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2020年9月23日发(作者：晏阳初)
数学基础知识及公式
一、 整数性质：
1. 奇偶性：
加减规律：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇
乘法规律：乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇
结论：奇数个奇数的和=奇数；偶数个奇数的和=偶数；若干个整数相乘，有一个偶数则乘积为偶
数，全为奇数则乘积为奇数。
2. 质合性：（结论）只有平方数有奇数个约数，其他整数都有偶数个约数。
3. 整除性质：ア）个位是0、5的数能被5整除；
イ） 末三位可被8整除的数能被8整除；
ウ）各位数字之和是3倍数的数可被3整除；
エ）各位数字之和是9倍数的数可被9整除；
オ）能同时被2、3整除的数可被6整除。
传递性：若a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除；
可加减性：若a能被c整除，b能被c整除，则a+b、a-b均能被c整除。
4. 最大公约数与最小公倍数
二、 比例性质
1. 倍数判定：若a、b是整数，，且是最简分数，则a是n的倍数，b是m的倍数
2. 连比计算：多个量之间的比例关系
三、 平均数
1. 算术平均数：
2. 几何平均数：
算术平均数与各数之差的平方和最小

3. 加权平均数：
注：两个不相等的数的平均数总是介于这两个数之间
4. 十字交叉法：主要 用于解决两个部分的“平均值”混合形成一个新的平均值的问题。如浓度、产
量、价格、利润、增长率、 速度等
结论：a、b均为正数，
a、b、c均为正数，
，当且仅当a=b时等号成立；
，当且仅当a=b=c时等号成立 < br>当两个正数的和一定时，它们越接近时乘积越大，当二者相等时乘积最大；同理，当两个正数的
积 一定时，它们越接近时和越小，当二者相等时和最小。
四、 不定方程： 奇偶性、尾数特点、互质性质
，则 五、 不等式： 不等式性质：若
六、 分段函数
七、 数列
1. 等差数列
通项公式：
对称公式：
利用通项求和：

利用中项求和：
（是首项，d是公差）
（）
（是首项，d是公差）
（n为奇数）
（n为偶数）


结论：对奇数列1,3,5,7,…，2n-1，其前n项的求和公式可简化为
对偶数列2,4,6,8,…，2n，其前n项的求和公式可简化为
若项数为奇数，则奇数项之和减去偶数项之和为中位数
2. 等比数列
通项公式：
对称公式：

求和公式：
（q=1）


，，
（是首项，q是公比）
（
， （q≠1）
）

平方数列求和公式：
立方数列求和公式：
斐波拉契数列：
八、 平面几何
1. 相似与全等
相似：对应角相等、对应边成比例；全等：SAS、AAS、SSS
2. 三角不等式：
3. 勾股定理：
4. 公式
三角形 周长
正方形 周长
长方形 周长
面积
面积
面积







，


梯形 面积
平行四边形 面积
圆形 周长 面积
扇形 面积
5. 凸多边形内角和：
6. 直线切割平面： n条直线切割平面的区域数：
7. 等周问题
平面图形中，周长一定，越趋近于圆，面积越大；面积一定，越趋近于圆，周长越小。
表面积一定，越趋近于球，体积越大；体积一定，越趋近于球，表面积越小
九、 立体几何
1. 公式
球形 表面积
圆柱体 表面积
圆锥 表面积
2. 正多面体
3. 三视图
十、 解析几何 圆的解析式：
十一、 实际应用：
1. 正方形分割：一个正方形可以分割为除2,3,5外任意数量的小正方形（大小可以不同）
2. 蜂窝覆盖：小圆对一定区域进行无缝隙的完全覆盖，蜂窝状排列时用到的小圆数量最少
3. 立方体染色
十二、 基本行程问题

体积
体积
体积



1. 比例关系：时间一定，路程与速度成正比；速度一定，路程与时间成正比；路程一定，速度与时
间成反比
2. 平均速度：
十三、 相遇问题
， 当n=2，且时，
1. 简单相遇问题：
2. 直线多次相遇：
3. 环线多次相遇：
十四、 追及问题
1. 简单追及问题：
2. 环线多次追及：
十五、 一些实际问题
1. 青蛙爬井问题





若井深a米，青蛙每天向上爬b米，之后又滑下c米，则它爬出井口的天数为：
示向上取整）
2. 流水问题（船顺水、逆水行驶问题）


3. 火车问题
ア） 火车过桥：
イ） 火车错车：
即
ウ） 火车与人相对运动：
十六、 基本工程问题
1. 比例关系：时间一定，工作量与工作效率成正比
效率一定，工作量与工作时间成正比
工作量一定，工作效率与时间成反比








，（表
2. 轮流工作：轮流工作除了要计算每轮工作的效率（即几个人 的效率和），还要注意最后一轮工作中
每个人的实际工作量。在计算工作效率时，工作总量应设为每个人 单独完成用时的最小公倍数，这样能避
免大量分式相加的计算。
3. 合作：合作效率一般是每个人效率的叠加，合作的重点是求效率和。
十七、 工程问题变形
1. 水管问题
进水量、排水量工作量 进水、排水速度工作效率

2. 牛吃草问题


十八、 利润问题
1. 收支计算：利润来源于收入与支出之间的差额，因此收支计算最重要的就是有条理地分析清楚每
一笔收入 与支出，最后相加算得总利润。
2. 利润率计算

3. 折扣率计算
整体打折&部分打折
部分商品打折求整体的折扣率，可用十字交叉法进行求解
十九、 容斥原理（文氏图）
1. 二集合容斥原理：
2. 三集合容斥原理：
二十、 排列组合
1. 加法原理：体现分类讨论的思想。分类相加。




2. 乘法原理：体现分步讨论的思想。分步相乘。
3. 排列与组合公式：


4. 经典方法
ア）捆绑法：排列时如要求几个元素相邻，则将它们捆绑起来视 为一个整体参与排列，然后再考虑
它们内部的排列情况。
イ）插空法：排列时如要求几个元素 不相邻，则相当于把不能相邻的元素插到其他元素形成的“空
隙”中去。
ウ）插板法：若要求 把n个元素分成m堆，则把（m-1）个木板插入这n个元素形成的（n-1）
个“空隙”中去。与插空 法的区别：插空法有（n+1）个空可选；插板法有（n-1）个空可选。
エ）归一法：m个元素中的 n个元素相对位置固定，把m个元素进行全排列。n个元素的相对位
置有 种，排列数为
オ）分析对立面
5. 经典问题模型
ア） 环线排列：任取一个元素作为队首，环线排列问题便转化为n-1个元素的直线排列问题。
n个人围成一个圈，不同的排列方式有 种。

的整数。
种

イ） 传球问题：n个人相互传球，经过k次传球，球回到发球人手中的传球方式有
种。 即，n个人经过k次传球，球回到发球人手上的传球方式有m种，m为第二接近
ウ） 错位重排：
如，编号是1,2,…,n的封信，装入编号为1,2,…,n的n个信封，要求每封信和 信封的编号不同，问
有多少种装法
记n封信的错位重拍数为，则，，，可知，n个数的
错位重排数是（n-1）的倍数。
概率问题 二十一、
1. 等可能事件概率：把事件空间分成n个等可能的情形（即所有可能 的情况），事件A包括了其中的
m个情形，则A发生的概率为
对任何一个随机事件而言，其 发生的概率与其不发生的概率之和为1。因此，当一个事件的概率不便正
面求解时，可以先求其对立面， 即它不发生的概率。
2. 条件概率：在事件B已经发生前提下事件A发生的概率称为条件概率，即在B条件下的概率

3. 独立重复试验概率：在相同条件下，将某实验重复进行n次，且每次试验中任何一事件的概率不< br>受其他次试验结果的影响，这类试验称为n次独立重复试验。若在一次试验中某事件发生的概率为p，则< br>在n次独立重复试验中该事件恰好发生k次的概率为：

4. 分类分步事件概率：当一件事情可以分几种情况或按几个步骤完成时，可先计算每一种情况或每< br>个步骤的概率，然后计算整个事件的概率。
二十二、
物件。
1. 构造抽 屉：核心是搞清题干条件哪个相当于鸽子，哪个相当于鸽笼。在抽屉原理配对的过程中，
鸽子比鸽笼多， 因此，较多的就对应为鸽子，较少的就对应为鸽笼。
2. 最差原则：考虑所有可能情况中最不利于某件事情发生的情况。
二十三、 数据分配
抽屉原理：如果要把n个物件分配到m个容器中，必有至少一个容器内容纳至少 个
数据分配的过程分为两步，一是分组；二是讨论组内数据离散性。
若数据可以相同，则各数相等离散性最差；若数据不可以相同，则公差为1的等差数列离散性最差。
1. 简单数据分配：把总和一定的数据分为数量确定的几组，然后求最大的数据的最小值或最小数据< br>的最大值。
2. 复杂数据分配：
组内数据可相等、组数不确定（先按离散性讨论鸽笼数）、分组复杂（分成几组数据分别考虑）
二十四、 运筹问题：利用数学工具或数学思维寻找实际作业中的最优对策。
1. 时间分配：将逻辑上不冲突的事情同时进行。
2. 黑夜过桥：黑夜里多人过桥受桥宽度所限每次最多 只能走两人，由于只有一盏灯，所以需要有人
将灯送回。两人过桥时，过桥时间等于其中单独过桥时间较 长者。如何使过桥总时间最短
尽量让时间相近的两个人一起过桥，让对岸过桥时间最短的人把灯送回
3. 空瓶换酒：若规定A个空瓶可以换一瓶酒，有B个空瓶，最多可喝到C瓶酒，则
数部分。
4. 任务分配：在分配任务时要做到人尽其用，因此让“相对效率”高的人去做他擅长的事才能确保< br>整体效率是最高的。
5. 物资集中：物资运输的费用通常是路程与货物重量的乘积，物资集中 问题就是问把物资集中在哪
一点时总运输费用最少。应遵循如下原则：路两侧物资总重量小的流向总重量 大的。
6. 线性规划：线性规划求的是目标函数在线性约束条件下的极值，所以要先明确目标函数与 线性约
束条件，然后在可行区域内求目标函数最值。
目标函数：目标（M）与相关因素（x,y）之间的函数关系为


，取整
线性约束条件：

二十五、 其他题型

1. 浓度问题：

注意饱和浓度
2. 时钟问题：
ア） 钟面问题：
时针每分钟走30°÷60=° 分针每分钟走360°÷60=6° 两者差为
イ） 坏钟问题：核心是“坏钟时间”与“标准时间”的比例关系
坏钟每小时比标准钟快n分钟，则
当坏钟显示过了x分钟时，标准时相当于过了
3. 日期问题


ア）平年与闰年：平年有52个星期零1天，则每过一年，星期数的变 化加1。闰年有52个星期
又2天，比平年多出2月29日这一天，所以若经过的某段时间包含2月29 日，星期数的变化加2。
イ）月历推断。
任意星期数的日期呈奇偶交替排列。
每个月任意星期数最少出现4次，最多出现5次。
只有每月1、2、3日对应的星期数可能出 现5次。大月每个月有31天，当月1、2、3日对应的
星期数出现5次；小月每个月有30天，当月1 、2日对应的星期数出现5次；闰年2月有29天，当月1
日对应的星期数出现5次。
4. 植树问题
闭合路线植树： 非闭合路线植树：
较复杂的植树问题还包括多种间 距植树与特定点植树两类。前者需要求出各种间距的重合点（即公
约数），然后利用容斥原理计算棵树； 后者需要求出各段路长的最大公约数，以保证端点能够植树且每棵树
间距相同。
5. 方阵问题
ア） 实心方阵：从内向外，每层每边人数依次增加2；从内向外，每层人数依次增加8.

イ） 空心方阵：空心方阵与实心方阵的区别是中间挖掉了 一部分，求总人数一般用等差数列求和
公式或平方差公式。

6. 盈亏问题：盈亏问题始于平均分配产生的余数，这个余数谓之盈数；若不够分，则产生亏数，亏< br>数是除数与余数的差。盈亏问题中，物资和人数是不变量。
鸡兔同笼问题：只知道头数 和脚数便可由鸡兔的脚数差求得各自数量，本质上是一元二次方程
组。可使用假设法将其转化为盈亏问题 。假设全部是鸡（兔）会有多少脚，那么每次有一只鸡
（兔）转化为兔（鸡），脚数会增加（减少）2。 根据假设的脚数与实际的差值可计算出其中一
种动物的数量。



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