抓取公式常见的相遇问题及追及问题等计算公式(非常实用)教学内容

2020年9月29日发(作者：郑大同)




常见的相遇问题及追
及问题等计算公式(非
常实用)
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小学常用公式

和差问题
(和＋差)÷2＝大数
(和－差)÷2＝小数

和倍问题
和÷(倍数+1)＝小数

差倍问题
差÷(倍数-1)＝小数

植树问题
1 单条线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
棵数＝全长÷间隔长＋1＝间隔数＋1
全长＝间隔长×(棵数－1)
间隔长＝全长÷(棵数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
棵数＝间隔数＝全长÷间隔长
全长＝间隔长×棵数
间隔长＝全长÷棵数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
棵数＝全长÷间隔长－1＝间隔数－1
全长＝间隔长×(棵数＋1)
间隔长＝全长÷(棵数＋1)
2 双边线路上的植树问题主要也有三种情形：
参考单条线路上的植树问题，注意要除以2。
3 环形或叫封闭线路上的植树问题的数量关系如下
棵数＝间隔数＝全长÷间隔长
全长＝间隔长×棵数
间隔长＝全长÷棵数

盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间

追及问题
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追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间

流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2
水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2

浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
【题目】一游泳池道长100米，甲乙两个运动员从泳道的两端同时下水做往返
训练15分钟，甲每 分钟游81米，乙每分钟游89米。甲运动员一共从乙运动
员身边经过了多少次？
【解答】从身边经过，包括 迎面和追上两种情况。
能迎面相遇【（81＋89）×15＋100】÷200，取整是13次。
第一次追上用100÷（89－81）＝12.5分钟，
以后每次追上需要12.5×2＝25分钟，显然15分钟只能追上一次。
因此经过13＋1＝14次。

如果甲乙从A，B两点出发，甲乙第n次迎面相遇时 ，路程和为全长的2n-1
倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙也是如
此）。
总结：若两人走的一个全程中甲走1份M米，
两人走3个全程中甲就走3份M米。
（含义是说，第一次相遇时，甲乙实际就是走了一个全程，第二次 相遇时，根
据上面的公式，甲乙走了 2x2-1=3个全程，如果在第一次相遇时甲走了m米，
那么第二次相遇时甲就走了3个m米）

下面我们用这个方法看一道例题。
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湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A，B
两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400
米。问：两岛相距多远 ？
【解】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1个全长，
从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成3个全长，
此时甲走的路程也为第一次相遇地点的3倍。
画图可知，由3倍关系得到：A，B两岛的距离为 700×3－400=1700米
小学奥数行程问题分类讨论
2010-06-08 12:00:20 来源：网络资源 进入论坛

行程问题是小升初考试和小学四 大杯赛四大题型之一(计算、数论、几何、
行程)。具体题型变化多样，形成10多种题型，都有各自相 对独特的解题方
法。现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过
之 后给予更加明确的分类。

一、一般相遇追及问题。包括一人或者二人时(同时、异时) 、地(同地、异
地)、向(同向、相向)的时间和距离等条件混合出现的行程问题。在杯赛中大量
出现，约占80%左右。建议熟练应用标准解法，即s=v×t结合标准画图(基本功)
解答。由于只 用到相遇追及的基本公式即可解决，并且要就题论题，所以无法
展开，但这是考试中最常碰到的，希望高 手做更为细致的分类。

二、复杂相遇追及问题。

(1)多人 相遇追及问题。比一般相遇追及问题多了一个运动对象，即一般我
们能碰到的是三人相遇追及问题。解题 思路完全一样，只是相对复杂点，关键
是标准画图的能力能否清楚表明三者的运动状态。

(2)多次相遇追及问题。即两个人在一段路程中同时同地或者同时异地反复
相遇和追及， 俗称反复折腾型问题。分为标准型(如已知两地距离和两者速度，
求 n次相遇或者追及点距特定地点的 距离或者在规定时间内的相遇或追及次数)
和纯周期问题(少见，如已知两者速度，求一个周期后，即两 者都回到初始点时
相遇、追及的次数)。

标准型解法固定，不能从路程入手， 将会很繁，最好一开始就用求单位相
遇、追及时间的方法，再求距离和次数就容易得多。如果用折线示意 图只能大
概有个感性认识，无法具体得出答案，除非是非考试时间仔细画标准尺寸图。

一般用到的时间公式是(只列举甲、乙从两端同时出发的情况，从同一端出
发的情况少见， 所以不赘述)：

单程相遇时间：t单程相遇=s(v甲+v乙)

单程追及时间：t单程追及=s(v甲-v乙)

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第n次相遇时间：Tn= t单程相遇×(2n-1)

第m次追及时间：Tm= t单程追及×(2m-1)

限定时间内的相遇次数：N相遇次数=[ (Tn+ t单程相遇)2 t单程相遇]

限定时间内的追及次数：M追及次数=[ (Tm+ t单程追及)2 t单程追及]

注：[]是取整符号

之后再选取甲或者乙来研究有关路程的关系，其中涉及到周期问题需要注
意，不要把运动方向搞错了。

简单例题：甲、乙两车同时从A地出发，在相距300千米的A、B两地之
间不 断往返行驶，已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20
千米，问(1)第二次迎面相 遇后又经过多长时间甲、乙追及相遇?(2)相遇时距离
中点多少千米?(3)50小时内，甲乙两车共 迎面相遇多少次?

三、火车问题。特点无非是涉及到车长，相对容易。小题型分为：

(1)火车vs点(静止的，如电线杆和运动的，如人)s火车=(v火车 ±v人)×t
经过

(2)火车vs线段(静止的，如桥和运动的，如火车)s 火车+s桥=v火车×t经
过和s火车1+s火车2=(v火车1

±v火车2)×t经过

合并(1)和(2)来理解即s和=v相对×t经过把电线杆、 人的水平长度想象为
0即可。火车问题足见基本公式的应用广度，只要略记公式，火车问题一般不
是问题。

(3)坐在火车里。本身所在火车的车长就形同虚设了，注意的是相对速度 的
计算。电线杆、桥、隧道的速度为0(弱智结论)。

四、流水行船问题。理 解了相对速度，流水行船问题也就不难了。理解记
住1个公式(顺水船速=静水船速+水流速度)就可以 顺势理解和推导出其他公式
(逆水船速=静水船速- 水流速度，静水船速=(顺水船速+逆水船速)÷2，水流速度
=(顺水船速- 逆水船速)÷2)，对于流水问题也就够了。技巧性结论如下：

(1)相遇追及。水流 速度对于相遇追及的时间没有影响，即对无论是同向还
是相向的两船的速度差不构成“威胁”，大胆使用 为善。

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(2)流水落物。漂流物速度=水流速度，t1= t2(t1：从落物到发现的时间段，
t2：从发现 到拾到的时间段)与船速、水速、顺行逆行无关。此结论所带来的时
间等式常常非常容易的解决流水落物 问题，其本身也非常容易记忆。

例题：一条河上有甲、乙两个码头，甲码头在乙码头的 上游50千米处。一
艘客船和一艘货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度
相同。客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物品距客船5千米。
客船在行驶20千米后 掉头追赶此物品，追上时恰好和货船相遇。求水流速度。

五、间隔发车问题。空间理解 稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助。
一旦掌握了3个基本公式，一般问题都可以迎刃而解。

(1)在班车里。即柳卡问题。不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-
距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。如果不画
图，单凭想象似乎对于像我这 样的一般人儿来说不容易。

例题：A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡 路。每天上午
8点到11点从A、B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站
到 B站单程需要105分钟，从B站到A站单程需要80分钟。问8：30、9：
00从A站发车的司机分 别能看到几辆从B站开来的汽车?

(2)在班车外。联立3个基本公式好使。

汽车间距=(汽车速度+行人速度)×相遇事件时间间隔------1

汽车间距=(汽车速度-行人速度)×追及事件时间间隔------2

汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔------3

1、2合并理解，即

汽车间距=相对速度×时间间隔

分为2个小题型：1、一般间 隔发车问题。用3个公式迅速作答;2、求到达
目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。标准方法是：画 图-尽可能多的列3个
好使公式-结合s全程=v×t-结合植树问题数数。

例题：小峰在骑自行车去小宝家聚会的路上注意到，每隔9分钟就有一辆
公交车从后方超越小峰。小峰骑 车到半路车坏了，于是只好坐出租车去小宝
家。这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车， 已知出租车的速
度是小峰骑车速度的5倍，如果这3种车辆在行驶过程中都保持匀速，那么公
交 车站每隔多少分钟发一辆车?

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六、平均速度问题。相对容易的题型。大公式要牢牢记住：总路程=平均速度×总时间。用s=v×t写出相应的比要比直接写比例式好理解并且规范，形成行
程问题的统一解 决方案。

七、环形问题。是一类有挑战性和难度的题型，分为“同一路径”、“不同路
径”、“真实相遇”、“能否看到”等小题型。其中涉及到周期问题、几何位置问题
(审题不仔 细容易漏掉多种位置可能)、不等式问题(针对“能否看到”问题，即问
甲能否在线段的拐角处看到乙) 。仍旧属于就题论题范畴，不展开了。

八、钟表问题。是环形问题的特定引申。基本关系式：v分针= 12v时针

(1)总 结记忆：时针每分钟走112格，0.5°;分针每分钟走1格，6°。时针
和分针“半”天共重合11 次，成直线共11次，成直角共22次(都在什么位置需
要自己拿表画图总结)。

(2)基本解题思路：路程差思路。即

格或角(分针)=格或角(时针)+格或角(差)

格：x=x12+(开始时落后时针的格+终止时超过时针的格)

角：6x=x2+(开始时落后时针的角度+终止时超过时针的角度)

可以解决大部分 时针问题的题型，包括重合、成直角、成直线、成任意角
度、在哪两个格中间，和哪一个时刻形成多少角 度。

例题：在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度?从这一时刻开始，经
过多少分钟，时针和分针第一次垂直?

(3)坏钟问题。所用到的解决方法已经不是 行程问题了，变成比例问题了，
有相应的比例公式。这里不做讨论了，我也讨论不好，都是考公务员的题 型，
有难度。

九、自动扶梯问题。仍然用基本关系式s扶梯级数=(v人速度 ±v扶梯速
度)×t上或下解决最漂亮。这里的路程单位全部是“级”，唯一要注意的是t上或
下要表示成实际走的级数人的速度。可以PK掉绝大部分自动扶梯问题。

例题：商场的 自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上
下走动，女孩由下向上走，男孩由上向下走， 结果女孩走了40级到达楼上，男
孩走了 80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的 2倍，则
当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级?

十、十字路口问题。 即在不同方向上的行程问题。没有特殊的解题技巧，
只要老老实实把图画对，再通过几何分析就可以解决 。
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十一、校 车问题。就是这样一类题：队伍多，校车少，校车来回接送，队
伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地 (即到达目的地的最短时间，不要求证
明)分4种小题型：根据校车速度(来回不同)、班级速度(不同 班不同速)、班数
是否变化分类。

(1)车速不变-班速不变- 班数2个(最常见)

(2)车速不变-班速不变-班数多个

(3)车速不变-班速变-班数2个

(4)车速变-班速不变-班数2个

标准解法：画图-列3个式子：1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍
步行的时间; 2、班车走的总路程;3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来
接它的时间。最后会得到几个路程 段的比值，再根据所求代数即可。此类问题
可以得到几个公式，但实话说公式无法记忆，因为相对复杂， 只能临考时抱佛
脚还管点儿用。孩子有兴趣推导一下倒可以，不要死记硬背。

简单例题：甲班与乙班学生同时从学校出发去15千米外的公园游玩，甲、
乙两班的步行速度都是每小时 4千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48
千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学 生在最短时间内到达公
园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离是多少千米?

十二、保证往返类。简单例题：A、B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙
漠深处走20千米，已知每人 最多可以携带一个人24天的食物和水。如果不准
将部分食物存放于途中，其中一个人最远可深入沙漠多 少千米(要求两人返回出
发点)?这类问题其实属于智能应用题类。建议推导后记忆结论，以便考试快速
作答。每人可以带够t天的食物，最远可以走的时间T

(1)返回类。(保证一个人走的最远，所有人都要活着回来)

1、两人：如果中途不放食物：T=23t;如果中途放食物：T=34t。

2、多人：没搞明白，建议高手补充。

(2)穿沙漠类(保证一个人穿过沙漠不回来了 ，其他人都要活着回来)共有n
人(包括穿沙漠者)即多人助1人穿沙漠类。

1、中途不放食物：T≤[2n(n+1)]×t。T是穿沙漠需要的天数。

2、中途放食物：T=(1+13+15+17+…+1(2n-1))×t

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