肩斜公式瞬间搞定牛吃草问题概念及公式

2020年9月29日发(作者：叶世金)

牛吃草问题概念及公式
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场牛吃草问题的·历史 起源：英国数学
家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此 在他
的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算
术》一书中， 有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问
题。，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出 来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光
同一片草地所 需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于
吃的天数不同，草又是天天在生长的，所 以草的存量随牛吃的天数不断地变
化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
假设定一头牛一天吃草量为“1”
1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应 的牛头数×吃的较
少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。 < br>由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要
想办法从变化中找到不变 量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变
化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是 不变的。正是由于这个
不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
牛吃草问题经常给出不同头 数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的
草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头 牛吃的这片地的
草可以吃多少天。
解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日 新长草的数
量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
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这类问题的基本数量关系是：
1.(牛的头数×吃草较多的天数- 牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-
吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。
2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量。
解多块草地的方法多块 草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最
小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大 时，我们一般把面积统一
为“1”相对简单些。
“牛吃草”问题分析
【牛老师例1 】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它
可供25头牛吃多少天？
A.3 B.4 C.5 D.6
【牛老师答案】C
【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供
25头牛吃Y天
根据核心公式代入
(200-150)(20-10)=5 10*20-5*20=100 100(25-5)=5(天）
【牛老师例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10 天，则它
可供多少头牛吃4天？
A.20 B.25 C.30 D.35
【牛老师答案】C
【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，
根据核心公式代入
(20×10-15×10)=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30(头）
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【牛老师例3】如果22头 牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头
牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在 24天内吃尽40公亩牧场的
草，需要多少头牛？A.50 B.46 C.38 D.35
【牛老师答案】D
【牛老师解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公< br>亩草场原有牧草量为Y，
24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛
根据核心公式：
，代入
，因此，选择D
【牛老师注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是
常量。
下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。
【牛老师例4】有一个灌 溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段
时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如 果用4台同样的抽水机排
水，则用16分钟排完。
问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？【广东2006上】
A.5台B.6台C.7台D.8台
【牛老师答案】B
【牛老师解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y
台抽水机有恒等式：
解，得，代入恒等式
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【牛老师例5】有一水池， 池底有泉水不断涌出，要想把水池
的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小
时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？【北京社招
2006】
A.16 B.20 C.24 D.28
【牛老师答案】C
【牛老师解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y
小时有恒等式：
解，得，代入恒等式
【牛老师例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光 ，
21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？
（假定野果生 长的速度不变）
【浙江2007】
A.2周B.3周C.4周D.5周
【牛老师答案】C
【牛老师解析】设每天新生长的野果足够X只猴子吃，33只猴子共需Y周
吃完有恒等式：
解，得，代入恒等式
【牛老师例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前
来 排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某
天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款 开始4小时就没
有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小
时就没有顾客排队 了【浙江2006】
A.2小时B.1.8小时C.1.6小时D.0.8小时
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【牛老师答案】D
【牛老师解析】设共需X小时就无人排队了。 例题1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度
也一定,当车站放一个 检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口
时,只要10分钟就把所有乘客OK了求增 加人数的速度还有原来的人数
设一个检票口一分钟一个人
1个检票口30分钟30个人
2个检票口10分钟20个人
(30-20)÷(30-10)=0.5个人
原有1×30-30×0.5=15人
或2×10-10×0.5=15人
2、有 三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得
一样快。第一块草地可供10头 牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，
问第三块地可供多少头牛吃80天？
这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。
把每头牛每天吃的草看作1份。因为第一块 草地5亩面积原有草量＋5亩面
积30天长的草＝10×30＝300份
所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份
因为第二块草地15亩 面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝
1260份所以每亩面积原有草量和每亩面积4 5天长的草是1260÷15＝84份
所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份
所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份
所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份
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第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12
＝288份 新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那
么原有的草就要够吃80天，因 此288÷80＝3.6头牛
所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。
两种解法：
解法一：
设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10 *305=60；每亩
45天的总草量为：28*4515=84那么每亩每天的新生长草量为(84- 60)(45-
30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12 *24=288，24亩
80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量30 72+288=3360，所有
336080=42(头)
解法二：10头牛30天吃5亩可 推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛
45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量(28×4 5-30×30)(45-30)=24；15亩原
有草量：1260-24×45=180；15亩8 0天所需牛18080+24(头)24亩需牛：
(18080+24)*(2415)=42头
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