
2
111
i
?
()
j
?
4< br>?
i
?
()
j
.
1622
测试六 数列求和
一、选择题
1．B 2．A 3．B 4．A 5．C
提示：
1．因为a
5
＋a
6
＋a
7
＋a
8
＝(a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
)q
4
＝1×2
4
＝16，
所以S
8
＝ (a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
)＋(a5
＋a
6
＋a
7
＋a
8
)＝1＋16＝17.
2．参考测试四第14题答案.
3．由通项公式，得a
1
＋a
2< br>＝a
3
＋a
4
＝a
5
＋a
6
＝…＝ －2，所以S
100
＝50×(－2)＝－100.

4．
???? ?
(1
?
)
?
(
?
)
???
(< br>?
)

1
?
33
?
5(2
n?1)(2
n?
1)2323522
n?
12
n?
1111111n
.
?
[(1
?
)
?
(
?
)
???
(
?
)]
?
23352n
?
12n
?
12n
?
1
5．由题设，得a
n
＋
2
－a
n
＝3，所以数列{a
2n
－
1
}、{a
2n
}为等差数列，
前100项中奇数项、偶数项各有50项，

其中奇数项和为50×1＋
所以S
100
＝7500.
二、填空题
6．
n?1?1
7．
?
?
1 ,
?
9．
?
n
?
1,
?
n
?1
?
1
?
a
,
?
1
?
a50?4950?49
×3＝3725，偶数项和为50×2＋×3＝3775，
22< br>1
n(n
?
1)1
?
n
?
1
8．(4
n
－1)
2
3
2
1
2
n
?
1
n

n
2
(a
?
0)
(a
?
1)
(a
?
?
0,且a
?
?
1)
10．
2
??
提示：
6．利用
1
n
?
1
?
n
?
n
?
1
?
n
化简后再求和 .
2
a
n
a
n
?
1
?
1
8．由a
n
＋
1
＝2a
n
，得
a
?2
，∴
2
＝4，
a
n
n
2
故数列{ a
n
}是等比数列，再利用等比数列求和公式求和.
10．错位相减法.
三、解答题
11．由题意，得a
n
＋
1
－a
n< br>＝2，所以数列{a
n
}是等差数列，是递增数列.
∴a
n
＝－11＋2(n－1)＝2n－13，
由a
n
＝2n－13＞0，得n＞
13
.
2
所以，当n≥7时，a
n
＞0；当n≤6时，a
n
＜0.
当n≤6时，S
n
＝|a
1
|＋|a
2
|＋…＋| a
n
|＝－a
1
－a
2
－…－a
n

＝－[n×(－11)＋
n(n?1)
×2]＝12n－n
2
； < br>2
当n≥7时，S
n
＝|a
1
|＋|a
2
| ＋…＋|a
n
|＝－a
1
－a
2
－…－a
6
＋a
7
＋a
8
＋…＋a
n

＝(a
1< br>＋a
2
＋…＋a
n
)－2(a
1
＋a
2＋…＋a
6
)
＝n×(－11)＋
6?5
n(n?1)
×2－2[6×(－11)＋×2]＝n
2
－12n＋72.
2
2
(n∈N
*
).
?
12n
?
n
2
,(n
?
6)
S
n
＝
?
2
?
n
?
12n
?
72,(n
?
7)
12．(1)∵f(1)＝n
2
，∴a
1
＋a
2
＋a3
＋…＋a
n
＝n
2
. ①
所以当n＝1时，a
1
＝1；
当n≥2时，a
1
＋a2
＋a
3
＋…＋a
n
－
1
＝(n－1)
2
②
①－②得，a
n
＝n
2
－(n－1)2
＝2n－1.(n≥2)
因为n＝1时，a
1
＝1符合上式.
所以a
n
＝2n－1(n∈N
*
).
111111
(2)

?????????
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n
?
1
1
?
33
?
5(2n
?
1)(2n?
1)

11111111
?
(1
?
)< br>?
(
?
)
???
(
?
)

2323522n
?
12n
?
1
111111
?
[ (1
?
)
?
(
?
)
???
(
?< br>)]

23352n
?
12n
?
1
?
11n
.
(1
?
)
?
22n
?
12n
?
1
111
????
n
?
1
?
24
2
1
?
(1
?
1
)
2
n
?
2
?
1
(n
?
2)
.
1
2
n
?
1
1
?
2
13．因为
a
n
?
1< br>?
111
所以
S
n
?
a
1
?
a
2
?
?
?
a
n
?
1
?
(2
?
)
?
(2
?
2
)
?
?< br>?
(2
?
n
?
1
)

2
2 2
111
?
1
?
2(n
?
1)
?
(
?
2
?
?
?
n?1
)

222
11
(1
?
n
?
1
)
1
2
?
2n
?
1
?
2
?
2n
?2
?
n
?
1
.
1
2
1
?
2
14．(1)a
n
＝2n；
(2)因为b
n
＝2nx
n
，
所以数列{b
n< br>}的前n项和S
n
＝2x＋4x
2
＋…＋2nx
n
.
当x＝0时，S
n
＝0；
n(2?2n)
＝n(n＋1)； 2
当x≠0且x≠1时，S
n
＝2x＋4x
2
＋…＋2nxn
，
＋
xS
n
＝2x
2
＋4x
3< br>＋…＋2nx
n
1
；
＋
两式相减得(1－x)S
n
＝2x＋2x
2
＋…＋2x
n
－2nx
n
1
，
当x＝1时，S
n
＝2＋4＋…＋2n＝
x(1
?
x
n
)
＋
所以(1－x)S
n
＝2－2nx
n
1
，
1
?
x
2x(1
?
x
n
)2nx
n
?
1
?
即
S
n
?
.
1
?
x
(1
?
x)
2
(x
?1)
?
n(n
?
1),
?
综上，数列{b
n< br>}的前n项和
S
n
?
?
2x(1
?
x
n
)2nx
n
?
1
?
,(x
?
1)< br>?
?
(1
?
x)
2
1
?
x
?
测试七 数列综合问题
一、选择题
1．B 2．A 3．B 4．A 5．B
提示：
5．列出数列{a
n
}前几项，知数列{a
n
}为：0，－
3
，
3
，0，－
3
，3
，0….不难发现
循环规律，即a
1
＝a
4
＝a7
＝…＝a
3m
－
2
＝0；
a
2
＝ a
5
＝a
8
＝…＝a
3m
－
1
＝－
3
；

a
3
＝a
6
＝a
9
＝…＝a
3m
＝
3
.
所以a
20
＝a
2
＝－
3
.
二、填空题
331
11
6．
;
7．85 8．512 9．n
2
－n＋2 10．2[1－()
n
]
24
223
三、解答题
11．(1)
a
1
?
333
.
,
a2
??
,
a
3
?
41664
3
； < br>4
(2)当n＝1时，由题意得a
1
＝5S
1
－3，所以a< br>1
＝
当n≥2时，因为a
n
＝5S
n
－3，
所以a
n
－
1
＝5S
n
－
1
－3； < br>两式相减得a
n
－a
n
－
1
＝5(S
n－S
n
－
1
)＝5a
n
，
即4a
n
＝－a
n
－
1
.
由a
1
＝
3
≠0，得a
n
≠0.
4a
1
所以
a
n
??
(n≥2，n∈N
*
).
n?
1
4
由等比数列定义知数列{a
n
}是首项a
1
＝
所以
a
n
?
31
，公比q＝－的等比 数列.
44
31
?
(
?
)
n?1
.
< br>44
31
(1
?
n
)
16
?
4(1
?
1
)
. (3)a
1
＋a
3
＋ …＋a
2n
－
1
＝
4
n
1
5
16
1
?
16
2
12．由a
n?1
·f(a
n
)＝2，得
a
n
?
1
?
2
2
?< br>2
，
2
a
n
?
4
化简得a
n?1
－a
n
＝4(n∈N
*
).
由等差数列定义知数列{a< br>n
}是首项a
1
＝1，公差d＝4的等差数列.
所以a
n
＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
由f(x)的定义域x＞0且f(a
n
)有意义，得a
n
＞0.
所以a
n
＝
4n?3
.
1
?
S
?
12a
??
12
?
11d
?
0
121< br>?
?
2a
?
11d
?
0
?
2
?
?
1
13．(1)
?
，
1a
?
6d
?
0
1
?
?
S
?
13a
??13
?
12d
?
0
131
?
2
?2
2
22
2
又a
3
＝a
1
＋2d＝1 2
?
a
1
＝12－2d，

24
?
24
?
7d
?
0
∴
?
，故
?
＜d ＜－3.
3
?
d
?
0
7
?
(2)由(1 )知：d＜0，所以a
1
＞a
2
＞a
3
＞…＞a
1 3
.
13
(a
1
＋a
13
)＝13a
7
＜0，
2
∴a
7
＜0，且a
6
＞0，故S
6
为最 大的一个值.
∵S
12
＝6(a
1
＋a
12
)＝ 6(a
6
＋a
7
)＞0，S
13
＝
14．(1)设 第n分钟后第1次相遇，依题意有2n＋
n(n?1)
＋5n＝70，
2
整理得n
2
＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去).
∴第1次相遇是在开始运动后7分钟.
n(n?1)
＋5n＝3×70，
2
整理得n
2
＋13n－420＝0.解得n＝15，n＝－28(舍去).
∴第2次相遇是在开始运动后15分钟.
15．(1)a
1
＝3，a
2
＝1，a
3
＝2，a
4
＝1，a
5
＝1，a< br>6
＝0，a
7
＝1，a
8
＝1，a
9
＝0， a
10
＝1.(答案不
唯一)
(2)因为在绝对差数列{a
n}中，a
1
＝3，a
2
＝0，所以该数列是a
1
＝3， a
2
＝0，a
3
＝3，a
4
＝
3，a
5< br>＝0，a
6
＝3，a
7
＝3，a
8
＝0，….
即自第1项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，
(2)设第n分钟后第2次相遇， 依题意有2n＋
?
a
3n
?
1
?
3,
?< br>所以
?
a
3n
?
2
?
3,
(n＝0 ，1，2，3，…).
?
a
?
3n
?
3
?
0,
(3)证明：根据定义，数列{a
n
}必在有限项后出现零项，证明如下： < br>假设{a
n
}中没有零项，由于a
n
＝|a
n
－1
－a
n
－
2
|，所以对于任意的n，都有a
n
≥1，从而
当a
n
－
1
＞a
n
－
2< br>时，a
n
＝a
n
－
1
－a
n
－2
≤a
n
－
1
－1(n≥3)；
当a
n－
1
＜a
n
－
2
时，a
n
＝a
n
－
2
－a
n
－
1
≤a
n
－< br>2
－1(n≥3)；
即a
n
的值要么比a
n
－1
至少小1，要么比a
n
－
2
至少小1.
令c
n
＝
?
?
a
2n
?
1
(a
2n
?
1
?
a
2n
),
(n＝1，2，3，…). < br>?
a
2n
(a
2n
?
1
?
a
2n
),
则0＜c
n
≤c
n
－
1
－1( n＝2，3，4，…).
由于c
1
是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c
n
＜0，
这与c
n
＞0(n＝1，2，3，…)矛盾，从而{a
n
}必有零项 .
若第一次出现的零项为第n项，记a
n
－
1
＝A(A≠0)，则 自第n项开始，每三个相邻的
项周期地取值0，A，A，即
?
a
n
?
3k
?
0,
?
?
a
n
?
3k< br>?
1
?
A,
(k＝0，1，2，3，…).
?
a< br>?
n
?
3k
?
2
?
A,
所以绝对差 数列{a
n
}中有无穷多个为零的项.
测试八 数列全章综合练习
一、选择题

1．B 2．A 3．A 4．D 5．C
二、填空题
6．3·2
n
3
7．180 8．a
n
＝
?
提示：
10．由(n＋1)a
n?1
－na
n
＋a
n
＋
1
a
n
＝0，得[( n＋1)a
n
＋
1
－na
n
](a
n
＋< br>1
＋a
n
)＝0，
n
?
1
因为a
n
＞0，所以(n＋1)a
n
＋
1
－na
n
＝0， 即
a
，
?
n
n
?
1
a
a
a
12n
?
11
所以
a
n
?
a
2
?
a
3
?
?
?
a
n
?
??
?
?
?
.
12n
?
1
23nn
三、解答题
11．S
13
＝156.
12．(1)∵点(a
n
，a< br>n
＋
1
＋1)在函数f(x)＝2x＋1的图象上，
∴a
n
＋
1
＋1＝2a
n
＋1，即a
n
＋
1＝2a
n
.
22
－
(n
?
1)
?< br>?
1,
1
6
9． 10．a
n
＝(n∈N
*
)
7
n
?
2n
?
4,(n
?
2)
a
n
∵a
1
＝ 1，∴a
n
≠0，∴
a
n?1
＝2，
a
n
∴{a
n
}是公比q＝2的等比数列，
－
∴a
n
＝2
n
1
.
1
?(1
?
2
n
)
?
2
n
?
1< br>. (2)S
n
＝
1
?
2
(3)∵c
n＝S
n
＝2
n
－1，
∴T
n
＝c
1
＋c
2
＋c
3
＋…＋c
n
＝(2－1)＋(22
－1)＋…＋(2
n
－1)
n
2
?
(1< br>?
2)
?
n
＝2
n
＋
1
－n－2. ＝(2＋2
2
＋…＋2
n
)－n＝
1
?
2
13．当n＝1时，由题意得S
1
＝3a
1
＋2，所以a
1
＝－1；
当n≥2时，因为S
n
＝3a
n
＋2，
所以S
n
－
1
＝3a
n
－
1
＋2；
两 式相减得a
n
＝3a
n
－3a
n
－
1
，
即2a
n
＝3a
n
－
1
.
由a
1
＝－1≠0，得a
n
≠0.
所以
a
n
?
n?
1
a
3
(n≥2，n∈N
*
) .
2
3
的等比数列.
2
由等比数列定义知数列{a
n< br>}是首项a
1
＝－1，公比q＝
所以a
n
＝－(
3< br>n
－
1
)．
2
14．(1)设第n年所需费用为a
n
(单位万元)，则
a1
＝12，a
2
＝16，a
3
＝20，a
4
＝ 24．
(2)设捕捞n年后，总利润为y万元，则

y＝50n－[12n＋
n(n?1)
×4]－98＝－2n
2
＋40n－98．
2
由题意得y＞0，∴2n
2
－40n＋98＜0，∴10－
51
＜n＜10 ＋
51
.
∵n∈N
*
，∴3≤n≤17，即捕捞3年后开始盈利.
(3)∵y＝－2n
2
＋40n－98＝－2(n－10)
2
＋10 2，
∴当n＝10时，y
最大
＝102．
即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利102＋8＝110(万元).
15．(1)由an
＝f(－
1
a
n
?
1
)，得
11< br>??
4
(a
n
＋
1
＞0)，
22
a
n
a
?
1
n
∴{
111
}为等差数列， ∴＝＋(n－1)·4．
2
22
a
1
a
n
an
1
4
n?
3
∵a
1
＝1，∴a
n< br>＝(n∈N
*
).
222
(2)由
b
n
?
a
n
?
1
?
a
n
?
2
? ??
a
2n
?
1
?
111
，
????< br>4n
?
14n
?
58n
?
1
得b
n
－b
n
＋
1
＝
1111111
???
(< br>?
)
?
(
?
)

4
n?
1 8
n?
58
n?
98
n?
28
n?
58< br>n?
28
n?
9
?
37
?

(8n
?
2)(8n
?
5)(8n
?
2)(8n
?
9)
∵n∈N
*
，∴b
n
－b
n
＋
1< br>＞0，
∴b
n
＞b
n
＋
1
(n∈N
*
)，∴{b
n
}是递减数列.
∴b
n
的最大值为b
1
?a
2
?a
3
?
22
14
.
45
m
成立，
25
若存在最小正整数m，使对任意n∈N< br>*
有b
n
＜
只要使b
1
＝
70
14 m
即可，∴m＞
.
?
9
4525
m
∴对任意n∈ N
*
使b
n
＜成立的最小正整数m＝8．
25
16．(1 )解：设不动点的坐标为P
0
(x
0
，y
0
)，
?
x
?
0
由题意，得
?
?
?
y
?
0
?
??
x
0
?
1
1
?
y
0
2
，解得
x
0
?
1
，y
0< br>＝0，
2
所以此映射f下不动点为P
0
(
1
，0).
2
?
x
n
?
1
??
x
n
?
1
?
(2)证明：由P
n
＋
1
＝f(P
n
)，得
?
，
1
y
?
y
n
?
1n
?
2
?

所以x
n
＋
1
－< br>111
＝－(x
n
－)，y
n
＋
1
＝yn
.
222
因为x
1
＝2，y
1
＝2，
所以x
n
－
1
≠0，y
n
≠0，
21
2
??
1,
y
n
?
1
?
1
. 所以
y
n
1
2
x
n
?
2x
n
?
1
?
由等比数列定义，得数列{x
n
－
首项为x
1
－
1
}(n∈N
*
)是公比为－1，
2
13
＝的等比数列，
22
1313
－－
所以x
n
－＝×(－1)
n
1
，则x
n
＝＋(－1)n
1
×.
2222
1
－
同理y
n
＝ 2×()
n
1
.
2
131
－－
所以P
n
(＋(－1)
n
1
×，2×()
n
1
).
222
设A(
3
2
1
n
?
12
1
，1)，则|AP
n
|＝
()
?
[1
?
2
?
()]
.
22
2
1
n
－
1
)≤2，
2
1
－
所以－1≤1－2×()
n
1
＜1， 2
因为0＜2×(
所以|AP
n
|≤
()
2
?
1
＜2．
故所有的点P
n
(n∈N
*
)都在以A (
一个半径为2的收敛圆.
3
2
1
，1)为圆心，2为半径的圆内 ，即点P
n
(x
n
，y
n
)存在
2
单元测 试二 数列
一、选择题
1．在等差数列{a
n
}中，若a
2< br>＝3，a
6
＝11，则a
4
等于( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)9
2．在正项等比数列{a
n
}中，若a
4< br>a
5
＝6，则a
1
a
2
a
7
a8
等于( )
(A)6 (B)12 (C)24 (D)36
3．等 差数列{a
n
}的公差不为零，首项a
1
＝1，a
2
是a< br>1
和a
5
的等比中项，则数列{a
n
}的公差
等于( )
(A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2
4．若数列{a
n
}是 公比为4的等比数列，且a
1
＝2，则数列{log
2
a
n
}是( )
(A)公差为2的等差数列 (B)公差为lg2的等差数列

(C)公比为2的等比数列 (D)公比为lg2的等比数列
5．等比数列 {a
n
}的前n项和记为S
n
，若S
4
＝2，S
8
＝6，则S
12
等于( )
(A)8 (B)10 (C)12 (D)14
6．{a
n
}为等差数列，a
1
＋a
3
＋a
5
＝105，a
2
＋a
4
＋a
6
＝ 99，用S
n
表示{a
n
}的前n项和，则使得
S
n
达到最大值的n是( )
(A)21 (B)20 (C)19 (D)18
7． 如果数列{a
n
}(a
n
∈R)对任意m，n∈N
*
满足a
m
＋
n
＝a
m
·a
n
，且a
3< br>＝8，那么a
10
等于( )
(A)1024 (B)512 (C)510 (D)256
8．设f(n)为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和，例 如f(123)＝1
2
＋2
2
＋3
2
＝14．记
a
1
＝f(2009)，a
k
＋
1
＝f(a
k
)，k＝1，2，3，…则a
2009
等于( )
(A)85 (B)16 (C)145 (D)58
二、填空题
9．在等差数列{a
n
}中，a< br>3
＝7，a
5
＝a
2
＋6，则a
6
＝___ _____.
10．在等差数列{a
n
}中，a
2
，a
1 1
是方程x
2
－3x－5＝0的两根，则a
5
＋a
8
＝________.
S
1
11．设等比数列{a
n
}的公比< br>q?
，前n项和为S
n
，则
a
4
＝________ .
4
2
12．若数列{a
n
}满足：a
1
＝1， a
n
＋
1
＝2a
n
(n∈N
*
)，则a< br>5
＝______；前8项的和S
8
＝______.(用
数字作答)
13．设{a
n
}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b
n
＝a
n
＋1(n＝1，2，…)，若数列{b
n
}有连续
四项在集合{－ 53，－23，19，37，82}中，则6q＝________.
14．设等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
1
＝1，S
6
＝4S
3
，则a
4
＝________.
三、解答题
15．在 等差数列{a
n
}中，a
3
a
7
＝－16，a
4< br>＋a
6
＝0，求{a
n
}前n项和S
n
.



16．设等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知S
1
，S
3
，S
2
成等差数列.
(1)求{a
n
}的公比q；
(2)若a
1
－a
3
＝3，求S
n
.



17．已知三个数成等差数列，它们的和为30，如果第一个数减去5，第二个数 减去4，第三
个数不变，则所得三个数组成等比数列，求这三个数.



18．已知函数f(x)＝a
1
x＋a
2
x
2
＋a
3
x
3
＋…＋a
n
x
n
(x∈R，n∈N
*
)，且对一切正整数n都有f(1)
＝n
2
成立.
(1)求数列{a
n
}的通项a
n
；
111
????
(2)求
.
a
1
a
2< br>a
2
a
3
a
n
a
n
?
1< br>

19．设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
1
＝1，S
n
＋
1
＝4an
＋2．
(1)设b
n
＝a
n
＋
1
－2a
n
，证明数列{b
n
}是等比数列；
(2)求数列{a
n
}的通项公式.



单元测试二 数列
一、选择题
1．C 2．D 3．B 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D
二、填空题
9．13 10．3 11．15 12．16,255 13．－9 14．3
三、解答题
15．解：设{a
n
}的公差为d，则
?
( a
1
?
2d)(a
1
?
6d)
??
16< br>，
?
a
?
3d
?
a
?
5d
?
0
1
?
1
22
?
?
a
1?
8da
1
?
12d
??
16
即
?< br>，
?
a
??
4d
?
1
?
a
??
8,
?
a
1
?
8,
解得
?
1
或
?
.
d
?
2,d
??
2,
??
因此S
n
＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，或S
n
＝8 n－n(n－1)＝－n(n－9).
16．解：(1)依题意有
a
1
＋ (a
1
＋a
1
q)＝2(a
1
＋a
1
q＋ a
1
q
2
)，
由于a
1
≠0，故2q
2
＋q＝0，
1
. 2
1
(2)由已知可得a
1
－a
1
(
?
)
2
＝3，
2
又q≠0，从而q＝
?
故a
1
＝4，
1
4[1
?
(
?
)
n
]
81
2
从 而S
n
＝
?
[1
?
(
?
)
n]
.
1
32
1
?
(
?
)
2
17．解：设这三个数为a－d，a，a＋d，
则(a－d)＋a＋(a＋d)＝30，解得a＝10．
又由(a－d－5)(a＋d)＝(a－4)
2
，
解得d＝2，或－7．
所以三个数为8，10，12，或17，10，3．
18．解：(1)由题意，得a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
n
＝n
2
． ①
所以当n＝1时，a
1
＝1；
当n≥2时，a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
n
－
1
＝ (n－1)
2
②

①－②得，a
n
＝n2
－(n－1)
2
＝2n－1．(n≥2)
因为n＝1时，a
1
＝1符合上式，
所以a
n
＝2n－1(n∈N
*
).
111111
(2)

?????????
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n
?
1
1
?
33
?
5(2n
?
1)(2n?
1)
11111111
?
(1
?
)
?
(
?
)
???
(
?
)

2323522 n
?
12n
?
1
111111
?
[(1
?
)
?
(
?
)
???
(
?
)]
23352n
?
12n
?
1
11n
. (1
?
)
?
22n
?
12n
?
119．解：(1)由a
1
＝1及S
n
＋
1
＝4a
n
＋2，
得a
1
＋a
2
＝4a
1
＋2 ，a
2
＝3a
1
＋2＝5，∴b
1
＝a
2
－2a
1
＝3．
由S
n
＋
1
＝4a
n
＋2， ……………①
得当n≥2时，有S
n
＝4a
n
－
1
＋2 ……………②
①－②得a
n
＋
1
＝4a
n
－4a
n
－
1
，∴a
n
＋
1
－2a
n< br>＝2(a
n
－2a
n
－
1
)，
又因为b< br>n
＝a
n
＋
1
－2a
n
，∴b
n< br>＝2b
n
－
1
，
所以{b
n
}是首项b
1
＝3，公比为2的等比数列.
?
(2)由(1)可得b
n
＝a
n
＋
1
－2a
n
＝3·2
n
1
，所以
所以数列{
－
a
n
?
1
a
n
3
?
n
?
，
2
n
?
1
2
4
a
n
1
3
}是首项为，公差为的等差数列.
2
n
4
2
a
1331
n
－
2
所以
n
＝
，a
＝(3n－1)·2 ．
?
(
n?
1)
??n?
n
2
n
2444