高中数学思考与思维-高中数学简单易懂的辅导书
题组层级快练(七十八)
1.有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书
5本,从中选出不属于同一学科的书
2本,则不同的选法有( )
A.21种
C.143种
【参考答案】：C
【试题解析】：可分三类：
一类：语文、数学各1本,共有9×7＝63种；
二类：语文、英语各1本,共有9×5＝45种；
三类：数学、英语各1本,共有7×5＝35种；
∴共有63＋45＋35＝143种不同选法.
2.5名应届毕业生报考3所高校,每人报且仅报1所院校,则不同的报名方法的种数是( )
A.3
5
C.A
3
2
【参考答案】：A
【试题解析】：第n名应届毕业生报考的方法有3种(n＝1,2,3,4
,5),根据分步计算原理,不
同的报名方法共有3×3×3×3×3＝3
5
(种).
b
3.(2019·湖南衡阳模拟)若a∈{1,2,3,4},b∈{1,2,3,4},则
y＝x表示不同直线的条数为( )
a
A.8
C.14
【参考答案】：B
b
【试题解析】：若使表示不同的实数,则当a＝1时,b＝1,
2,3,4；当a＝2时,b＝1,3；当a
a
b
＝3时,b＝1,2,4；当a＝4
时,b＝1,3.故y＝x表示的不同直线的条数共有4＋2＋3＋2＝11.
a
4.从集合
{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的
个数为
( )
A.5
C.6
【参考答案】：D
【试题解析】：分
类考虑,当公比为2时,等比数列可为1,2,4；2,4,8,当公比为3时,可为
3
1,3
,9,当公比为时,可为4,6,9,将以上各数列颠倒顺序时,也是符合题意的,因此,共有
2
4×2＝8个.
B.4
D.8
B.11
D.16
B.5
3
D.C
5
3
B.315种
D.153种
5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增
加了2个新节目.如要将这2个
节目插入原节目单中,那么不同插法的种类为( )
A.42
C.20
【参考答案】：A
【试题解析】：将新增的
2个节目分别插入原定的5个节目中,插入第一个有6种插法,插入
第2个时有7个空,共7种插法,所
以共6×7＝42(种).
6.(2019·山东日照模拟)将1,2,3,…,9这9个数字填在如
图的9个空格中,要求每一
行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,
填写空格
的方法为( )
A.6种
C.18种
【参考答案】：A
【试题解析】：因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1,
2,9只有一种填法,5
只能填在右上角或左下角,5填好后之相邻的空格可填6,7,8任一个,余下
两个数字按从小到
大只有一种方法.共有2×3＝6种结果,故选A.
7.(2019·定州
一模)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中,每格内只填入一
个汉字,且任意的两个
汉字既不同行也不同列,则不同的填写办法有( )
A.288种
C.576种
【参考答案】：C
【试题解析】：
依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字,有16
种方法；(2)任意
的两个汉字既不同行也不同列,第二个汉字只有9个格子可以放,有9种方
法；(3)第三个汉字只有4
个格子可以放,有4种方法.根据分步乘法计数原理可得不同的填写
方法有16×9×4＝576种.
8.如果一个三位正整数“a
1
a
2
a
3
”满足a
1
且a
3
,则称这样的三位
数为凸数(120,343,275),那
么所有凸数的个数为( )
A.240
C.729
【参考答案】：A
【试题解析】：当中间数为2时,有1×2＝2
个；当中间数为3时,有2×3＝6个；当中间数
B.204
D.920
B.144种
D.96种
B.12种
D.24种
B.30
D.12
为4时,有3×4＝12个；当中间数为5时,
有4×5＝20个；当中间数为6时,有5×6＝30
个；当中间数为7时,有6×7＝42个；当中间
数为8时,有7×8＝56个；当中间数为9时,
有8×9＝72个.故共有2＋6＋12＋20＋30
＋42＋56＋72＝240个凸数.
9.从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不
同的数分别作为一个对数的底数和真数,则可以组
成不同对数值的个数为( )
A.56
C.53
【参考答案】：D
【试题解析】：在8个数中任取2个不同的数共有
8×7＝56个对数值；但在这56个数值
中,log
2
4＝log
3
9,log
4
2＝log
9
3,log
2
3＝log4
9,log
3
2＝log
9
4,即满足条件的对数值共有56
－4＝
52个.
10.某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯只能闪亮红
、橙、黄、绿、蓝中
的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次
为一个闪
烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果
要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( )
A.1 205秒
C.1 195秒
【参考答案】：C
【试题解析】：要实现所有不同的闪烁且
需要的时间最少,只要所有闪烁连续地、不重复地依
次闪烁一遍.而所有的闪烁共有A
5
5
＝120个；因为在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯
闪亮,即每个闪烁的时长为5秒
,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒,所以要实现所有不同
的闪烁,需要的时间至少是120×(5＋
5)－5＝1 195秒.
11.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成该集合的
子集,使得这5个数中任意两个数的和都
不等于11,则这样的子集有( )
A.32个
C.36个
【参考答案】：A
【试题解析】：先把数字分成5组：{1,10
},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6},由于选出的5个数中,
任意两个数的和都不等
于11,所以从每组中任选一个数字即可,故共可组成2×2×2×2×2
＝32个这样的子集. 12.(2019·衡水中学调研卷)为了应对美欧等国的经济制裁,俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为
______
__.
【参考答案】：182
B.34个
D.38个
B.1
200秒
D.1 190秒
B.54
D.52
【试题
解析】：甲、乙中裁一人的方案有C
2
1
C
8
3
种,甲、乙
都不裁的方案有C
8
4
种,故不同的
裁员方案共有C
2
1<
br>C
8
3
＋C
8
4
＝182种.
13.直线
方程Ax＋By＝0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A,B的值,则可
表示________条不同的直线.
【参考答案】：22
【试题解析】：分成三类：A
＝0,B≠0；A≠0,B＝0和A≠0,B≠0,前两类各表示1条直线；
第三类先取A有5种取法,
再取B有4种取法,故5×4＝20种.
所以可以表示22条不同的直线.
14.由1到200的自然数中,各数位上都不含8的有________个.
【参考答案】：162
【试题解析】：一位数8个,两位数8×9＝72个.3位数
1
有9×9＝81个,另外
2
1个(即200),共有8＋72＋81＋1＝162个.
15.(2019·东北三校联考
)在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足a≠b,且a,b都是集合
{1,2,3,4,5,
6}中的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5,则这样的点P的个数为______.
【参考答案】：20
【试题解析】：依题意可知：
当a＝1时,b＝5,6,两种情况；
当a＝2时,b＝5,6,两种情况；
当a＝3时,b＝4,5,6,三种情况；
当a＝4时,b＝3,5,6,三种情况；
当a＝5或6时,b各有五种情况.
所以共有2＋2＋3＋3＋5＋5＝20种情况. 16.如图所示,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须
涂不同颜色
,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有________种.
【参考答案】：180
【试题解析】：按区域分四步：
第一步,A区域有5种颜色可选；
第二步,B区域有4种颜色可选；
第三步,C区域有3种颜色可选；
第四步,D区域也有3种颜色可选.
由分步乘法计数原理,可得共有5×4×3×3＝180种不同的涂色方法.
× ×
× ×
17.标号为A,B,C的三个口袋,A袋中有1个红色小球,B袋中
有2个不同的白色小球,C袋中有
3个不同的黄色小球,现从中取出2个小球.
(1)若取出的两个球颜色不同,有多少种取法？
(2)若取出的两个球颜色相同,有多少种取法？
【参考答案】：(1)11 (2)4 <
br>【试题解析】：(1)若两个球颜色不同,则应在A,B袋中各取一个或A,C袋中各取一个,或B,C<
br>袋中各取一个.
∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种.
(2)若两个球颜色相同,则应在B或C袋中取出2个.
∴应有1＋3＝4种.
18.三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是多少？
【参考答案】：36个
x≤y≤11，
?
?
【试题解析】：设较小的两边长为x、y且x≤y,则<
br>?
x＋y>11，
?
?
x、y∈N
*
.
当x＝1时,y＝11；
当x＝2时,y＝10,11；
当x＝3时,y＝9,10,11；
当x＝4时,y＝8,9,10,11；
当x＝5时,y＝7,8,9,10,11；
当x＝6时,y＝6,7,8,9,10,11；
当x＝7时,y＝7,8,9,10,11；
……
当x＝11时,y＝11.
所以不同三角形的个数为
1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个.