我认可的高中数学教学方式-高中数学分为几何代数
§10. 排列组合 知识要点
一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重复元素的排列.
.......从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……
第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·…
m =
m
n
..
例如:n件物品放入m个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:
m
种)
二、排列.
1. ?对排列定义的理解.
定义:从n个不同的元素中任取m(m≤
n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m
......
个元素的一个
排列.
?相同排列.
如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同.
?排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
从n
m
个不同元素中取出m个元素的一个排列数,用符号
A
n
表示.
n
?排列数公式:
A
m
?n(n?1)?(n?m?1)?
n!
(m?n,n,m?N)
(n?m)!
注意:
n?n!?(n?1)!?n!
规定0! = 1
mmmm?1mm?1
mm?1
0
A
n
规定
C
n
?C
n
A
n?
?nA
n
n
?1
1
?A
n
?A
m
?C
n
?A
n
?mA
n
?1
2. 含有可重元素的排列问题. <
br>......
对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k个不同元素a
1
,a
2
,…...a
n
其中限重复数为n
1
、n
2
……n
k
,
且n =
n
1
+n
2
+……n
k
,
则S的排列个数等于
n?
n!
.
n
1
!n2
!...n
k
!
例如:已知数字3、2、2,求其排列个数
n
?
数
n?
3!
?1
.
3!
三、组合. (1?2)!
?3
又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个
1!2!<
br>1. ?组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元
素的一个
组合.
m
?组合数公式:
C
m
?
An
?
n(n?1)
?
(n?m?1)
n
m
A<
br>m
m!
C
m
n
?
n!
m!(n?
m)!
?两个公式:①
C
n
?C
mn?m
n
;
②
C
m?1mm
n
?C
n
?C
n?1
①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素,因此从n个不同元素中取出
n-m个元素的方法
是一一对应的,因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-
m个元素的唯一的一个组合.
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(或
者从n+1个编号不同的小球中,n个白球一个红球,任取m个不同小球其不同选法,分二类,一类是
1
m?1m
含红球选法有
C
m?
n
?C
1
1
?C
n
一类是不含红球的选法有
C
n
)
②根据组合定义与
加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时,对于某一元素,只存在取与
不取两种可能,
如果取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素,所以有C
一元素,则需从剩余n个元素中
取出m个元素,所以共有C
?排列与组合的联系与区别.
联系:都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.
?①几个常用组合数公式
012n
C
n
?C
n
?C
n
???
n
n
?2
m?1
n
,如果不取这
m
n
1m
种,依分类原理有
C
m?
n
?C
m
n
?C
n?1
.
024135
C
n
?C
n
?C
n
?
?
?C
n<
br>?C
n
?C
n
?
?
?2
n?1
mm
mm?1
C
m
n
?C
m?1
?C
m?2
?
C
m?n
?C
m?n?1
k?1
kC
k
n
?nC
n?1
11
?1
C
k
C
k
n
?
n?1
k?1n?1
②常用的证明组合等式方法例.
i. 裂项求和法.
如:
123n1
n?111
???
?
?1???
)
(利用
2!3!4!(n?1)!(n?1)!
n!(n?1)!n!
ii.
导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
m?1m3333
v.
递推法(即用
C
m
C
n
?C
n?
4
n?C
n
?C
n?1
递推)如:
C
3
?C
4
?C
5
??
1
.
02122n
vi.
构造二项式. 如:
(C
n
)?(C
n
)???(C<
br>n
n
)?C
2n
证明:这里构造二项式
(x?1)
n
(1?x)
n
?(1?x)
2n
其中
x
的系数,左
边为
01n?12n?2n00212n2
,而右边
?C
2n
<
br>C
n
?C
n
n
?C
n
?C
n
?C
n
?C
n
?
?
?C
n
?C
n
?(C
n
)?(C
n
)?
?
?(C
n<
br>)
n
n
四、排列、组合综合.
1. I.
排列、组合问题几大解题方法及题型:
①直接法. ②排除法.
③捆绑法:在特定要求
的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”
的排列.它主要用
于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n个不同元素排成一列,要求其中某
m(m?n)
个
?m?1mn?m?1
m
元素必相邻的排列有
A
n
n?m?
1
?A
m
个.其中
A
n?m?1
是一个“整体排列”,而<
br>A
m
则是“局部排列”.
2
2
又例如①有n个不同座位,A
、B两个不能相邻,则有排列法种数为
A
n
.
?
A
n?
1
1
?A
2
?12
.
②有n件不同商品,若其中A、B排在一起有
A
n
n?1
?A
22?1
. ③有n件不同商品,若其中有二件要排在一起有
A
n
?An
n?1
注:①③区别在于①是确定的座位,有
A
2
种;而③的
商品地位相同,是从n件不同商品任取的2个,有不
2
确定性.
④插空法:先把一般
元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不
相邻问题”.
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?mm
例如:n个元素全排
列,其中m个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?
A
n
(插空法),当n
n?m
?A
n?m?1
– m+1≥m,
即m≤
n?1
时有意义.
2
⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特
殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特
殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然
后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用
此法.解题方法是:先将n个元素进行全排列有
A
n
n
种,
m(m?
n)
个元素的全排列有
A
m
m
种,由于要求m个元素次序一定,因此
只能取其中的某一种排法,可以利用除法起
到去调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序
一定,共有
A
n
n
A
m
m
种排列方法.
例如:n个元素全排列,其中m个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?
解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!
m!;解法二:(比例分配法)
m
A
n
n
A
m
.
⑦平均法:若把kn个不同元素平均分成k组,每组n个,共有
nn
C
kn<
br>?C
(k?1)
n
n
?C
n
A
k
k
.
C
2
例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分
法?有
4
?3
(平均分组就用不着管组
2!
与组之间的顺序问题了)
又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少?
(
P?<
br>82
C
18
C
2
10
C
20
2!<
br>)
注意:分组与插空综合. 例如:n个元素全排列,其中某m个元素互不相邻且顺序不变,共
有多少种排法?
?mmm
有
A
n
,当n – m+1 ≥m,
即m≤
n?1
时有意义.
n?m
?A
n?m?1
A
m
2
⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.
例如:
x
1?x
2
?x
3
?x
4
?12
的正整数解的组数
就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之
间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板
,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
显然
x
1
?x
2
?x<
br>3
?x
4
?12
,故(
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)是方程的一组解.反之,方程的任何一组解
(y
1
,y
2
,y
3
,y
4
)
,
对
应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和插板的方法一一对应.
即方程的
3
解的组数等于插隔板的方法数
C
11
.
x1
x
2
x
3
x
4
注意:若为非负数解的x个数
,即用
a
1
,a
2
,...a
n
中
ai
等于
x
i
?1
,有
x
1
?x
2
?x.
3
..?x
n
?A?a
1
?1?a2
?1?...a
n
?1?A
,
进而转化为求a的正整数解的个
数为
C
A?n
.
⑨定位问题:从n个不同元素中每次取出k个不同元素作
排列规定某r个元素都包含在内,并且都排在某r
个指定位置则有
A
r
An?r
.
例如:从n个不同元素中,每次取出m个元素的排列,其中某个元素必须固定在
(或不固定在)某一位置
上,共有多少种排法?
m1m?1
m?1
m
,
?1
;固定在某一位置上:不在某一位置上:
A
m
或
A
n?
(一类是不取出特殊元素a,有
A
n?
A
m
1
?A
m?1
?A
n?1
n
?A
n?1
1<
br>n?1
n?1
rk?r
一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置,然
后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一
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样的)
⑩指定元素排列组合问题.
i.
从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列(或组合),规定某r个元素都包含在内 。先C后A
k?rkrk?r
策略,排列
C
r
r
C
n?r
A<
br>k
;组合
C
r
C
n?r
.
ii. 从n个
不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定某r个元素都不包含在内。先C后A
kk策略,排列
C
n?r
A
k
;组合
C
n?
k
r
.
iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定
每个排列(或组合)都只包含某r个
k?sksk?s
元素中的s个元素。先C后A策略,排列
C
r
s
C
n?r
A
k
;组合
C<
br>r
C
n?r
.
II. 排列组合常见解题策略:
①特殊
元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排
列组合
综合性问题一般是先选元素,后排列);④正难则反,等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略;
⑥不
相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略;⑨“小集团”排列问
题
中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略.
2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均
匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m组,假定其中r组元素个数相等,不管是否分尽,其
分法
种数为
AA
r
(其中A为非均匀不编号分组中分法数).如果再有K组均匀分组应再除
以
A
k
.
r
k
244
例:10人分成三组,各组
元素个数为2、4、4,其分法种数为
C
10
.若分成六组,各组人
C
8
C
4
A
2
2
?1575
1122224
数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为
C
10
C
9<
br>C
8
C
6
C
4
C
2
A
2<
br>2
?A
4
②非均匀编号分组: n个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且
考虑各组间的顺序,其分法种数为
A?A
m
m
233
例:
10人分成三组,各组人数分别为2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为:
C
10种.
?C
8
?C
5
5
?A
3
234
若从10人中选9人分成三组,人数分别为2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有
C10
种
C
8
C
5
?A
3
3
③均匀编号分组:n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其分法种数为
m
.
AA
r
r
?A
m
例:10人分成三组,人数分
别为2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为
C
10
C
8
C4
?A
3
3
2
244
A
2
④非均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m组,每组元素数目均不相同,且不考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为
A?C
n
1
C
n-
2…
C
n-
k
(m?m?...?m)
m
11
2k-1
235
例:10人分成三组,每组人数分别为2、3、5,其分法种数为
C<
br>10
C
8
C
5
?2520
若从10人中选出6人分成
三
123
组,各组人数分别为1、2、3,其分法种数为
C
10
C<
br>9
C
7
?12600
.
m
m
m
五、二项式定理.
1. ?二项式定理:
(a?b
)?C
n
ab?C
n
a
展开式具有以下特点:
①
项数:共有
n?1
项;
② 系数:依次为组合数
C
n
,C
n
,C
n
,?,C
n
,?,C
n
;
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012rn
n0n01n?1rn?rrn0n<
br>b?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
ab
.
③
每一项的次数是一样的,即为n次,展开式依a的降幕排列,b的升幕排列展开.
?二项展开式的通项.
rn?rr
(a?b)
n
展开式中的第r?1
项为:
T
r?1
?C
n
ab(0?r?n,r?
Z)
.
?二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;
②二项展开式的中间项二项式系数最大.
.....
n
I. 当n是偶数时
,中间项是第
?1
项,它的二项式系数
C
2
n
最大;
2
n?1n?1
II. 当n是奇数时,中间项为两项,即第项和第
?1项,它们的二项式系数
C
22
③系数和:
01n
C
n
?C
n
?
?
?C
n
n
?2
024
13
C
n
?C
n
?C
n
?
?
?C
n
?C
n
?
?
?2
n?1
n
n?
1n?1
2
?C
2
最大.
nn
附:一
般来说
(ax?by)
n
(a,b
为常数)在求系数最大的项或最小的项时均
可直接根据性质二求解. 当
...........
?
A
k
?A<
br>k?1
,
?
A
k
?A
k?1
或
?<
br>(A
k
为T
k?1
的系数或系数的绝对值)的
a?1或b?1
时,一般采用解不等式组
?
A?AA?A
kk?1kk?1
??办法来求解.
pqr
?如何来求
(a?b?c)
n
展开式中含
abc
的系数呢?其中
p,q,r?N,
且
p?q?r?n
把
r
(a?b?c)
n
?[(a?b)?c]
n
视为二项式
,先找出含有
C
r
的项
C
n
(a?b)
n?rC
r
,另一方面在
(a?b)
n?r
中
qpqr
rqpqr
qn?r?qqqpq
含有
b
的项为
C
n?r
故在
(a?b?c)
n
中含
abc
的项为
C
n
C
n?r
abc
.其系数为
ab?C
n?r
a
b
,
r
C
n
C
n?
q
r
?
(n?r)!
n!n!
pqr
???C
n
C
n?p
C
r
.
r!(n?r)!q!(n?r?q)!r!q!p!
2.
近似计算的处理方法.
当a的绝对值与1相比很小且n不大时,常用近似公式
(1?a)n
?1?na
,因为这时展开式的后面部分
2233nn
C
n<
br>a?C
n
a???C
n
a
很小,可以忽略不计。类似地,有<
br>(1?a)
n
?1?na
但使用这两个公式时应注意a
的条件,以及对
计算精确度的要求.
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