数学微积分公式八年级上数学(完全平方公式)

2020年9月23日发(作者：萧劲光)
14.2.2 完全平方公式
一、新课导入
1.导入课题：
一块边长为 a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块
实验田，以种植不同的新品种.（如图） 用不同的形式表示实验田的总面积，并
进行比较.你发现了什么呢？
2.学习目标：
（1）能用符号和文字表述完全平方公式.
（2）能运用完全平方公式解题.
（3）体验归纳添、去括号法则.
3.学习重、难点：
重点：完全平方公式及应用及添、去括号法则.
难点：完全平方公式的几何意义的理解.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：探究完全平方公式.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：计算、比较分析、猜想结论.
（4）探究提纲：
①计算下列多项式的积，观察它们的算式形式与运算结果有什么规律.
a.(p+1)
2
=(p+1)(p+1)=p
2
+2p+1;
b.(m+2)
2
=m
2
+4m+4;
c.(2a+1)
2
=4a
2
+4a+1;
d.(2x-3)
2
=4x
2
-12x+9.
②猜想：根据你发现的规律，你能直接写出（a+b）
2
的计算的结果是
a
2
+2ab+b
2
，（a－b）
2
的结果是a
2< br>-2ab+b
2
.
③下列等式正确吗？若不对，对比②中发现的规律找出错在什么地方？
(x－3)
2
=x
2
－9(2m+1)
2
=4m
2
+1
都不对，都漏掉完全平方公式的“中间项”.
④试用下图1，2验证(a±b)
2
的结果的正确性.




- 1 -
请你根据图1，图2说出（a+b）
2
和 （a-b）
2
的计算结果的几何意义.
⑤试用文字表述②中发现的规律.
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积
的2倍.
2.自学：学生结合探究提纲进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生的探究过程及归纳总结的规律是否正确，收集学习中
存在的问题. ②差异指导：教师询问个别学生从探究中如何总结规律并表述规律及如何借
助图1、2验证猜想.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）总结交流：公式的特点.等号左边等号右边符号特征
（2）先用公式计算下列各题，再用多项式乘法法则验证.
①（2x－3）
2
；②（x+y）
2
；③（m+2n）
2
；④（2x－4）
2

222
解：①4x-12x+9 ②x+2xy+y
③m
2
+4mn+4n
2
④4x
2
-16x+16

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第110页例3、例4.
（2）自学时间：8分钟.
（3） 自学方法：认真观察例题中如何运用公式，分清题目中相当于公式中
a、b的数或式是什么.
（4）自学参考提纲：
①式子（4m+n）
2
中，4m看作公式中的a,n 看作公式中的b，所以（4m+n）
2
=（4m+n)(4m+n)=16m
2
+8mn+n
2
.
11
11
②（y－）
2
=y
2
－2·y·()+=y
2
-y+.
44
22
2 2
③因为102=100+2，所以102=(100+2)=(100)
2
+2×1 00×2+(2)
2
=10404.
④怎样计算998
2
？说说你的想法.
用完全平方公式，将998写成1000-2，则
998
2
=(1000- 2）
2
=1000
2
-2×1000×2+2
2
=9960 04.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否从例题中学会正确运用公式的思考过程.
②差异指导：帮助学困生对照公式怎样确定“a”、“ b”.
（2）生助生：完成自学提纲，同组内互相检查、交流帮助纠错.
4.强化：
（1）应用公式时，先确定公式中的“a”、“b”是什么？
1
（2）运用完全平方 公式计算：①（－x－y）
2
；②（2y－）
2

3

- 2 -
1
4
y+.
9
3
（3）思考：（a +b）
2
与（-a－b）
2
相等吗？（a-b）
2
与（b- a）
2
相等吗？为
什么？
相等.相等.因为互为相反数的数或式子平方相等.
解:①x
2
+2xy+y
2
;②4y
2
-

1.自学指导：
（1）自学内容；教材第111页例5上面的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真看课本，并结合自学参考提纲进行学习，注 意添加括
号时，括号前面是正号和负号时，括号内各项符号的变化.
（4）自学参考提纲：
①整式中添加括号的依据是什么？
②添括号法则是怎样的？
③如何验证你添括号的正确性？
④在等号右边的括号内填上适当的项.
a+b-c=a+（b-c）;a+b-c=a-（c-b）;a-b+c=a-(b-c)
a-b-c=a-（b+c）;a+b+c=a-（-b-c）;a+2b-6c=a+2(b-3c).
2.自学：学生可结合自学提纲进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生对添括号法则是否学会，会不会检验添括号的正确性.
②差异指导：对学生进行个别指导：括号前为负号时，添括号后注意什么.
（2）生助生：学生之间相互指导.
4.强化：
(1)添括号法则.
（2）括到括号内的各项符号的变与不变与什么有关.
(3)注意各项都变或都不变的意思.
(4)判断下列运算是否正确，若不正确，请改正过来.
cc
①2a-b-=2a-（b-）②m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）
22
③2x-3y+2=-（2x+3y-2）④a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）
c
解：①不正确，应等于2a-b+
2
②不正确，应等于m-(3n-2a+b)
③不正确，应等于-（-2x+3y-2）
④不正确，应等于（a-2b）-（4c-5）

1.自学指导：
（1）自学内容；教材第111页例5的内容.
（2） 自学方法：认真看教材，注意观察多项式相乘的特点，以便合理地添
括号选用相应的公式.
（3）自学参考提纲：
①计算（x+2y-3）（x-2y+3）时，第一步将整式变形为［ x+(2y-3)］［x-(2y-3)］，

- 3 -
目的是什么？本题计算过程中，先后运用了几个公式？本题对应用公式计算有何
启示？
②计算(a+b+c)
2
时，例题是写成［(a+b)+ c］
2
， 把a+b当作完全平方式中
的a，把c当作完全平方式中的b，还有没有其它的添括号的方法计算本题， 试
试吧！
③运用乘法公式计算（1）(a+2b-1)
2
;（2）（2x+ y+z）(2x-y-z).
解：（1）原式=（a+2b）
2
-2（a+2b）+12
=a
2
+4ab+4b
2
-2a-4b+1;
（2）原式 =[2x+（y+z）][2x-（y+z）]=4x
2
-(y+z)
2
=4 x
2
-y
2
-2yz-z
2
.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否灵活运用添括号的法则添加括号，并运用完全平
方公式计算.
②差异指导：对学生学习过程中存在的问题予以分类指导.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）总结交流：在乘法运算时，一定要观察多项式的特点，选用对应的公
式进行运算. （2）添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，
运算前后代数式的值都 保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号是否
正确.
（3）练习：计算
①(a+b+1)(a+b-1); ②(2x-y-3)
2
.

解：①原式=a
2
+2ab+b
2
-1;
②原式=（2x ）
2
-2x·（y+3）+(y+3)
2
=4x
2
-2xy -6x+y
2
+6y+9
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学习
体会.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、收效及不足进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时教学 重点是引导学生观察分析完全平方公式的结构特征，教师可组织
学生独立观察，再在小组内交流，最后由 教师归纳评点，以便学生认识与完全平
方公式相关的所有变式.



一、基础巩固（第1、2、3、4、5题每题8分，第6题20分，共60分）
1.（-3x-1）
2
=9x
2
+6x+1; （-2x+5）
2
=4x
2
-20x+25;
14
132 9
2.（x-y-1）
2
=x
2
+y
2
-x-xy +2y+1; (x-y)
2
=x
2
-xy+y
2
.
49
24316

- 4 -
3.（x+y）
2
-4xy=（x-y）
2
99.8
2
=(100-0.2)
2
=9960.04
4.（1）若（x-5）
2
=x
2
+kx+25,则k=-10;
（2）若4x
2
+mx+9是完全平方式，则m=12.
5.下列各式中，与（x-1）
2
相等的是（B）
A.x
2
-1 B.x
2
-2x+1 C.x
2
-2x-1 D.x
2

6.利用乘法公式计算：
（1）(a－b+2c)
2
; （2）（-2x-y）
2
;
（3）（x+y-z）（x-y+z）;（4）(a+b +c)
2
－(a－b－c)
2
.
解：（1）原式=a
2< br>+b
2
+4c
2
-2ab+4ac-4bc;
（2）原式=4x
2
+4xy+y
2
;
（3）原式=x< br>2
-(y-z)
2
=x
2
-y
2
+2yz- z
2
;
（4）原式=(a+b+c+a-b-c)(a+b+c-a+b+c)=2 a·（2b+2c）=4ab+4ac

二、综合应用（每题10分，共20分）
7.化简求值：［2x
2
-（x+y）（x-y）］［（-x-y）（y-x）+2y
2
］,其中x=1，y=2.
解：原式=（2x
2
-x
2
+y
2
）（x
2
-y
2
+2y
2
）
2224224
=(x+y)=x+2xy+y
当x=1,y=2时，原式=1+8+16=25.
8.已知a+b=-7，ab=12，求a
2
+b
2
-ab和 (a－b)
2
的值.
解：a
2
+b
2
-ab=( a+b)
2
-3ab=(-7)
2
-3×12=13.
（a-b）
2
=(a+b)
2
-4ab=(-7)
2
-4×12=1.

三、拓展延伸（每题10分，共20分）
9.已知a+b-c=5，a-b+c= -3，求a
2
-b
2
+2bc-c
2
的值.
解： a
2
-b
2
+2bc-c
2
=a
2
-(b -c)
2
=（a+b-c）（a-b+c）
=5×（-3）=-15.
1
11
10.已知x+=2,求x
2
+
2
和x- 的值.
x
xx
1
1
解：(x+)
2
= x
2
+
2
+2=4
x
x
1
∴x
2
+
2
=2，
x
1
2
∴x+
2
-2=0，
x
1
∴(x-)2=0，
x
1
∴x-=0.
x



- 5 -