求单价的公式两个重要极限公式的几种变化形式-2019年文档

2020年9月30日发(作者：詹仕显)
两个重要极限公式的几种变化形式

《高等数学》微积分学中有两个重要极 限公式和[1]。表
面上看这两个公式只是解决了部分时型和时型极限的计算问题。
实际上由于 这两个公式是高度抽象的，它们的含义非常深刻。
高职学生刚刚结束中学数学学习，仍习惯于 具体图形分析
[2]和常量的计算和推理；对函数的思想和方法掌握得比较薄弱；
理解和应用这 两个公式就显得比较困难、或者仅仅停留在表面
上。
在教学实践中，我主要考虑了学 生的实际情况，坚持了循
序渐进和直观性的教学原则[3]，采用多举例、详讲解的方法，
降低 了难度、使学生的思维平缓过渡。较好地完成了教学任务，
取得了好的教学效果。
一、第一个公式的变化形式
除了讲清它的基本内涵外，还指明 时和时（要用到连续函
数的性质和无穷小量的性质）。以免和将要拓展的内容混淆。然
后将变量替换为函数，让其充当 的角色 ，也就是。而又有三种
方式：1、，2、，3、。这样，这个公式就有三个变形：1、，2、，
3、。
例1. 因为，所以；因为，所以；因为 ，所以。
为了促进学生对该 公式的深刻理解和记忆，不被所求极限的
函数的外形所迷惑，还可以用方框代替变量或函数，把公式写成 。
二、第二个公式的变化形式
也是先讲清楚其基本内涵，并且指出当时（时 ，以上式子不
一定总有意义），以及。以免和将要拓展的内容混淆。然后将变
量替换为函数，让 其充当的角色，也就是。而又有三种方式：1、，
2、，3、。这样，这个公式就有三个变形：1、，2 、，3、。
例2.因为，所以；因为，所以；因为 ，所以。
三、第二个公式的另一种变化形式
第二个公式还可以变形为。同理，也要先讲清楚当时（时，< br>以上式子不一定总有意义），和。以免和将要拓展的内容混淆。
然后将变量替换为函数，让其充当 的角色，也就是。而又有三
种方式：1、，2、，3、。这样，，这个公式就有三个变形：1、，
2、，3、。
例3.因为，所以；因为，所以；因为 ，所以。
这三个例子 与上面三个例子形式上是重复的，目的还是说明
一个道理，即公式的深刻内涵。与第一个公式一样，也可 以用方
框代替变量或函数，把公式写成 和。来帮助学生深刻理解和记
忆公式。
用方框代替变量或函数，本来不需要这样做。但是高职学生
的数学功底比较差，辩证逻辑思维能力还比较 弱[4]，从常量数
学思维方式转换到变量数学思维方式还需要一个过程。只要能帮
助学生理解 公式的意义；提高学生应用公式解决问题的能力，还
是可取的。从我个人的教学实践来看，效果还是好的 。
两个重要极限公式经过变形后，从外形上看的变化趋势扩展
到了、三种方式。但核心 的问题还是要看把求极限的式子简化后，
也就是用方框代替变量或函数以后，是哪一种类型？符合不符合
公式的根本意义？从而来决定能不能用两个重要极限公式来解
答问题。
也可 以这么认为，这两个重要公式中的、并不是单指一个
数的变化趋势，而是一个式子或者一个函数的变化趋 势。这不正
是函数的魅力所在吗？