公式有哪几种两个平面垂直的判定和性质

2020年9月26日发(作者：管锡仁)
两个平面垂直的判定和性质
知识要点
1．二面角是立体几何中一个重要 概念．同时也是一个难点，求二面角的大小可以转化为求二面角的平面角的大
小、平面角的确定与求法通 常有直接法和公式法等，其中直接法包括定义法、垂面法和三垂线定理等．公式法是运
用异面直线上任两 点距离公式和面积射影公式等．对于二面角的平面角的画法，在解题时应当根据具体情况适当选
用．
2.异面直线上任意两点间的距离公式，不仅可用于求值，还可用于证明两条异面直线问的距离是异 面直线上两点
距离中最小的．在公式的推导过程中还解决了如下问题：
(1)两条异面直线公垂线的存在性；
(2)证明了两条异面直线间的距离是异面直线上任意两点的距离中的最小值；
(3)两条异面直线总分别存在于两个互相垂直的平面内．
同时应用这个公式，也可以解决分别在二面角的两平面内两点的距离间题，以及求二面角的大小问题．
典型题目分析
例1．正方体中，E、F、G是A
1
A、CD、BC 的中点。求证：平面BEF⊥平面DGC
1
。
分析：确定EF在平面D
1
DCC
1
和ABCD上的射影，通过射影与DC
1
和DG的垂直 ，证
明EF分别与DC
1
和DG垂直，从而推证EF⊥平面DGC
1
，即可证明平面DEF⊥平面DGC
1
。
证明：取D
1
D中 点H，连结EH、HF。在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，
∵E、H、F是A
1
A、D
1
D、DC中点， ∴EH⊥平面D
1
DCC
1
，HF⊥DC
1
。
∵HF是EF在面D
1
DCC
1
上的射影，∴EF⊥DC
1
。
连结AF，在ΔADF和ΔDCG中AD=DC，∠ADF=∠DCG=90°，
∵G是BC中点，∴DF=GC，∴ΔADF≌ΔDCG，∴∠DAF=∠GDC。
∵∠ADG+∠GDC=90°，∴∠DAF+∠ADG=90°，∴ AF⊥DG。
∵EA⊥平面ABCD，AF是EF在平面ABCD上的射影，∴ EF⊥DG。
∵ DC
1
∩DG=D，∴ EF⊥平面DGC
1
。 ∵EF面BEF， ∴平面BEF⊥平面DGC
1
。
点评：对难以观察的两个平面的垂直与否的判 定，要紧扣定理，证明在一个平面内的一条直线与另一个平面垂
直。
例2．ΔABC的边BC
的面积是_________。
a，A点在a上的射影是A'，若ΔABC面积为S，二面角A- BC-A'的大小是θ，则ΔA'BC
分析：作ΔABC的高AD，讨论AD、A'D的关系。

1
解：作ΔABC的高AD，并连结A'D，则由三垂线定理的逆定理可知A'D⊥BC，
所以∠ADA'就是二面角A-BC-A'的平面角，∠ADA'=θ。
在RtΔADA'中，A 'D=ADcosθ，于是S
ΔA'BC
=BC·A'D=BC·AD·cosθ=S·cos θ。
点评：本题结论称为面积射影公式，它是一个很有用的结论。应仔细体会并注意应用。
例3．在空间，给出下列命题：
①一平面的两条斜线段相等，那么它们在平面上的射影长相等；
②一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和斜线在平面内的射影垂直；
③一条斜线和它在平面内射影所成的锐角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角；
④若点P到ΔABC三边所在的直线的距离相等，则点P在平面ABC上的射影是ΔABC的内心．
其中，正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：对于命题①，与射影长定理比较，缺条件“过平面外一点”，故不正确；对于命题②，
与三垂线定理比较，缺条件“在平面内”，所以②也不正确；命题③符合“最小角定理”，是真命
题；对 于命题④．当点P在ΔABC外时，其射影是ΔABC的旁心而非内心，从而④错，综上
可知应选A．
点评：正确应用定理，必须充分注意其结论成立的条件．
例4．在正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中，如图所示，AB =a， M、N分别为AB、A
1
C的中点。
(1)求点A到面A
1< br>DCB
1
的距离；(2)求直线AB到面A
1
DCB
1
的距离；
(3)求证：MN是异面直线AB、A
1
C的公垂线段，再求出其长度。
分析：仔细观察图形，认真分析所给的位置关系，寻求“垂直”关系。
(1)解：连结AD1
交A
1
D于E，则A
1
D⊥AD
1
，E为A
1
D中点。又AD
1
⊥A
1
B
1
，A1
B
1
∩A
1
D=A
1
，
由 直线与平面垂直的判定定理知，AE⊥面A
1
C。∴AE的长为点A到面A
1
C的距离，AE=a。
(2)解：∵ABA
1
B
1
，A1
B
1
面A
1
C，AB不在面A
1
C内，∴A B面A
1
C。由(1)知，AE⊥面A
1
C。
∴AE的长为直线AB和面A
1
C的距离，即a。
(3)证明：∵EN为ΔA
1
DC的中线位，∴EN
为矩形。 ∴ MN⊥AB，AEMN。根据(2)知AE⊥面A
1
C。
。即ENAM，且∠EAB=90°。∴四边形AMNE

2
∴ MN⊥面A1C，∵A
1
C面A
1
C，∴ MN⊥A
1
C。
因此MN是异面直线AB与A
1
C的公垂线段，其长为MN=
点评：(1)本小题也可由ΔA
1
MC和ΔANB为等腰三角形而得；
a。
(2)两条异面直线AB和A
1
C的距离就等于AB与过A
1
C 的且与AB平行的平面A
1
C间的距离。
例5．已知：如图，在棱长为a的正 方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E 是AA
1
的中点。求：平面BED
1
和平面A
1
B
1
C
1
D
1
相交所成的较小二面角的正切值。
分析 ：因为D
1
是平面BED
1
和平面A
1
B
1
C
1
D
1
的公共点，所以平面BED
1
∩平面A
1
B
1
C
1
D
1
=直线l， 且D
1
∈l。（如
果找到交线l，再确定二面角的平面角的位置，问题就可以解决了）

因为平面BED
1
∩平面ABB
1
A< br>1
=BE，且平面A
1
B
1
C
1
D
1
∩平面ABB
1
A
1
=A
1
B
1
，且A
1
B
1
∩BE=F。
过F和D
1
的直线即是平面BED
1
和平面A
1
B
1
C
1D
1
的交线，即是所求二面角的棱。
解：因为平面BED
1∩平面ABB
1
A
1
=直线BE则直线BE∩直线A
1
B
1
=F（把BE、A
1
B
1
看成BE、A
1B
1
两线段所在
直线）
∵ F既在平面BED
1
内，又在平面A
1
B
1
C
1
D
1
内，
∵ D
1
既在平面BED
1
内，又在平面A
1
B
1
C
1
D
1
内，
∴ 平面BED
1
∩平面A
1
B
1
C
1
D
1
= 直线D
1
F得到二面角B-D
1
F-B
1
，
∵ E是AA
1
的中点，∴A
1
E=AE，∠FA
1
E=∠ BAE=90°，∠AEB=∠A
1
EF，
∴ RtΔBAE≌RtΔA
1
EF， ∴ AE=， A
1
F=a， 过A
1
作A
1
G⊥D
1
F，G为垂足，
连 结EG，则A
1
G是EG在平面A
1
B
1
C
1D
1
内的射影
∵A
1
G⊥D
1
F，∴ EG⊥D
1
F，∴∠EGA
1
是二面角B-D
1
F-B1
的平面角，

3
在RtΔA
1
D
1
F中，∵ A
1
F=A
1
D
1
=a， ∠FA
1
D=90°， ∴ A
1
G=。
在RtΔA
1
GEk ，A
1
E=，A
1
G=，∴ tan∠A
1
GE=。
∵ ∠A
1
GE为锐角，∴ 二面角 B-D
1
E-B
1
即是所求二面角，且二面角B-D
1
F- B
1
的正切为。
例6．已知：如图所示，边长为a的正方形ABCD所在平面与边长为a的正方形ADEF所在平面互相垂直。
求：异面直线AE和BD的距离。（PR长度的最小值就是异面直线AE、BD的距离）
分析：异面直线的距离，可以看作是分别在两条异面直线上两点间的距离的最小值。所以也可以利用 求函数最
小值的方法，求异面直线间的距离。（注意学会这种求异面直线间距离的方法）
解：设P是AE上任意一点，过P作PQ垂直AD，垂足为Q，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD ∴ PQ⊥平面
ABCD，
过Q作QR⊥BD，连结PR，则QR是PR在平面ABCD内的射影，
∵QR⊥BD，∴ PR⊥BD，∴PR的长度是AE上任意一点P到BD的距离，
设AQ=x， 则QD=a-x。 在RtΔAPQ中，∠PAQ=45°，∠PQA=90°，AQ=x，∴PQ=x。
(P∈AE，R∈BD，PR的长度是AE、BD上任意两点的距离）
在RtΔDQR中，∠QDR=45°，∠DRQ=90°，QD=a-x，∴QR=(a-x)。
∵PQ⊥平面ABCD，QR平面ABCD，∴PQ⊥QR，∴∠PQR=90°，
在RtΔPQR 中，PR
2
=PQ
2
+QR
2
=x
2
+[ (a-x)]
2
∴PR=，
当x=时，PR取最小值，即异面直线AE和BD的距离等于。
（PR长度的最小值即是AE和BD的距离）

在线测试

4
选择题
1．


A、这样的
C、这样的
可以作无数个
不存在
B、这样的
D、这样的
，则下面结论正确的是（ ）
至少可作一个
至多只有一个
2．α，β，
①若α，β，
是不重合的三个平面，下面有4个命题：
两两相交，则有三条交线 ②若α⊥
=a，β∩
且β⊥，则αβ
∩β=，则α∩= ③若α⊥β，α∩=b， 则a⊥b ④若αβ，
其中错误命题的个数是（ ）。
A、1 B、2
，α∩
C、3
，β∩
D、4
=b且ab。则α与β的位置关系是（ ）。
C、α与β重合 D、α与β相交但不垂直
3．已知α⊥

=a，β⊥
A、αβ B、α⊥β
4．在直角坐标系中，已知A（2，3），B（-2，-3），沿x轴把坐标平面折成平面角为θ的二面角A- Ox-B，使
∠AOB=90°，则cosθ的值是（ ）。
A、 B、 C、 D、-
5．等腰RtΔABC中，∠B=90°，D，E分别是AC，BC的中点，沿DE把此 三角形折成直二面角，斜边被折成折线ADC'，则
∠ADC'等于（ ）。
A、100° B、120° C、135° D、150°
答案与解析
解析：
1．答案：D。
2．答案：C。当三个平面经过同一条直线时只有一条交线，所以①错；
正方体相邻的三个面满足②的条件，但结论不成立，所以②错；
满足③的直线a，b可以都与α和β的交线平行，所以③错；
∩β=，说明β，又αβ，故α。所以④正确，故选C。
3．答案：A。如图在平面α内作a'⊥a，在平面β内作b'⊥b，
∵ α⊥，∴a'⊥， ∵ β⊥，∴b'⊥， ∵ a'与a相交，b'与a不相交，
∴ a'，b'不重合。∴a'b'， ∴a'平面β，∵ ab，∴ αβ，
∴ a与a'相交， a与a'同在平面α内， ∴ αβ。

5
4．答案：C。如图(a)，作BE⊥x轴，AC⊥x轴，连OA，OB，则OA=OB=
如图（b），翻折后仍有OA=OB
，
，作CDBE，易知∠ACD为所求二面角的平面角，
BD=EC=4，AB=，AD=，AC=CD=3，
所以cos∠ACD=。故选C。

5．答案：B。依题意，设AB=BC=a，易证∠BEC'=∠ABC'=90°，BE=EC'=，
则BC'=AD=DC'=，AC'=，所以cos∠ADC'=-，故选B。

如何求二面角

求二面角的大小是立体几何的重点，也是高考的热点，更是学生 学习的难点，根据二面角及二面角的平面角的
定义，找到或作出二面角的平面角是解决问题的关键。关于 求二面角大小的常用方法介绍如下：
一 ：直接求法
求法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线。
直接作出二面角的平面角而求之（见图1中之∠BAC）。这一解法是所有解法
中最基本的方法。
例1．求正八面体相邻两个面所夹的二面角（如图2）。
略解：不妨设棱长为1。取BC中点M，则SM⊥BC，TM⊥BC，
∠SMT为所求二面角的平面角，在ΔSTM中，求得SM=TM=，ST=，cos∠SMT=-。
∴所求二面角为π-arccos。

6

的二面角的平面角。

求法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P棱及 另一个面分别引垂线PA、PB，连接AB，则∠PAB为所求
例2．一登山者从山脚下A点沿着与 山脚AB成a角的路线登至C点，CA与地面成b角，求山坡与地平面的夹
角θ。
略解：如图4，作CD⊥水平面，CB⊥AB，则∠CBD=θ，
由BC=ACsina，CD=ACsinb知sinθ==, ∴θ=arcsin()。

中∠MAN）。

求法三（作垂面法）作棱的垂直平面，则这个垂面与二面 角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角（图5
例3．自二面角内一点到二面角的两个面距离分别是2
略解：（见图5）由已知PM=2，PN=4，PA=4
、4，到棱的距离为4。求二面角的度数。
，可求出∠MAN=30°+45°=75°。
二、间接求法
求法四（ 投影法）一个平面a上的图形面积为S，它在另一个平面b上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为θ，
则S'=Scosθ或cosθ=。
当两平面图形不相交，或只交于一点，就可利用这一关 系式来求平面的夹角，而不
需要添线补面去作平面角了。例如，求柱体的截面和底面夹角常用此法。反过 来，
在二面角已知的情况下也可以求截面积的大小，或利用它来求锥体的侧面积。
说明：当S为多边形面积时，这一公式可用立几方法证明。在一般情况下，
可用积分方法处理得到。在这里，我们已将这一关系作为一种原理来应用了。
例4．已知菱形P QRS是正四棱柱AC
1
的截面，顶角∠SPQ=φ，求PQRS与底面ABCD的夹角（如图 7）。

7
略解：设菱形边长=a，则S
PQRS
=a< br>2
sinφ。设棱柱底面边长=b,则不难证明。
∴b=2asin(), b=a·sin()。
设所求二面角为θ，则cosθ=S
ABCD
S
PQRS
=b
2
a
2
sinφ=2a
2
sin< br>2
a
2
sinφ=tg。∴所求二面角为arccos(tg) 。

求法五（补角法）从二面角内一点向二面角的两个面分别引垂线，则这两条垂线的夹角与二面角的平 面角互补。
（见图5中，∠MAN=π-∠MPN）。
例5．正方体AC
1< br>，求二面角A
1
-D
1
B-C
1
（如图8）。
略解：易证B
1
A⊥面BA
1
D
2
，B
1
C⊥面BC
1
D
1
，又ΔAB
1
C为等边Δ， ∠AB
1
C=60°，
∴二面角A
1
-D
1
B-C
1
=180°-60°=120°。
求法六（异面直线法）
图9中，平面a、b相交成θ角，AC、BD分别在a、b上，
且与棱垂直。若AC=m，BD=n, CD=d，则有AB
2
=m
2
+n< br>2
+d
2
-2mncosθ，
故cosθ=。.........(1)
在已知二面角两个面上两点间距离（即|AB|）的情况下，可以用此公式来求θ。
说明：原来 的公式中θ理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角），故根据A、B的位置情况公式是
AB2
=m
2
+n
2
+d
2
±2mncosθ。但 二面角可以取钝角，故只需取“-”号得出公式（1）。
例6．矩形ABCD的两边AB=1，AD=，以BD为棱折成二面角，使AC=。求二面角A-BD- C的大小。

略解：如图10，作AE⊥BD，CF⊥BD，则AE=CF=

8
，EF=1，
故m=n=，d=1。两点距离AC=，由公式（1），
三、典型试题解法比较
例7．在正方体AC
1
中，E是BC中点，F在AA
1
上，且A
1
F∶FA=1∶2，求平面B
1
EF与底面A
1
B
1
C
1
D
1
所成的
二面角。
解一（投影 法）设E
1
为B
1
C
1
中点，则ΔA
1
B
1
E
1
为ΔFB
1
E在底面A
1
B
1
C
1
D
1
上的投影。
不妨设正方体棱长为1，则 在ΔFB
1
E中，B
1
E=，B
1
F=，EF=，
∴cos∠FB
1
E=,sin∠FB
1
E=, =×××=。
又=，∴cosθ===。∴所求二面角为arccos。

解二（三垂线法）如图12，设平面FB
1
E交AD于G，则FGB
1
E，
可知AG∶AF=BE∶BB
1
=1∶2，延长GF交D
1
A< br>1
延长线于H，作A
1
P⊥HB
1
，
则∠FPA
1
为所求的平面角。不妨设正方体棱长为6，则A
1
F=2。
∵ΔA
1
HF∽ΔAGF，∴A
1
H=A
1
F =1，HB
1
=，A
1
P=，
∴所求二面角为arctg。


9