牛顿幂公式内插法的计算公式

2020年9月28日发(作者：顾莉雅)
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内插法（Interpolation Method）
什么是内插法
在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时
租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的折现率，即租赁利率的方
法中，内插法是 在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数
的连续性原理，通过假设关于租赁利率的 租赁交易各个期间所支付的最低租金支
付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价 值之差的函
数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。
内插法原理
数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，
则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从
而P在点A、 B之间，故称“直线内插法”。
数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。
上述公式易得。A、B、P三点共线，则
(b-b1)(i-i1)＝（b2-b1)(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。
内插法的具体方法
求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出
租赁利率。
以每期租金先付为例，函数如下：
A表示租赁开始日租赁资产的公平价值；
R表示每期租金数额；
S表示租赁资产估计残值；
n表示租期；
r表示折现率。
通过简单的试错，找出二个满足上函数的点（a1，b1）（a2，b 2），然后，
利用对函数线性的假设，通过以下比例式求出租赁利率：
内插法应用举例
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内插法在财务管理中应用很广泛，如 在货币时间价值的计算中，求利率i，
求年限n;在债券估价中，求债券的到期收益率；在项目投资决策 指标中，求内
含报酬率。中级和CPA教材中都没有给出内插法的原理，很多同学都不太理解是
怎么一回事。下面我们结合实例来讲讲内插法在财务管理中的应用。
一、在内含报酬率中的计算
内插法在内含报酬率的计算中应用较多。内含报酬率是使投资项目的净现值
等于零时的折现 率，通过内含报酬率的计算，可以判断该项目是否可行，如果计
算出来的内含报酬率高于必要报酬率，则 方案可行；如果计算出来的内含报酬率
小于必要报酬率，则方案不可行。一般情况下，内含报酬率的计算 都会涉及到内
插法的计算。不过一般要分成这样两种情况：
1.如果某一个投资项目是 在投资起点一次投入，经营期内各年现金流量相
等，而且是后付年金的情况下，可以先按照年金法确定出 内含报酬率的估计值范
围，再利用内插法确定内含报酬率
2.如果上述条件不能同时满 足，就不能按照上述方法直接求出，而是要通过
多次试误求出内含报酬率的估值范围，再采用内插法确定 内含报酬率。
下面我们举个简单的例子进行说明：
某公司现有一投资方案，资料如下：
初始投资一次投入4000万元，经营期三年，最低报酬率 为10%，经营期现
金净流量有如下两种情况：（1）每年的现金净流量一致，都是1600万元；（2 ）
每年的现金净流量不一致，第一年为1200万元，第二年为1600万元，第三年为
240 0万元。
问在这两种情况下，各自的内含报酬率并判断两方案是否可行。
根据 （1）的情况，知道投资额在初始点一次投入，且每年的现金流量相等，
都等于1600万元，所以应该 直接按照年金法计算，则
NPV=1600×(PA，I，3)－4000
由于内含报酬率是使投资项目净现值等于零时的折现率，
所以 令NPV=0
则：1600×(PA，I，3)－4000=0
(PA，I，3)=4000÷1600=2.5
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查年金现值系数表，确定2.5介于2.5313( 对应的折现率i为9%)和
2.4869(对应的折现率I为10％)，可见内含报酬率介于9％和10 ％之间，根据
上述插值法的原理，可设内含报酬率为I,
则根据原公式：
(i2-i1)(i-i1)=( β2-β1)( β-β1).
i2 =10%，i1=9%，则这里β表示系数，β2=2.4689，β1=2.5313，
而根据上面的计算得到β等于2.5，所以可以列出如下式子：
（10%-9%）（I-9%） =（2.4689-2.5313）（2.5-2.5313），解出I等于
9.5%，因为企业的最低 报酬率为10%，内含报酬率小于10%，所以该方案不可行
根据（2）的情况，不能直接用年金法计算，而是要通过试误来计算。
这种方法首先应设定一个 折现率i1，再按该折现率将项目计算期的现金流
量折为现值，计算出净现值NPV1；如果NPV1＞ 0，说明设定的折现率i1小于该
项目的内含报酬率，此时应提高折现率为i2，并按i2重新计算该投 资项目净现
值NPV2；如果NPV1<0，说明设定的折现率i1大于该项目的内含报酬率，此时应< br>降低折现率为i2，并按i2重新将项目计算期的现金流量折算为现值，计算净现
值NPV2。
经过上述过程，如果此时NPV2与NPV1的计算结果相反，即出现净现值一正
一负的情 况，试误过程即告完成，因为零介于正负之间(能够使投资项目净现值
等于零时的折现率才是内部收益率 )，此时可以用插值法计算了；但如果此时
NPV2与NPV1的计算结果符号相同，即没有出现净现值 一正一负的情况，就继续
重复进行试误工作，直至出现净现值一正一负。本题目先假定内含报酬率为10%，则：
NPV1=1200×0.9091+1600×0.8264+2400× 0.7513-4000=216.8万
因为NPV1大于0，所以提高折现率再试，设I=12%, NPV2=1200×0.8929+1600< br>×0.7972+2400×0.7118-4000=55.32万
仍旧大于0，则提高折现率I=14%再试，NPV3=1200×0.8772 +16000×
7695+2400×0.6750-4000=-96.19万
现在NPV2 ＞0，而 NPV3＜0（注意这里要选用离得最近的两组数据），所
以按照内插法计算内含报酬率，设i2 =14%，i1=12%，则 β2=-96.19，β1=55.32，
β=0根据
（i2-i1）(i-i1)=( β2-β1)( β-β1)
有这样的方程式：（14%-12%）（i-12%）=（-96.19-55.32）（0-55.329）
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