初一数学公式大全总结极差法和贝塞尔公式的比较

2020年9月25日发(作者：赵邦斌)
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标准不确定度的A类评定定义为:“用对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度 ”。国家计
量技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》中介绍了两种A类评定的 方法，贝塞尔法和极
差法。
1.贝塞尔法
当在重复性或复现性条 件下，对被测量
X
进行
n
次独立观测。若得到的测量结果分别为
x< br>1
，
x
2
，……，
x
n
，
n
次测量的平均值为
和实验标准差
s
(
x
i
)。
。于是用贝塞尔公式可以求出单次测量结果
x
i
的实验方差
s
(x
i
)
2

2.极差法

当在重复性或复现性条件下，对被测量
X
进行
n
次独立观测。若
n< br>个测量结果中最大值
和最小值之差为
R
(称为极差)，在可以估计
X< br>接近正态分布的条件下，单次测量结果的实验标准差
s
(
x
i
v
)
可近似地表示为:

s
(
x
i
)=
R

C
=
u
(
x
i
)
式中系数
C
为极差系数。极差系数之值与测量次数
n
的 大小有关。表1给出极差法的极
差系数和自由度与测量次数的关系。


既然随机变量
X
的标准偏差可以用两种方法得到，就不可避免地会提出两种 方法孰优孰劣
的问题。无疑，极差法具有计算简单的优点。但在计算机应用已经十分普及的今天，用贝塞 尔公式计
.
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算也已变得相当容易。因此关键问题还在于用何种方法估算得到的不确定度更为准确。
表面上看来，用贝塞尔公式进行计算时使用了全部
n
个测量结果，而极差法只用了一个极大值和一个极小值，其余数据均弃之不用，因此用贝塞尔法得到的实验标准差应该比极差法更为可靠。
比较两种方法的自由度也可以看出，极差法的自由度比贝塞尔法小(贝塞尔法的自由度为
n
-1 ，而极差
法的自由度<
n
-1)。于是可以得到同样的结论，贝塞尔法比极差法更为可 靠。
但实际上问题并没有这么简单。根据定义，用标准偏差表示的不确定度称为标准不确定度 。
因此从理论上说，应该计算的是标准偏差
σ
，而不是实验标准差
s
。但标准偏差是一个总体参数，也
就是说，要进行无限多次测量才能得到。在实际工作中只能用样本参数 来代替总体参数，即用实验标
准差s来作为标准偏差
σ
的估计量。理论上可以证明，实 验标准差
s
并不是标准偏差
σ
的无偏估计
量。这就是说，当用实验标 准差
s
来代替标准偏差
σ
时，除了实验标准差
s
本身是一个 随机变量外，
它的数学期望值(即无限多次测量结果的平均值)相对于标准偏差
σ
还有 一个与测量次数有关的系统性
偏差。测量次数越少，其系统性偏差就越大。因此可以对贝塞尔公式作一无 偏差的修正。经过无偏差
修正后的贝塞尔公式为:

上式中修 正因子
M
n
的数值见表2。由表2可知，当测量次数
n
≤6时，随着 测量次数减少，偏
离系数
M
n
将明显加速偏离1。

也可以分别计算出用贝塞尔公式和极差法得到的实验标准差的相对标准不确定度，其计算结果见表3。由表3可以看出，当测量次数
n
=10时，两种方法得到的实验标准差准确程度几 乎相同。当
n
>10
时，贝塞尔法优于极差法；当
n
<10时，极差 法优于贝塞尔法。至于修正的贝塞尔公式，相比而言虽然
最为准确，但因比较麻烦实际上很少使用。这就 是为什么国家计量技术规范JJF1059-1999中在给出极
差系数及自由度表后指出“一般在测量 次数较小时采用该法”，以及国家计量技术法规统一宣贯教材
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《测量不确定度评定与表示指南》中同时还指出“测量次数以4～9次为宜”。



上面的分析，仅是针对实验标准差而言的。在大部分的测量不确定度评定中，测 量不确定度A类评定
仅是其中的一个或几个分量。他们还将与其他B类评定的分量合成，才能得到合成标 准不确定度。合
成的方法是方差相加。虽然实验标准差
s
并不是标准偏差的无偏估计量 ，但却可以证明实验方差
s
是
总体方差
σ
的无偏估计量。因此，若A 类评定需要和其他B类分量合成，且A类评定分量不占优势时，
则无论测量次数的多少，贝塞尔法将优于 极差法。
因此笔者认为结论应该是:
(1)当A类评定不确定度分量不是 合成标准不确定度中惟一占优势的分量时，则无论测量次数
多少，贝塞尔法优于极差法。
(2)当A类评定不确定度分量是合成标准不确定度中惟一占优势的分量时，则两种方法的
优劣与测量次 数有关。当测量次数n<10时，极差法优于贝塞尔法；当测量次数n≥10时，贝塞尔法优
于极差法。
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