高中数学重难点解决方案-应聘高中数学直播授课教师
边缘送分专题 常用逻辑用语、推理与证明、函数的实际应用
[特别说明]
之所以称其为“边缘”，是指临界于高考考查的边缘地带．高考不考正常，
因为近几年这些考点不在热门
考点之列；高考一旦考查也正常，因为这些考点在考纲的规定
范围．为既节省有限的二轮备考时间，又防
止一旦考查考生会“眼生手冷”而遗憾失分，所
以将这些考点单独集结成一个专题，供考生利用课余时间
适当关注．
常用逻辑用语
[题组练透]
1．(2019·成都检测)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，则“sin A＞sin
B”
是“tan A＞tan B”的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
ab
解析：选C 在锐角△ABC中，根据正弦定理
＝，知sin A＞sin
B?a＞b? A
sin Asin
B
π
0，
?
上单调递增，所以A＞B?tan A＞tan B．故选C.
＞B，而正切函数y＝tan x在
?
?
2
?
11
2
2．(2019·太原模拟)已知命题p：?x
0
∈R，x
0
－x
0
＋1≥0；命题q：若a＜b，则
a
＞
b
，
则下列为真命
题的是( )
A．p∧q
C．綈p∧q
B．p∧綈q
D．綈p∧綈q
解析：选B 对于命题p，当x
0
＝0时，1≥0成立，所以命题p
为真命题，命题綈p为
11
假命题；对于命题q，当a＝－1，b＝1时，
a
＜
b
，所以命题q为假命题，命题綈q为真命
题，所以p∧綈q为真命题，故选B.
1
3．(2019届高三·辽宁五校联考)已知命题“?x
0
∈R
,4x
2
0
＋(a－2)x
0
＋≤0”是假命题，
4
则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0)
C．[4，＋∞)
B．[0,4]
D．(0,4)
1
解析：选D 因为命题“?x
0<
br>∈R,4x
2
＋(a－2)x＋
≤0”是假命题，所以其否定“?x
0
0
4
1 533
11
∈R,4x
2
＋(a－2)x＋＞0”是真命题，则Δ＝(a－2)
2
－4×4×＝a<
br>2
－4a＜0，解得0＜a＜4，
44
故选D.
4．(2019届高三·湖北八校联考)下列说法正确的个数是( )
①“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题；
②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题；
2
③“
?x
0
∈R，x
2
0
－x
0
<0”的否定是“?x
∈R，x－x＞0”；
④“a＋1＞b”是“a＞b”的一个必要不充分条件．
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：选C 对于①，原命题的逆命题为
“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥4”，
而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小
于2，但此时a＋b＝0，故①不正确；对于②，
此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝
3，则a＋b＝6”，为真命题，所以原命
2
题也是真命题，故②正确；对于③，“?x
0
∈R，x
0
－x
0
＜0”的否定是“?x∈R，x
2<
br>－x≥0”，
故③不正确；对于④，由a＞b可推出a＋1＞b，但由a＋1＞b不能推出a＞b
，故④正确．故
选C.
[题后悟通]
1.看到充分与必要条件的判断
，想到定条件，找推式(即判定命题“条件?结论”和“结
论?条件”的真假)，下结论(若“条件?结
论”为真，且“结论?条件”为假，则为充
快
审
题
2.看到命题真假的判断
，想到利用反例和命题的等价性；看到含逻辑联结词的命题的真
假判断，想到联结词的含义．
3.看到命题形式的改写，想到各种命题的结构，尤其是特称命题、全称命题的否定，
要改变的两个地方
．
准
解
题
定义法
p?q，且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)
1.充分条件与必要条件的三种判定方法
正、反方向推理，若p?q，则p是q的充分条件(
或q是p的必要条件)；若
分不必要条件).
2 533
利用集合间的包含关系，例如p：A，q：B，若A?B，则p是q的充分条件
集合法
(q是p的必要条件)；若A＝B，则p是q的充要条件
等价法
将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题
2.全称命题与特称命题真假的判定方法
(1
)全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验
证p(x)成立，要
判定其为假命题时，只需举出一个反例即可．
(2)特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在
限定集合
M
中至少能找到一个元
素
x
0
，使得
p<
br>(
x
0
)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
避
1.“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分
误
不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
区
2.命题的否定只需否定结论，而其否命题既要否定条件又要否定结论.
推理与证明
[题组练透]
1．(2019·沈阳质检)甲、乙、丙三人中，一人是教师，一人
是记者，一人是医生，已知：
丙的年龄比医生大，甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小．根据以上情
况，下列判断
正确的是( )
A．甲是教师，乙是医生，丙是记者
B．甲是医生，乙是记者，丙是教师
C．甲是医生，乙是教师，丙是记者
D．甲是记者，乙是医生，丙是教师
解析：选C 甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，
所以丙一定是记者，丙的年龄
又比医生大，所以乙不是医生，乙是教师，则甲是医生，故选C.
2S
2．在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径r＝
C
.在
空间中，
三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R＝________.
3V
解析：若三棱锥表面积为S，体
积为V，则其内切球半径R＝
S
.理由如下：
设三棱锥的四个面的面积分别为S1
，S
2
，S
3
，S
4
，
由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，
3 533
3V
11111
所以V＝
S
1
R
＋S
2
R＋S
3
R＋S
4
R＝SR，所以内切球的半径R＝
.
S
33333
答案：
3V
S
3．(2019
·广州测试)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用图①的数
表列出了一些正整数在三
角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是
每行首尾数字均为1，从第3行开始，其
余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨
辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示
的由数字0到1组成的三角形数表，
由上往下数，记第n行各数字的和为S
n
，如S<
br>1
＝1，S
2
＝2，S
3
＝2，S
4
＝4，
…，则S
32
＝________.
解析：将杨辉三角形中的奇数换成1
，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成
的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数为1的是
第1行，有1个1，第2次全行的数
都为1的是第2行，有2个1，第3次全行的数都为1的是第4行，
有4个1，依次类推，
第n次全行的数都为1的是第2
n
－
1
行，有
2
n
－
1
个1，故n＝6时，第2
6
－
1
＝2
5
＝32行有32
个1，即S
32
＝32.
答案：32
[题后悟通]
快
审
题
1.破解归纳推理题的思维3步骤
(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；
准
(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；
看到由特殊到一般，想到归纳推理；看到由特殊到特殊，想到类比推理.
对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先
解
(3)检验结论：
题
粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．
2.破解类比推理题的3个关键
(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；
4
533
(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用
于简单推理之中，在不断的推理
中提高自己的观察、归纳、类比能力.
函数的实际应用
[题组练透]
1．某商场销售A型商品，已知该商品的
进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的
关系如表所示：
销售单价元
日均销售量件
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元
件)应为(
)
A．4
C．8.5
B．5.5
D．10
4
400
5
360
6
320
7
280
8
240
9
200
10
160
解析：选C 由题意可设定价为x元件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝
40(－x
2
＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值．
2．在
数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块
放入到一定量的水中，测
量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分
钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克
，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae
－
kt
(a，k为
常数)来描述以
上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k
＝( )
A．ln 2
ln 2
C.
5
B．ln 3
ln
3
D.
5
解析：选C
由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块
ln
2
的质量为3.5克，所以3.5＝7e
－
5k
，解得k＝
.
5
3.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个
矩形温室大棚
，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，
大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，
若要使S最大，则y
＝________.
解析：由题意可得xy＝1
800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
5 533
y－3
881
800
S＝(x－2)a＋(x－3)×b＝(3x－8)a＝(3x－8)×
＝1
808－3x－
y＝1 808－3x－×
x
333
4
800
?
3x＋
＝1 808－
?
x
?
≤1
808－2
?
4 8004 800
3x×
x
＝1
808－240＝1 568，当且仅当3x＝
x
，
1
800
即x＝40时取等号，所以当S取得最大值时，y＝＝45.
40
答案：45
4．某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长．记2014
年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：
x
f(x)
1
4.00
2
5.61
3
7.00
4
8.87
2
若f(x)近似符合以下三种函数模型
之一：①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2
x
＋a，③f(x)＝log
1
x
＋a.则你认为最适合的函数模型的序号为________．
解析：若模型
为f(x)＝2
x
＋a，则由f(1)＝2
1
＋a＝4，得a＝2，即f(x
)＝2
x
＋2，此时f(2)
＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格数据相
差太大，不符合；若模型为f(x)＝log
1
x＋a，则f(x)
2
??
a＋b＝4，
是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)＝ax＋b，
由已知得
?
?
?
3a＋b＝7，
?
a＝
2
，
解得
?
5
b＝
?
2
.
3
35
所以f(x)＝
x＋
，x∈N，所以最适合的函数模型的序号为①.
22
答案：①
[题后悟通]
快
审
题
看到实际应用问题，想到构建函数模型．
看到指、对型函数式，想到运算的技巧．
6 533
应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键
准
解
题
(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解
析式，然后应用函数、方
程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.
有关二次函数、分段函数模型求最值的注意点
(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，
避
需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求
误
解．
区
(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．
(3)在
利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调
性求解最值.
[专题过关检测]
一、选择题
1．(2019·南宁联考)命题“?x
0
∈R，x
0
＋cos
x
0
－e
x
0
>1”的否定是( )
A．?x
0
∈R，x
0
＋cos
x
0
－e
x
0
<1
B．?x
0
∈R，x
0
＋cos
x
0
－e
x
0
≥1
C．?x∈R，x＋cos
x－e
x
≥1
D．?x∈R，x＋cos x－e
x
≤1
解析：选D
因为所给命题是一个特称命题，所以其否定是一个全称命题，即“?x∈
R，x＋cos
x－e
x
≤1”．
2．(2019·长春质检)命题“若x
2
<1，则－1
2
≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1
<1
C．若x>1或x<－1，则x
2
>1
D．若x≥1或x≤－1，则x
2
≥1
解析：选D 命题的形式是“若p，
则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若
綈q，则綈p”的形式，所以“若x
2<1，则－1
(1)一般程序：
读题建模求解反馈
???
文字语言数学语言数学应用检验作答
则x
2
≥1”．故选D.
3．(2019·南昌调研)已知m，n为两个非
零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”
的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选D 当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n
|，
则m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos〈m，n〉|，则cos
〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，
故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m
与n不一定共线，即必要性不成立．故
“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条
件，故选D.
4．(2019·安徽八校联考)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，
D，E五个镇选择参
观地点：
①若去A镇，也必须去B镇；
②D，E两镇至少去一镇；
③B，C两镇只去一镇；
④C，D两镇都去或者都不去；
⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．
则该参观团至多去了( )
A．B，D两镇
C．C，D两镇
B．A，B两镇
D．A，C两镇
解析：选C 若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据
③可知不去C镇，根据④可知
不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根
据⑤可知也不
去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条<
br>件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.
5．下列命题是真命题的是( )
A．?x∈(2，＋∞)，x
2
>2
x
B．“x
2
＋5x－6>0”是“x>2”的充分不必要条件
C．设{a<
br>n
}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a
n
}为递增数列”的既不充
分也不必要
条件
D．a⊥b的充要条件是a·b＝0
解析：选C A选项，当x＝
4时，x
2
与2
x
显然相等．B选项，由x
2
＋5x－6>
0，得{x|x>1
8 533
或x<－6}，{
x|x>2}?{x|x>1或x<－6}，故“x
2
＋5x－6>0”是“x>2”的必要不
充分条件．C
选项，当a
1
<0，q>1时，数列{a
n
}递减；当
a
1
<0，数列{a
n
}递增时，0
6．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，
所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，
因为綈q?綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件．
7．给出下面四个类比结论：
①实数a，
b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z
1
，z
2
，若z
1
z
2
＝0，则z
1
＝0或z
2
＝0.
②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
2
③实数a，b，有a
2
＋b
2
＝0，则a＝b＝0；类比
复数z
1
，z
2
，有z
2
1
＋z
2
＝0，则z
1
＝z
2
＝0.
④实数a，b，有a
2＋b
2
＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b，若a
2
＋b
2<
br>＝0，则a＝b＝0.
其中类比结论正确的个数是( )
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：选C 对于①，显然是正确的；对于②，若向量a，
b互相垂直，则a·b＝0，
222
所以②错误；对于③，取z
1
＝1，z<
br>2
＝i，则z
2
1
＋z
2
＝0，所以③错误；对于④
，若a＋b＝0，
则|a|＝|b|＝0，所以a＝b＝0，故④是正确的．综上，类比结论正确的个数
是2.
8．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q(x)(台)进<
br>行统计，得数据如下：
x(月份)
Q(x)(台)
1
6
2
9
3
10
4
8
5
6 <
br>根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模
拟
函数是( )
A．Q(x)＝ax＋b(a≠0)
9 533
B．Q(x)＝a|x－4|＋b(a≠0)
C．Q(x)＝a(x－3)
2
＋b(a≠0)
D．Q(x)＝a·b
x
(a≠0，b>0且b≠1)
解析：选C 观察数
据可知，当x增大时，Q(x)的值先增大后减小，且大约是关于Q(3)
对称，故月销售量Q(x)(
台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x＝3对称的，
显然只有选项C满足题意，故选
C.
9．(2019·湘东五校联考)“不等式x
2
－x＋m>0在R上恒成立”的
一个必要不充分条件
是( )
1
A．m>
4
C．m>0
B．0
1
解析：选C 若不等式x
2
－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)
2
－4m<0，解得m>，
4
因此当不等式x
2
－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等
式
在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.
10．在下列结论中，正确的个数是( )
2
①命题p：“?x
0
∈R，x
2
0
－2≥0”的否定形式为綈p：“?x∈R，x－2<0”；
―→―→―→―→―→―→
②O是△ABC所在平面上一点，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA
，则O是△ABC的
垂心；
2
?
M
?
2
?
N
③“M>N”是“
?
?
3
?
>
?
3<
br>?
”的充分不必要条件；
④命题“若x
2
－3x－4＝0，则x＝4
”的逆否命题为“若x≠4，则x
2
－3x－4≠0”．
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选C
由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确．
―→―→―→―→
∵OA
·OB
＝OB
·OC
，
―→―→―→―→―→
∴OB
·(OA
－OC
)＝0，即OB·CA
＝0，
―→―→
∴OB⊥CA
.
―→―→―→―→
同理可知OA⊥BC，OC⊥BA，故点O是△ABC的垂心，∴②正确．
10 533
2
?
x
∵
y＝
?
?
3
?
是减函数，
2
?
M
?
2
?
N
?
2
?
M
>
?
2
?
N
时，M
?
<
，当
?
3
??
3
??
3
??
3
?
2
?
M
?
2
?
N
∴“M>N”是“
?
?
3
?
>
?
3
?
”的既不充分也不必要条件，∴
③错误．
由逆否命题的写法可知，④正确．
∴正确的结论有3个．
?
?
x－y≥1，
11．(2019·福州高三期末考试)不等式组
?
的解集记为
D.有下面四个命题：
?
x＋2y≤2
?
p
1
：?(x，y)∈D，x－2y≥2；
p
2
：?(x，y)∈D，x－2y≥3；
2
p
3
：?(x，y)∈D，x－2y≥；
3
p
4
：?(x，y)∈D，x－2y≤－2.
其中的真命题是(
)
A．p
2
，p
3
C．p
1
，p
2
B．p
1
，p
4
D．p
1
，p
3
解析：选A
不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分．
?
?
?
x－y＝
1，
由
?
解得
?
1
?
x＋2y＝2，
?<
br>y＝
?
3
，
4
x＝
，
3
41
?
所以M
?
?
3
，
3
?.
41
?
由图可知，当直线z＝x－2y过点M
?
?
3
，
3
?
时，
412
z取得最小值，且z
min
＝－2×＝，
333
所以真命题是p
2
，p
3
，故选A.
12
．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形状都
是圆柱形，桶口的半径
是杯口半径的2倍，其正视图如图所示．小亮决定做个试验：把塑
料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口
匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列
11 533
能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是( )
解析：选C 向玻璃杯内匀速注水，水面逐渐升高，当玻璃杯中水满时，开始向塑
料桶
内流，这时水位高度不变，因为杯子和桶底面半径比是1∶2，则底面积的比为1∶4，在高
度相同情况下体积比为1∶4，杯子内水的体积与杯子外水的体积比是1∶3，所以高度不变
时，杯外
注水时间是杯内注水时间的3倍，当桶的水面高度与玻璃杯的水面高度一样后，继
续注水，水面高度再升
高，升高的速度开始慢，结合图象知选C.
13．观察下列各式：5
5
＝3
125,5
6
＝15 625,5
7
＝78
125,5
8
＝390 625,5
9
＝1 953
125，…，
则5
2 018
的末四位数字为( )
A．3 125
C．0 625
B．5 625
D．8 125
解析：选B
5
5
＝3 125,5
6
＝15 625,5
7
＝78
125,5
8
＝390 625,5
9
＝1 953 125，……，可得<
br>5
9
与5
5
的后四位数字相同，由此可归纳出5
m
＋
4k
与5
m
(k∈N
*
，m＝5,6,7,8)的后四位数
字相
同，又2 018＝4×503＋6，所以5
2
018
与5
6
的后四位数字相同，为5 625，故选B.
2
14
．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成
3
211若干个单位分数和的形式，例如＝＋.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5
53151111
个人，若每人分得一个面包的，不够，若每人分得一个面包的，还余，再将这分成5
2333
1112211
份，每人分得，这样每人分得＋.形如
n
(n＝5
,7,9，11，…)的分数的分解：＝＋，
153155315
12 533
2112112
＝＋，＝＋，按此规律，＝( )
n
74289545
22
A.＋
n＋1n?n＋1?
11
C.＋
n＋2n?n＋2?
11
B.＋
n＋1n?n＋1?
11
D.＋
2n＋1?2n＋1??2n＋3?
解析：选A 根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母
应是等式左边数的分母加1
的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个
数的原始分子
21122
都是1，即＝＋＝＋
.
n
n＋1n?n＋1?n＋1n?n＋1?
22
15．一个人骑车以6
ms的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车，当他离汽车25 m
时，交通信号灯由红变绿，汽车开始
做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同)，若汽车在
时刻t的速度v(t)＝t(ms)，那么此人
( )
A．可在7秒内追上汽车
B．不能追上汽车，但其间最近距离为16 m
C．不能追上汽车，但其间最近距离为14 m
D．不能追上汽车，但其间最近距离为7 m
v?t?
解析：选D 因为汽车在时刻t的速度v(t)＝t(ms)，所以加速度a＝
t
＝1，所以汽车
是匀加速运动，以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为S
1<
br>＝－25＋6t，汽车在时间t内
t
2
t
2
1
的位移
为S
2
＝，故设相对位移为y m，则y＝－25＋6t－＝－
(t－6)
2
－7，故不能追上汽
222
车，且当t＝6时，其间最近距离为7 m，故选D. <
br>16．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、
己、庚、辛
、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、
亥叫做“十二地支”．“
天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支
顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺
序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、
丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……共得到
60个组合，周而复始，循环记录．已
知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“
干支纪年法”中的( )
A．己亥年
C．辛丑年
B．戊戌年
D．庚子年
解析：选D 由题知，天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年为甲午年，
所
以2014年为甲午年，从2014年到2020年，经过了6年，所以天干中的甲变为庚，地支中<
br> 13 533
的午变为子，即2020年是庚子年，故选D.
二、填空题
17．(2019·沈
阳质检)在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，
类比可求得sin
2
1°＋sin
2
2°＋…＋sin
2
89°＝________.
解析：令S＝sin
2
1°＋sin
2
2°＋sin
23°＋…＋sin
2
89°， ①
S＝sin
2
89°＋si
n
2
88°＋sin
2
87°＋…＋sin
2
1°，
②
89
则①＋②得2S＝89，S＝
.
2
答案：
89
2
18．设命题p：?a>0，a≠1，函
数f(x)＝a
x
－x－a有零点，则綈p：__________________. 解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p：?a
0
>0，a
0
≠1，
函数f(x)＝a
x
0
－x－a
0
没有零点． <
br>答案：?a
0
>0，a
0
≠1，函数f(x)＝a
x
0
－x－a
0
没有零点
19．命题p：“?x∈R，ax
2
－2ax＋3>0恒成立”，命题q：“?x∈R，使x
2
＋(a－1)x
＋1<0
”，若p∨q为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：因为p∨q为假命题，所以
命题p和q都是假命题，命题p是真命题的充要条件
?
?
a>0，
是a＝0或
?
?0≤a<3，所以其为假的充要条件是a<0或a≥3，命题q的否
2
?
?
Δ＝4a
－12a<0
定是真命题，即?x∈R，x
2
＋
(a－1)x＋1≥0，则Δ＝(a－1)
2
－4≤0，解得－1≤a≤3，所以
－1
≤a<0或a＝3.
答案：[－1,0)∪{3}
20．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，
这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就
会多一套
房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用
(设没有出租的房子不
需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为
________元．
解析：设利润为y元，租金定为3 000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．则y＝(3
000＋50x)(70
?
58＋x＋70－x
?
2
－x)－100(70－x)＝(2
900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50
??
＝204
800，
2
??
14 533
当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3
300(元)时，
公司获得最大利润．
答案：3 300
21．某食品的保鲜时间
y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e
kxb
(e
＋
＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0
℃的保鲜时间是192小时，在
22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33
℃的保鲜时间是________小时．
b
e
?
?
?
＝1
92，
?
192＝e
，
解析：由题意得
?
解得
?<
br>当x＝33时，
22k
＋
b
11k
1
，
?
?
?
48＝e
?
e
＝
2
，
b
1
?
3
y＝e
33k
＋
b
＝(e
11k
)
3
e
b
＝
?
?
2
?
×192＝24.
答案：24
22．使用“□”和“○”按照如下规
律从左到右进行排位：□，○，□，○，○，○，
□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，
○，○，…，若每一个“□”或“○”
占一个位置，如上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，
第7位是“□”，则第2
019位之前(不含第2 019位)，共有______个“○”． 解析：记“□，○”为第1组，“□，○，○，○”为第2组，“□，○，○，○，
○，○”为第3
组，以此类推，第k组共有2k个图形，故前k组共有k(k＋1)个图形，因为
44×45＝1
980<2 018<45×46＝2 070，所以在这2 018个图形中有45个“□”，1
973个
“○”．
答案：1 973
23．(2019·东北三校联考)甲、乙、
丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学
里教不同的学科A，B，C，已知：
①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；
②在哈尔滨工作的教师不教C学科；
③在长春工作的教师教A学科；
④乙不教B学科．
可以判断乙教师所在的城市和所教的学科分别是________________．
解析：由于乙不在长春工作，而在长春工作的教师教A学科，则乙不教A学科；又乙
不教B学科，所
以乙教C学科，而在哈尔滨工作的教师不教C学科，故乙在沈阳教C学科．综
上可知，乙教师所在的城市
为沈阳，所教的学科为C.
15 533
答案：沈阳、C
24．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用12项能力特征加以描述
．每名学生
?
?
0，如果某学生不具有第i项能力特征，
的第i(i＝1,2
，…，12)项能力特征用x
i
表示，x
i
＝
?
?
1，如果某学生具有第i项能力特征.
?
若学生A，B的12项能力特征分别记为A
＝(a
1
，a
2
，…，a
12
)，B＝(b
1，b
2
，…，b
12
)，则A，
B两名学生的不同能力特征项数
为________(用a
i
，b
i
表示)．如果两个同学不同能力特征项<
br>数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差
异较大
，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为________．
解析：若第i(i＝1,2
，…，12)项能力特值相同，则差为0，特征不同，差的绝对值为1，
则用a
i
，b
i
表示A，B两名同学的不同能力特征项数为：|a
1
－b
1
|＋|a
2
－b
2
|＋|a
3
－b
3
|
＋…＋|a
11
－b
11
|＋|a
12
－b
12<
br>|＝
?
|a
i
－b
i
|.设第三个学生为C＝(c<
br>1
，c
2
，…，c
12
)，则d
i
＝|a<
br>i
－b
i
|＋|b
i
－c
i
|
i<
br>＝
1
12
＋|c
i
－a
i
|,1≤i≤12
，因为d
i
的奇偶性与a
i
－b
i
＋b
i
－c
i
＋c
i
－a
i
＝0一样，所以d
i
是偶数，3名
学生两两不同能力特征项数总和为S＝d
1
＋d
2
＋…
＋d
12
为偶数，又S≥3×7＝21，则S≥22，
取A＝(0,1,1,0,1,
1,0,1,1,0,1,1)，B＝(1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1)，C＝(1,1,
0,1,1,0,1,1,0,1,1,1)，则不
同能力特征项数总和正好为22.
答案：
?
|a
i
－b
i
| 22
i
＝
1
12
16 533
17
533
18 533
基础送分专题一 集合、复数、算法
集 合
[题组练透]
1．(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(
)
A．{0}
C．{1,2}
B．{1}
D．{0,1,2}
解析：选C
∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}．
2．设
全集U＝{x∈Z||x|≤2}，A＝{x|x＋1≤0}，B＝{－2,0,2}，则(?
U
A)∪B＝( )
A．{1}
C．{－2,0,1,2}
B．{0,2}
D．(－1,2]∪{－2}
解析：选C
因为U＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，A＝{x|x≤－1}，
所以?
U
A＝{0,1,2}，又B＝{－2,0,2}，所以(?
U
A)∪B＝{
－2,0,1,2}．
3．(2019届高三·惠州调研)已知集合A＝{x|x
－3x＋2<0}，若A∩B＝B，
则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1)
C．(2，＋∞)
B．(－∞，1]
D．[2，＋∞)
解析：选D
集合B＝{x|x
2
－3x＋2<0}＝{x|1
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知集合A＝
{(x，y)|x
2
＋y
2
≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
19 533
A．9
C．5
B．8
D．4
解析：选A 法一：将满
足x
2
＋y
2
≤3的整数x，y全部列举出
来，即(－1，－1)，
(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，
－1)，(1,0)，
(1,1)，共有9个．故选A.
法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x
2
＋y
2
＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，
故选A.
5．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定义P⊕Q＝{x|x＝p－q，
p∈P，q∈Q}，则集合
P⊕Q的所有真子集的个数为( )
A．32
C．30
B．31
D．以上都不对
解析：选B 由所定义的运
算可知P⊕Q＝{1,2,3,4,5}，所以P⊕Q的所有真子集的个数
为2
5
－1
＝31.
[题后悟通]
快
审
题
1.看到集合中的元素，想到元素代表的意义；看到点集，想到其对应的几何意义．
2.看到
数集中元素取值连续时，想到借助数轴求解交、并、补集等；看到M?N，想到
集合M可能为空集．
1.记牢集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
准
解
(3)A∩(?<
br>U
A)＝?，A∪(?
U
A)＝U.
(4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
题
2.活用集合运算中的常用方法
(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解．
(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解．
(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解．
避
误
1.在化简集合时易忽视元素的特定范围(如集合中x∈N，x∈Z等)致误．
20 533
区
2.在解决含参数的集
合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不
满足“互异性”而导致解题错误.
复 数
[题组练透]
1．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( )
A．－3－i
C．3－I
B．－3＋i
D．3＋i
解析：选D
(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i
2
＝3＋i.
a－i
2．(2019·洛阳统考)已知a∈R，i为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为(
)
1＋i
A．－1
C．1
B．0
D．2
a－i?a－i??1－i?a－1a＋1a－1a＋1
解析：选C ∵
＝＝
－
i为纯虚数，∴
＝0且
≠0，解得
2222
1＋i?1＋i??1
－i?
a＝1.
3．(2019届高三·安徽知名示范高中联考)已知复数z满足(2－i)
z＝i＋i
2
，则z在复平面
内对应的点位于( )
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
i＋i
2<
br>－1＋i
?－1＋i??2＋i?
－3＋i
31
解析：选B z＝＝＝＝＝－＋
i，则复数z在复平面内
555
2－i2－i?2－i??2＋i?
31
－，
?
，该点位于第二象限． 对应的点为
?
?
55
?
4．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝
A．0
C．1
1－i
＋2i，则|z|＝( )
1＋i
1
B.
2
D.2
21 533
1－i?1－i?
2
－2i
解析：选C
∵z＝
＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.
2
1＋i?1＋i?
?1－i?
5．(2019·资阳模拟)复数z满足z(1－2i)＝3＋2i，则z＝( )
18
A．－－i
55
78
C.＋i
55
18
B．－＋i
55
78
D.－i
55
3＋2i?3＋2i??1＋2i?
18
解析：选A
由z(1－2i)＝3＋2i，得z＝
＝＝－＋
i，
55
1－2i?1－2i??1＋2i?
18
∴z＝－－
i.
55
[题后悟通]
1.看到复数的加、减、乘法运算，想到类比代数式的
加、减、乘法运算；看到复数的除
法运算，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复
数，再利用乘法
快
审
法则化简．
题
2.看到复数z在复平面
内对应的点，想到复数的几何意义；看到实数、纯虚数，想到复
数的分类条件．
3.看到共轭
复数，想到它们关于实轴对称；看到复数的模，想到|z|＝|a＋bi|＝a
2
＋b
2
.
掌握复数代数形式运算的方法
准
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类
解
项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂
题
写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是
“分母实
数化”.
算 法
[题组练透]
1.(2019·成都检测
)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其
对应的程序框图如图所示．若输入
的x，y，k的值分别为4,6,1，则输出k的值为( )
22 533
A．2
C．4
B．3
D．5
解析：选C 执行程序框图，x＝4，y＝6，k＝1，
k＝k＋1＝2，x>y不成立，x＝y不成立，y＝y－x＝2；
k＝k＋1＝3，x>y成立，x＝x－y＝4－2＝2；
k＝k＋1＝4，x>y不成立，x＝y成立，输出k＝4.
2．执行如图所示的程序框图，当输出的n的值等于5时，输入的正整数A的最大值为
( )
A．7
C．62
B．22
D．63
S＝
0＋1＝1，
?
?
第1次循环
?
x＝3×1－1＝2，
?<
br>?
n＝1；
解析：选D
23 533
S＝1＋2＝3，
?
?
第2次循环
?x＝3×2－1＝5，
?
?
n＝2；
S＝3＋5＝8，
?
?
第3次循环
?
x＝3×5－1＝14，
?
?
n＝3；<
br>S＝8＋14＝22，
?
?
第4次循环
?
x＝3×14－1＝
41，
?
?
n＝4；
S＝22＋41＝63，
?
?
第5次循环
?
x＝3×41－1＝122，
?
?
n＝5.
因为输出的n＝5，所以22
3.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )
A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 019项和
B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 020项和
C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和
D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和
解析：选D
由程序框图得，输出的S＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2×
24 533
2
019－1)，可看作数列{2n－1}的前2
019项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等
差数列的前1 010项和．
111
11
4．(2019·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，
23499100
则在空白框中应填入( )
A．i＝i＋1
C．i＝i＋3
B．i＝i＋2
D．i＝i＋4
11111
解析：选B 由题意可将S变形为S＝
?
1＋
3
＋…＋
99
?
－
?
2
＋
4
＋…＋
100
?
，则由S＝
????
1111111
N－T，得N
＝1＋
＋…＋，T＝＋＋…＋
.据此，结合N＝N＋
i
，T＝T＋易知
39924100
i＋1
在空白框中应填入i＝i＋2.故选B.
[题后悟通]
快
审
题
1.看到循环结构，想到循环体的构成；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止．
2.看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n次循环体，根据结果判断．
3.
看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关
系，逆推得输入值．
掌握程序框图2类常考问题的解题技巧
准
(1)求解程序框图的运行结果问题
解
先要找出控制循环的变量及其初值、终值，然后看循环体，若循环次数较少，可依次列
题 出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的
是什么，不要
出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需
25 533
要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．
(2)对于程序框图的填充问题
最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方
法：创造参数的判断条件
为“i＞n？”或“i＜n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件
即可.
[专题过关检测]
一、选择题
1．(2019·福州质检)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝
{x|－1
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选B
依题意，集合A是由所有的奇数组成的集合，故A∩B＝{1,3}，
所以集合A∩B中元素的个数为2.
1＋2i
2．(2019·全国卷Ⅱ)＝(
)
1－2i
43
A．－－i
55
34
C．－－i
55
43
B．－＋i
55
34
D．－＋i
55
1＋2i?1＋2i?
2
－3＋4i
34
解析：选D
＝＝＝－＋
i.
555
1－2i?1－2i??1＋2i?
a3．(2019届高三·湘东五校联考)已知i为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与
1
－2i
虚部互为相反数，则a＝( )
A．－5
1
C．－
3
B．－1
5
D．－
3
a?1＋2i?
aa
2a＋5
a
解析：选D z＝
＋i＝＋i＝＋
i，∵复数z＝
＋i(a∈R)的
55
1－2i?1－2i
??1＋2i?1－2i
a
2a＋5
5
实部与虚部互为相反数，∴－＝，解得
a＝－
.
553
4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x＋2
)(x－1)<0}，则( )
A．A∩B＝?
C．?
U
B?A
26 533
B．A∪B＝U
D．?
U
A?B
解析：选A 由(x＋2)(x－1)<
0，解得－2
U
B＝{x|x≥1或x≤－2}，A??
U
B，?
U
A
＝{x|x<1}，B??
U
A，故选A.
5．(2019届高三·武汉调研)已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z＝( )
A．1－i
4
C.－i
3
B．1＋i
4
D.＋i
3
a
2
＋b
2
＝3＋i，
解析：选D
设z＝a＋bi，其中a，b∈R，由z＋|z|＝3＋i，得a＋bi＋
4
22
?<
br>?
a＝
a＋a
＋b＝3，
?
3
，
?
4
由复数相等可得
?
解得
?
故z＝＋i.
3
?
?
?
b＝1，
b＝1，
?
6.(2019·开封高三定位考试)“欧几里得算法”是有记载的最古老的
算法，可追溯至公
元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来
源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中
“aMODb”表示a除以b的
余数)，若输入的a，b分别为675,125，则输出的a＝( )
A．0
C．50
B．25
D．75
解析：选B 初
始值：a＝675，b＝125，第一次循环：c＝50，a＝125，
b＝50；第二次循环：c＝2
5，a＝50，b＝25；第三次循环：c＝0，a＝25，
b＝0，此时不满足循环条件，退出循环．
输出a的值为25.
7．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x
2
－x－2
>0}，则?
R
A＝( )
A．{x|－1
B．{x|－1≤x≤2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析：选B
∵x
2
－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，
∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．
则?
R
A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
8．(2019·
益阳、湘潭调研)设全集U＝R，集合A＝{x|log
2
x≤2}，B＝{x|(x－2)(
x＋1)≥0}，
则A∩?
U
B＝( )
A．(0,2)
C．(－∞，－1)
B．[2,4]
D．(－∞，4]
解析：选A 集合A＝{x|log
2
x≤2}＝{x|0
或x≥2}，则?
U
B＝{x|－1
B＝
{x|0
＝132，则判断框中可以填( )
A．i≥10?
C．i≤11?
B．i≥11?
D．i≥12?
解析：选B 执行程序框图，i＝12，s＝1；s＝12×1＝12，i＝11；s
＝12×11＝132，i
＝10.此时输出的s＝132，则判断框中可以填“i≥11？”．
10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )
A．5
C．7
B．6
D．8
解析：选B 执行程序框图，第一步：n＝12，i＝1，
满足条件n是3的倍数，n＝8，i
＝2，不满足条件n＞123；
第二步：n＝8，不满足条件n是3的倍数，n＝31，i＝3，不满足条件n＞123；
第三步：n＝31，不满足条件n是3的倍数，n＝123，i＝4，不满足条件n＞123；
第四步：n＝123，满足条件n是3的倍数，n＝119，i＝5，不满足条件n＞123；
第五步：n＝119，不满足条件n是3的倍数，n＝475，i＝6，满足条件n＞123，退出
循
环，输出i的值为6.
28 533
1
11．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝
x
11??
?
－1，0，，，1，2，3，4
?
的所有非空子集中，具有伙伴关
系的集合的个数为( )
32
??
A．15
C．2
8
B．16
D．2
5
解析：选A 本题关键看清－1和1
本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3
11
和，2和这“四大”元素所能组成的
集合．所以满足条件的集合的个数为2
4
－1＝15.
32
12．(2019·太原模拟)若复数z＝
值范围是( )
A．(－1,1)
C．(1，＋∞)
解析：选A 法一：因为z＝
B．(－1,0)
D．(－∞，－1)
1＋mi?1＋mi??1－i?1＋mm－1
＝＝＋
i在复平面内对应的点
22
1＋i?1＋i??1－i?
1＋
mi
在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取
1＋i
1＋m
?
?
2
>0，
?
1＋mm－1
?
为
??
，且
在第四象限，所以
?
?
2
，
2
?
m－1
?
?
2
<0，
解得－1
111
法二：当m＝0时，z＝
＝＝－
i，在复平面内对应的点在第四象限，
1＋i
?1＋i??1－i?
22
所以排除选项B、C、D，故选A.
13．(2019·
安徽知名示范高中联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的n＝2，那么
输入的a的值可以为(
)
A．4
C．6
29 533
B．5
D．7
解析：选D 执行程序框图，输入a，P＝0，Q＝1
，n＝0，此时P≤Q成立，P＝1，
Q＝3，n＝1，此时P≤Q成立，P＝1＋a，Q＝7，n＝2
.因为输出的n的值为2，所以应该
退出循环，即P>Q，所以1＋a>7，结合选项，可知a的值可以
为7，故选D.
14．(2019届高三·广西五校联考)已知a为实数，若复数z＝(a
2
－1)＋(a＋1)i为纯虚数，
a＋i
2 017
则＝( )
1－i
A．1
C．i
B．0
D．1－i
解析：选C 因为z＝(a
2
－1)＋(a＋1)i为纯虚数，
2
?
?
a
－1＝0，
所以
?
得a＝1，
?
?
a＋1≠0，
1＋i
2
017
1＋i?1＋i?
2
则有＝＝＝i.
1－i1－i?1＋i??1－
i?
15．(2019·新疆自治区适应性检测)沈括是我国北宋著名的科学家，宋代制酒业很发达，<
br>为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛．沈括在其代表作《梦溪笔谈》
中提出了
计算堆垛中酒缸的总数的公式．图1是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形
的长边放置了a个酒缸，
短边放置了b个酒缸，共放置了n层．某同学根据图1，绘制了计
算该长方垛中酒缸总数的程序框图，如
图2，那么在
◇
和
?
两个空白框中，可以分别填入( )
A．i
B．i≤n？和S＝S＋a·b
D．i
解析：选B 观
察题图1可知，最下面一层酒缸的个数为a·b，每上升一层长方形的长
边和短边放置的酒缸个数分别减
少1，累加即可，故执行框中应填S＝S＋a·b；计算到第n
层时，循环n次，此时i＝n，故判断框
中应填i≤n？，故选B.
30 533
π??
22
16．已知集合A＝
?
?x，y?
?
x＋y＝
4
，y≥0
?
，B＝{(x，y)|y＝tan(3π＋2x)}，C＝A∩
B，
??
则集合C的非空子集的个数为( )
A．4
C．15
B．7
D．16
2
解析：选C
因为B＝{(x，y)|y＝tan(3π＋2x)}＝{(x，y)|y＝tan
2x}，
ππ
2
22
函数y＝tan
2x的周期为，画出曲线x＋y＝，y≥0与函数y＝
24
π
2
tan
2x的图象(如图所示)，从图中可观察到，曲线x
＋y＝，y≥0
4
22
与
函数y＝tan 2x的图象有4个交点．因为C＝A∩B，所以集合C中有4个元素，故集合C
的非空
子集的个数为2
4
－1＝15，故选C.
二、填空题
17．已知复数z＝
1＋3i
，则|z|＝________.
2＋i1＋3i?1＋3i??2－i?5＋5i
解析：法一：因为z＝
＝＝＝1＋i，所以|z
|＝|1＋i|＝2.
5
2＋i?2＋i??2－i?
?
1＋3i
?
|1＋3i|
10
法二：|z|＝
?
＝＝2.
?
＝
5
2＋i
|2＋i|
??
答案：2
?
?
?
y－3
＝1
18．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R
}，集合M＝
?
?x，y?
?
?
x－2
?
?
?
?
?
，P＝{(x，y)|y≠x
?
?
＋1
}，则?
U
(M∪P)＝________.
解析：集合M＝{(x，y)|y＝x＋1，且x≠2，y≠3}，
所以M∪P＝{(x，y)|x∈R，y∈R，且x≠2，y≠3}．
则?
U
(M∪P)＝{(2,3)}．
答案：{(2,3)}
1
9．已知复数z＝x＋4i(x∈R)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z|＝5，
z
则的共轭复数为________．
1＋i
解析：由题意知x＜0，且x
2
＋4
2
＝5
2
，
解得x＝－3，
31
533
－3＋4i
?－3＋4i??1－i?
17
∴＝＝＝＋
i，
22
1＋i1＋i?1＋i??1－i?
z
17
故其共轭复数为－
i.
22
17
答案：－i
22
20．已知非空集合A，B满足下列四个条件：
①A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7}；
②A∩B＝?；
③A中的元素个数不是A中的元素；
④B中的元素个数不是B中的元素．
(1)如果集合A中只有1个元素，那么A＝________；
(2)有序集合对(A，B)的个数是________．
解析：(1)若集合A中只有1个元素，则集合B中有6个元素，6?B，故A＝{6}．
(
2)当集合A中有1个元素时，A＝{6}，B＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A，B)有1
个；
当集合A中有2个元素时，5?B,2?A，此时有序集合对(A，B)有5个；
当集合A中有3个元素时，4?B,3?A，此时有序集合对(A，B)有10个；
当集合A中有4个元素时，3?B,4?A，此时有序集合对(A，B)有10个；
当集合A中有5个元素时，2?B,5?A，此时有序集合对(A，B)有5个；
当集合A中
有6个元素时，A＝{1,2,3,4,5,7}，B＝{6}，此时有序集合对(A，B)有1个．
综上可知，有序集合对(A，B)的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.
答案：(1){6} (2)32
32 533
基础送分专题二 平面向量
平面向量的基本运算
[题组练透]
1．(2019·全国卷Ⅰ)在△ABC中，
AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则
―
EB
→
＝(
A.<
br>3
―
4
AB
→
－
1
―
4
A
C
→
B.
1
―→
4
AB－
3
―→
4
AC C.
3
―→
1
―→
D.
1
―→
3―→
4
AB＋
4
AC
4
AB＋
4
AC
解析：选A 法一：作出示意图如图所示．
―
EB
→
＝
―
ED
→
＋
―
DB
→
＝
1
―→
1
―→
111
―
3
―
2
AD
＋
2
CB
＝
2
×2
(
―
AB
→
＋
―
AC
→
)
＋
→―→→
1
―→
2
(AB
－AC
)＝
4
AB
－
4
AC.
故选A.
法二：不妨设△ABC
为等腰直角三角形，且∠A＝
π
2
，AB＝AC＝
1.建立如图所示的平面直
角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，
D
?
1?
2
，
1
2
?
?
，E
?
1<
br>?
4
，
1
4
?
?
.故
―
A
B
→
＝(1,0)，
―
AC
→
＝(0,1)，
―
EB
→
＝(1,0)－
?
11
?
4
，4
?
?
＝
?
3
?
4
，－
1<
br>4
?
?
，
即
―
EB
→
＝
3
―→
1
―→
4
AB
－
4
AC.
2．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足
―
OB
→
＝
1<
br>―
3
OA
→
＋
2
―→―→―→
3
O
C，则|AB|∶|BC|＝(
A．1∶3 B．3∶1
C．1∶2 D．2∶1
33 533
)
)
―→
1
―→
2
―→―→―→―→―→―→―→
解析：选D
由OB
＝
OA
＋
OC
，得OB－OA＝2(OC－OB
)，
即AB
＝2BC，所
33
―→―→
以|AB
|∶|BC|＝2∶1，
故选D.
3．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)
．若c∥(2a＋b)，则
λ＝________.
解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，
1
所以4λ＝2，解得λ＝
.
2
1
答案：
2<
br>―→―→
4．(2019·太原模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若
AC＝λAM
―→
＋μAN，则实数λ＋μ＝________.
―→―→―→―→
1
―→―→
1
―→
解析：如图，∵AM
＝AB＋BM＝AB
＋
BC
＝DC＋
BC
，①
22
―→―→―→―→
1
―→
AN
＝AD＋DN＝BC＋
DC
， ②
2
―→
4
―→
2
―→―→
4
―→
2
―→由①②得BC＝
AN
－
AM
，DC＝
AM
－
A
N
，
3333
―→―→―→―→―→
4
―→
2
―
→
4
―→
2
―→
2
―→
2
―→
∴
AC＝AB＋BC＝DC＋BC＝
AM
－
AN
＋
AN
－AM
＝
AM
＋
AN
，
333333
224<
br>―→―→―→
∵AC＝λAM＋μAN，∴λ＝，μ＝，λ＋μ＝
.
333
4
答案：
3
[题后悟通]
快
审
1.看到向量的线性运算，想到三角形和平行四边形法则．
题
2.看到向量平行，想到向量平行的条件．
记牢向量共线问题的4个结论
(1)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
准
―→―→―→
(2)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线?OP＝(1－t)
OA＋tOB (O为平面
解
题
内任一点，t∈R).
―→―→―→
(3) OA＝λOB＋μOC
(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
34 533
(4)若a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则a∥b?x
1
y
2
＝x<
br>2
y
1
，当且仅当x
2
y
2
≠0时，a∥b
?
x
1
y
1
＝.
x
2
y
2
平面向量的数量积
[题组练透]
1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(
)
A．4
C．2
B．3
D．0
解析：选B
a·(2a－b)＝2a
2
－a·b＝2|a|
2
－a·b.
∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×1
2
＋1＝3.
2．已知向量m＝(t＋1,1)，n＝(t＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则t＝( )
A．0
C．3
B．－3
D．－1
解析：选B 法一
：由(m＋n)⊥(m－n)可得(m＋n)·(m－n)＝0，即m
2
＝n
2
，故(t＋
1)
2
＋1＝(t＋2)
2
＋4，解得t＝－3. <
br>法二：m＋n＝(2t＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，∵(m＋n)⊥(m－n)，∴－(2t＋
3)－3＝0，
解得t＝－3.
―→―→―→―→
3．在△ABC中，∠ABC＝9
0°，AB＝6，点D在边AC上，且2AD＝DC，则BA·BD
的值是( )
A．48
C．12
B．24
D．6
―→―→―→―→―→―→
解析：选B 法一：由题意得，BA·BC
＝0，BA·CA
＝BA
·(BA
－
→
2
―→
―→―→―
→―→―→―→―→―→
?
―
BC
＋ CA
?
B
C)＝|BA|
2
＝36，∴BA
·BD
＝BA
·(BC
＋
CD
)＝BA·
3
??
2
＝0＋
×36＝24.
3
法二：(特例法)若△ABC为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(6,0)，
C(0,6)．
―→―→
由2AD＝DC，得D(4,2)．
35
533
―→―→
∴BA
·BD
＝(6,0)·(4,2)＝24.
4.(
2019·贵阳摸底考试)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，
―→―→
平行四边形AB
CD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，则AB·AD
的值为( )
A．10
C．12
B．11
D．13
解析：选B 以点A为坐标原点，
建立如图所示的平面直角坐
标系，A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为
平行四边形，可
―→―→
以得到D(2,3)，所以AB
·AD
＝(4,1)
·(2,3)＝8＋3＝11.故选B.
5．(2019届高三·益阳、湘潭调研)已知非零向量a，
b满足a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a
π
＋b与a－b的夹角为，则t的值为___
_____．
3
解析：因为a·b＝0，所以(a＋b)
2
＝(a－b)<
br>2
，即|a＋b|＝|a－b|.又|a＋b|＝t|a|，所以|a
?a＋b?·?a
－b?|a|
2
－|b|
2
ππ
－b|＝|a＋b|＝t|a|.因
为a＋b与a－b的夹角为，所以＝cos，整理得
22
33t|a|
|a＋b|·|
a－b|
22
?2－t?|a|
1
＝，即(2－t
2
)|a
|
2
＝2|b|
2
.又|a＋b|＝t|a|，平方得|a|
2＋|b|
2
＝t
2
|a|
2
，所以|a|
2<
br>＋＝t
2
|a|
2
，
22
423
解得t2
＝
.因为t>0，所以t＝.
33
答案：
23
<
br>3
6．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长
线上
―→―→―→―→
的动点Q(包含点B)满足|DP|＝|BQ|，则PA·PQ的最小值
为________．
解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴
建
立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x,1)，Q(2，y)，
由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.
―→―→
∵|DP
|＝|BQ|，
∴|x|＝|y|，∴x＝－y.
36 533
―→―→
∵PA＝(－x，－1)，PQ＝(2－x，y－1)，
1
3
―→―→
x－
?
2
＋， ∴PA
·P
Q
＝－x(2－x)－(y－1)＝x
2
－2x－y＋1＝x
2
－x
＋1＝
?
?
2
?
4
13
―→―→
∴当x＝
时，PA
·PQ
取得最小值，为
.
24
3
答案：
4
[题后悟通]
快
审
1.看到向量垂直，想到其数量积为零．
2.看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式．
题
3.看到向量中
的最值问题时，想到向量不等式、几何意义，甚至建立坐标系构造函数关
系求最值．
特例法妙解图形中平面向量数量积问题
用
妙
法
建系)．
避
误
两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角
可
能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还
解答有关
图形中的平面向量数量积问题，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再
建立平面直角坐标系，求得相
关点坐标计算求解(如第3题可取△
ABC
为等腰直角三角形
区 要求不能反向共线.
[专题过关检测]
一、选择题
1．设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
3
A．－
2
5
C.
3
5
B．－
3
3
D.
2
解析：选A 因为c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1
×(2＋k)＝0，
3
解得k＝－
.
2
2．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角的余弦值为(
)
310
A.
10
B．－
310
10
37 533
C.
2
2
D．－
2
2
解析：选C 因为向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，所以b＝(2,0)，则向
量a，b的夹角的
1×2＋1×0
2
余弦值为＝
.
2
2×
2
―→―→
3．已知在平面直角坐标系中，点A(0,1)，向量AB＝(－4，－3)，BC
＝(－7，－4)，
则点C的坐标为( )
A．(11,8)
C．(－11，－6)
B．(3,2)
D．(－3,0)
―→―→
解析：选C 设C(x，y)，∵在平面直角坐标系中，点A(0,1)，向量AB<
br>＝(－4，－3)，BC
?
?
x－0＝－11，
―→―→―→
＝(－7，－4)，∴AC＝AB＋BC＝(－11，－7)，∴
?
解得x＝－11，y＝－6
，
?
?
y－1＝－7，
故C(－11，－6)．
―→―→―→
4．在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝(
)
1
―→
1
―→
＋AD
22
3
―→
1
―→
＋AD
44
3
―→
1
―→
＋AD
42
1
―→
3
―→
＋AD
24
―→―→―→―→―→
1
―→
解析：选B 因为AB
＝－2CD，所
以AB＝2DC
.又M是BC的中点，所以AM
＝
(AB
2
→―→<
br>1
―→
3
――→
1
―→―→―→
1
―
→
1
―→
AB
＋AD＋ AB
?
＝AB
＋
AD.
＋AC
)＝(AB
＋AD＋D
C
)＝
?
2
?
422
?
2
5．(2019
届高三·武汉调研)设非零向量a，b满足|2a＋b|＝|2a－b|，则( )
A．a⊥b
C．a∥b
B．|2a|＝|b|
D．|a|<|b|
解析：选A 法一：∵|2a＋b|＝|2a－b|，∴(2a＋b)
2
＝(2a－b
)
2
，化简得a·b＝0，∴a
⊥b，故选A.
法二：记c＝2a，则由|
2a＋b|＝|2a－b|得|c＋b|＝|c－b|，由平行四边形法则知，以向
量c，b为邻边的平
行四边形的对角线相等，∴该四边形为矩形，故c⊥b，即a⊥b，故选
A.
―→―→―→<
br>6．已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为(
)
38 533
A．－
32
2
B．－35
D．35
32
C.
2
―→―→―→
解析：选C 因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD
＝(5,5)，又AB＝(2,1)，所以向量AB在
―→―→
AB·CD
1532
―→―→―→―→
CD
方向上的投影为|AB
|cos〈AB
，CD
〉＝
―
＝＝
.
→
2
52
|CD|
17．已知a和b是非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m
|
4
取得最小值，则向量a，b的夹角θ为( )
π
A.
6
2π
C.
3
π
B.
3
5π
D.
6
解析：选C 由m＝a＋tb，及|a|＝1，
|b|＝2，得|m|
2
＝(a＋tb)
2
＝4t
2
＋4t
cos θ＋1＝(2t
11
2π
＋cos
θ)
2
＋sin
2
θ，由题意得，当t＝
时，cos
θ＝－，则向量a，b的夹角θ为，故选C.
423
―→―→―→―→
8．在△AB
C中，|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，
―→―→<
br>则AE·AF＝( )
8
A.
9
25
C.
9
10
B.
9
26
D.
9
―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选B 由|AB
＋AC
|＝|AB
－AC
|知AB
⊥AC，以A为坐标原点，AB，AC的
方向分别
为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)，不妨设
4
1
?
22
―→―→
?
41
??
22
?8210
，
，F
?
，
?
，则AE
·E
?
AF
＝
?
3
，
3
?
·
?
33
??
33
??
3
，
3
?
＝
9
＋
9
＝
9
.
―→
9．已知在平面直角坐标系x
Oy中，P
1
(3,1)，P
2
(－1,3)，P
1
，P<
br>2
，P
3
三点共线且向量OP
3
―→―→―→
与向量
a＝(1，－1)共线，若OP
3
＝λOP
1
＋(1－λ)
OP
2
，则λ＝( )
A．－3
C．1
B．3
D．－1
―→―→―→―→
解析：选D 设OP
3
＝(x，y
)，则由OP
3
∥a，知x＋y＝0，于是OP
3
＝(x，－x)．若OP<
br>3
＝
39 533
?
?<
br>4λ－1＝x，
―→―→
λOP
1
＋(1－λ)OP
2
，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即
??
3－2λ＝－x，
?
所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.
10．(2019·兰州诊断考试)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满―→―→―→―→―→
足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)等于( )
4
A．－
9
4
C.
3
4
B．－
3
4
D.
9
―→―→―→―→―→
解析：选A
如图，∵AP
＝2PM，∴AP＝PB＋PC，
―→―→―→―→
∴PA
·
(PB
＋PC
)＝－PA
2
，
―→―→―→
2
∵AM＝1且AP＝2PM，∴|PA
|＝
，
3
4
―→―→―→
∴PA
·(PB
＋PC
)＝－.
9
―→―→―→―→―→
11．(2019届高三·南宁摸底联考)已知O是△ABC
内一点，OA＋OB＋OC＝0，AB·AC
＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( )
A.
C.
3
3
3
2
B.3
2
D.
3
1
―→―→―→
解析：选A ∵O
A
＋OB＋OC＝0，∴O是△ABC的重心，于是S
△
OBC
＝
S
△
ABC
.
3
―→―→―→―→―→―→
∵AB
·AC
＝2，∴|AB
|·|AC|·cos∠BAC＝2，∵∠BAC＝60°，∴|AB|
·|AC|＝4.
1
―
3
→―→
∴S
△
ABC<
br>＝
|AB|·|AC|sin∠BAC＝3，∴△OBC的面积为.
23
12
．(2019·南昌调研)已知A，B，C是圆O：x
2
＋y
2
＝1上的动点
，且AC⊥BC，若点M
―→―→―→
的坐标是(1,1)，则|MA＋MB＋MC|的最大值
为( )
A．3
C．32－1
B．4
D．32＋1
解析：选D
法一：∵A，B，C是圆O：x
2
＋y
2
＝1上的动点，且AC⊥BC，
∴设A(cos θ，sin θ)，B(－cos θ，－sin θ)，C(cos α，sin
α)，其中0≤θ<2π，0≤α<2π，
40 533
―→―→―→
∵M(1,1)，∴MA＋MB＋MC＝(cos θ－1，sin
θ－1)＋(－cos θ－1，－sin θ－1)＋(cos α
－1，sin
α－1)＝(cos α－3，sin α－3)，
―→―→―→
∴|MA＋MB＋MC
|＝
＝
＝
?cos
α－3?
2
＋?sin α－3?
2
cos
2
α－6cos α＋9＋sin
2
α－6sin α＋9
π
α＋
?
， 19－62sin
?
?
4
?
19＋62＝32
π
―→―→―→
α＋
?
＝－1时，当且仅
当sin
?
|MA＋MB＋MC
|取得最大值，最大值为
?
4
?
＋1.
法二：连接AB，∵AC⊥BC，∴AB为圆O的直径，
―→―→―→
∴MA＋MB＝2MO，
―→―→―→―→―→―→―→―→
∴|MA＋MB＋MC
|＝|2MO
＋MC
|≤|2MO|＋|MC|＝22＋|MC
|，
易知点M与圆上动点C的距离的最大值为2＋1，
―→―→―→―→
∴|MC
|≤2＋1，∴|MA
＋MB＋MC
|≤32＋1，故选D.
二、填空题
π
13．(2019·潍坊统一考试)已知单位向量e
1
，e
2，且〈e
1
，e
2
〉＝，若向量a＝e
1
－2e
2
，
3
则|a|＝________.
ππ
解析：因为|e1
|＝|e
2
|＝1，〈e
1
，e
2
〉＝，所
以|a|
2
＝|e
1
－2e
2
|
2
＝1－
4|e
1
|·|e
2
|cos
＋4＝1
33
1－4×1×1×＋4＝3，即|a|＝3.
2
答案：3
14．已知a，b是非
零向量，f(x)＝(ax＋b)·(bx－a)的图象是一条直线，|a＋b|＝2，|a|
＝1，则
f(x)＝________.
解析：由f(x)＝a·bx
2
－(a
2<
br>－b
2
)x－a·b的图象是一条直线，可得a·b＝0.因为|a＋b|＝2，
所以a
2
＋b
2
＝4.
因为|a|＝1，所以a
2
＝1，b
2
＝3，所以f(x)＝2x.
答案：2x
41 533
―→
1
―→―→―→
15．在△ABC中，N是AC边上一点且AN＝NC，P是BN上一点，若A
P＝mAB＋
2
2
―→
AC，则实数m的值是________．
9
―→
1
―→―→
1
―→―→―→
解析：如图，因为AN<
br>＝
NC
，所以AN＝
AC
，所以AP＝mAB
23
2
―
2
→―→
2
―→
＋
AC
＝mAB＋AN.因为B，P，N三点共线，所以m＋
＝1，则m
933
1
＝
.
3
1
答案：
3
―→―→―→
16．(2019届高
三·唐山五校联考)在△ABC中，(AB－3AC)⊥CB，则角A的最大值
为________．
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：因为(AB
－3AC
)⊥
CB
，所以(AB－3AC
)·CB
＝0，即(AB－3AC
)·(AB－AC
)
―→
2
―→
2
―→―→
|AB|＋3|AC
|
|AB|3|AC|
―→
2
―→―→―→
2
＝0，则AB－4AC
·AB
＋3AC＝0，即cos A＝＝＋
≥2―→―→―→―→
4|AC|·|AB|4|AC|4|AB|
3
＝
16
3
π
―→―→
，当且仅当|AB
|＝3|AC|时等号成立．因为0
26
π
.
6
π
答案：
6
42 533
基础送分专题三 不等式
不等式的性质及解法
[题组练透]
1．(2019届高三·
南宁二中、柳州高中联考)设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是
( )
A．ac
2
>bc
2
C．a－c>b－c
a
B.
b
>1
D．a
2
>b
2
a
解析：选C 若c＝0，则ac
2
＝bc
2
，故A错；若b<0，则
<1，故B错；不论c取何值，
b
都有a－c>b－c，故C正确；若a，b都小于0，则a
2
1
－，＋∞
?
，则a＝2．已知关于x的不等式
(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪
?
?
2
?
(
)
A．2
1
C．－
2
43 533
B．－2
1
D.
2
1
解析：选B
根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－
是一元二次方程ax
2
2
1
1
－
?
＝－，所以a＝－2. ＋(a－1)x－1＝0的两个根，所以－
1×
?
?
2
?
a
1－x
2
3．设p：x－
x－20>0，q：<0，则p是q的( )
|x|－2
2
A．充分不必要条件
C．充要条件
2
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
1－x
2
解析：选A p：由x
－x－20>0，解得x>5或x<－4.q
：由
<0?(1－x
2
)(|x|－2)<0，
|x|－2
当x≥0
时，可化为(x＋1)(x－1)(x－2)>0，解得0≤x<1或x>2.
当x<0时，可化为(
x－1)(x＋1)(x＋2)<0，解得－1
|x|
－2
－2或－1
1－x
24．若不等式(a
2
－4)x
2
＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，
则实数a的取值范围为( )
6
－2，
?
A.
?
5
??
6
－2，
?
C.
?
5
??
6
－2，
?
B.
?
5
??
6
－2，
?
∪{2}
D.
?
5
??
解析：选B 当a
2
－4＝0时，解得a＝2
或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，
解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不
等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空
?
a
2
－4<0，
?<
br>集．当a
2
－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有
?
解得
22
Δ＝?a＋2?
＋4?a－4?<0，
?
?
6
6
－2，
?
，故选B. －2
?
5
??
5
5．若不等式x
2
＋ax－2>0在区间[1,5
]上有解，则a的取值范围是________．
解析：由Δ＝a
2
＋8>0，知方
程x
2
＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，
所以方程x
2
＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是
23
23
－，＋∞
?
.
f(5)＞0，解得a＞－
，故a的取
值范围为
?
?
5
?
5
23
－，＋∞
? 答案：
?
?
5
?
[题后悟通]
44
533
快
审
题
1.看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质．
2.看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤．
1.明确解不等式的策略
(1)
一元二次不等式：先化为一般形式ax
2
＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根
及
二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．
准
2.掌握不等式恒成立问题的解题方法
解
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立?f(x)
min
>a；
题
f(x)
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般
地，知道谁的范
围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常
用到函数单调性、基本不等式等．
避
误
区
解形如一元二次不等式ax
2
＋bx＋c>0时，
易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注
意分a>0，a<0进行讨论.
简单的线性规划问题
[题组练透]
x＋y－3≥0，
?
?
1．(2019届高三·重庆调研)若实数x，y满足约束条件
?
2x
－y－3≤0，
?
?
y－2≤0，
最小值为( )
A．3
C．5
B．4
D．7
则z＝2x＋y的
解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
作出直线2x＋y＝0并平移该直线，易知当直线经过点A(1,2)时，目标函
数z＝2x＋y取得最
小值，且z
min
＝2×1＋2＝4，故选B.
45 533
x－y＋2≥0，
?
?
2．(2019·广州测试
)若x，y满足约束条件
?
2y－1≥0，
?
?
x－1≤0，
为( )
1
A.
2
1
C．－
2
1
B.
4
3
D．－
4
则z＝x
2
＋2x＋y
2
的最小值
解析：选D 画出约束条
件对应的平面区域，如图中阴影部分所
示，目标函数z＝x
2
＋2x＋y
2<
br>＝(x＋1)
2
＋y
2
－1的几何意义是平面区域
内的点到定
点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区
113
域内的点到定点(－1,
0)的距离的最小值为，故z
min
＝－1＝－
.
244
y≥x，
?
?
3．(2019届高三·湖北八校联考)已知x，y满足约束条件
?x＋y≤2，
?
?
2x－y≥m，
最大值为4，则实数m的值为( )
A．－4
C．－1
B．－2
D．1
若z＝x＋2y的
解析：选B 作出约束条件所对应的平面区域，如图中阴
影部分所示
，由图知直线z＝x＋2y过A点时z取得最大值4，
?
?
x＋y＝2，
由<
br>?
得A(0,2)，所以m＝2×0－2＝－2.
?
?
x＋2y＝4，
4．(2019·合肥质检)某企业生产甲、
乙两种产品，销售利润分别为2千元件、1千元
件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生
产一件甲产品需用A设备2小时，
B设备6小时，生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A
，B两种设备每月可
使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业
每月利润的
最大值为( )
A．320千元
C．400千元
B．360千元
D．440千元
46 533
解析：选B 设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为
2x＋3
y≤480，
?
?
z千元，则
?
6x＋y≤960，
??
x，y∈N
，
*
每月利润z＝2x＋y，作出不等式
组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线经过直
线2x＋
3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)时，z取得最大值，为360.
x－2
y－2≤0，
?
?
5．(2019·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件
?x－y＋1≥0，
?
?
y≤0，
________．
解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．
z
3
由z＝3x＋2y，得y＝－
x＋.
22
3
作直线l
0
：y＝－
x.
2
z<
br>3
平移直线l
0
，当直线y＝－
x＋
过点(2,0)时，
22
z取最大值，z
max
＝3×2＋2×0＝6.
答案：6
[题后悟通]
快
审
题
1.看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解．
2.看到形如z＝(x－a)
2
＋(y－b)
2
和形如z＝
y－b
，想到其几何意义．
x－a
则z＝3x＋2y的最大值为
3.看到最优解型的实际应用题，想到
线性规划问题，想到确定实际意义．
记牢三种常见的目标函数及其求法
准
解
题
(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化
为y＝
azz
－
b
x＋
b
，通过求直线的截距
b<
br>的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)
2
＋(y－b
)
2
，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|
2
. y－b
(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝k
PM
.
x－a
避
误
1.忽视目标函数中y的系数的正负，而由直线截距的最值确定目标函数的最值．
2.求解含参数的线性规划问题，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行
47 533
区
域画出来，以确定是否符合题意，
然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确
定参数的值.
基本不等式及其应用
[题组练透]
11
1．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(
)
ab
A．3
C．5
B．4
D．6
11
解析：选C 由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋
，n＝a
＋，所以
ab
112
m＋n＝a＋b＋
＋
≥2ab＋
＝5，
当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故m＋n的最小值为
ab
ab
5.
14<
br>2．已知P(a，b)为圆x
2
＋y
2
＝4上任意一点，则当
2
＋
2
取最小值时，a
2
的值为( )
ab
4
A.
5
4
C.
3
B．2
D．3
14
解析：选C ∵P(a，b)为圆x
2
＋y
2
＝4上任意一点，∴a
2
＋b
2
＝4.又a≠0，b≠0，∴<
br>2
＋
2
ab
22
1
?
14
?
22
1
?
b4a
?
1
?
＝
?
a
2
＋
b
2
?
·(a
＋b
)＝
?<
br>5＋
a
2
＋
b
2
?
≥
5＋2
444
?
8
b
2
4a
2
?
9
当
且仅当b
2
＝2a
2
＝时取等号，
2
·
2
＝
，
3
ab
?
4
4
故a
2
＝，选
C.
3
23
3．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为________． 2x＋1
2
1
231111
x＋
?
＋
解析：y
＝x＋
－＝
?
－2≥2－2＝0.当且仅当x＋＝，即x＝时
212
2x＋1
2
?
2
?
x＋
1
x＋
22
等号成立．
答案：0
4．(2019·石家庄质检)已知直线l：ax＋by－ab＝0
(a>0，b>0)经过点(2,3)，则a＋b的最
小值为________．
解析：因为直线l经过点(2,3)，
48 533
所以2a＋3b－ab＝0，
32
即
a
＋
b
＝1，
32
?
3
b2a3b2a
＋
＝5＋＋
≥5＋26，当且仅当
＝，即a＝3＋6，b＝2
所以a＋b＝(a＋b)
?
?
ab
?
abab
＋6时等号成
立．
答案：5＋26
5．(2019·洛阳统考)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各
选
出7名学生参加2019年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的
成绩(满分140分
)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数
是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，
b满足a，G，b
14
成等差数列且x，G，y成等比数列，则＋的最小值为________
．
ab
解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的
顺
序排列的第4个数，故x＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4
)＋(y
－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比数列，可得G
2
＝xy＝4，由正实数a，b
141
14
?
＋
·
满足a，
G，b成等差数列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以
a
＋
b
＝
?
(a＋b)＝
4
?
ab
?
1
?b4a
?
19149
1＋
＋＋4
≥
×(5＋4)＝(当
且仅当b＝2a时取等号)．故
＋的最小值为
.
?
4
ab
4
?
ab
44
9
答案：
4
[题后悟通]
快
审
题
掌握基本不等式求最值的3种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
准
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从
解
而可利用基本不等式求最值．
题
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配
凑后将式子分开或将分母换元后将式子
分开，即化为y＝m＋
等式来求最值．
49
533
看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”．
A
＋B
g(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不
g?x?
<
br>
避
误
区
运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二
定”“三相等”．所谓“一
正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“
三相等”
是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立
的
条件一致，否则最值取不到.
[专题过关检测]
一、选择题
1．已知不等式x
2
－2x－3＜0的解集为A，不等式x2
＋x－6＜0的解集为B，不等式x
2
＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋
b＝( )
A．1
C．－1
B．0
D．－3
解析：选D 由题意得，不等式x
2
－2x－3＜0的解集A＝(－1，3
)，不等式x
2
＋x－6
＜0的解集B＝(－3,2)，所以A∩B＝(－1,2)，
即不等式x
2
＋ax＋b＜0的解集为(－1,2)，所
以a＝－1，b＝－2，所以
a＋b＝－3.
2．若x>y>0，m>n，则下列不等式正确的是( )
A．xm>ym
xy
C.>
nm
B．x－m≥y－n
D．x>xy
解析：选D A不正确，因为同向同正不等式相乘，
不等号方向不变，m可能为0或负
数；B不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C不正确，
因为m，n的正负不
确定．故选D.
x－3
3．已知a∈R，不等式≥1的解集为p，且－2?p，则a的取值范围为( )
x＋a
A．(－3，＋∞)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞)
B．(－3,2)
D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
－2－3
解析：选D
∵－2?p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.
－2＋a
4．(2019·成
都一诊)若关于x的不等式x
2
＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a
的取值范围为( )
A．(0，＋∞)
C．[－1,1]
B．[－1，＋∞)
D．[0，＋∞)
解析：选B
法一：当x＝0时，不等式为1≥0恒成立；
50 533
11
x＋
?
，又－
?
x＋
?
≤－2，当且
当x＞0时，x
2
＋2ax＋1≥0?2ax≥－(x
2
＋1)?2
a≥－
?
?
x
??
x
?
仅当x＝1时取等号，所以
2a≥－2?a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
法二：设f(x)＝x
2
＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a.
当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立； <
br>当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a
2－2a
2
＋1＝－
a
2
＋1≥0，得－1≤a＜0.综上，实数
a的取值范围为[－1，＋∞)．
2
?
?
x－ax，x＞0，
5．
已知函数f(x)＝
?
x
若不等式f(x)＋1≥0在R上恒成立，则实数a的
?
2－1，x≤0，
?
取值范围为( )
A．(－∞，0)
C．(－∞，2]
B．[－2,2]
D．[0,2]
解析：选C 由f(x)≥－1在R上恒成立，可得当x≤0时，2
x
－1≥－1，即
2
x
≥0，显
2
x
＋1
11
2
然成立；又
x＞0时，x－ax≥－1，即为a≤
x
＝x＋
x
，由x＋
x
≥2
1
x·
x
＝2，当且仅
当x＝1时，取得最小值2，可得a
≤2，综上可得实数a的取值范围为(－∞，2]．
111111
6．若
a
<
b
<0，给出下列不等式：①<
ab
；②|a|＋b>0；③a－
a
>b－
b
；④ln a
2
>ln
b
2
.
a＋b
其中正确的不等式的序号是( )
A．①④
C．①③
B．②③
D．②④
11
解析：选C 法一：
因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，
ab
所以②错
误；因为ln a
2
＝ln(－1)
2
＝0，ln
b
2
＝ln(－2)
2
＝ln
4>0，所以④错误，综上所述，可
排除A、B、D，故选C.
11
法二：由
a
<
b
<0，可知b
①中，因为a＋b<0，ab>0，所以
<
，故①正确；
a＋
b
ab
②中，因为b
111111
③中，因为b
<
b
<0，则－
a
>－
b
>0，所以a－
a
>b－
b<
br>，故③正确；
51 533
④中，因为b
在(－∞，0)上为减函数，可得b
2
>a
2
>0，而y＝ln x在定
义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln
b
2
>ln a
2
，故④错误．
由以上分析，知①③正确．
7．(2019·长春质检)已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为( )
A．8
C．12
B．9
D．16
41
?
4xy
41
解析：选B 由4x＋y＝xy，得
y<
br>＋
x
＝1，则x＋y＝(x＋y)
?
?
y
＋
x
?
＝
y
＋
x
＋1＋4≥24＋
4xy
5
＝9，当且仅当
＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.
yx
x＋y－3≤0，
?
?
8．如果实数x，y满足不等式组
?
x－2y－3≤0，
?
?
x≥1，
最小值为0，则实数k的值为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
目标函数z＝kx－y的最大值为6，
解析：选B
作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．
则A(1,2)，B(1，－1)，C(3,0)，
因为目标函数z＝kx－y的最小值为0，
所以目标函数z＝kx－y的最小值可能在A或B处取得，
所以若在A处取得，则k－2＝0
，得k＝2，此时，z＝2x－y在C点有最大值，z＝2×3
－0＝6，成立；
若在B处取得，则k＋1＝0，得k＝－1，此时，z＝－x－y，
在B点取得最大值，故不成立，故选B.
9．(2019届高三·湖北五校联考)某企业生产
甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已
知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示
．如果生产1吨甲、乙产品
可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )
A吨
B吨
52 533
甲
3
1
乙
2
2
原料限额
12
8
A．15万元
C．17万元
B．16万元
D．18万元
解析：选D 设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万
?
?
x＋2y≤8，
元，由题意可知
?
x≥0，
?
?
y≥0，
3x＋2y≤12，
z＝3x＋4y，作出
不等式组所
表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时取得最大值，
?
?
?
3x＋2y＝12，
?
x＝2，
由
?
得
?
∴M(2,3)，
?
x＋2y＝8，
?
??
y＝3，
故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.
x－y＋5≥0，
?
?
10．已知实数x，y满足约束条件
?
x＋y≥0，
?
?
x≤3，
值范围是( )
11
－，0
?
A.
?
?5
?
11
?
C．(－∞，0]∪
?
?
5
，＋∞
?
11
0，
?
B.
?
3
??
11
－∞，－
?
∪[0，＋∞)
D.
?
5
??
若y≥kx－3恒成立，则实数k的取
解析：选A
?
x－y＋5≥0，由约束条件
?
x＋y≥0，
?
x≤3
作出可行域如图中阴影分部所示，
55
－，
?
，B(3，－3)，C(3,8)， 则A
?
?
22
?
?
?
－3≥3k－3，
由题意得
?
5
5
?
?
2
≥－
2
k－3，
1
1
解得－
≤k≤0.
5
11
－，0
?
.
所以实数k的取值范围是
?
?
5
?
53 533
11．若两个正实数x，y满足
的取值范围是( )
25
－，1
?
A.
?
?
12
?
C．(1，＋∞)
y13n
13
＋＝1，且不等式x＋－n
2
－＜0有解，则实数n
3x
y
412
25
－∞，－
?
∪(1，＋∞)
B.
?
12
??
25
－∞，－
?
D.
?
12
??
y13n
解析：选B
因为不等式x＋
－n
2
－＜0有解，
412
y
13nx＋
?
min
＜n
2
＋所以
?
，
?
4
?
12
13
因为x＞0，y＞0，且＋＝1，
3x
y
y
13
13
3xyy
13
x＋
?
?
＋
y
?
＝＋＋
≥
＋2 所以x＋＝
?
4
?
4
??
3x
?
12
y
12x12
3xy
5
当且仅当
y
＝，即x＝，y＝5时取等号，
12x6
y
25
x＋
?
min
＝， 所以
?
?
4
?
12
13n
2525
故n
2＋－＞0，解得n＜－或n＞1，
121212
25
－∞，－
?
∪(1，＋∞)． 所以实数n的取值
范围是
?
12
??
2x＋y－3≤0，
?
?
12．
(2019届高三·福州四校联考)设x，y满足约束条件
?
2x－2y－1≤0，
?
?
x－a≥0，
x－y
若的最大值为2，则a的值为( )
x＋y
1
A.
2
3
C.
8
1
B.
4
5
D.
9
3xy
25
·
＝，
y
12x12
其中a＞0，
x－y1－z
1
解析：选C 设z＝
，则y＝
x，当z＝2时，y＝－x，
3
x＋y1＋z
2x＋y－3≤0，
?
?
作出x，y满足的约束条件
?
2x－2y－1≤0，
?
?
x－a≥0
所表示的平面区域
54 533
1
如图中阴影部分所示，作出直线y＝－
x，易知此直线与
区域的边界线2x－2y－1＝0的交
3
1－z1－z
31
?
31<
br>?
3
??
点为
?
8
，－
8
?
，当直线x＝a过点
?
8
，－
8
?
时，a＝，又此时直线
y＝
x的斜率
的最
8
1＋z1＋z
1213
小值为－，即－
1＋的最小值为－，即z的最大值为2，符合题意，所以a的值为，
338
z＋1
故选
C.
二、填空题
13．(2019·岳阳模拟)不等式
3x－1
≥1的解集为________． <
br>2－x
3x－13x－14x－3
解析：不等式≥1可转化成
－1≥0，即≥0，
2－x2－x2－x
?
?
?4x－3??x－2?≤0，
3
等价于
?
解得
≤x＜2，
4
?
?
2
－x≠0，
?
?
3
?
?
故不等式的解集为
x
?
4
≤x＜2
?
.
??
?
3
?
?
答案：
?
x
?
≤x＜2
?
4
??
x＋2y－5≥0，
?
?
14．(2019·全国卷Ⅱ
)若x，y满足约束条件
?
x－2y＋3≥0，
?
?
x－5≤0，<
br>________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所
示．由图可
知当直线x＋y＝z过点A时z取得最大值．
则z＝x＋y的最大值为
?
?
x＝5，
由
?
得点A(5,4)，∴z
max
＝5＋4＝
9.
?
x－2y＋3＝0
?
答案：9
1
15．已知关于
x的不等式ax
2
＋bx＋c＜0的解集为xx＜－1或x＞，则关于x的不等
2式c(lg x)
2
＋lg x
b
＋a＜0的解集为________．
1
解析：由题意知－1，
是方程ax
2
＋bx＋c＝0的两根，
2
55 533
?
所
以
?
1
c
－
?
2
＝
a
，
?
所以
?
1
c＝－
?
2
a.
1
b
＝a，
2
b
1
－＝－，
a
2
且a＜0，
所以不等式c(lg x)
2
＋lg
x
b
＋a＜0化为
1
－
a(lg
x)
2
＋blg x＋a＜0，
2
11
即－
a(lg
x)
2
＋
alg x＋a＜0.
22
所以(lg
x)
2
－lg x－2＜0，
1
所以－1＜lg
x＜2，所以＜x＜100.
10
答案：
?
x
?
1
|
＜x＜100
?
?
10
?
?
116y
11
x－
y
?
2
＝，则当x＋取最小值时，x<
br>2
＋
2
＝________. 16．设x＞0，y＞0，且
?
??
xy
y
1
?
x＋
1
?
2
取
得最小值，
?
x＋
1
?
2
＝x
2
＋
1
2
＋
2x
，
解析：∵x＞0，y＞0，∴当x＋
y取最小值时，∵
?
y
??
y
?
y
y
?
x－
1
?
2
＝
16y
，∴x
2
＋
1
2
＝
2x
＋
16y
，
?
x＋<
br>1
?
2
＝
4x
＋
16y
≥2
y<
br>??
y
?
xyx
?
yx
y
4x16y
1
·
＝16，∴x＋
≥4，当且
yxy
4x16y
11<
br>2x
1
仅当
y
＝
x
，即x＝2y时取等号，∴当x＋
y
取最小值时，x＝2y，x
2
＋
2
＋
y
＝16，即x
2
＋
2
yy
2×2y
1
＋＝16，∴
x
2
＋
2
＝16－4＝12.
y
y
答案：12
56 533
57
533
重点增分专题一 函数的图象与性质
[全国卷3年考情分析]
年份 全国卷Ⅰ
分段函数及函数的单
2019
调性、解不等式·T
12
全国卷Ⅱ
函数图象的识辨·T
3
抽象函数的奇偶性及周期
性·T
12
复合函数的定义域及单调性·T
8
函数的奇偶性、函数值的求
解·T
14
函数的定义域、值域问题·T
10
全国卷Ⅲ
函数图象的识辨·T
9
函数的奇偶性及对数式运
算·T
16
函数图象的识辨·T
7
函数图象的识辨·T
8
2017
复合函数的单调性、
对称性·T
9
2016
函数图象的识辨·T
9
分段函数、解不等式·T
16
(1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要
考查
函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等．
(2)此部分内容有时也出现
在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新
性问题结合命题，难度较大．
练后讲评
考点一
函数的概念及其表示
保分考点·
[大稳定
——常规角度考双基
]
58 533
1.
[求函数的定义域]
函数y＝log
2
(2x－4)＋
A．(2,3)
C．(3，＋∞)
1
的定义域是( )
x－3
B．(2，＋∞)
D．(2,3)∪(3，＋∞)
?
?
2x－4＞0，
1
解析：选D
由题意得
?
解得x＞2且x≠3，所以函数y＝log
2
(2x－4)＋x－3
?
x－3≠0
?
的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.
?
?
log
3
x，x＞0，
[分段函数求函数值]
2.已知f(x)＝
?
x
(0＜a＜1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，?
a＋b，x≤0
?
则f(f(－3))＝( )
A．－2
C．3
B．2
D．－3
解析：选B
由题意得，f(－2)＝a
－
2
＋b＝5，①
f(－1)＝a
－
1
＋b＝3，②
1
联立①②，结合0＜a＜1，得a＝，b＝1，
2
?
?
log
3
x，x＞0，
所以f(x)＝
?
1
<
br>x
??
?
?
?
2
?
＋1，x≤0，
1
?
－
3
则f(－3)＝
?
?
2
?
＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log
3
9＝2，故选B.
x
?
?
2，x≤0，
3.
[分段函数解不等式]
(2019
·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝
?
则满足f(x＋1)
1，x
>0，
?
－
的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
C．(－1,0)
B．(0，＋∞)
D．(－∞，0)
?
?
x＋1≤0，
解析：选D
法一：①当
?
即x≤－1时，
?
?
2x≤0，
f(x＋1
)
(x
＋
1)
<2
－
2x
，
即－(x＋1)<－2x，解得x<1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
59 533
?
x＋1≤0，
②当
?
时，不等式组无解．
?
2
x>0
?
?
x＋1>0，
③当
?
即－1
?
2x≤0，
f(x＋1)
2x
，解得x<0.
因此不等式的解集为(－1,0)．
?
?
x＋1>0，
④当
?
即x>0时
，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
?
2x>0，
?
综上，
不等式f(x＋1)
?
?
2
－
，x≤0，
法二：∵f(x)＝
?
?
?
1，x>0，
∴函数f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f(x＋1)
?
?
则需
?
2x<0，
?
?
2x
?
?
x＋1≥0，
或
?
∴x<0，故选D.
?
2x<0，
?
?
?
?1－2a?x＋3a，x
<1，
[分段函数求参数值或范围]
4.已知函数f(x)＝
?
x
－
1
的值域为R，则实
?
2，x≥1
?
数a的取值范围是________．
解析：当x≥1时，f(x)＝2
x
－
1
≥1，
?
?
?1－2a?x＋3a，x<1，
∵函数f(x)＝
?
的值域为R， <
br>x
－
1
?
?
2
，x≥1
∴当x<1时，y＝
(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1]内的所有实数，
60 533
?
?
1－2a>0，
1
则
?解得0≤a＜
.
2
?
1－2a＋3a≥1，
?
1
0，
?
答案：
?
?
2
?
[解题方略]
1．函数定义域的求法 <
br>求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不
等式组，然后
求出它们的解集即可．
2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略
求函数值
求函数
最值
解不等式
求参数
利用函数
性质求值
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从
最内层逐层往外计
算
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取
值范围的大前提
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
[小创新
——变换角度考迁移
]
?
?
2?1－x?，0≤x≤1，
[概念型新定义函数问题]
1.已知函数f(x)＝
?
如果对任意的n∈N<
br>*
，
?
x－1，1＜x≤2，
?
定义f
n
(x)＝
A．0
C．2
，那么f
2
019
(2)的值为( )
B．1
D．3
解析：选C ∵f
1
(2)＝f(2)＝1，f
2
(2)＝f(1)＝0，f
3
(2)＝f(0)＝2，∴f
n
(2)的值具有周期性，
且周期为3，∴f
2 019
(2)＝f
3
×
672
＋
3
(2)＝f
3
(2)＝2.
1
?
2.
[性质型新定义函数问题]已知具有性质：f
?
?
x
?
＝－f(x)的函数，我们称为满足
“倒负”
变换的函数，下列函数：
61 533
x，0＜x＜1，
?
?
0，x＝1，
11
①f(x)＝x－
；②f(x)＝x＋；③f(x)＝
?
xx
1
－
?
?
x
，x＞1.
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①②
C．②③
B．①③
D．①
1
?
11
?
1
?
＝
1
＋x＝
解析：选B 对于
①，f(x)＝x－
，f
?
＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f
?
x
?
xx
?
x
?
x
?
?
1?
＝
0，
1
＝1，
f(x)，不满足；对于③，f
?<
br>?
x
?
?
x
?
?
－x，
1
x
＞1，
11
，0＜＜1，
xx
?
1
?
?
?
即f
?
x
?
＝
?
0，x＝1
，
?
?
－x，0＜x＜1，
1
，x＞1，
x
1
?
故f
?
?
x
?
＝－f(x
)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
3.
[函数与概率交汇问题]
已知函数f(x)＝－x
2
＋2x，x∈[－1,3]，则任取一点x
0
∈
[－1,3]，
使得f(x
0
)≥0的概率为( )
3
A.
4
1
C.
2
1
B.
3
1
D.
4
解析：选C 因为函数f(x)＝－x
2
＋2x，x∈[－1,3]
，所以由f(x)≥0，解得0≤x≤2，又
21
x∈[－1,3]，所以f(x
0<
br>)≥0的概率为
＝
.
42
广度拓展
考点二
函数的图象及应用
增分考点·
题型一
函数图象的识别
e
x
－e
x
[例1]
(1)(2019·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
x
2
－
62 533
(2)(2019届高三·广州测试)已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可
能是( )
A．y＝xln x
B．y＝xln x－x＋1
1
C．y＝ln x＋
x
－1
ln
x
D．y＝－
x
＋x－1
[解析] (1)∵y＝e
x
－
e
－
x
是奇函数，y＝x
2
是偶函数，
e
x－e
－
x
∴f(x)＝
是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
x
2
1
当x＝1时，f(1)＝e－
>0，排除D选项．
e
111
又e>2，∴
<
，∴e－
>1，排除C选项．故选B.
e2e
(2)对于选项A，当x＝2时，2ln 2＝ln 4＞ln
e＝1，由图象可知选项A不符合题意；对
于选项B，当x＝e时，eln
e－e＋1＝1，由图象可知选项B不符合题意；对于选项C，当x
11
＝e时，ln
e＋－1＝＜1，由图象可知选项C不符合题意，故选D.
ee
[答案] (1)B
(2)D
[解题方略]
寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法
知式选图
63 533
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下
位置
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性
④从函数的周期性，判断图象的循环往复
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域
知图选式
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性
④从图象的循环往复，观察函数的周期性
题型二 函数图象的应用
[例2] (1)(2019·枣庄检测)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(
)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
(2)函数f(x)＝－x
2＋3x＋a，g(x)＝2
x
－x
2
，若f(g(x))≥0对x∈[0
,1]恒成立，则实数a
的取值范围是( )
A．[－e，＋∞)
C．[－2，＋∞)
B．[－ln 2，＋∞)
1
－，0
?
D.
?
?
2
?
[解析]
(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，
2
?
?
x
－
2x，x≥0，
得f(x)＝
?
2
?
?
－x－2x，x＜0，
作出函数f(x)的图象，
如图，观察图象可知，
函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
3
(2)如图所示，在同一坐标系中作出y＝x
2
＋1，y＝2
x
，y
＝x
2
＋的
2
图象，
由图象可知，在[0,1]上，
3
x
2
＋1≤2
x
＜x
2
＋恒成立，
2
64 533
3
即1≤2
x
－x
2
＜，
2
当且仅当x＝0或x＝1时等号成立，
3
∴1≤g(x)＜，
2
∴f(g(x))≥0?f(1)≥0?－1＋3＋a≥0?a≥－2，
则实数a的取值范围是[－2，＋∞)．
[答案] (1)C (2)C
[解题方略]
1．利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解，但
其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数
图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．
2．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其
性质常借助图象研究：①从
图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函
数的奇偶性；
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.
深度精研
考点三
函数的性质及应用
增分考点·
[析母题
——高考年年“神”相似
]
[典例] 定义在R上的奇
函数f(x)，满足在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，则f(x
＋1)＞0的解集为(
)
A．(－∞，－2)∪(－1,0)
B．(0，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2)
D．(－2，－1)∪(0，＋∞)
[解析]
由f(x)为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，可
得f(1)＝0，作出函数f
(x)的示意图如图所示，由f(x＋1)＞0，可得－1＜
x＋1＜0或x＋1＞1，解得－
2＜x＜－1或x＞0，所以f(x＋1)＞0的解集
为(－2，－1)∪(0，＋∞)．
[答案] D
[练子题
——高考年年“形”不同
]
1．本例中条
件变为：若f(x)为偶函数，满足在[0，＋∞)上单调递减，且f(－1)＝0，则
65
533
f(x＋1)＞0的解集为________．
解析：由f(x)为偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，
且f(－1)＝0，得f(1)＝0.
由f(x＋1)＞0，得|x＋1|<1.
解得－2
答案：(－2,0)
2．已知函数g(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，且f(x)＝g
(|x|)，若f(log
2
x)＋
f(log
1
x)≤2f(1)
，则实数x的取值范围为________．
2
解析：因为f(x)＝g(|x|)，所以函
数f(x)是偶函数，又因为g(x)在区间[0，＋∞)上是增函
数，所以f(x)在区间(－∞，0
)为减函数，在区间[0，＋∞)上是增函数．
又因为log
1
x＝－log
2
x，所以f(log
2
x)＋f(log
1
x)≤2f(1)等
价于f(log
2
x)≤f(1)，
22
1
所以－1≤log
2
x≤1，解得≤x≤2，
2<
br>1
?
所以实数x的取值范围为
?
?
2
，2
?
.
1
?
答案：
?
?
2
，2
?
3．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝－lg(1－x)，函数f(x)＝3
?
?
x，x≤0，
?
若f(2－x
2
)＞f
(x)，则实数x的取值范围为________．
?
g?x?，x＞0，
?
解析：因为奇函数g(x)满足当x＜0时，g(x)＝－lg(1－x)，
所以当x＞0时，－x<0，g(－x)＝－lg(1＋x)，
所以当x＞0时，g(x)＝－g(－x)＝lg(1＋x)，
3
?
?
x
，x≤0，
所以f(x)＝
?
?
lg?1＋x?，x＞0.
?
因为f(x)在其定义域上是增函数，
所以f(2－x
2
)＞f(x)等价于2－x
2
＞x，
解得－2
所以实数x的取值范围为(－2,1)．
答案：(－2,1)
[解题方略]
1．函数3个性质及应用
具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联
奇偶性 系密切
，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性
质：f(|x|)＝f
(x)
单调性
周期性
2．函数性质综合应用的注意点
(1
)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶
性都具有将未知区间
上的问题转化到已知区间的功能．
(2)一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数
的奇偶性体现的是一
种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解
题时，
往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再
利用单调性解决相关问题．
[多练强化]
1．(2019·南昌模拟)已知f(x)是定义
在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
则( )
A．f(0)＞f(log
3
2)＞f(－log
2
3)
B．f(log
3
2)＞f(0)＞f(－log
2
3)
C．f(－log
2
3)＞f(log
3
2)＞f(0)
D．f(－log
2
3)＞f(0)＞f(log
3
2)
解析：选C ∵log
2
3＞log
2
2＝1＝log
3<
br>3＞log
3
2＞0，且函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(lo
g
2
3)＞f(log
3
2)＞f(0)，又函数f(x)为偶函数，∴f(
log
2
3)＝f(－log
2
3)，∴f(－log
2
3
)＞f(log
3
2)
67 533
可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性
利用周期性可以转化函数的解析
式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转
化到已知区间上求解
＞f(0)，故选C.
2．(2019·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln
x的图象关于直线x＝1对称的是
( )
A．y＝ln(1－x)
C．y＝ln(1＋x)
B．y＝ln(2－x)
D．y＝ln(2＋x)
a
解析：选B 函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的
图象关于直线x＝
对称，令a＝2
2
可得与函数y＝ln
x的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．故选B.
3
．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)
．若
f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50
C．2
B．0
D．50
解析：选C 法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－
2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
68 533
π
?
法二：由题意可设f(x
)＝2sin
?
作出f(x)的部分图象如图所示．由
?
2
x
?
，
图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50
)＝12[f(1)
＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1
)＋f(2)＝2.
4．(2019·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f
(－x＋1)＝2，则以下四个
选项一定正确的是( )
A．f(x－1)＋1是偶函数
C．f(x＋1)＋1是偶函数
B．f(x－1)－1是奇函数
D．f(x＋1)－1是奇函数
解析：选D 法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f
(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝
f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，而函数y＝f(
x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向
左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于
点(0,0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－
1是奇函数，故选D.
法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x
＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－
1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函
数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D.
数学抽象——抽象函数与函数的三大性质
31
x＋
?
＝f(x)，
当x∈
?
0，
?
时，f(x)＝log
1
(1[典例]
定义在R上的奇函数f(x)满足f
?
?
2
??
2
?
2
3
1，
?
上是( )
－x)，则f(x)在区间
?
?
2
?
A．减函数且f(x)>0
C．增函数且f(x)>0
B．减函数且f(x)<0
D．增函数且f(x)<0
1
0，
?
时，由f(x)＝log
1
(1－x)可知f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)[解析] 当x∈
?
?2
?
2
13
－，0
?
上函数f(x)也单调递增，且f
(x)<0.由f
?
x＋
?
＝f(x)知，函数为奇函数，所以在区间
?
?
2
??
2
?
3
3
1，
?<
br>上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.故选D.
f(x)的周期为
，所以在区间
?
?
2
?
2
[答案] D
[素养通路]
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包
括：从数量与数量
关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的
69 533
具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征．
3<
br>x＋
?
＝f(x)得知f(x)的周期，进而本题由函数的奇偶性得到其对称区间的单调
性，由f
?
?
2
?
3
1，
?
上的性质．考
查了数学抽象这一核心素养．
得出f(x)在区间
?
?
2
?
[专题过关检测]
A组——“12＋4”满分练
一、选择题
2
?
?
x，x
≥0，
1．已知函数f(x)＝
?
则f(f(－2))＝( )
?
－x，x<0，
?
A．4
C．2
B．3
D．1
2
?
?
x
，x≥0，
解析：选A 因为f(x)＝
?
所以f(－2)＝－(－2)＝2，所以f(f(－2))＝f(2)
?
?
－x，x<0，
＝2
2
＝4.
2．(2019·潍坊统一考试)
下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减
的是( )
1
A．y＝
x
C．y＝2
x
B．y＝－x
2
＋1
D．y＝log
2
|x|
解析：选B
因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A、C，又y＝－x
2
＋1在(0， ＋∞)上单调递减，y＝log
2
|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B
.
3．已知函数f(x)＝4
|x|
，g(x)＝2x
2
－ax(
a∈R)．若f(g(1))＝2，则a＝( )
5
A．1或
2
5
C．2或
2
53
B.或
22
3
D．1或
2
153
解析：选B 由已知条件可
知f(g(1))＝f(2－a)＝4
|2
－
a|
＝2，所以|a－2|＝，
得a＝或
.
222
4．已知函数f(x)＝x
2
－2ax＋5的定
义域和值域都是[1，a]，则a＝( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选B 因为f(x)＝(x－a)
2
＋5－a
2
，所以f(x)在[1，a]上是减函数，又f(x)的定义
70 533
??
?
f?1?＝a，
?
1－2a＋5＝
a，
域和值域均为[1，a]，所以
?
即
?
解得a＝2.
22
?
f?a?＝1，
?
??
a
－2a＋5＝1，
5．(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝－x
4
＋x
2
＋2的图象大致为(
)
解析：选D
法一：令f(x)＝－x
4
＋x
2
＋2，
则f′(x)＝－4x
3
＋2x，
2
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，
2
则f′(x)>0的解集为<
br>－∞，－
?
?
2
??
2
?
∪
0，<
br>，
2
??
2
?
f(x)单调递增；f′(x)<0的解集为
－
选D.
?
?
2
??
2
?
，0
∪
，＋∞
，f(x)单调递减，结合图象知
2
??
2
?
1
法二：当x＝1时，y＝2，所以排除A、B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝
2
113
－＋＋2＝2
>2，所以排除C选项．故选D. 16416
?
?
ax＋b，x<－1，
6.若函数f(x)＝
?
的图象如图所示，则f(－3)等于
?
ln?x＋a?，x≥－1
?
( )
1
A．－
2
C．－1
5
B．－
4
D．－2
解析：选C
由图象可得a×(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，
?
?
2x＋5，x<－
1，
∴a＝2，b＝5，∴f(x)＝
?
?
?
ln?x＋2?，x≥－1，
71 533
故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
7．设函数f(x)＝
x
3
(a
x
＋m·a
－
x
)(x∈R，a＞0且a
≠1)是偶函数，则实数m的值为( )
A．－1
C．2
B．1
D．－2
解析：选A 法一：因为函数f(x)＝x
3
(a
x
＋m·a
－
x
)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函数，所
以f(－
x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以－x
3
(a
－
x
＋m·
a
x
)＝x
3
(a
x
＋m·a
－
x
)，即x
3
(1＋m)(a
x
＋
a
－
x
)＝0对任意的x∈R恒成立，所以1＋m＝0，即m＝－1.
法二
：因为f(x)＝x
3
(a
x
＋m·a
－
x
)是偶
函数，所以g(x)＝a
x
＋m·a
－
x
是奇函数，且g(x)在x
＝0处有意义，所以g(0)＝0，即1＋m＝0，所以m＝－1.
?
log
2
x＋a，x＞0，
?
8．(2019·福建第一学期高三期末考试)已知函数f(
x)＝
?
x
－
2
若f(a)＝3，
?
?
4
－1，x≤0.
则f(a－2)＝( )
A．－
C．－
15
16
63
或3
64
B．3
D．－
15
或3
16
解析：选A 当a＞0时，若f(a)＝3，则log
2
a＋a＝3，解
得a＝2(满足a＞0)；当a≤0
时，若f(a)＝3，则4
a
－
2
－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故
15
f(a－2)
＝f(0)＝4
－
2
－1＝－
.
16
9．函数f(x)＝
1
的图象大致为( )
sin x－x
72 533
解析：选A 由题意知，函数f(x)为奇函数，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，π
?
故排除C、D，又f
?
?
2
?
＝
1
＜0，故排除选项B.
ππ
sin
－
22
10．已知
函数f(x)在(－1,1)上既是奇函数，又是减函数，则满足f(1－x)＋f(3x－2)＜0
的
x的取值范围是( )
1
?
A.
?
?
2
，＋∞
?
3
?
C.
?
?
4
，＋∞
?
1
?
B.
?
?
2
，1
?
3
?
D.
?
?
4
，1
?
解析：选B 由已知得f(3x－2)＜f(x－1)，
－1＜3x－2＜1，
?<
br>?
∴
?
－1＜x－1＜1，
?
?
3x－2＞x－1，
1
解得＜x＜1，故选B.
2
?
?
3?a－3
?x＋2，x≤1，
11．已知函数f(x)＝
?
对于任意的x
1
≠
x
2
，都有(x
1
－x
2
)[f(x
2
)
－f(x
1
)]
?
－4a－ln x，x＞1，
?
＞0成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3]
C．(3，＋∞)
B．(－∞，3)
D．[1,3)
解析：选D 由(x
1
－x
2
)[f(x
2
)－f(x
1
)]＞0，得函数f(
x)为R上的单调递减函数，则
?
?
a－3＜0，
?
解得1≤a＜3
.故选D.
?
?
3?a－3?＋2≥－4a，
2
019
x1
＋2 017
12．(2019·洛阳一模)已知a＞0，设函数f(x)
＝(x∈[－a，a])的最大值为
2 019
x
＋1
＋
M，最小值为N，那么M＋N＝( )
73 533
A．2 017
C．4 038
B．2 019
D．4 036
2 019
x
＋
1
＋2
017
2
解析：选D 由题意得f(x)＝
＝2 019－
.
2
019
x
＋1
2 019
x
＋1
因为y＝2
019
x
＋1在[－a，a]上是单调递增的，
2
所以f(x)＝2
019－在[－a，a]上是单调递增的，所以M＝f(a)，N＝f(－a)，
x
2
019
＋1
22
所以M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4 038－－＝4 036.
aa
－
2 019
＋1
2 019
＋1
二、填空题
13．函数y＝
log
5
?x＋1?
的定义域是________．
5－x
?
?
x＋1＞0，
解析：由
?
得－1＜x＜
5，
?
?
5－x＞0
log
5
?x＋1?
∴函数
y＝的定义域是(－1,5)．
5－x
答案：(－1,5)
1
14．函数f(x)＝ln的值域是________．
|x|＋1
解析：因为|x|≥0，所以|x|＋1≥1.
11
所以0＜
≤1.所以ln≤0，
|x|＋1|x|＋1
1
即f(x)＝ln的值域为(－∞，0]．
|x|＋1
答案：(－∞，0]
3
x＋
?
为偶15．(2
019·福州质检)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，f
?
?
2
?
3
函数，当0＜x≤时，f(x)＝－x，则f(2
017)＋f(2 018)＝________.
2
解析：依题意，f(－x)＝－f(x)，
33
－x＋
?
＝f
?
x＋
?
，
f
?
2
??
2
??
所以f(x＋3)＝f(－x)＝－f(
x)，
74 533
所以f(x＋6)＝f(x)，
所以f(2 017)＝f(1)＝－1，
13
??
13
?
f(2 018)＝f(2)＝f
?
?
2
＋
2
?
＝f
?
－
2
＋2
?
＝f(1)＝－1，所以f(2 017)＋f(2 018)＝－2.
答案：－2
16．若当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)
2
的图象始
终在函数y＝log
a
x(a>0，且a≠1)的图象
的下方，则实数a的取值范围是
________．
解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)
2
和y＝log
a
x的图象，由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)
2
的图象恒
?
?
a>1，
在函数y＝log
a
x的图象的下
方，则
?
解得1
?
log
a
2≥1，
答案：(1,2]
B组——“12＋4”提速练
一、选择题
1．已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝的定义域为( )
log
1
?2－x?
2
f?2x?
3
，＋∞
?
A.
?
2??
3
?
C.
?
?
2
，＋∞
?
解析：选B 要使函数y＝
f?2x?
3
，2
?
B.
?
2
??
1
?
D.
?
?
2
，2
?
log
1
?2－x?
2
有意义，
?
3≤2x≤6
，
?
需满足
?
log
1
?2－x?＞0，
?
?
2
3
?
?
2
≤x≤3，
3
即
?
解得
≤x＜2.
2
?
0＜2－x＜1，
?
2．下列各组函数中，表示同一函数的是(
)
A．y＝x与y＝log
a
a
x
(a＞0且a≠1)
x
2
－9
B．y＝与y＝x＋3
x－3
75 533
C．y＝x
2
－8与y＝x－8
1
D．y＝ln x与y＝ln x
2
2
解析：选A 对
于选项A，y＝x与y＝log
a
a
x
＝x(a＞0且a≠1)的定义域都为
R，解析式
相同，故A中两函数表示同一函数；B、D中两函数的定义域不同；C中两函数的对应法则<
br>不同，故选A.
3．下列函数中，满足“?x
1
，x
2
∈(
0，＋∞)，且x
1
≠x
2
，(x
1
－x
2
)[f(x
1
)－f(x
2
)]<0”的
是( )
1
A．f(x)＝－x
x
C．f(x)＝ln x
B．f(x)＝x
3
D．f(x)＝2
x
解析：选A “?x
1
，x
2
∈(0，＋∞)，且x
1≠x
2
，(x
1
－x
2
)·[f(x
1
)－f(x
2
)]<0”等价于f(x)
1
在(0，＋∞)上为减函数，易
判断f(x)＝
x
－x满足条件．
?
?
log
2
?x＋1?，x≥0，
4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝
?
则
g(f(－7))＝
?
g?x?，x＜0，
?
( )
A．3
C．2
B．－3
D．－2
?
?
log
2
?x＋1?，x≥0，
解析：选D
函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝
?
?
g?x?，x＜0
，
?
令x＜0，则－x＞0，f(－x)＝log
2
(－x＋1)，
因为f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－log
2
(－x＋1)，
所以g(x)＝－log
2
(－x＋1)(x＜0)，
所以f(－7)＝g(－7)＝－log
2
(7＋1)＝－3，
所以g(－3)＝－log
2
(3＋1)＝－2.
5．(2019·合肥质检)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
76 533
解析：选A
令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2
?
31
－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数
f(x)为偶函数，排除选项C、D.当x＝时，f
?
＝ln
<0，
?
2
?
22
排除选项B，故选A.
6．已知定义在R上的奇函数f(x)在
[0，＋∞)上单调递减，若f(x
2
－2x＋a)
13
－∞，
?
A.
?
4
??
C．(－3，＋∞)
B．(－∞，－3)
13
，＋∞
?
D.
?
?
4
?
解析：选D
依题意得f(x)在R上是减函数，所以f(x
2
－2x＋a)
2
－2x＋a>x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成
立，等价于a>－x
2
＋3x＋1
3
13
x－
?
2
＋ 对任意的x∈[－1,2]恒成立．设g(x)＝－x
2
＋3x＋1(－1≤
x≤2)，则g(x)＝－
?
?
2
?
4
3
?
13313
(－1≤x≤2)，当x＝
时，g(x)取得最大值，且g(x)
max
＝g
?
＝，因此a＞，故选D.
?
2
?
424<
br>|xa|
?
，x≤1，
?
2
?
7．(2019·南昌
模拟)设函数f(x)＝若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取
?
x＋1，x>1，<
br>?
－
值范围为( )
A．[－1,2)
C．[1,2]
B．[－1,0]
D．[1，＋∞)
解析：选C 法一：∵f(1)是f(x)的最小值，
∴y＝2
|x
－a|
?
?
a≥1，
在(－∞，1]上单调递减，∴
?
|1
－
a|
?
2≤2，
?
77
533
??
?
a≥1，
?
a
≥1，
即
?
∴
?
?
|1－a|≤1，
?
??
0≤a≤2，
∴1≤a≤2，故选C.
法二：当a＝0时，函数f(x
)的最小值是f(0)，不符合题意，排除选项A、B；当a＝3
时，函数f(x)无最小值，排除选项
D，故选C.
?
?
0，x≤0，
8．(2019·福州质检)设函数f(x
)＝
?
x
－
x
则满足不等式f(x
2
－2)>f(
x)的x的
?
2－2，x＞0，
?
取值范围是(
)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选C 法一：因为当x＞0时，函数f(x)单调递增；当x≤0时，f(x)＝0，故由
f(x
2
??
?
x>0，
?
x≤0，
－2)>f(
x)，得
?
或
?
解得x>2或x<－2，所以x的取值范围是 (－<
br>22
??
?
x
－2>x
?
x
－2＞0，∞，－2)∪(2，＋∞)，故选C.
法二：取x＝2，则f(2
2
－2)＝f
(2)，所以x＝2不满足题意，排除B、D；取x＝－1.1，
则f[(－1.1)
2
－2]＝f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以x＝－1.1不满足题意，排除A，故选C.
9.如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0,1)，一动点M
从点A开始
逆时针绕圆运动一周，记
AM
＝x，直线AM与x轴交于点N(t,0)，
则函数t＝f(x)的图象大
致为( )
78
533
11
解析：选D 当x由0→
时，t从
－∞→0，且单调递增，当x由
→1时，t从0→＋∞，
22
且单调递增，所以排除A
、B、C，故选D.
10.函数f(x)＝
( )
A．a>0，b>0，c<0
C．a<0，b>0，c<0
解析：选C
∵f(x)＝
ax＋b
B．a<0，b>0，c>0
D．a<0，b<0，c<0
的图象与x轴，y轴分别交于N，M，且点M的纵坐标与
?x＋c?
2
ax＋
b
的图象如图所示，则下列结论成立的是
?x＋c?
2
bb
点N的横
坐标均为正，∴x＝－
>0，y＝
2
>0，故a<0，b>0，又函数图象间断点的横
坐标为
a
c
正，∴－c>0，c<0，故选C.
11．已知f(x)＝2<
br>x
－1，g(x)＝1－x
2
，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)
＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)
时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )
A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
解析：选C 作出函数
g(x)＝1－x
2
和函数|f(x)|＝|2
x
－1|的图象如图①所示，
得到函数
h(x)的图象如图②所示，由图象得函数h(x)有最小值－1，无最大值．
<
br>12．在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定
的实数
，且具有下列三条性质：
(1)a★b＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(
ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.
1
关于函数f(x)＝x★
x
，有如下说法：
①函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3；
②函数f(x)为偶函数；
③函数f(x)为奇函数；
79 533
④函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；
⑤函数f(x)不是周期函数．
其中正确说法的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选C 对于新运算“★”的性质(
3)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0
111
★b)＝ab＋
a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.∴f(x)＝x★＝1＋x＋，当x>0时，f(x)＝1＋x＋
≥
1
xxx
＋2
11
x·＝3，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴函数f
(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，
xx
故①正确；函数f(x)的定义域为(－∞，0)
∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－
1＝－1，∴f(－1)≠－f
(1)且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故②③错误；根据函
1
数的
单调性，知函数f(x)＝1＋x＋
x
的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④
正确；
1
由④知，函数f(x)＝1＋x＋
x
不是周期函数，故⑤正确．
综上所述，所有正确说法的个数为3，故选C.
二、填空题
1
13．(2
019·惠州调研)已知函数f(x)＝x＋
x
－1，f(a)＝2，则f(－a)＝____
____.
1
111
a＋
?
－
解析：由已知得f(a)＝
a＋
－1＝2，即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－
?
?
a
?
aaa
1＝－3－1＝－4.
答案：－4
14．已知函数f(x)的
图象关于点(－3,2)对称，则函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象的对称中
心为_______
_．
解析：函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向
下平
移3个单位得到的，又f(x)的图象关于点(－3,2)对称，所以函数h(x)的图象的对称中
心为 (－
4，－1)．
答案：(－4，－1)
15．已知定义在R上的偶函数
f(x)满足当x≥0时，f(x)＝log
a
(x＋1)(a>0，且a≠1)，则
当－1
a
2.
80 533
因为－1
2<1，
1
所以log
a
a
2
a.
1
?
?
a
<2，
①当a>1时，原不等式
等价于
?
解得a>2；
?
?
a>2，
1
?
?
a
>2，
1
1
0，
?
②当0
解得0
?
?
2
?
2
?
a<2，
?
∪(2，＋∞)．
1
0，
?
∪(2，＋∞) 答案：
?
?
2
?
16．已知偶函数y＝f(x)(x∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f
(1＋x)＝0，
给出下列判断：
①f(5)＝0；
②f(x)在[1,2]上是减函数；
③函数f(x)没有最小值；
④函数f(x)在x＝0处取得最大值；
⑤f(x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确的序号是________．
解析：因为f(1－x)＋f(1＋x)＝0，所以f
(1＋x)＝－f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(2＋x)＝
－f(x)，所以f(x＋4)＝
f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数．由题意知，函数y＝f(x)(x
∈R)关于点(1
,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．
答案：①②④
81 533
重点增分专题二 基本初等函数、函数与方程
[全国卷3年考情分析]
年份
2019
2017
全国卷Ⅰ
由对数值求参数问题·T
13
对数函数的单调性与对称性·T
9
利用幂函数、指数函数、对数函
2016
数的单调性比较大小·T
8
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
对数函数图象对称问题·T
7
利用幂函数的图象与性质比较
大小·T
7
(1)基本初等函数作为
高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算，利用函数的性
质比较大小，一般出现在第7～11题的
位置，有时难度较大．
(2)函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起
重视．
考点一
基本初等函数的图象与性质
增分考点·深度精研
[析母题
——高考年年“神”相似
]
[典例] (1)若当x∈R时，函数
f(x)＝a
|x|
(a>0，且a≠1)满足f(x)≤1，则函数y＝log
a<
br>(x
＋1)的图象大致为( )
(2)已知函数f(x)是定义在R上的
偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)是单调递减函
1
log
3
?
，f(log
5
3)的大小关系是( )
数，则f(log
2
5)，f
?
?
5
?
82
533
1
log
3
?
3)
5) A．f
?
?
5
?
1
log
3
?
5)
3) B．f
?
?
5
?
1
lo
g
3
?
5) C．f(log
5
3
)
?
5
?
1
log
3
?
<
f(log
5
3)
D．f(log
2
5)
?
5
?
[解析] (
1)由a
|x|
≤1(x∈R)，知0
(x＋
1)的图象是由y＝log
a
x的图
象向左平移一个单位而得，故选C.
(2)因为f(x)在R上为偶函数，
1
log
3
?
＝f
(－log
3
5)＝f(log
3
5)．
所以f
?
?
5
?
由对数函数的单调性可知，log
2
5>log
3
5>1>log
5
3>0.
又因为f(x)在[0，＋∞)上为单调递减函数，
1
log
3
?
>f(log
2
5)．
所
以f(log
5
3)>f(log
3
5)>f(log
2
5
)，即f(log
5
3)>f
?
?
5
?
[答案]
(1)C (2)D
[练子题
——高考年年“形”不同
]
1．
本例(1)变为：若函数y＝a
|x|
(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数
y＝log
a
|x|的图
象大致是( )
解析：选B ∵y＝
a
|x|
的值域为{y|y≥1}，∴a>1，则y＝log
a
x在(0，＋
∞)上是增函数，
又函数y＝log
a
|x|的图象关于y轴对称．因此y＝log<
br>a
|x|的图象应大致为选项B.
2．本例(1)变为：若函数f(x)＝x
a
满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log
a
(x＋1)|的图象大致
为( )
83 533
解析：选C 法一：由函数f(x)＝x
a
满足f(2)＝4，得2
a
＝4，∴a＝2，则g(x)＝|log
a
(x
＋1)|＝|log
2(x＋1)|，将函数y＝log
2
x的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后
将x
轴下方的图象翻折上去，即可得g(x)的图象，故选C.
法二：由函数f(x)＝x<
br>a
满足f(2)＝4，得2
a
＝4，∴a＝2，即g(x)＝|log
2
(x＋1)|，由g(x)
的定义域为{x|x>－1}，排除B、D；由x＝0时，g(x
)＝0，排除A.故选C.
3．本例(2)变为：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈
[0，＋∞)时，函数f(x)
1
log
3
?
，f(log
5
3)的大小关系是________． 是单调递增函数，则f(log
2
5)，f
?
?
5
?
1
解析：由对数函数的单调性知log
2
5>log
5
3>log
3
.又f(x)在R上为奇函数且当x∈[
0，
5
1
log
3
?
.
＋∞)时，f(
x)为增函数，∴f(x)在R上为增函数．∴f(log
2
5)>f(log
53)>f
?
?
5
?
1
log
3
?
答案：f(log
2
5)>f(log
5
3)>f
?
?
5
?
[解题方略] 基本初等函数的图象与性质的应用技巧
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a的值不确定，要注
意分a>1和
0
(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换
元法
转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的
关
系进行判断．
(3)对于幂函数y＝x
α
的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．
[多练强化]
1．(2019·全国卷Ⅲ)设a＝log
0.2
0.3，b
＝log
2
0.3，则( )
A．a＋b
11
解析：选B ∵a＝log
0.2
0.3>log
0.2
1＝0，b＝log
2
0.3
1＝0，∴ab<
0.∵
ab
＝
a
＋
b
＝
84 533
log
0.3
0.2＋log
0.3<
br>2＝log
0.3
0.4，∴1＝log
0.3
0.3>log
0.3
0.4>log
0.3
1＝0，
a＋b
∴0<
ab
<1，∴ab
2
．若函数y＝a－a
x
(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log
a
＋log
a
＝( )
65
A．1
C．3
解析：选C ∵当a>1时，函数y＝
0，解得a＝2；当0
D．4
a－a
x
在[0,1]上单调递减，∴a－1＝1且<
br>a－1＝0且
a－a＝
a－a＝1，
a－a
x
在[0,1]上
单调递增，∴
548
?
548
此时无解．∴a＝2，因此log
a<
br>＋log
a
＝log
2
?
?
6
×
5
?
＝log
2
8＝3.故选C.
65
?
?
3－1，x≤0，
3．已知函数f(x)＝
?
1
在区间[－1，m]上的最
大值是2，则m的取值范
?
?
x
2
，x>0
围是_____
___．
－
x
?
?
3－1，x≤0，
解析：f
(x)＝
?
1
作出函数的图象，如图所示，因为函数f(x)在[－1，m]
2
?
?
x，x>0
上的最大值为2，又f(－1)＝f(4)＝2，所以－1
x
答案：(－1,4]
广度拓展
考点二
函数与方程
增分考点·
题型一
确定函数零点个数或所在区间
[例1] (1)(2019·邯郸月考)设f(x)＝ln
x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1)
C．(2,3)
B．(1,2)
D．(3,4)
π
3x＋
?
在[0，π]的零点个数为________．
(2)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos
?
6
??
[解析]
(1)法一：因为f(1)＝0＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2＋2－2＝ln
2>0，所以函数f(x)
的零点所在区间为(1,2)，故选B.
85 533
法二：函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln
x，h(x)＝
－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作出图象如图所示．
由图可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
ππ
(2)由题意可知，当3x＋
＝kπ＋
(k∈Z)时，
62<
br>π
π19π
?
，
f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋
∈
?
6
?
，
6
?
6
ππ3π5π
∴当3x＋取值为，，时，f(x)＝0，
6222
π
3x＋
?
在[0，π]的零点个数为3.
即函数f(x)＝cos
?
6
??
[答案] (1)B (2)3
[解题方略]
1．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区
间上；
(2)利用零点存在性定理进行判断；
(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
2．判断函数零点个数的3种方法
题型二 根据函数的零点求参数的范围
x
?
?
e，x≤0，
[例2] (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知
函数f(x)＝
?
g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2
?
ln
x，x>0，
?
个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0)
C．[－1，＋∞)
B．[0，＋∞)
D．[1，＋∞)
(2
)已知定义域为R的偶函数f(x)满足：对?x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2,
3]
时，f(x)＝－2x
2
＋12x－18.若函数y＝f(x)－log
a
(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则实
数a的取值范围为( )
86 533
A.
0，
C.
0，<
br>?
?
?
?
3
?
3
?
5
?
5
?
B.
0，
D.
0，
?
?
2
?
2
?
6
?
6
?
?
?
[解析] (1)令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f
(x)－h(x)．在同一坐标
系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)
存在2个零
点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的
图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－
x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－
x
＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故
选C.
(2)∵f(x＋2)＝f(x)－f(1)，f(x)是偶函数，∴f(1)＝0，∴f(x＋2)＝
f(x)，
即f(x)是周期为2的周期函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
作
出函数y＝f(x)与g(x)＝log
a
(x＋1)的图象如图所示，∵两个函数图象
在(0，＋∞)上至少有三个交点，
∴g(2)＝log
a
3>f(2)＝－2，
且0
[解题方略]
利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法
3
，故选A.
3
直观想象——数形结合法在函数零点问题中的应用
3，x≤1，
?
?
[典例] 已知函数f(x)＝
?
log
x，x>1，
则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为( )
1
?
?
3
87 533
x
A．1
C．3
B．2
D．4
[解析] 函数y＝f(x)＋x－4的零点个数，即函数y＝－x＋4与
y＝f(x)的图象
的交点的个数．如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)
的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋
x－4的零点有2个．故选B.
[答案] B
[素养通路]
直观想象是指借助
几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是
图形，理解和解决数学问题的素养．主
要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态
变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，建立
形与数的联系，构建数学问题的直
观模型，探索解决问题的思路．
本题是函数零点个数问题，
基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，
这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个
数，对于不易直接求解的方程的根的个数的
讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点
个数得出对应方程根的个
数．考查了直观想象这一核心素养．
[专题过关检测]
A组——“12＋4”满分练
一、选择题
1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
1
解析：选D 设幂函数f(x)＝x
，则f(3)＝3＝3，解得a＝，则f(x)
＝x
2
＝x，是非
2
aa
1
奇非偶函数，且在(0，＋∞)
上是增函数．
2．函数y＝a
x2
－1(a>0，且a≠1)的图象恒过的点是(
)
＋
A．(0,0)
C．(－2,0)
B．(0，－1)
D．(－2，－1)
解析：选C 令x＋2＝0，得x＝－2，所以
当x＝－2时，y＝a
0
－1＝0，所以y＝a
x
＋
2
－1
(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－2,0)．
3．(2019届高三·益阳、湘潭调研)若a＝log
3
2，b＝lg
0.2，c＝2
0.2
，则a，b，c的大小
88 533
关系为( )
A．c
3
2∈(0,1)，b＝lg
0.2<0.由指数函数的性质可
得c＝2
0.2
>1，∴b
?
?
4．(2019·福建第一学期高三期末考试)已知函
数f(x)＝
?
1
则函数y＝f(x)
?
?
1＋
x
，x>0，
＋3x的零点个数是( )
A．0
C．2
B．1
D．3
2
?
?
?
x>0，
?
x≤0，
解析：选C 令f(x
)＋3x＝0，则
?
或
?
1
解得x＝0或x
2
?<
br>x
－2x＋3x＝0
?
?
?
1＋
x
＋3x＝
0，
＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C.
x＋2
5．已知函数f(x)＝log
3
x
－a在区间(1,2)内有零点，
则实数a的取值范围是( )
A．(－1，－log
3
2)
C．(log
3
2,1)
B．(0，log
5
2)
D．(1，log
3
4)
x＋2
解析：选C
∵函数f(x)＝log
3
－a在区间(1,2)内有零点，且f(x)在(1,2)内单调，
∴
x
f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log
3
2－a)<0，解
得log
3
2
log
3
?
，b＝6
．(2019·贵阳适应性考试)已知奇函数f(x)在R上是减函数，且a＝－f
?
?
10
?
f(log
3
9.1)，c＝f(2
0.8
)，则
a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c
C．b>a>c
B．c>b>a
D．c>a>b
11
log
3
?
＝
f
?
－log
3
?
＝f(log
3
10)．
解析：选B ∵f(x)是奇函数，∴a＝－f
?
10
??
10
??
又∵log
3
10>log
3
9.1>log
3
9
＝2>2
0.8
，且f(x)在R上单调递减，
∴f(log
3
1
0)
9.1)
)，即c>b>a，故选B.
2
7．已知函数f(x)＝lg
?
1－x
＋a
?
是
奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为( )
??
A．(－∞，＋∞)上的减函数
89 533
B．(－∞，＋∞)上的增函数
C．(－1,1)上的减函数
D．(－1,1)上的增函数
x＋1
?
2
－1
?
解析：选D 由题意知，f(0)＝lg
(2＋a)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝lg
?
1－x
?
＝lg，
??
1－x
x＋1
2
令
>0，则－1
1－x1－x
上是增函
数．选D.
1
?
－
x
8．若函数f(x)与g(x)的图象关于直
线y＝x对称，函数f(x)＝
?
则f(2)＋g(4)＝( )
?
2
?
，
A．3
C．5
B．4
D．6
解析：选D 法一：∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，
1?
－
xx
又f(x)＝
?
＝2，∴g(x)＝log
2
x，
?
2
?
∴f(2)＋g(4)＝2
2
＋lo
g
2
4＝6.
1
?
－
x
法二：∵f(x)＝?
?
2
?
，∴f(2)＝4，即函数f(x)的图象经过点(2,4)，
∵函数f(x)与g(x)的图
象关于直线y＝x对称，∴函数g(x)的图象经过点(4,2)，∴f
(2)＋g(4)＝4＋2＝6.
9．设函数f(x)＝a
xk
－1(a>0，且a
≠1)过定点(2,0)，且f(x)在定义域R上是减函数，则
－
g(x)＝log
a
(x＋k)的图象是( )
解析：选A 由题意可知a
2
－
k
－1＝0，解得k＝2，所以f(x)＝a
x
－
2－1，又f(x)在定义
域R上是减函数，所以0
故选A.
90 533
1
0，
?
时，恒有f(x)>0，则f
(x)10．已知函数f(x)＝log
a
(2x
2
＋x)(a>0，且a≠
1)，当x∈
?
?
2
?
的单调递增区间是( )
1
－∞，－
?
A.
?
2
??
1
－∞，－
?
C.
?
4
??
B．(0，＋∞)
1
－，＋∞
?
D.
?
?
4
?
11
0，
?
时，2x
2
＋x∈(0,1)，因为当x∈
?
0，
?
时，恒有f(x)>0，所以
解析：选A 当x∈
?
?
2
??
2
?
1
11
x＋
?
2<
br>－，由复合函数的单调性可知，
0
＋x>0得x>0或x<
－
.又2x
2
＋x＝2
?
?
4
?
821
－∞，－
?
.
函数f(x)的单调递增区间为
?
2
??
11．设方程10
x
＝|lg(－x)|的两根分别为x
1，x
2
，则( )
A．x
1
x
2
<0
C．x
1
x
2
>1
B．x
1
x
2
＝1
D．0
x
2
<1
解析：选D 作出函数y＝10
x
，y＝|lg(－x)|的图象，由图象可知，
两个根一个小于－1，一个在(－1,0)之间
，
不妨设x
1
<－1，－1
<0，
则10x
1
＝lg(－x
1
)，
10x
2
＝|lg(－x
2
)|＝－lg(－x
2
)．
两式相减得： <
br>lg(－x
1
)－(－lg(－x
2
))＝lg(－x
1)＋lg(－x
2
)
＝lg(x
1
x
2
)＝
10x
1
－10x
2
<0，即0
x
2
<1.
12．(2019·陕西质检)已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意的x都满足f(x
＋1)＝－f(x)，
且当0≤x<1时，f(x)＝x，则函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零
点个数为( )
A．2
C．4
B．3
D．5
解析：选B 依题意，可知函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数即为函数y＝f(x)的图
象与
函数y＝ln|x|的图象的交点个数．
设－1≤x<0，则0≤x＋1<1，
此时有f(x)＝－f(x＋1)＝－(x＋1)，
91 533
又由f(x＋1)＝－f(x)，
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
即函数f(x)以2为周期的周期函数．
?
?
ln x，x>0，
而y＝ln|x|＝
?
?
?
ln?－x?，x<0，
在同一坐标系中作出函数y＝f(x)的图象与y＝ln
|x|的图象如图所示，
由图可知，两图象有3个交点，
即函数g(x)＝f(x)－ln|x|有3个零点，故选B.
二、填空题
13．(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log
2
(
x
2
＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.
解析：∵f(x)＝log
2
(x
2
＋a)且f(3)＝1，
∴1＝log
2
(9＋a)，∴9＋a＝2，∴a＝－7.
答案：－7 <
br>1
?
x
?
?
?
2
?
，x≤0，14．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)已知函数f(x)＝
?
log
?
1
2
x，x>0，
1
?
则f
??
4
?
＋
1
log
2
?
＝_____
___. f
?
?
6
?
1
?
1
??
1
?
111
?
log
解析：由题可得f
?
＝lo
g＝2，因为log
<0，所以f
＝
log
2
2
1
4
?
4
??
6
??
2
?
2
6＝2log
2
6＝6，
6
2
1
??
1
log
2
?
＝8.
故f
?
＋f
?
4
??
6
?
答案：8 15．有四个函数：①y＝x；②y＝2
1x
；③y＝ln(x＋1)；④y＝|1－x|
.其中在区间(0,1)
－
1
2
内单调递减的函数的序号是________
．
解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中
的
函数满足在(0,1)内单调递减．
92 533
答案：②④
x
?
?
2－a，x≤0，
16．若函数f(x
)＝
?
有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
?
ln x，x>0
?
解析：当x>0时，由f(x)＝ln
x＝0，
得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，
所以当x≤0时，函数f(x)＝2
x
－a有一个零点，
令f(x)＝0，得a＝2
x
，
因为0<2
x
≤2
0
＝1，所以0
B组——“12＋4”提速练
一、选择题
1．(20
17·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x
2
－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2)
C．(1，＋∞)
B．(－∞，1)
D．(4，＋∞)
解析：选D 由x
2
－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此
，函数f(x)＝ln(x
2
－2x－8)的定
义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)
．注意到函数y＝x
2
－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合
函数的单调性知
，f(x)＝ln(x
2
－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
2．(20
19·福州质检)若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e
x
关于
y轴对称，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝e
x1
＋
B．f(x)＝e
x1
－
C．f(x)＝e
－
x
＋
1
D．f(x)＝e
－
x
－
1
解析：选D 与y＝e
x
的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e
－
x
.依题意，f(x)
的
图象向右平移1个单位长度，得y＝e
－
x
的图象，∴f(x)的图象是由
y＝e
－
x
的图象向左平移1
个单位长度得到的，∴f(x)＝e
－
(x
＋
1)
＝e
－
x
－
1
.
3．函数f(x)＝|log
2
x|＋x－2的零点个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选B 函数f(x)＝|log<
br>2
x|＋x－2的零点个数，就是方程|log
2
x|
93
533
＋x－2＝0的根的个数．
令h(x)＝|l
og
2
x|，g(x)＝2－x，在同一坐标平面上画出两函数的图象，如图所示．
由图象得h(x)与g(x)有2个交点，∴方程|log
2
x|＋x－2＝0的根的个数为2
.
1
?
x0.9
4．(2019·新疆自治区适应性检测)已知定义在R上
的函数f(x)＝
?
，记a＝f(0.9)，b
?
2
?
1<
br>?
＝f(ln(lg 9))，c＝f
?
?
sin
1
?
，则a，b，c的大小关系为( )
A．b
解析：选C ∵0＝lg 1
sin 1
1<
br>?
x
又0<0.9
0.9
<0.9
0
＝1，且函数f
(x)＝
?
?
2
?
在R上单调递减，∴c
(r
)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，
地震能量越大，测震仪记
录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其
计算公式为M＝lg A－lg A0
，其中A是被测地震的最大振幅，A
0
是“标准地震”的振幅．已
知5
级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多
少倍？( )
A．10倍
C．50倍
B．20倍
D．100倍
MMM
A
0
×10
7
解析：选D 根据题意有lg
A＝lg A
0
＋lg 10＝lg(A
0
·10)，所以A＝A
0
·10
，则
A
0
×10
5
＝100.故选D. <
br>6．已知函数f(x)＝a
x
＋x－b的零点x
0
∈(n，n＋1)(
n∈Z)，其中常数a，b满足0
A．2
C．－2
B．1
D．－1
解析：选D
由题意得函数f(x)＝a
x
＋x－b为增函数，
1
所以f(－1)＝
a
－1－b<0，f(0)＝1－b>0，
所以函数f(x)＝a
x
＋x－b在(－1,0)内有一个零点，
故n＝－1.
94 533
7．两个函
数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函
数：f
1
(
x)＝2log
2
(x＋1)，f
2
(x)＝log
2
(x
＋2)，f
3
(x)＝log
2
x
2
，f
4
(x)＝log
2
(2x)，则“同根函数”
是( )
A．f
2
(x)与f
4
(x)
C．f
1
(x)与f
4
(x)
B．f
1
(x)与f
3
(x)
D．f
3
(x)与f
4
(x)
解析：选A f
4
(x)＝log
2
(2x)＝1＋log
2
x，f
2
(x)
＝log
2
(x＋2)，将f
2
(x)的图象沿着x轴先向
右平移2
个单位得到y＝log
2
x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f
4(x)的图
象，根据“同根函数”的定义可知选A.
8．已知f(x)＝|ln(x＋1)|，若f(a)＝f(b)(a
C．2a＋b>0
B．a＋b>1
D．2a＋b>1
解析：选A 作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由f(a)
＝f(b)(a
2
b<
＋a＋b，即(a＋b)(a＋b＋4)>0，又易知－
1
4
∴a＋b＋4>0，∴a＋b>0.故选A.
9．已知定
义在R上的函数f(x)满足：①图象关于点(1,0)对称；②f(－1＋x)＝f(－1－x)；
1
－x，x∈[－1，0]，
?
?
1
?
|x|
③当x∈[－1
,1]时，f(x)＝
?
π
则函数y＝f(x)－
?
在区间[－3,
3]上的
2
??
?
?
cos
2
x，x∈?0，1]
.
零点个数为( )
A．5
C．7
B．6
D．8
2
解析：选A 因为f(－1＋x)＝f(－1－x)，所以函数f(x)的图象<
br>关于直线x＝－1对称，又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，如图所
1
?|x|
示，画出y＝f(x)以及g(x)＝
?
?
2
?
在[－3,3]上的图象，由图可知，两
1
?
|x|
函数图象的交点个数为5
，所以函数y＝f(x)－
?
?
2
?
在区间[－3,3]上的零点个
数为5，故选
A.
10．设函数f(x)＝e
|ln x|
(e为自然对数
的底数)．若x
1
≠x
2
且f(x
1
)＝f(x
2
)，则下列结论一定
不成立的是( )
95 533
A．x
2
f(x
1
)>1
C．x
2
f(x
1
)<1
B．x
2
f(x
1
)＝1
D．x
2
f(x
1
)
f(x
2
)
ln x
e
?
?
＝x，x≥1，
解析：选C
f(x)＝
?
作出y＝f(x)的图象
1
ln
x
－
?
?
e
＝
x
，0
1
如图所示，若0
<1
，则f(x
1
)＝>1，f(x
2
)＝x
2
>1，x
2
f(x
1
)>1，
x
1
1
则A成立．若0
<1
，则f(x
2
)＝>1，f(x
1
)＝x
1>1，则x
2
f(x
1
)＝x
2
x
1
＝1，则B成立．对
x
2
于D，若0
<1
2
f(x
1
)>1，x
1
f(x
2)＝1，则D不成立；若0
<1
，则x
2
f(x
1
)＝1，
x
1
f(x
2
)>1，则D成立
．故选C.
11．(2019·惠州调研)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x
)＝
2－1，0
?
?
1
则函数g(x)＝xf
(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为( )
?
?
2
f?x－2?，x>2，
A．8
1
C.
2
B．32
D．0
|x
－
1|
解析：选A 令g(x)＝xf(x)－1＝0，则x≠0，所以函数g(x)的零点之和等价于函数y
＝
11
f(x)的图象和y＝
x
的图象的交点的横坐标之和，分别作出x>0
时，y＝f(x)和y＝
x
的大致图象，
如图所示，
1
由于y＝f(x)和y＝
x
的图象都关于原点对称，因此函数g(x)在[－6,6]上的所有
零点之和
1
为0，而当x＝8时，f(x)＝，即两函数的图象刚好有1个交点，且当x∈(8
，＋∞)时，y＝
8
1
x
的图象都在y＝f(x)的图象的上方，因此g(x
)在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8.
1
?
?
x
－3，x∈
?0，1]，
12．已知在区间(0,2]上的函数f(x)＝
?
且g(x)＝f(x
)－mx在区间
－
1x
?
?
2－1，x∈?1，2]，
(0
,2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
96 533
91
－，－2
?
∪
?
0，
?
A
.
?
?
4
??
2
?
92
－，－2
?
∪
?
0，
?
C.
?
?
4??
3
?
111
－，－2
?
∪
?
0，
?
B.
?
?
4
??
2
?
112
－，－2
?
∪
?
0，
?
D.
?
?
4
??
3
?
解析：选A 由函数g(x)
＝f(x)－mx在(0,2]内有且仅有两个不同
的零点，得y＝f(x)，y＝mx在(0,2]内
的图象有且仅有两个不同的交
1
点．当y＝mx与y＝
x
－3在(0,1]内
相切时，mx
2
＋3x－1＝0，Δ＝9＋
991
4m＝0，m＝－
，结合图象可得当－
442
g(x)＝f(x
)－mx在(0,2]内有且仅有两个不同的零点．
二、填空题
?ln x?＋aln x
＋b，x>0，
?
?
13．(2019届高三·湖北八校联考)已知函数f(x)＝<
br>?
x
1
若f(e
2
)＝
?
?
e＋<
br>2
，x≤0，
4
f(1)，f(e)＝f(0)，则函数f(x)的值域为__
______．
3
2
??
?
4＋2a＋b＝b，
?
a＝－2，
解析：由题意可得
?
解得
?
?<
br>1＋a＋b＝2，
?
??
b＝3，
则当x>0时，f(x)＝(ln
x)
2
－2ln x＋3＝(ln x－1)
2
＋2≥2；
111
3
当x≤0时，
＋
≤e
0
＋＝，
2222
13
?
则函数f(x)的值域为
?
?
2
，
2
?
∪[2，＋∞)．
13
?
答案：
?
?
2
，
2
?
∪[2，＋∞)
?
－2，0＜x＜1
，
?
14．已知在(0，＋∞)上函数f(x)＝
?
则不等式log
2
x－(log
1
4x－
?
1，x≥1，
?
4
1)·f(log
3
x＋1)≤5的解集为________．
?
log
3
x＋1≥1，
?
解析：原不等式等价于
?
?
log4x－1
?
≤5log
2
x－
?
1
?
?
?
?
4
?
?
0＜log
3
x＋1＜1，
?
或
?
?
log4x－1
?
≤5，log
2
x＋2
?
1
?
?
?
?<
br>4
?
97 533
1
解得1≤x≤4或＜x＜1，
3
1
?
所以原不等式的解集为
?
?
3
，4
?
.
1
?
答案：
?
?
3
，4
?
2
15．已知幂函数f(x)＝(m－1)
2
x
m－4m＋2
在
(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2
x
－k，
当x∈[1,2)时，记f(x
)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，则实数k的取值范围是
________．
解析：∵f(x)是幂函数，
∴(m－1)
2
＝1，解得m＝2或m＝0.
若m＝2，则f(x)＝x
－
2
，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不满
足条件；
若m＝0，则f(x)＝x
2
，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，
故f(x)＝x
2
.
当x∈[1,2)时，f(x)∈[1,4)，g(x)∈[2－k,4－k)，
即A＝[1,4)，B＝[2－k,4－k)，
∵A∪B＝A，∴B?A，
?
?
2－k≥1，
则
?
解得0≤k≤1.
?
?
4－k≤4，
答案：[0,1]
16．若关于x的方程(lg a＋lg x)·(lg a＋2lg
x)＝4的所有解都大于1，则实数a的取值范
围为________．
解析：由题意可得2(lg x)
2
＋3(lg a)·(lg x)＋(lg
a)
2
－4＝0，令lg x＝t>0，
则有2t
2
＋3(lg
a)·t＋(lg a)
2
－4＝0的解都是正数，
设f(t)＝2t
2
＋3(lg a)·t＋(lg a)
2
－4，
?
?
3lg
a
则
?
－
4
>0，
?
?
f?0?＝?lg
a?
－4>0，
2
Δ＝?3lg a?
2
－8[?lg
a?
2
－4]≥0，
解得lg a<－2，
98
533
1
1
0，
?
. 所以0
?
100
?
100<
br>1
0，
?
答案：
?
?
100
?
重点增分专题三
导数的简单应用
[全国卷3年考情分析]
年份 全国卷Ⅰ
奇函数的定义及利用导数的几何意义
求切线方程·T
6
2019
利用函数的极值点求参数及单调区
间·T
21
(1)
利用导数的几何意义求切线方程·T
14
2017
全国卷Ⅱ
利用导数的几何意义求
切线方程·T
13
利用导数求函数的单调
区间·T
21
(1)
全国卷Ⅲ
利用导数的几何
意义求切线方
程·T
21
(1)
利用导数研究函数的单
调性·T
21
(1)
利用导数研究函
数的单调
性·T
21
(1)
利用导数研究函
数的单调
性·T
21
(1)
利用导数研究函数的单调性·T
21
(1)
2016
利用导数研究函数的单调性·T
21
(1)
利用导数的几何意义求
切线方程·T
20
(1)
(1)
此部分内容是高考命题的热点内容．在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，
难度较小．
(2)应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考
查，难度中等偏
上，属综合性问题；常在解答题的第一问中考查，难度一般．
练后讲评
考点一
导数的几何意义
保分考点·
[大稳定
——常规角度考双基
]
1.
[已知切点求切线方程]
(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln
x在点(1,0)处的切线方程为
______________．
2
解析：因为y
′＝
x
，y′|
x
＝
1
＝2，所以切线方程为y－0＝2(
x－1)，即y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
99 533
2.
[由切线方程求切点坐标]
曲线f(x)＝x
3
－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，
则点P的坐标为________． <
br>解析：f′(x)＝3x
2
－1，令f′(x)＝2，则3x
2
－1＝
2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或 (－
1,3)，经检验，点(1,3)，(－1
,3)均不在直线y＝2x－1上，故点P的坐标为(1,3)和(－1,3)．
答案：(1,3)和(－1,3)
3.
[求参数值或范围]
(2019·全
国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)e
x
在点(0,1)处的切线的斜率为－2，
则a＝_
_______.
解析：∵y′＝(ax＋a＋1)e
x
，∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
15
≤x≤
?过点P(2,0)的切4.
[已知切线上一点?非切点?求切线方程]
曲线f(x)＝x<
br>3
－2x
2
＋2
?
2
??
2
线方程
为________．
解析：因为f(2)＝2
3
－2×2
2
＋2＝2≠0，
所以点P(2,0)不在曲线f(x)＝x
3
－2x
2
＋2上． <
br>15
设切点坐标为(x
0
，y
0
)，则≤x
0
≤
，
22
因为f′(x)＝3x
2
－4x，
?
?
所以
?
0－y
＝3x－4x，
?
2－x
?0
2
00
0
2
y
0
＝x
3
0
－2x
0
＋2，
消去y
0
，整理得(
x
0
－1)(x
2
0
－3x
0
＋1)＝0，
3＋5
解得x
0
＝1或x
0
＝
(舍去)
2
3－5
或x
0
＝
(舍去)，
2
所以y
0
＝1，f′(x
0
)＝－1，
所以所求的切线方程为y－1＝－(x－1)，
即y＝－x＋2.
答案：y＝－x＋2
100 533
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