什么是数组公式三角形面积由来的推导开题报告(湖南科技大学)

2020年9月28日发(作者：欧其)

兴义民族师范学院数学与应用数学专业开题报告

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报告设计




金露 学号
2
数学与应用数学 班级 数本二班

三角形面积公式的推导与探究
开题报告内容

一
·
选题意义:


三角形，看似简单明了的 一个图形，却饱含着引以许
多大数学家发愣的财富，在几何领域代数领域，或者是整
个数学界都 占据了举足轻重的地位。就拿勾股定理来说，

目前世界上证明的方法就达五百多种。想想在数学界有哪
一个定理的证明方法比之还多。

几何上讲:从小学到现在，我们学习了三角形的一些特
殊性质，如稳定性， 任意两边之和大于第三边，内角和是

180度。接着又学了全等三角形，相似三角形。重点学 了
三角形的‘四心’。斜边中线等于斜边一半，中位线，在立
选题背景及
体几何上三角 形的影子无处不在。

代数上讲:小学就学了三角形周长面积。初中学了勾股
选题意义（古
定理，高中三角函数。正余弦定理。知道任意两边及夹角，
知道两角及一边，知道 三边，都可以求出三角形面积,这丰
今研究现状，
富多样的三角学知识并非巧合，而是实至名归 。她确实有
那么多内涵。活生生的一个宝藏，钥匙流离失所，她不属
初步设想，待
于任 何人，她是千千万万数学，物理，天文，地理学家所
共同的结晶。

解决问题）


二
·
三角形发展背景:


三角形起源的时候人们主要研究的是三角形边与角
的关系，而这一关系很方 便的解决了许多天文学的知识（比
如说利用三角形的相似，可以测量日地距离，利用三角形
的边 角关系使得无法测量的山高水深变成可能等等，这些
都是我们所熟知的技巧）。所以很长的一段时期里， 三角学
归属在天文学里面，因为在天文学领域三角形发挥了不可
替代的作用，所以起初研究三角 形的大部分是天文学家，
如印度的阿拉伯的尔，阿耶婆多等人。
13世纪起，含于天 文学中的三角知识传入欧洲，并在
欧洲出现新的发展。1464年数学家雷基奥蒙坦著《论各种
三角形》，独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐
述，1595年，德国的皮蒂斯楚斯（1561 ~1613年）著《三
角学，解三角形的简明处理》，首次将拉丁文“trigonon（三
角 形）”和“metron（测量）”组合成trigonametriae，即
“三角形”。 14~1 6世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的
主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制，平面三
角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导，主
要的方法则是几何的。
< br>17世纪，函数概念的引入为三角函数成为三角学的基
本概念奠定了基础。1748年，欧拉在他 的《无穷分析引论》
中对三角函数和三角函数线作出明确区分，使全部的三角
公式能从三角函数 的定义中逻辑地得到，从而使三角函数
与几何脱钩。
1807年，法国数学家傅立叶 在研究热传导问题时，提
出把函数看作三角函数的无穷级数之和，三角函数就成为
调和分析的基 石，于是三角学成为分析学的一部分。
直到1631年，三角学传入中国。同年，德国传教 士邓玉函、
汤若望和明朝学者徐光启编译成《大测》一书。“大测者，观三角
形之法也。”可见 “大测”与当时的“三角学”的意义是一样的。
不过，“大测”的名称并不通行，三角在中国早期比较通 行的名称
是“八线”和“三角”。“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：
正弦线、余弦线 、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余
矢线，如1894年上海美华书馆出版的《八线备旨四 卷》和1906
年方克猷撰写的《八线法衍》等书都已记载。 “三角”这一名称
最早见之于1 653年薛凤祚和穆尼阁合著的《三角算法》。“三角”
一词指“三角学”或“三角法”或“三角术”。 事实上，直到1956
年中国科学院编译出版委员会编订《数学名词》时，仍将这三者同
义。

现在“三角术”和“三角法”已不常用。 三角学的
现代发展已经结束，随 着现代数学的综合性趋势加强，其
中的一些内容已分属于数学的其他学科，如三角函数可归
于分 析学，三角测量可归于几何学，三角函数式的恒等变
形可归于代数学。 从这个意义上说，作为独立的数 学分科
的三角学已渐渐消失，但作为刻画周期性现象的三角函数，
仍然发挥着巨大的作用。
三· 我的初步设想:

当然了，三角形的知识繁琐而丰富，我选择从其中 的
一个方面开展我的论文。就是三角形面积的推导和探究。
中小学生对于三角形面积公式是熟悉的 ,并能用公式
计算三角形的面积 但对于日常生活中有关面积 的测算却
时常会感到束手无策，其原因之一是对三角形面积公式的
由来及演变并不清楚 ,对其 中所含的数学思想认识不足，
数学课本在表述人类积累起来的成果时，为了课堂上便于
传授知识 ,采用严谨、简洁的手法表述数学知识，而这些
知识的来龙去脉就需要教师主动去学习去发现去总结，最
终能把这些面积的公式推导过程驻扎在心中，在上课时用
科学思维方法引导学生进行探索、分析 、研究 ,使他们重
新“发现”这些知识 ,形成数学观念,只有如此 ,才能促进
学生思维的发展、能力的培养和素质的提高。















一.论文撰写基本过程:
对于三角形的面积的计算公式，论文里主要出现以
下七个公式，分别是：
1. 已知三角形底a，高h，则 S＝ah2
2. 已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝12 *
absinC，即 两夹边之积乘夹角的正弦值。
3. 设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r
则三角形面积=(a+b+c)r2
4. 设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R
则三角形面积=abc4R

5. 在直角坐标系中，三角形ABC面积为
S=|AB×AC|2
即面积S等于向量AB与AC向量积的模的一半。
6.（海伦公式）
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形
的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)2
7.
海伦——秦九韶三角形中线面积公式:
S=√(a1+b1+c1)(a1+b1-c1)(b1+c1-a1)(a1+c1-b1)3
(其中a
1
，b
1
，c
1
分别是三角形三边上的中线)

我将对这七个公式进行逐一推导。把每一个公式的
由来理清弄懂。
论文撰写过
程中拟采取
的方法技巧

二.具体采取方法：

比如说对于第一个公式。知道三角形任一边和这边
上的高，大家都知道面积是ab2,却不去深入这个公式怎
么来的？

我认为人们认识事物总是遵循从特殊到一般的认
识规律，矩形是生活中常见并且应用广泛的简单图形 ,
它的面积等于底×高 ,由矩形面积公式可推导出其它
图形的面积公式。首先推导直角三角形的面积公式 。
设直角三角形两条直角边分别长a,b,两个这样的三角形
可以完整拼合为一个长和宽分别为 a,b的矩形，换言
之 ,一个矩形可以通过一条对角线分解为两个全等的直
角三角形。自然就得到了三角形中特殊的一类直角三角
形面积公式。那么对于一般三角形呢？我们都知道平行
四边形的面积是底*高吧。任意连接平行四边形的一条对
角线，也分得的两个全等的三角形，面积自然是 底*高
的一半了。

再比如说海伦公式，对于边长分别为a、b、c的三
角形的面积公式：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
(公式里的p为半周长： p=(a+b+c)2 )
在论文中将会细讲两种方法，一种是用到三角函数，
余弦定理等知识进行推导，另一种是根据向量知识，外
积与内积的关系推导。在这里我用第一种方法进行推
导：
其实很自然我们知道由边边边就能判断三角形
全等，也就是说知道三边那么这个三角形是确定了的，
一个确定的三角形面积当然是确定的。在这之前我们已
经理清S＝12 bcsinA，那么我们就利用这个式子，由三
角函数关系sin
2
A+cos
2
A=1把sinA换成√1-cos
2
A ，再
用余弦定理 把cos
2
A换成[(b
2
+c
2
-a
2
)2bc]
2
,通过化简就差
不多了。具体如下：
S=12bcsinA
=12bc√1-cos
2
A
=12 bc√1-[(b
2
+c
2
-a
2
）2bc]
2< br>
=14√(2bc)
2
-(b
2
+c
2
-a
2
)
2
=14√[(b+c)
2
-a][a-(b-c)
2
]
=√(a+b+c)2[(a+b+c)2-a][(a+b+c)2-b][(a+b+c)2-c]
=√p(p-a)(p-b)(p-c)
证完
(其中p是周长的一半)



提纲设计
：
1.对三角形面积公式现状分析。
2.学生对这些公式的认识与应用局限分析。
3.对三角形面积公式整理及推导的必要性和实用性分析。
4.具体的对所列的所有公式进行细致的分析推导。
5.谈谈自己推导心得，是否有新的发现。
6.总结并整理，进行论文反思。

论文撰
写提纲





论文计
划进度

时间安排
1.查阅资料（2014 年 3月 1 日 ——4月 1 日）
2.整理资料（2014 年 4月 2 日 ——4月15日）
3.论文初稿（2014 年 4月16日 ——5月20日）
4.论文修改（2014 年 5月21日 ——6月 1 日）
5.仔细检查（2014 年 6月 2 日 ——6月 7 日）
6.完稿打印（2014 年 6月 8 日 ——6月10日）
7.准备答辩.......





【1】德国的皮蒂斯楚斯（1561-1613年）著《三角学，
解三角形的简明处理 》.
【2】1464年数学家雷基奥蒙坦著《论各种三角形》.
【3】梅向明黄敬之主编《微分几何》第四版.
【4】上海美华书馆出版的《八线备旨四卷》.
【5】1653年薛凤祚和穆尼阁合著的《三角算法》.


参阅资料

【6】人教版有关三角知识的所有数学课本.
【7】由海伦-秦九韶公式分析数学史在中学教学中
的价值.
【8】秦九韶的‘三斜求积术’.
【9】欧几里得《几何原本》（文[1]）中的有关三角形
内切圆和相似三角形等内容并参考海伦对海伦公
式的纯几何证法（文[2]）.
【10】黄家礼《几何明珠》.
【11】毕达哥拉斯《毕氏定理》.
【12】数学知识全书——三角形面积和体积（吴新萃）.
【13】数学百科——谈三角形面积推导过程 .
【14】数学图书室——有关三角形知识总结.







签名：

年 月 日






签名：

年 月 日


指导老
师意见




系主任意见