五年级上册数学的公式折射率公式的修正

2020年9月25日发(作者：田桂英)
第
28
卷 第
5
期


Vol .

28 No . 5
广 东 教 育 学 院 学 报


ucat

st

J o ur nal of Gua ngdo ng Ed io n In i

t ut e
2008
年
10
月


Oct . 2008
折射率公式的修正

林洽武

(
广东教育学院 物理系
,
广东 广州
510303
)


n
θ
si
1
摘要
:
在通常情况下
,
我们熟悉的折射率公式
n =
=
ε
是在一定条件下才成立
,
当光通

r
si n
θ
2

过介质的电导率不为常数或介质有吸收时
,
此公式不再适用
,
应利用麦克斯韦方程组及介质的边界


n
θ
si
1

条件对折射率公式
n =

=
ε
进行修正
.

r
si n
θ
2

关键词
:
折射率
;
介质
;
相对介电常数

中图分类号
:
O 414
文献标识码
: A
文章编号
:1007 - 8754
(
2008
)
05 - 0067 - 03

引言


折射率是光学中的一个最基本的概念
,
也是光学材料一个重要的参数
,
反映了光经过介质时
,
其波矢的
变化情况
(
如图
1
)
,
使我们很方便地了解到光在通过不同介质界面时发生的变化
.
使用折射率公式
[
1
]
n =
si n
θ
1

=
ε
r
要特别小心
,
它是有一定的使用条件
,
只有在满足一定的条件下
,
即光波的入射的介质平面是一

si n
θ
2

个无限大的平面
,
光波是平面波
,
介质对光没吸收
,
介质的电导率是一
个常数等四个条件
,
这时公式
n =

n
θ
si
1
=
ε
才成立
.
利用麦克斯韦

r
si n
θ
2

方程组可对它进行进一步推导
,
得到更普遍适用的公式
.
下面就折射


n
θ
si
1
率公式
n =
=
ε
的一些问题进行讨论
,
并推导出更一般的折射

r
si n
θ
2

率公式
.

1
折射率的一般公式的推导

光是电磁波
,
它的传播行为必然满足麦克斯韦方程组
,
因此首先

图
1
折射图
利用麦克斯韦方程组
,
推导光波在介质中的波动方程
,
从而将进一步


推导光在经过介质界面时的折射率情况
.

×?
E = -

B
5?
5
t

ρ
=
0
由麦克斯韦方程组
[ 2 ]

J
?
=
σ
?
E

?
?
+
5
D
×
H
?
= J
,
5
t
,
物质方程
D
?
=
ε
?
E
·
D
?
=
ρ

B
?
=
μ
H
?
·
B
?
=
0

2

×?得 ×
(
E
)
= -

5
(


·?×
B
?
)
,
即 ×
(
E
)
-
5
t

5
J
με
5
??
E = -
(
μ
E
)
,

0
?
+
0
5
t
5
t
化简后得到电场的波动方程

2

2
5 5
σ
?
ε
?
E -
μ
?
E -
μ
E =
0
.

00
5
t
5
t
2

(
1
)


收稿日期
:
2008
-
03
-
18

若在真空中
σ
=
0
,
介电常数
ε
为实数
,
则上式成为亥姆霍兹方程
.
由于我们考虑的介质一般都有吸收
,
且
σ

不为零
,
因此相对介电常数
ε
r
为复数
,
虚部表示吸收部分
.
则可令
ε
r
=
ε
r
+
ε
i
r
.
我们假定 ?
E
为平面波
,
则
ω
-
i
t [
3
]
令 ?
E
(
r , t
)
=
?
E
(
r
)
e
,
将这个式子代入
(
1
)
式得


2
5
ωω
ω
2
-
i
t-
i
t
)
2
σ
(
-

ε
(
-

i
ω
)
5
?
i
ω
E
(
r
)
e
-
i
t

-
μ
?
E
(
r
)
e

-
μ
E
(
r
)
e

=
0
,
即

00
2
?
5
t
5
t

2 2
ω
?
ε
ω
?
σ
(
2
)

+
μ
E
(
r
)
0
=
0
.
?
E
(
r
)

+
i
μ
0
E
(
r
)



1

r


2
εω
2
ε
ω
?
σ
又由
ε
=
ε
,
代入
(
2
)
式得

=
0
,
?
E
(
r
)

E
(
r
)

+
2
?
E
(
r
)

+
i
μ
0
r
, c =

0
c
ε
μ

00
整理得


2
εω
r
2
(
( )
ω
)
?
(
3
)

?
E r
+

2
+
i
μσ
E
(
r
)

=
0
.
0
ε
将
ε
r
=
ε
r
+
i
r
代入
(
3
)
式
,
并令
k
2
2

c
=

ε

ω
r

c
2

2
+
(


ε
r
ω
c
2
2
ω
)
i
,
σ
+
μ
0
(
4
)

令

α
?
+
i
?
,
?
k
2

=
β
2
则
(
3
)
式可写成
2
?
E
(
r
)
+ k
2
?
E
(
r
)
=
0
.
- i
ω
t - i
?
k
·?
r
- i
ω
t
β
则得光在介质中的传播方程可写成 ?
E
(
r , t
)

=
?
E
(
r
)
e
= E
0
e
2
e
由 ?
k
2
,
?
,
α
?都有
x , y , z
分量
,
因此得
k
2 x
=
β
x
+
α
x
i
, k
2 y
=
β
y
+
α
y
i
, k
2 z
=
β
z
+
α
z
i
,
ωββ
)
·
(
?
ω
-
i
?
k
2
·?
r
-
i
t -
i
(
α
i
?
+
?
+
?
z +
?
y +
?
x
)
-
i
t
=
E
0
e
z z x
e e
,
即
光在介质中的传播方程为 ?
E
(
r , t
)
=
E
0
e
β
x
)
- i
ωβ
-
α
z - i
(
β
z +t -
α
z - i
(
?·?
r -
ω
t
)
?
E
(
r , t
)
=
E
0
e
z
e
z x
e
=
E
0
e
z
e
,

并且有

2 2 2 2
βα
)
=
β
-
α
+
2i
βα
k
2
=
(
?
+
i
??·?
,
由
(
8
)
与
(
4
)
比较可得



2
ε

2
ε
r
ω
r
ω
2
2

α
=
βω
.
2
β

-
α
= ,
2

2
+
μσ
0
cc
(
5
)

(
6
)

(
7
)

(
8
)

(
9
)

ω

θ

又如图
1
,
由边界条件
[
4
]
可知
k
1
x
= k
1
x
= k
2 x
= k
1
si n
θ
1
=
si n
1
,
c
α
所以由
(
6
)
式与上式比较
,
可得
k
2 x
=
β
x
+
i
x
= k
1
sin
θ
1
,
可得
α
x
α
?
=
α
?
z
,
β
?
=
β
?
x
+
β
?
z
.

由
(
10
)
式代入
(
9
)
式得


r
2


ε

ω
ω
2
2


2
+
μσ
αβ
β
ωβ
+
β
=
si n
θ
1
,
2
z
x

z
=
0
,
x

c
c
α
=
0
,
=
0
,
并且

= 0
又因为
k
无
y
分量
,
所以
β
y

y

(
10
)



=
-
α
z
2
z

ε
r
ω
c
2
2
,
(
11
)

由
(
11
)
式三个方程联立解得


ω
2 2
=
(
si n
θ
β
1
)

x
c
β
z
2
2


ω


2
ω
1
(
ε
n
2
θ
=
1
)

r
2
-
2
si
2
cc

1
+
2

2

r
2 2
εω
ω


2
ω
22


n
θ
(
ε
ω
+
)
2
σ
+
(
μ
1
)

r
0
2
-
2
si
cc
c
,
(
12
)

2 2



2
ω

2

r
2 2
ε ω
ω


2
ω
ω
1
(
1
2
2

2
-
2

si n
θ
ε
(
ε
ω
+
)

2
σ
α
si n
θ
= - +
+
(
μ
1
)

1
)

r r
z
0
2
-
2
2 2
c
cccc

n
θ

c

c

c

ω
si
1

2
β
x
2
+
β
=
代入折射率公式可得

折射率定义
n =

= =
β
=
,
相速度
v
z

ω ω β
si n
θ
v
2


si n
θ
1
n = =
si n
θ
2

2
c
ω
(
si n
θ
1
)

c

ω
2

2

ω


2
ω
1
(
1

n
2
θ
ε
-
+ +
r
1
)
2 2
si
2 2
cc
=
2
ω
(
ε
r


2
c
2
-

2
ω

n
2
θ
1
)
2
si
c
2
ω
+
σ
+
(
μ
0
ε ω


r
)
2 2
2
c
即

(
13
)


n
θ
si
1

n =
si n
θ
2


1
(
ε

r
-
si n
2
θ
)
1

+
1
si n
θ
1
+
2 2
2
(
ε
r
-
si n
2
θ
)
+
(
1


σ
+
ε
)

r
ε
0
ω
2
,



5
期

第林洽武
:
折射率公式的修正

69
(
13
)
式即为光通过介质界面时折射率的一般形式
.

2

对折射率的一般形式的分析比较


n
θ
si
1

由
(
13
)
式
n
=

si n
θ
2

=

1
(
1
ε

r
-
si n
2
θ
)
1
si n
θ
1
+
+
2 2
2
(
ε
r
-
si n
θ
)
2
2
2
1

+
(
-

σ
2
εω
0

+
ε
)

r
2
2
,
-
si n
θ
1
)
;

2

σ
当

+
ε
r
ν
ε
r

ε
0
ω
时
,
表达式中
1


2
(
ε
r

-
si n
θ
1
)

22
+
(

+
ε
r
)



σ
ε
0
ω
1
≈

22

2
(
ε
r

si n
θ
1
)

=
当
σ
和
ε
都等于零时
,
ε
r
将以上式代入
(
13
)
式得
n =
εε
=
ε
r
+
i
r
=
r


1
,
表达式中

2
(
ε
r

-
si n
θ
1
)

+
(

+
ε
r
)


σ

2
ε
0
ω

1
(
ε
r

2

1
ε

=
(
r
2
-
si n
θ
1
)
.

2

1
(
2
1
(
ε
r
-
si n
2
θ
)
1
ε

r
-
si n
2
θ
)
1
.
r
si n
θ
1
+

+

=
ε
r
=
ε
2 2
此式为我们常用的折射率公式
.
通过利用麦克斯韦方程组及物质方程
,
可以推导得到折射率的更一般的表达

式 ———
(
13
)
式
.
我们常用的折射率公式是
(
13
)
式在某些条件下取的近似表达
.
=

n
θ
si
1

si n
θ
2

3
总结

从上面的分析推导可以得到
,
(
13
)
式是从麦克斯韦方程推导得到的
,
它考虑了介质的吸收情况及介质
的电导率不为零的情况
,
所以它更适合用于光在普遍介质中传播时的折射率求解
.
以前我们使用的折射公式

ε
都等 都是在没有考虑这两种情况下得到的
,
即是说
(
13
)
式更具有普遍性和更广的适用性
.
当
(
13
)
中的
σ
和

n
θ
σ

si
1

或者
,
当满足条件

+
ε

r
ν
ε

r
,
(
13
)
式

=
ε
r
=
ε
.
于零时
,
将简化成我们熟悉的折射率公式
n =
r
εω
si n
θ
2

0


n
θ
si
1

也可以近似成
n =

=
ε
r
=
ε
.
r
同时
,
由
(
7
)

式我们可以知道
,
电场在进入介质时存在着衰减项

si n
θ
2

-
α
z
E
0
e
z
,
即其振幅将随着
z
轴的增大而快速衰减
,
而且衰减程度只与进入介质的垂直距离有关
.
最后
,
以上讨
论的是介质相对于光束是一个无限大的平面
,
且介质中不存在自由电荷密度的情况
,
若当平面缩小到接近光
波的波长时
,
光将产生衍射
[
5
]
等现象
,
此时
,
折射率公式不再适用
.
参考文献
:
[ 1 ]
姚启钧
.
光学教程
[ M ] .
北京
:
高等教育出版社
,1989 :165 .

[ 2 ]
郭硕鸿
.
电动力学
[ M ] .
北京
:
高等教育出版社
,1998 :134 - 145 .
[ 3 ]
梁昆淼
.
数学物理方法
[ M ] .
北京
:
高等教育出版社
,1998 :9 .
[ 4 ]
赵建林
.
高等光学
[ M ] .
北京
:
国防工业出版社
,2003 :53 .
[ 5 ]
谢甫珍
,
文光俊
,
谢康
.
推导光栅衍射暗纹和次级亮纹位置公式的一种新方法
[ J ] .
激光杂志
, 2005 , 26
(
6
)
:47 - 48 .

An Amendment of Ref ract ive In dex Formula
L IN Qia
2
w u
(
Dep t . of Physic s , Gua ngdo ng Educatio n In stit ut e , Gua ngzho u , Gua ngdo ng , 510303 , P. R . Chi na
)


Abstract :U nder no r mal ci rc um st a nce s , t he ref ractive i nde x w hich we a re f a milia r wit h , i s a fo r mula
t hat wo ul d no t set up e xcep t o n cer t ai n co nditio n s. A nd t he fo r mula wo ul d no t be app lica ble w he n t he
co nductivit y of t he me di u m w hic h t he li ght get s t hro ugh i s no t a co n st a nt o r t he medi um i s a b so r bed . We
sho ul d f ur t her deduce wit h Ma xwell equatio n s a nd bo u nda r y co nditio n s of t he me dia , t he n a me nd t he
ref ractive i nde x fo r mula .
Key words :Ref ractive Inde x me di um relative p e r mit tivit y