股海网公式三维旋转矩阵的计算

2020年9月23日发(作者：荣晋)
三维旋转矩阵的计算
旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候 有改变向量的方向但不
改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。
在三维空间中，旋转变换是最基本的 变换类型之一，有多种描述方式，如Euler
角、旋转矩阵、旋转轴旋转角度、四元数等。本文将介绍 各种描述方式以及它
们之间的转换。


1. 旋转矩阵

用一个3阶正交矩阵来表示旋转变换，是一种最常用的表示方法。容易证明，3
阶正交阵的自由度为3 。注意，它的行列式必须等于1，当等于-1的时候相当
于还做了一个镜像变换。


2. Euler角

根据Euler定理，在三维空间中，任意一种旋转变换都可以 归结为若干个沿着
坐标轴旋转的组合，组合的个数不超过三个并且两个相邻的旋转必须沿着不同
的坐标轴。因此，可以用三个沿着坐标轴旋转的角度来表示一个变换，称为
Euler角。旋转变换是不 可交换的，根据旋转顺序的不同，有12种表示方式，
分别为：XYZ、XZY、XYX、XZX、YX Z、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、
ZYZ，可以自由选择其中的一种。对于同一 个变换，旋转顺序不同，Euler角也
不同，在指定Euler角时应当首先约定旋转顺序。

2.1 Euler角 转化为 旋转矩阵

不妨设先绕Z轴旋转γ，再绕Y轴旋转β ，最后绕X轴旋转α，即旋转顺序为
XYZ，旋转矩阵


3. 旋转轴旋转角度

用旋转轴的方向向量n和旋转角度θ来表示一个旋转，其中


θ>0表示逆时针旋转。

3.1 旋转轴旋转角度 转化为 旋转矩阵

设v是任意一个向量，定义


如下图所示


这样，我们建立了一个直角坐标系
设u为v绕轴旋转后得到的向量，则有

。


R即为旋转矩阵。进一步可表示为


4. 单位四元数(Unit quaternions)

四元数由Hamilton于1843年 提出，实际上是在四维向量集合上定义了通常的
向量加法和新的乘法运算，从而形成了一个环。



q称为单位四元数，如果||q||=1。一个单位四元数可以表示三维旋转。用 单位
四元数表示旋转可以保持一个光滑移动的相机的轨迹，适合动画生成。

4.1 旋转轴旋转角度 转化为 单位四元数

根据旋转轴n和旋转角度θ，得到单位四元数q


4.2 单位四元数 转化为 旋转轴旋转角度


4.3 单位四元数 转化为 旋转矩阵


4.4 四元数的性质

定义四元数的逆、乘法和除法，如下所示


根据该性质，我们可以对两个旋 转变换q1和q2作线性插值，这相当于在四维
空间中的超球面上对点q1和q2作球面线性插值。

也可以按下面的方法计算