高中数学选修3程序框图-提高高中数学成绩的方法6
《数学之神——阿基米德》教学设计
义乌中学
庞海燕
设计思路：本课尝试了“时尚引路，历史为辅，思想为点，
思维为线，活动为体”的设计思路。以数学史为明线展开课
堂的教学序，通过时尚引路接轨当代流行文
化，其间又铺设
了以数学思维为脉络的暗线，以圆周率计算为砖，引抛物线
中面积解决之玉，搭
建交流平台，形成了一个由数学家、教
师、学生多元参与的学习共同体，通过群体活动结晶出重要
的数学思想方法，使学习具有鲜明的数学特色。以史引人，
以数动人，两线相辅相成，旨在最大化发挥
数学史的教育功
效。
教学目标：经历阿基米德计算圆周率和抛物线弓形面积的过
程，
体会平衡法和解决几何级数的思想，培养极限意识。通
过阿基米德勇于探索的精神，激励学生不畏惧艰难
，激起探
索求知的欲望。
教学重点：引导学生用平衡法和已有知识储备探究解决抛物
线弓形面积问题。
教学难点：引导学生用平衡法和已有知识储备探究解决抛物
线弓形面积问题。
教学过程：
一、开篇语
数学，作为基础学科，是我们从小就必学的课程。数学，作
为人类文明的重要组成部分，有着悠久的历史。有人说，数
学是那么抽象、深奥，让人有晦涩、
生硬冰冷的感觉。殊不
知，在数学冰冷的面孔后有着丰富多彩的故事。数学史就是
要带着大家进
入这个五彩缤纷的世界，去探索数学概念、理
论诞生的源头，发现数学发展历史每个不平凡的段落，追寻
它的发展轨迹，去认识一位位杰出的科学家，见证学科发展
中的重要事件，感悟数学文化的真谛
。
二、初识阿基米德
史料梳理：阿基米德（公元前287-前212），古希腊最著名的数学家和发明家。出生于意大利西西里岛的叙拉古，早年
曾在“智慧之都”亚历山大跟过欧几里得
的学生学习，并在
以后与那里的师友保持着密切联系
，他的许多成果都是通过与亚历山大学者
的通信而保存下来。
阿基米德的著述极为丰富，涉及数学、力学及天文学等。
从以阿基米德为代表的亚历山大里亚的数学家开始，算术和
代数开始成为一门独立的数学学科。
他的数学成就主要有：
（1）第一个提出圆的周长、圆面积、扇形面积计算的准确
公式。
（2）比较精确的计算了圆周率（223
71<π<22
7）。
（3）提出了球的表面积、体积计算公式。
V球=2V柱3
S
球=2S柱3
V锥=V柱3
（4）计算抛物线弓形面积抛物线旋转体的体积。
（5）提出了极大数的一种表示方法。
（6）发现了螺旋线（阿基米德螺旋线）。
三、站在伟人肩上
活动1：爱像圆周率，无限不循环
古今中外，许
多人致力于的研究与计算。为了越来越精确地
计算出的近似值，一代代的数学家为了这个神秘数的贡献了
无数的时间与心血。古人计算
一般是用“割圆法”。阿基米德用正96边形得到
223
71<π<22
7；刘徽用正3072边形得到其近似值
12503927；又过了大约200年，祖冲之（
429-500）得到了
其有理数近似值113355；而在欧洲，直到1585年才发现了
这
个有理数近似值。这种基于几何的算法计算量大，需要顽
强的毅力和高超的技巧，因而也显示了当时的数
学发展水平。
（1）请你说说圆周率的意义。
（2）为什么5.33？请你说说道理。
活动设计目的：学生借助“割圆术”的思想，理解求圆周率
的过程。
播放视频：阿基米德求圆周率。
活动沉淀：“无限细分，无限求和”的积分思想。阿基米德<
br>求圆周率的方法及其近似值对此后的欧洲和阿拉伯文明有
长期的影响。我们将这种方法称为阿基米
德—刘徽方法。其
中多边形不断增多边数就是对圆周无限细分，由许多三角形
的
总和来求圆周长及面积就是无限求和。
史料梳理：《给埃拉托斯特尼的信》：内容是探讨解决力学问<
br>题的方法。这是1906年丹麦语言学家J.L.海贝格在土耳其
伊斯坦布尔发现的一卷羊皮纸手
稿，后来以《阿基米德方法》
为名刊行于世。它主要讲根据力学原理去发现问题的方法。
他把一
块面积或体积看成是有重量的东西，分成许多非常小
的长条或薄片，然后用已知面积或体积去平衡这些“
元素”，
找
到了重心和支点，所求的面积或体积就可以用杠杆定律计算
出来。他把这
种方法看作是严格证明前的一种试探性工作,
得到结果以后,还要用归谬法去证明它。
播放视频：阿基米德平衡法求球体积。
史料梳理：穷竭法是安蒂丰首先使用，并被古希腊数学
家普
遍用来证明面积和体积的方法。穷竭法可以用来严格证明已
经猜想出来的命题，但不能用来
发现新的结果。阿基米德发
明了求面积和体积的“平衡法”，求出面积或体积后再用“穷
竭法”
加以证明。阿基米德“平衡法”与“穷竭法”的结合
是严格证明与创造技巧相结合的典范。
活动2：对话阿基米德
阿基米德创立的平衡法首开积分学的先河，是数学与物理的
完
美结合。下面将斜线段AC特殊化成与x轴平行，探索特
殊弓形AOC的面积。如图，过
点A作抛物线的切线交轴于N，
欧几里得已在《二次曲线》中证明得出MO=ON。作CEMN交
直线AO于F。过弦AC上任意点D，作DOMN。则线段CF与
FE的长度关系是________
___。延长AF至R，使FA=FR。
首先，阿基米德证明了：DQFPDBFR。其物理意思是：
把FR
和FP看作以F为支点的杠杆的两臂，若把DB看作是放在R
处的重物，它就会与放在P
处的重物DQ相平衡。然后，阿
基米德把弓形AOC与AEC的面积一起进行比较。他把弓形AOC的面积看作是由DB这种线段积成的，把AEC面积看作是由
DQ这种线段积成的，因此AECAO
CSFPSFR弓形。
其次，阿基米德把所有线段DQ（的质量）集中于重心G，则
3:1:
:::FAFGFAFPFRFPSSAECAOC弓形。又因为4:1:AECAOCSS，
于是得出
抛物线弓形的面积是等底等高三角形面积的34。
活动3：巧妙几何达无限
上述问题阿基米
德除了用平衡法解决之外，用极限法也可以
解决，而且我们也可以解决哦！大家来试试吧！
设弧ABC为抛物线弓形，D为AB的中点，DC为平行抛物线
轴的直线且交抛物线弓形弧 <
br>于C，又E,F分别是BC，AC的中点，且过这两点平行于抛物
线轴的直线EH,FG分别交抛
物线弓形弧于H,G,试证
ABCBHCAGCSSS41
将抛物线特殊化为2xy，引导学
生用已有向量法求面积公式
证明结论，并发现可以用三角形面积逼近弓形面积的解决方<
br>案。
那么，如何求和?41414141432
阿基米德巧妙地运用几何方法解决了
这一问题。将一个边长
为1的正方形分割为如下所示的无数的L形块，每个深色块
均占其所在的
L形块面积的三分之一。这些深色正方形块的
面积即是所求级数的各项。
活动沉淀：体会阿基米德处理无限方法的精秒。
史料梳理：阿基米德螺线：是指平面上一条射
线绕它的固定
端点匀速旋转，同时有一点从端点出发沿直线匀速运动，则
点P的轨迹称为“阿基
米德螺线”。从物理的角度来说，阿
基米德螺线是匀速直线运动和匀速圆周运动的合成，如右图： 《论螺线》：阿基米德明确了螺线的定义，以及对螺线的面
积的计算方法。“第一面积”等于“第一
圆”面积的三分之
一。
四、向大师致敬
美国的E.T.贝尔在《数学人物》上是这
样评价阿基米德的：
“任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，
必定会包括阿基
米德，而另外两个通常是牛顿和高斯。不过
以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响<
br>当代和后世的深邃久远来比较，
还应首推阿基米德。”阿基米德是数学家与力学家的伟大学
者，他的几何著作是希腊数学的顶峰。
阿基米德完全掌握了在他之前的古希腊数学
的精华，并且作
出了进一步的完善和发展。这里包括他提出的“阿基米德公
理”，使在与极限有
关命题证明中的“穷竭法”更加严密，
运用自如，完成了圆面积、球面积和体积的计算公式的证明，他在做出微积分方面的成果时的严格性远远超过了后来的
牛顿与莱布尼茨。阿基米德的工作远超出了
欧几里得《原本》
中的研究范围。通过对古希腊三大几何问题的深入研究，在
螺线、圆锥曲线和
圆锥线旋转体方面，在三次方程和算术方
面，都作出了贡献。
阿基米德是将数学和物理结合研
究的最早典范。他用公理化
方法奠定了理论力学和流体静力学的基础，是力学的创始人。
他还将
数学和力学用于实际，发明了许多实用机械。
今天我们一起学习了阿基米德的平衡法，极限法，收获很
大，
我们也想出了自己解决问题的方法呢，当然，还有一些问题
留待我们以后进一步深造时解决
。希望大家静下心来多读一
点数学史，与数学家对话，与数学对话！