欧根亲王公式道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式)1

2020年9月29日发(作者：米绘裳)
道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式)
内容：理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初 测控制测量、带状地形图测绘、中线测设
和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念 和测设方法；掌握圆曲线的
要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测 设方法；了解
虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支
距法和偏角法的计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；
了解 全站仪中线测设和断面测量方法。
重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和 偏角法的计算公式和测
设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法
难点：缓和 曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和
测设方法。
1 m: o0 H4 F Z' ^
§ 9.1 交点转点转角及里程桩的测设
一、 道路工程测量概述
分为：路线勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量
(road construction survey) 。
（一） 勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey)
分为：初测 (preliminary survey) 和定测 (location survey)
1、 初测内容：控制测量 (control survey) 、测带状地形图 (topographical map of a zone)
和纵断面图 (profile) 、收集沿线地质水文资料、作纸上定线或现场定线，编制比较
方案，为初步设计提供依据。
2、 2、定测内容：在选定设计方案的路线上进行路线中线测量 (center line survey) 、
测纵断面图 (profile) 、横断面图 (cross-section profile) 及桥涵、路线交叉、沿
线设施、环境保护等测量和资料调查，为施工图设计提供资料。
（二）道路施工测量 (road construction survey)
按照设计图纸恢复道路中线、测设路基边桩和竖曲线、工程竣工验收测量。
本章主要论述中线测量和纵、横断面测量。
二、中线测量 (center line survey)
1、平面线型：由直线和曲线（基本形式有：圆曲线、缓和曲线）组成.
2 、概念：通过直线和曲线的测设，将道路中心线的平面位置测设到地面上，并测出其里程。
即测设直线上 、圆曲线上或缓和曲线上中桩。
三、交点 JD(intersecting point) 的测设
（一）定义： 路线的转折点，即两个方向直线的交点，用 JD 来表示。
（二）方法：
1、等级较低公路：现场标定
2、高等级公路：图上定线——实地放线。
（三）实地放线的方法分类
1、放点穿线法
放直线点——穿线——定交点
（1） 放点
可用支距法（垂直于导线边的距离）、导线相交法及极坐标法进行。如下图：
6 x:
% @#
' Q3 w

1、2、4、6 点——用支距法； 3 点——用导线相交法； 5 点——用极坐标法
（2）穿线
如图，定出一条尽可能多的穿过或靠近直线上点 P1 、 P2 、 P3 的直线 AB 。
(3)定交点
将穿出的直线延长，得交点 JD 。正倒镜分中法：
1） 在 B 点架仪，盘左瞄准 A ，倒镜定 a1 ， b1 点；盘右瞄准 A 点，倒镜定 a2 ，
b2 点；取 a1 、 a2 点中点 a ， b1 、 b2 点的中点 b 。
2）同理可定出 CD 方向可定出 c 、d 两点。（骑马桩）。
3）将线段 ab 、 cd 相交，得交点 JD 。
{6 Q: U7 l6 p* h: {$$ P

2 拨角放线法——极坐标法
如图，在利用导线点或已测设的 JD ，计算测设元素（β， S ）——拨角，量边，定出 JD
位置。
四、转点 ZD(turning point) 的测设
1、定义： 当相邻两交点互不通视时，需要在其连线测设一些供放线、交点、测角、量距时
照准之用的点。
2、分为： 在两交点间测设转点、在两交点延长线上测设转点。
（1）在两交点间测设转点：
1）在 JD5 、 JD6 的大致中间位置 ZD' 架仪。瞄准 JD5 ，用正倒镜分中法定出 JD'6 。
2）测量出 a 、 b 距离。 有：
- ?9
3）计算 e 值，在实地量取 e 值，得 ZD 点。有：
4）在 ZD 点架仪，检查三点在一直线上。有：
（2）在两交点延长线上测设转点
* _& @0 f5 t' q V1 k: . J) W$$

如图，有：
$$ ~- H3 m8
五、转角 (turning angle) 和分角线的测设
5 N0 l3 C8 M- Q- M)
1、定义：指路线由一个方向偏向另一个方向时，偏 转后的方向与原方向的夹角。当偏转后
的方向在原方向的左侧，称为左转角；反之为右转角。
2、转角的测定
当β左 > 180°时，为右转角，有：αy= β左 -180°
当β左 <180°时，为左转角，有：αz=180°- β左
当β右 <180°时，为右转角，有：αy=180°- β右
5 ? q
& j3 g# y+ n
当β右 >180°时，为左转角，有：αz= β右 - 180°
4 T5 b. U4 D# ~: X( `
3、分角线的测定
若角度的 2 个方向值为 a 、 b ，则分角线方向 c=(a+b)2
六、里程桩 (mileage peg) 的设置
) J B2 d7 z( E' S& N, I
: E- |& X8 Q1 l$$ H X


又称中桩，表示该桩至路线起点的水平距离。如： K7+814.19 表示该桩距路线起点的
里程为 7814.19m 。分为整桩和加桩。
1、整桩。 一般每隔 20m 或 50m 设一个。
2、加桩 分为地形加桩、地物加桩、人工结构物加桩、工程地质加桩、曲线加桩和断链加桩。
（如：改 K1+100=K1+080 ，长链 20m 。）

§ 9.2 单圆曲线 (circle curve) 的测设
圆曲线测设的传统方法：主点测设——详细测设
一、主点 (major point) 的测设
1、曲线要素的计算

若已知：转角 α 及半径 R ，则：
切线长： ；
( S4 I9 uM3 l6 X)
曲线长：
外距：
切曲差：
2、主点的测设
（1）主点里程的计算

；
ZY 里程 =JD 里程 -T ； YZ 里程 =ZY 里程 +L
6 ]!
QZ 里程 =YZ 里程 -L2 ； JD 里程 =QZ 里程 +D2 （用于校核）
（2）测设步骤：
1）JDi 架仪，照准JDi-1 ，量取 T ，得 ZY 点；照准 JDi+1 ，量取 T ，得YZ.
2）在分角线方向量取E，得QZ点。
二、单圆曲线详细测设
有整桩号法和整桩距法。一般采用整桩号法。
1、切线支距法 (tangent off- set method)
(1) 以 ZY 或 YZ 为坐标原点，切线为 X 轴，过原点的半径为 Y 轴，建立坐标系。
(2) 计算出各桩点坐标后，再用方向架、钢尺去丈量。


特点： 测点误差不积累；宜以 QZ 为界，将曲线分两部分进行测设。
[ 例题 ] 设某单圆曲线偏角α =34°12′00″， R=200m ，主点桩号为 ZY ： K4+906.90 ，
QZ ：K4+966.59 ， YZ ：K5+026.28 ，按每 20m 一个桩号的整桩号法，计算各桩的切线支
距法坐标。
（一）主点测设元素计算
＝ 61.53m ；
=119.38m ；
=9.25m ；
=3.68m 。
（二）主点里程计算
ZY=K4+906.90 ； QZ=K4+966.59 ； YZ=K5+026.28 ； JD= K4+968.43 （检查）
（三）切线支距法（整桩号）各桩要素的计算表
曲线桩号
(m)
ZY K4+906.90
E5 K2 u1 |4 v @
4
ZY(YZ ）至桩 圆心角φ i
的曲线长
(m)
4906.9
4920
4940
4960
0
小数度
( ° )
0
切线支距法坐标
X i (m) Yi (m)
0 0

13.1 3.752873558 13.090635 0.428871637
33.1 9.482451509 32.949104 2.732778823
53.1 15.21202946 52.478356 7.007714876
1 N3 y3 B7 @9 z&}.
K4+920
K4+940
K4+960
QZ K4+966.59
K4+980
K5+000
K5+020
YZ K5+026.28
————
W4 g) w
+ o' {3
————
n E1 f
————— ————— —————
.6 F6 z2 B3 o

4980
5000
5020


G8 r5 h: x1 ?3 q

d; h

46.28 13.25824338 45.868087 5.330745523
26.28 7.528665428 26.20444 1.724113151
6.28 1.799087477 6.2789681 0.098587899
0

0 0 0 5026.28
注：表中曲线长
2、偏角法 (method of deflection angle)
。
分为：长弦偏角法、短弦偏角法。
（1）长弦偏角法
7 }0 P9 u7 R& W' g( _

% I+ g.
1）计算曲线上各桩点至 ZY 或 YZ 的弦线长 ci 及其与切线的偏角Δi 。
2）再分别架仪于 ZY 或 YZ 点，拨角、量边。
k+ u2 z- a: A) g
R0 w7 g u0 N d*
1、 大致横断面方向上的某变坡点 F' 处立棱镜，测出点 F' 的平面坐标。
2 、根据测站点 B 及点 F' 的坐标，计算出方位角αBF ，将其与方位角 αBA 相减，得角
∠FBA 。
2、 据中桩 A 处的切线角 φA 及切线支距法的 x 轴的坐标方位角，可得 A 处切线的方位
角，进而得到 A 处法线方向的坐标方位角 αAF 。
4、由 αAF 和 αAB 可得角∠ BAF 。
5、根据角∠FBA 、∠BAF 和边长 DAB ，可计算出 DBF 。
（2）平曲线、竖曲线、缓和曲线的定义：
A、平曲线
平曲线【horizontal curve】指的是在平面线形中路线转向处曲线的总称，包括圆曲线
和缓和曲线。连接两直线间的线，使车辆能够从一根直线过渡到另一根直线。道路中的平曲
线、 圆曲线是一回事，就相当于几何中的圆的一部分。一般来说，转弯半径是圆曲线的半径。
大小应该根据实 际情况确定。但是相关规范一般规定有最小的平曲线半径。
B、竖曲线
道路纵断面线 形常采用直线(又叫直坡段)、竖曲线两种线形，二者是纵断面
线形的基本要素。竖曲线常采用圆曲线， 可以分为凸形和凹形两种。
在道路纵断面上两个相邻纵坡线的交点，被称为变坡点。为了保证行车安 全、舒
适以及视距的需要，在变坡处设置竖曲线。竖曲线的主要作用是：缓和纵向变坡
处行车动 量变化而产生的冲击作用，确保道路纵向行车视距；将竖曲线与平曲线
恰当地组合，有利于路面排水和改 善行车的视线诱导和舒适感。
竖曲线技术指标主要有竖曲线半径和竖曲线长度。凸形的竖曲线的视距 条件较
差，应选择适当的半径以保证安全行车的需要。凹形的竖曲线，视距一般能得到
保证，但 由于在离心力作用下汽车要产生增重，因此应选择适当的半径来控制离
心力不要过大，以保证行车的平顺 和舒适。
道路纵断面线形常采用直线(又叫直坡段)、竖曲线两种线形，二者是纵断面线形
的 基本要素。竖曲线常采用圆曲线，可以分为凸形和凹形两种。
在道路纵断面上两个相邻纵坡线的交点 ，被称为变坡点。为了保证行车安全、舒
适以及视距的需要，在变坡处设置竖曲线。竖曲线的主要作用是 ：缓和纵向变坡
处行车动量变化而产生的冲击作用，确保道路纵向行车视距；将竖曲线与平曲线
恰当地组合，有利于路面排水和改善行车的视线诱导和舒适感。
竖曲线技术指标主要有竖曲线半径和 竖曲线长度。凸形的竖曲线的视距条件较
差，应选择适当的半径以保证安全行车的需要。凹形的竖曲线， 视距一般能得到
保证，但由于在离心力作用下汽车要产生增重，因此应选择适当的半径来控制离
心力不要过大，以保证行车的平顺和舒适。
C、缓和曲线
缓和曲线【transition curve】指的是平面线形中，在直线与圆曲线，
圆曲线与圆曲线 之间设置的曲率连续变化的曲线。缓和曲线是道路平面线
形要素之一，它是设置在直线与圆曲线之间或半 径相差较大的两个转向相
同的圆曲线之间的一种曲率连续变化的曲线。《公路工程技术标准》（JTG
B01-2003）规定，除四级路可不设缓和曲线外，其余各级公路都应设置缓
和曲线。在现 代高速公路上，有时缓和曲线所占的比例超过了直线和圆曲
线，成为平面线形的主要组成部分。在城市道 路上，缓和曲线也被广泛地
使用。
L乘以π
由于直线与圆曲线间存在 曲率半径的突变，圆曲线半径越大，这种突
变程度就越小。当圆曲线半径超过2000m时，这种突变对 轨道交通行车影
响很小。而当正线上曲线半径不大于2000m时，则要在圆曲线与直线间加
设 缓和曲线，实现曲率半径的逐渐过渡，减少列车在突变点处的轮轨冲击。
因此，《地铁设计规范》（GB 50157—2003）规定：“线路平面圆曲线与直
线之间应根据曲线半径、超高设置及设计速度等因 素设置缓和曲线，其长
度可按表的规定采用。”
地铁缓和曲线长度

R
L
.
V
1
0
0
9
5
9
0
8
5
8
0
7
5
7
0
3
0
6
5
6
0
5
5
5
0
4
5
4
0
3
5


30
00
25
00
20
00
3
0
3
5
4
0
2
5
3
0
3
5
2
0
2
5
3
0

2
0
2
5

2
0
2
0

2
5
3
0
3
5
4
5

15
00
12
00
10
00
80
0
5
5
7
0
8
5
8
5
5
0
6
0
7
0
8
0

8
0
4
5
5
0
6
0
7
5
3
5
4
0
5
0
6
5
3
0
3
5
4
5
5
5
2
0
2
5
3
0
4
0

2
0
2
5
3
5
2
0
2
5
3
0


2
5
2
0

70
0
8
5
7
5
7
0
6
0

6
0
7
0
5
0
4
5
3
5
3
0
2
5
2
0
2
0

65
0
60
0
8
5

8
0
8
5
7
5
7
5
7
0
7
0
5
5
6
0
4
5
5
0
4
0
4
5
3
5
3
5

4
0

3
0
3
0

3
5

2
5
2
0

2
0

2
0
2
0

2
0

2
0
2
0

2
0



55
0
7
5
7
0
7
0
6
5

5
5
4
5

50
0



7
0
7
0
6
5
6
0

5
0

4
5

3
5

2
0

2
0

2
0

2
0


45
0
7
0
6
5
6
0

6
0
5
5

6
0

6
0

6
0
5
0

5
5

6
0

6
0

6
0
4
0

4
5

3
5

6
0

6
0

6
0
2
5

2
5

3
0

3
5

4
0

4
0


2
0

2
0
2
0

2
0
2
0

2
0

40
0
6
5

35
0
6
0
2
5

3
0

3
5

4
0

4
0
2
0

2
5

3
0

3
5

4
0

2
0

2
0

2
0

2
5

3
5

2
0

2
0

2
0

2
0

2
5

30
0

25
0

20
0

15
0

缓和曲线的线形形式多样，如回旋曲线、三次抛物线、双纽线、多心复
曲线，常用的是三次抛物线型。其方程式为：y=x三次方6RL 式中：R—曲
线半径，m。L—缓和曲线全长，m。
三次抛物线型缓和曲线的优点是铺 设和养护维修比较容易，缓和曲线
长度比较短；其缺点是始、终点存在折角，影响行车的平稳性。
回旋线型（放射螺旋型）
另外一种就是用回旋线（放射螺旋型）作为缓和曲线。回 旋线是一种
曲率随曲线长度成比例变化的曲线，不仅可以使线形更加美观，而且与驾
驶员匀速转 动方向盘有圆曲线驶入直线或者有直线驶入圆曲线的轨迹线相
符合。其基本公式为：

r×l=A^2
；
其中：
r—
回旋线上某点曲率半径（m）；

l—
回旋线上其点到原点的曲线长（m）；

A—
回旋线参数；
由于
rl
是长度的二次方，故令C
=
A
^2，
A
表征曲率变化的缓急程度，
因此在缓和 曲线上，
r
随
l
的变化而变化，在缓和曲线的终点处，
l
=
L s
，
r=R
，
R×Ls=A
^2，即

A
=√（
RLs
）；
其中：
R
—回旋线所连接的圆曲线半径；

Ls—
回旋线形的缓和曲线长度。
如图是缓和曲线敷设的基本图示，其几何元素的计算公式如下：

q =Ls2-Ls^3
(240
×R
^2) (m)；


p=Ls
^2(24
R
)-
Ls
^4(2384×
R
^3) (m)；
β=28.6479
LsR
(。)；

T=
(
R+p
)
tan
(α2)+
q
(m)；

L
=(α
-2
β)π
R
180+2
Ls
(m)；

E
=(
R+p
)
cos
(α2) -
R
(m)；

J=2T-L
(m)；
其中： α —路线转角（。）；
β—圆曲线对应角度（。）；

q
—偏移值（m）；

p
—原曲线与直线偏移值（m）；

T
—切线长（m）；

E
—外移值（m）；

J
—里程差（m）；[ 式中 α

为路线设计参数，
R
值对于设计道路可
查
相关规范]
[