两岸型公式新人教版数学教案(附加书式)

2020年10月1日发(作者：溥心畲)

新人教高中数学必修 5教案全集
（先放公式在前便于学习）数学公式
抛物线：y = ax *+ bx + c
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a（x+h）* + k
就是y等于a乘以（x+h）的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p2,0) 准线方程为x=-p2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py
x^2=-2py
圆：体积=43(pi）(r^3)
面积=(pi)(r^2)
周长=2(pi)r
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
（一）椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆 短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该
椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式
椭圆面积公式： S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）
的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率
T推 导演变而来。常数为体，公式为用。
椭圆形物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*PAI*高
三角函数：
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB- sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA- tanB)(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)2cota
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sinα+si n(α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin(α+2π*3n)+……+sin[α+2π*(n- 1)n]=0
cosα+cos(α+2πn)+cos(α+2π*2n)+cos(α+2 π*3n)+……+cos[α+2π*(n-1)n]=0 以及


sin^2(α)+sin^2(α-2π3)+sin^2(α+2π3)=32
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
·万能公式：
sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]
cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]
tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]
半角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
cot(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) cot(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2 cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
cotA+cotBsin(A+B)sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
1^2+2^2+3^2+4^2 +5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)2)^2
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3
正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)2a -b-√(b2-4ac)2a
根与系数的关系 x1+x2=-ba x1*x2=ca 注：韦达定理
判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根
b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根
公式分类 公式表达式
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=12c*h' 正棱台侧面积 S=12(c+c')h'
圆台侧面积 S=12(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=12*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=12*l*r
锥体体积公式 V=13*S*H 圆锥体体积公式 V=13*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长


柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
图形周长 面积 体积公式
长方形的周长=（长+宽）×2
正方形的周长=边长×4
长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边长×边长
三角形的面积
已知三角形底a，高h，则S＝ah2
已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝ √[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）
（p=(a+b+c)2）
和：（a+b+c)*(a+b-c)*14
已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC2
设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r
则三角形面积=(a+b+c)r2
设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r
则三角形面积=abc4r
已知三角形三边a、b、c,则S＝ √{14[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)2)^2]} (“三斜求积” 南宋
秦九韶）
| a b 1 |
S△=12 * | c d 1 |
| e f 1 |
【| a b 1 |
| c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里
ABC
| e f 1 |
选区取最好按逆时针顺序 从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果
不按这个规则取，可能会得到负值，但不要 紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形
面积的大小！】
秦九韶三角形中线面积公式:
S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc- Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]3
其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.
平行四边形的面积=底×高
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
直径=半径×2 半径=直径÷2
圆的周长=圆周率×直径=
圆周率×半径×2
圆的面积=圆周率×半径×半径
长方体的表面积=
（长×宽+长×高＋宽×高）×2
长方体的体积 =长×宽×高
正方体的表面积=棱长×棱长×6
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积


圆柱的体积=底面积×高
圆锥的体积=底面积×高÷3
长方体（正方体、圆柱体）
的体积=底面积×高
平面图形
名称 符号 周长C和面积S
正方形 a—边长 C＝4a
S＝a2
长方形 a和b－边长 C＝2(a+b)
S＝ab
三角形 a,b,c－三边长
h－a边上的高
s－周长的一半
A,B,C－内角
其中s＝(a+b+c)2 S＝ah2
＝ab2?sinC
＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]12
＝a2sinBsinC(2sinA)
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等


27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也
相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44
定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称
轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这
条直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个
三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷2


67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分
一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平
分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个
图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直
线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）÷2
s=l×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／
(b+d+…+n)=a／b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成
比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三 角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三
角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条
直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似
比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方


99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切
值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的
弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一
组 量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也
相等
118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
121①直线l和⊙o相交 d＜r
②直线l和⊙o相切 d=r
③直线l和⊙o相离 d＞r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连
线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项


132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的
积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d＞r+r ②两圆外切 d=r+r
③两圆相交 r-r＜d＜r+r(r＞r)
④两圆内切 d=r-r(r＞r) ⑤两圆内含d＜r-r(r＞r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边
形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141正n边形的面积sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a／4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
144弧长计算公式：l=nπr／180
145扇形面积公式：s扇形=nπr2／360=lr／2
146内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r)
147等腰三角形的两个底脚相等
148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
149如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
150三条边都相等的三角形叫做等边三角形




数学必修 5模块的教学研究

一．教学实录
高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为
未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下。

1．获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了
解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续
学
习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。
2．提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3．提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交
流的能力，发展独立获取数学知识的能力。


4．发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和
作出判断。
5．提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6．具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判
性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主
义
和历史唯物主义世界观。
本册教科书包括“解三角形”、“数列”、“不等式”等三章内容。全书约需 36课时，

具体课时分配如下：
第一章 解三角形 约 8课时
第二章 数列 约 12课时
第三章 不等式 约 16课时

三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。在
本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三
角
恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本的数学模型。在本模块中，学生将通
过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并
掌
握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际
问
题。

不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等
观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中，学生将通过具体情境，
感
受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系
的
意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一
次
不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其
简
单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

高中新课程已实施了一年。这不得让我们感到机遇与挑战同在，问题与智慧共生。在高
中新课程的课堂上，我们欣喜地看到，丰富多彩的课堂正在出现，在民主宽松的课堂环境
下，
学生的思想获得了解放，敢于放言陈述自己的观点，思维方式也得到了大大的拓展，各方
面
的能力都有提高，教师经常会有惊喜地发现。在这样的课堂里，老师也经常受到学生的启
发，


真正体现了新课程使师生共同成长。

但一个模块的教学时间为 36学时，远远不够。原因何在？是教材本身的问题，还是课
程标准的要求有问题，或者是教师在使用教材方面的问题？实施新课程以后，学生自己支
配
的时间多了，有些学生不知道如何科学地利用时间。从前都有老师跟着，老师都为他们安
排
好了，学什么？做什么？但现在，若老师不在身边，有些学生就躁动不安，不懂得如何自
主
地学习了。新课程的实施必然带来许多新问题，作为教师，要经常反思，及时找到新的对
策。

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二.模块试卷的命制目的及试卷分析。
[模块试卷样本]：

海口市一中 2004-2005学年度第二学期

数学模块
5考试试题


（解三角形、数列）

一、选择题

1．在△ABC中，角A、B、C成等差数列，则角B为（ ）
(A) 30° (B) 60° (C) 90° (D) 120°
2．由a1 =1，d=3确定的等差数列{an}，当an=298时，序号 n等于（）
(A) 99 (B) 100 (C) 96 (D)101
3．在等比数列 {}，a
=，a
=32
an32 7 ，则q=（ ）

(A) 2 (B) －2 (C) ±2 (D) 4
4．在△ABC中，若 c2 =a2 +b2 +ab，则∠C=（ ）
(A) 60° (B) 90° (C) 150° (D) 120°
5．在等差数列 {}中，若 ，则 +的值等于（
an
a2 +a4 +a5 +a6 +a8 =450 a2 a8

）

(A) 180 (B) 75 (C) 45 (D) 30
6．在等差数列 {}an中，已知a1 +a2 =15，a3 +a4 =35，则a5 +a6 =（ ）
(A) 65 (B) 55 (C) 45 (D) 25
7．在△ABC中，若 sin Acos B=cos Asin B，则△ABC为（ ）
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形
8．在等比数列 {an}中，前三项分别为 1,,2
=
qq，第二项加上 2后构成等差数列，则 q（ ）



(A) 3 (B)－1 (C) 3或－1 (D) 2
9．在各项均为正数的等比数列 {b}中，若bb=
n7 .83，则

31 3log log b
b+
2 +…… log314b+等于（ ）
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8
第二卷
一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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答案
二、填空题

10．在△ABC中, a=32,b=23,cosC=13，则S△ABC
=_______
11．在等比数列 {an}中,a1=2，a3=8，则S6 =_______
12．
1 +
1 +
1 +……+
(
1
+1)
=
____________
1 ×22 ×33 ×4 nn
三、解答题

13．(10分) 已知等差数列 1112,9 12,7 12,…的前 n项和为Sn，求使得Sn最大的序号
n的值，并求Sn的值。
14．（10分）已知数列 {an}的前 n项和为Sn， n
=
an
1 ∈* )
S
1(
).(nN

3

⑴ 求 ,
aa；

12

⑵ 求证：数列 {}是等比数列。
an


15．（8分）如图，某海轮以60 n mileh 的速度航行，在 A点测得海面上油井 P在南偏
东


60°，向北航行 40 min后到达 B点，测得油井 P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的
航向再行驶80 min到达C点，求P、C间的距离。
30°
60°
北
B

[模块考试情况分析]：

A

60°


样本容量为57（一个普通班学生）

P

选择题各小题得分率如下：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
得分率 0.72 0.33 0.70 0.60 0.61 0.37 0.51 0.67 0.82

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填空题、解答题满分率如下：

题号 10 11 12 13 14 15
得分率 0.59 0.40 0.58 0.44 0.57 0.29

综合以上对考试的试卷分析，对本模块及以后的教学有着以下几点启示：

1、要重视基础。数学教学必须面向全体学生，立足基础，教学过程中要落实基本概念
知识、基本技能和基本数学思想方法的要求，特别要关心数学学习困难的学生，通过学习
兴
趣培养和学习方法指导，使他们达到学习的基本要求，努力提高合格率。

2、培养学生的数学表述能力，提高学生的计算能力。学生在答题中，由于书写表达的
不规范或是表述能力的欠缺，也是造成失分的原因。表述是一种重要的数学交流能力，因
此，
教学中要重视训练，培养学生良好的数学表述能力。同时也要加强考前指导，学习中考说
明
中有关答题的要求，尽量减少由于表述不清造成的失分。

3、强化思维过程，努力提高理性思维能力。数学基础知识的学习要充分重视知识的形
成过程，解数学题要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学方法和基本数学思想在解题
中
的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一个数学问题的多条途径，注意增减直觉
猜
想，归纳抽象，逻辑推理，演绎证明，运算求解等理性思维能力。如果这方面做得好的话。
4、倡导主动学习，营造自主探索和合作交流的环境。学校和教师要为学生营造自主探索
和
合作交流的空间，善于从教材实际和社会生活中提出问题，开设研究性课程，让学生自主
学
习、讨论、交流，在解决问题的过程中，激发兴趣，树立信心，培养钻研精神，同时提高
数
学表达能力和数学交流能力。

三.模块教学反思。

（1）数学必修 5的内容共有三章，分别是：解三角形，数列，不等式；内容较多，在
课改之前应该是高二上学期的内容，并且每周至少是 6课时；现在实行课改后 5周就上
完课
本的三分之二，每周是 5课时；由于课时紧，任务大，我感觉学生学得不够好，大多数
学生
反映“消化不良”。数学必修 5结束一半时进行了一次期末考试，结果也与我们预期的有较


大的出入；课本上原题（含例题、课后练习、习题 A组与复习题的 A组）占了整个试题
的
55%，结果有超过一半的学生不及格，原因在哪里呢？我想这应该是我在下一个学段急需
解
决的主要问题；在上课时我也是一直是按新课程的理念贯穿整个教学的始终，也是处处体
现
为了每一个学生的发展的理念，可为什么最后的结果会有如此大的反差呢？针对这样的情
况，我该怎么办，这也是我在今后所要解决的一个突出的问题。
另我感到欣慰的是：有相当一部分学生懂得如何去学习，如何去钻研、如何带着质疑的
态度去仔细斟酌；正是有了这种勤学好问的精神，所以学生自己发现了书本的好几处错误：
如：教材 61页最上面的、教材 135页例题 3解答中也有一处、教材 140页 A组第三
题、教
材 146页B组第二题等等。

我想这主要应该是学生的学习方式发生了巨大的变化才有这样的结果，在课堂上学生不
再是听课的机器，而是积极参与到课堂教学当中，成了课堂真正的主人。在课堂上我让学
生
自己发现问题，提出问题，然后解决问题。自己解决不了问题在学习小组之内讨论解决，
在
小组还解决不了的问题在全班共同讨论解决，直至问题得到完满的解决。这样学生在无形
之
中就变成了学习的主人，成了学习的主角；因为是自己发现的问题，自己来尝试解决，因
而
学生的积极性也就很高，学习热情就很饱满。当然在学生最需要帮助的时候，我便与学生
一
起探讨，关键的时候给予必要的指点和表扬，以保持学生学习热情的持续性。

我的教学方式：在教数学必修 5的内容时我基本上是让学生自己先预习后提出问题，其

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他同学一起帮助解决问题，我仅仅是在课堂上控制一下课堂节奏；引导学生如何倾听他人
的
观点；在学生感到非常困难是加以分析、引导；指导他们如何进行合作学习；思考如何让
学
生都“动”起来等等。

（2）“内容多，课时少”是学生反映最强烈的问题．调查发现， 78％的学生认为老师讲课
速度快，学习跟不上，没有时间理解和消化所学习的内容．因而有必要适当调整部分教学
内
容，如在高一第一学期开设的数学课程不宜过多，可以考虑只开一个模块，让学生对高中
的
数学学习有一个适应的过程，以实现初高中的平稳过渡．同时，对现有的部分内容，该充
实
的还是要充实，让教材内容更具体，学生学习起来更方便．例如，关于信息技术的应用，
学
生普遍要求教材能对具体操作步骤更细致些，老师不仅对有关软件作演示，还应教会学生
操
作的方法，正所谓“授之以鱼不如授之以渔”．又如，某些公式、定理的证明、推导，虽然
课程标准中不要求学生掌握，但教材中还是可以以某种恰当的形式给出（如小字的形式，
以
某个问题启发学生思考，介绍某些参考书或某些网站让学生自己去查阅等）．学生对某知
识
了解其来龙去脉，理解、记忆会更深刻，从而对数学学习产生更大的兴趣．
数学 5 第一章 解三角形

章节总体设计
（一）课标要求

本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实
在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决
一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关
的生活实际问题。
（二）编写意图与特色

1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理
解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策


略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，
它
们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知
识，
就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及
其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在
任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系
准
确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边
及
其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我
们
仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三
角
形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做
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好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识
的
学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三
角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，
让
学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小
角
的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内
容
时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方
法，
这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也
就
是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，
从
联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新
知
识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置
相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章
知
识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加
简
洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨
论，
方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。

在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个
思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三
角
形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理
以
及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所
对
的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平
方，
那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”



3．重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不
强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应
用
到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数
学
问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、
类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际
情
况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。

（三）教学内容及课时安排建议

1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）
1.2应用举例（约 4课时）
1.3实习作业（约 1课时）
（四）评价建议
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对
于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思
考
问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用
向
量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解
决
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有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励
学
生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量
问
题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。

2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题
的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，
增
强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于
实
际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。
1．1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明
方
法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关
系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应
用
的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合
情
推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识
间
的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：
sin
aA
=
sinbB
=
sincC，接着就一般斜

三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，
让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器



（四）教学设想
[创设情景]

如图1．1-1，固定 ΔABC的边CB及 ∠B，使边 AC绕着顶点 C转动。 A
思考：∠C的大小与它的对边 AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边 AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C

B

[探索研究](图 1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等
式关系。如图1．1-2，在 Rt ΔABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正
弦函数

的定义，有
a =sinA，
b =sin B，又sinC=
1=
c, A

cc c
则
sin
aA
=
sinbB
=
sin
cC
=cb

c


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从而在直角三角形 ABC中，
a =
b =c
C aB

sin A sinB sinC

(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图 1．1-3，当 ΔABC是锐角三角形时，设边 AB上的高是CD，根据任意角三角函数
的
定义，有 CD= asinB b =sinA,则
a =b， C

sin A sinB
同理可得
c =b， b a

sin C sin B
从而
a =
b =c
Ac B

sin A sinB sinC

(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研
究
这个问题。

............

（证法二）：过点 A作 j⊥AC ， C

....G
..............



由向量的加法可得 AB AC CB+

=


........G
................G


则 .
=.
(+

jABjACCB) A

B

........G
....................G
G


∴jAB jAC jCB=. +. j(..)

.


........G


..

......G


jAB


(.A)=+

cos 90 0 0

j



CB

cos 90 0 .

(
C)
∴csin =sin C，即 sin
aA
=
sin
cC

Aa


........G


同理，过点 C作 jB⊥C，可得 sin
bB
=
sin
cC

从而
a =
b =c

sin A sinB sin C

类似可推出，当ΔABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

ab c

==

sin A sinB sin C
[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，
即
存在正数k使 ak=sin，bk=sinB，cksinC；


A =

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（2）
a =
b =c
等价于
a =b，
c =b，
a =
c
sin A sinB sinC sin A sinB sin C sin B sinA sin C
从而知正弦定理的基本作用为：
sin b A

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a=；

sin B

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA=asinB。
b
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]
例1．在 ΔABC中，已知 A=32.00，B=81.80 ，a=42.9 cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，

C
=1800 .(A+
B)

0 00

=180 .(32.0 +81.8 )

=66.20；
根据正弦定理，

b=
asinB
=
42.9sin81.8 0
≈80.1( cm


) ；

sin Asin32.0 0

根据正弦定理，

asinC
42.9sin66.2 0

c==
≈74.1( cm
).

sin Asin32.0 0

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在 ΔABC中，已知a=20 cm，b=28cm， A=400，解三角形（角度精确到10，边
长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，

bsin A
28sin40 0

sin B==
≈0.8999.

20
因为00＜B＜1800(a) ，所以B≈640，或B≈116 .0

⑴ 当B≈640时，
C
=
0)180 0 00 0 ，

180 .(A+
B≈.(40 +64 ) =76

asinC
20sin76 0

c==
0 ≈30( cm
).



sin Asin40

⑵ 当B≈1160时，
C
=
0)180 00 00 ，

180 .(A+
B≈.(40 +116 ) =24

asinC
20sin24 0

c==
≈13( cm
).

sin Asin40 0

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
[随堂练习]第 5页练习第 1（1）、2（1）题。

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++

例 3．已知 ΔABC中， ∠A=600，a=3,求
abc

sin A+sin B+sin C
ab c

分析：可通过设一参数k(k>0)使
sin A
=
sinB
=
sin C
=k,

c ++

证明出
a =
b ==
abc

sin A sinB sinC sin A+sin B+sin C

解：设
a =
b =
c =kk

( >o)

sin A sinB sinC
则有ak=sin，bk=sinB，cksinC

A =
ab c sin A k sin +sin C


++
k +


Bk

从而
sin A+sin B+sin C=
sinA+sin B+sin C
=k

abc

又
a =
30 =2=k，所以
++
=2

sin A sin60 sin A+sin B+sin C
a b abc


c ++

评述：在ΔABC中，等式
sin A
=
sinB
=
sin C
=
sin A+sinB+sin C
=kk>0)

(


恒成立。
A :sin ab

[补充练习]已知ΔABC中， sin :sin B C=1:2:3 ，求 ::c（答案：1：2：3）
[课堂小结]（由学生归纳总结）

（1）定理的表示形式：
a =
b ==
abc =kk>0)


c ++
(
；

sin A sinB sinC sin A+sin B+sinC
或ak=sin，bk=sinB，cksinC(k>0)

A =


（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
（五）评价设计
①课后思考题：（见例3）在 ΔABC中，
sin
aA
=
sinbB
=
sincC
=kk
( >o) ，这个 k与 ΔABC有

什么关系？

②课时作业：第 10页[习题 1.1]A组第 1（1）、2（1）题。
1.1.2余弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦
定
理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦
定
理解决两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函
数、
余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
（三）学法与教学用具
学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从
已


知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容
易

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地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角
教学用具：直尺、投影仪、计算器
（四）教学设想
[创设情景] C
如图 1．1-4，在 ΔABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知 a,b和 ∠C，求边c b a

A c B(图1． 1-4)
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、 B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A

如图 1．1-5，设 CB=a =，A=，那么cab=，则 b

..............................
..
G
G


，CAbBc.


..

2 ..G
......G


c =.=
.
cc abab

(
)(.)

......G
..G




=.+..
.


aabb 2ab C a B

G


..

2 ..G


2

=a +b 2ab

..


从而 c2 =a2 b2 2cos C (图 1．1-5)

+.ab
同理可证 a2 =b2c22cos A

+.
bc
222

b =a c 2cos B

+.ac
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角

的余弦的积的两倍。即 a2 =b2c22cos A

+.
bc
222

b =a c 2cos B



+.
ac
222

c =a b 2cos C

+.ab
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否
由
三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

222

+.
bca


cos A=


2bc


222

+.
Bacb


cos =


2ac


2 22

+.
Cbac


cos =




2ba

[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角
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形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

22

（由学生总结）若ΔABC中，C= 900，则cos C=0 ，这时cab2

=+

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]

例1．在 ΔABC中，已知 a=23 ，c6

=+2 ，B=600 ，求 b及 A
2 22

⑴解：∵ =+.2cos
bac
acB


=(2 3) 2 +(6 +2) 2 .22 3( ..6 +2) cos450

=12+(6 +2) 2 .4 3( 3 +1)
=8


∴b=

22.
求 A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

22 2

Abca


⑵解法一：∵cos =+.
=(2 2) 2 +(6 +2 ) 2 .(2 3) 2
=
1,


2bc222×(6 +2) 2

×


∴ A=60 . 0

解法二：∵sin A=
asin B=
23 .sin45 , 0

b22

又∵ 6 +2＞2.4 1.4 3.8,

+=
23＜21.8 3.6,

×=


∴a＜c，即00＜ A＜90 , 0

∴ A=60 . 0

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

例2．在 ΔABC中，已知 a=134.6cm，b=87.8 cm，c=161.7cm，解三角形
（见课本第 8页例 4，可由学生通过阅读进行理解）

解：由余弦定理的推论得：

22 2

+.

bca


cos A=


2bc




222

87.8 +161.7 .134.6
=


287.8 161.7
××
≈0.5543,


0

A≈56 20′
；

2 22

+.

Bcab


cos =


2ca


2 22

134.6 +161.7 .87.8
=


2 134.6 161.7

××
≈0.8398,


0



B≈32 53′
；

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0 000

) 180 +32 53)

C
=180 .(A+
B
≈.(56 20 ′′


0

=90 47.′


[随堂练习]第 8页练习第 1（1）、2（1）题。

[补充练习]在ΔABC中，若 a2 =b2 +c2 +bc，求角A（答案：A=120 0）

[课堂小结]

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三
边。
（五）评价设计
①课后阅读：课本第 9页[探究与发现]
②课时作业：第 11页[习题 1.1]A组第 3（1），4（1）题。
1．1．3解三角形的进一步讨论
（一）教学目标
1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或
无
解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定
理，
三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函
数
的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了
事
物之间的内在联系。
（二）教学重、难点


重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
（三）学法与教学用具
学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
教学用具：教学多媒体设备
（四）教学设想
[创设情景]

思考：在ΔABC中，已知 a=22cm，b=25cm，A=
1330，解三角形。

（由学生阅读课本第 9页解答过程）

从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条
件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]
例1．在ΔABC中，已知 ,,

abA，讨论三角形解的情况

分析：先由sinB=bsinA
可进一步求出B；

a

则C=
1800 .+)

(A B

从而c=
asinC

A

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1．当A为钝角或直角时，必须 ab
>才能有且只有一解；否则无解。

2．当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；
如果ab
<，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若ab>sinA，则有两解；
（2）若ab=sinA，则只有一解；
（3）若ab（以上解答过程详见课本第 9 ～10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A为锐角且
bsinAab

<<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习 1]

（1）在ΔABC中，已知 a=80，b=100，∠A=450，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ΔABC中，若 a=1，c=12
，∠C=400，则符合题意的 b的值有_____个。
（3）在ΔABC中， ax=cm，b=2cm，∠B=450，如果利用正弦定理解三角形有两解，
求
x的取值范围。

（答案：（1）有两解；（3）2 x

（2）0；<<2 2 ）

例2．在ΔABC中，已知 a=7，b=5，c=3，判断ΔABC的类型。
分析：由余弦定理可知

a2 =b2 +.
c2 A是直角.ΔABC是直角三角形
2 b2 c2 是钝角.ΔABC是钝角三角形

a >+.
A
a2b2c2是锐角 .ΔABC是锐角三角形

<+.


A

（注意：A是锐角 .ΔABC是锐角三角形 ）

222 222

解： 7 >+
3 ，即a >+c，

∵5b

∴ΔABC是钝角三角形 。
[随堂练习 2]

（1）在ΔABC中，已知 sin :sin A B:sin C=1:2:3 ，判断ΔABC的类型。
（2）已知ΔABC满足条件 a =cos B，判断ΔABC的类型。
cos A b
（答案：（1）ΔABC是钝角三角形 ；（2）ΔABC是等腰或直角三角形）

3 abc

++

例3．在ΔABC中， A=600，b=1，面积为
2，求
sin A+sin B+sin C
的值

分析：可利用三角形面积定理S=
12absin C=
12acsin B=12bcsin A以及正弦定理

a b abc

c ++


=
==


sin A sinB sinC sin A+sin B+sin C

解：由S=


12bcsinA=
23
得c=2，

则a2 =b2 c2 2cos A=3，即a=3，

+.
bc
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++

从而
abc =
a =2

sin A+sin B+sin C sin A
[随堂练习 3]

（1）在ΔABC中，若 a=55，b=16，且此三角形的面积S=220 3 ，求角C
222

（2）在ΔABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积 S=a +b4
.c
，求角 C
（答案：（1）600或1200；（2）450）

[课堂小结]

（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
（五）评价设计（课时作业）
（1）在ΔABC中，已知 b=4，c=10，B=300，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数 x的取值范围。
（3）在ΔABC中， A=600，a=1， +=，判断Δ
bc 2 ABC的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x2 x 6
.7 .=0的根，

求这个三角形的面积。

解三角形应用举例
第一课时

（1）教学目标
(a)知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实
际
问题，了解常用的测量相关术语
(b)过程与方法 ：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。


其
次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反
馈
训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，
同
时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于
例
2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指
点
和矫正
(c)情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生 运用图
形、
数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
（2）教学重点、难点
教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题
的
解
教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
（3）学法与教学用具
让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知
识
纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是
学
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好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本
质
和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。
直角板、投影仪（多媒体教室）

（4）教学设想
1、复习旧知
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、设置情境
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥
不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算
出
了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高
度
等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或
借
助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能
实
施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限
性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定
理
在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
3、新课讲授

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里
的
条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A的同侧，
在
所在的河岸边选定一点C，测出 AC的距离是55m， ∠
BAC=51°，∠
ACB=75°。求A、B两点
的距离(精确到 0.1m)
启发提问1： ΔABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目
条
件告诉了边 AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知
角算
出 AC的对角，应用正弦定理算出 AB边。


解：根据正弦定理，得

AB
AC

=

sin ∠ACB
sin∠ABC


ACsin∠ACB

AB =

sin∠ABC


55sin∠ACB

=

sin∠ABC


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= 55sin75°
75 )51sin(180 °.°.°
= °55sin75°sin54

≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为 65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于 akm,灯塔A在观察站C的北偏
东 30 °，

灯塔 B在观察站C南偏东60 °，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。

解略： 2 a km

例2、（动画演示辅助点和辅助线）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一
种测
量 A、B两点间距离的方法。
分析：这是例 1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要
构造
三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既
可
求出另两边的方法，分别求出 AC和BC，再利用余弦定理可以计算出 AB的距离。


解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得 ∠
BCA=α，
∠ ACD=β，∠
CDB=γ，∠
BDA =δ，在ΔADC和 ΔBDC中，应用正弦定理得

asin(γ+δ) asin(γ+δ)

AC = =

sin[180°.
(β+γ+δ)] sin(β+γ+δ)
asinγ
asinγ



BC = =

sin[180°.
(α+β+γ)] sin(α+β+γ)
计算出 AC和BC后，再在 ΔABC中，应用余弦定理计算出 AB两点间的距离


AB =


AC
2 +BC
2 .
2 AC
×
BC
cos α
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得 ∠
BCA=60 °，∠
ACD=30 °，∠
CDB=45 °，

∠
BDA =60 °

略解：将题中各已知量代入例 2推出的公式，得 AB=20 6

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评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有
些
过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来
选
择最佳的计算方式。
4、学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
5、课堂练习
课本第 14页练习第1、2题
6、归纳总结
解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，
建
立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
（5）评价设计
1、课本第 22页第1、2、3题
2、思考题：某人在 M汽车站的北偏西 20 °的方向上的 A处，观察到点 C处有一辆汽
车沿公

路向 M站行驶。公路的走向是 M站的北偏东 40 °。开始时，汽车到 A的距离为 31千
米，

汽车前进 20千米后，到 A的距离缩短了 10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达 M
汽
车站？


解：由题设，画出示意图，设汽车前进 20千米后到达 B处。在 ΔABC中，AC=31，BC=20，
AB=21，由余弦定理得

222

AC
+
BC
.
AB
23



cosC= = ,

2AC
.
BC
31
则sin 2 C =1- cos2 C = 432 ,312
12 3

sinC = ,

31
所以 sin∠MAC = sin（120 °-C）= sin120 °
cosC - cos120 °
sinC = 35623
在ΔMAC中，由正弦定理得

AC
sin ∠MAC
31 353

MC = = ×
=35

sin ∠AMC
3 62
2


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从而有 MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶 15千米才能到达 M汽车站。
解三角形应用举例
第四课时

（1）教学目标
(a)知识和技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问
题,
掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
(b)过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总
结
出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所
学
知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余
弦
定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔
思
维，有利地进一步突破难点，。
(c)情感与价值：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；
进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
（2）教学重点、教学难点
教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
（3）学法与教学用具
正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以
及
公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式。同时解有关三角形的题目还要
注
意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯。
直角板、投影仪
（4）教学设想
1、设置情境
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。
在
ΔABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为 h a、hb、hc，那么它们如何用已知边和角
表

示？

生：ha
=bsinC=csinB



hb
=csinA=asinC

hc
=asinB=bsinaA

师：根据以前学过的三角形面积公式 S= 1ah,应用以上求出的高的公式如 h a
=bsinC代入，

2

可以推导出下面的三角形面积公式，S= 12
absinC，大家能推出其它的几个公式吗？

生：同理可得，S= 1 bcsinA, S= 1 acsinB

22

师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形
的
面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
2、新课讲授

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例1、在 ΔABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到 0.1cm 2）

（1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 °
;
（2）已知 B=62.7 °
,C=65.8 °
,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，
我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以
求
出三角形的面积。
解：（1）应用 S= 12
acsinB，得

1 °


S= ×
14.8×
23.5×
sin148.5 ≈90.9(cm2 )

2

(2)根据正弦定理，
bc

=

sinB
sinC


bsin C

c=

sin B




11 b2 sinCsin A

S = bcsinA =
2 2 sin B


°
°°°°

A = 180 -(B + C)= 180 -(62.7 + 65.8 )=51.5

1 sin 65.8 °
sin51.5 °


S= ×
3.162 ×
≈4.0(cm2 )
2 sin 62.7 °


(3)根据余弦定理的推论，得
222

c
+a
.
b


cosB =

2ca


222

38.7 +
41.4 .
27.3
=

2 ×
38.7 ×


41.4

≈0.7697

sinB = 1 .
cos2 B
≈ 1 .
0.76972 ≈0.6384

应用 S= 1acsinB，得

2

1

S ≈ ×41.4×
38.7×
0.6384≈511.4(cm2 )

2
例 2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量
得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确
到

0.1cm2）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
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生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，

222

c
+a
.
b

cosB=

2ca


222

127 +
68 .
88

= ≈0.7532

2 ×127 ×
68

sinB= 1 .
0.75322 ≈
0.6578

应用 S= 1 acsinB

2
1


S ≈ ×
68×
127×
0.6578≈2840.38(m2 )



2

答：这个区域的面积是 2840.38m 2。
例3、在 ΔABC中，求证：

222 2

（1） a
+
2
b
=
sin A
+
2
sin B
;
c
sin C
（2）a2 +b2 +c2 =2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想
到
用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设

abc

= = = k

sinA
sinB
sinC


显然 k≠0，所以

2222 22

a
+
bk
sin A
+


k
sin B


左边=
c2 =
k
2 sin 2 C


sin 2 A
+sin 2 B


=
sin 2 C
=右边

（2）根据余弦定理的推论，
222 222 222

右边=2(bc b
+
c
.
a
+ca c
+
a
.
b
+ab a
+
b
.
c
)

2bc
2ca
2ab


=(b2 +c2 - a 2 )+(c2 +a2 -b2 )+(a2 +b2 -c 2 )



=a 2+b 2+c 2=左边

变式练习 1：已知在 ΔABC中， ∠
B=30 °
,b=6,c=6 3,求a及ΔABC的面积 S

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提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。

答案：a=6,S=9 3 a=12,S=18 3

变式练习 2：判断满足下列条件的三角形形状，

（1） acosA = bcosB
（2） sinC = sin A
+sin B
cos A
+
cos B


提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”

（1）
师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
222 222

b
+
c
.
ac
+
a
.
b


a×
=b×


2bc
2ca


222 44 2222



∴c (a
.
b
) =
a
.
b
=(a
+
b
)(a
.
b
)

∴
a2 =b2或c2 =
a2 +
b2

∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B,
∴2A=2B,
∴A=B
∴根据边的关系易得是等腰三角形


师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，
谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出 2A

与 2B两个角互补，即 2A+2B=180 °，A+B=90 °

(2)（解略）直角三角形
3、课堂练习
课本第 21页练习第1、2题
4、归纳总结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化
简
并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余


弦
定理甚至可以两者混用。
（5）评价设计
1、课本第 23页练习第12、14、15题
2、如图，在四边形 ABCD中， ∠
ADB=∠
BCD=75 °，∠
ACB=∠
BDC=45 °，DC= 3，求：

（1） AB的长
（2） 四边形 ABCD的面积
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略解（1）因为 ∠
BCD=75 °，∠
ACB=45 °，所以

∠
ACD=30 ° ，又因为∠
BDC=45 °，所以

∠
DAC=180 °-（75 °
+ 45 °
+ 30 °）=30 °，

所以 AD=DC= 3

在ΔBCD中， ∠
CBD=180 °-（75 °
+ 45 °）=60 °，所以


6 +
2

3 sin 75
BD
= DC，BD =
°
°
=
sin 75 °
sin 60 °
sin60 2


在ΔABD中，AB 2 =AD2 + BD2 -2×
AD×
BD×
cos75 °
= 5,



所以得 AB= 5

°


（3） SΔABD
= 12
×
AD×
BD×
sin75 = 3 +
42 3
3

同理， SΔBCD
= 3 +
4


所以四边形 ABCD的面积 S= 6 +33

4

数学 5 第二章数列

一、课程要求
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。在本模块中，学生将通过
对日常中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种模型，探索并掌握它们
的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。
1、了解数列的概念，概念
2、理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，体会等差数列的通项公式
与一次函数之间的关系。
3、探索并掌握等差数列的前 n项和公式，体会等差数列的前 n项和公式与二次函数之
间的关系。
4、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式
与指数函数之间的关系。
5、探索并掌握等比数列的前 n项和公式，体会等比数列的前 n项和公式与指数型函数
之间的关系。

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6、能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应的

问题。
二、编写意图：
1、数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它可以看成
是

定义在正整数集或其有限子集的函数，因此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学
习的延伸，也是一种特殊的函数模型。


2、本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概念，通过对具体问题的探
究，
理解与掌握两类特殊的数列，并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。编写中体现
了数学来源于生活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又好奇，
充满魅力。


3、教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、
求和公式等，并应用这些知识解决实际生活中的问题，渗透函数思想解决问题。
4、教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。如类比思想、归纳思想、数形结
合
思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。
5、教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系，适度应
用
现代信息计术，帮助学生理解数学，提高数学学习的兴趣。

三、教学内容及课时安排建议
本章教学时间约
12课时
2.1数列的概念与简单表示法约
2课时
2.2等差数列约
2课时
2.3等差数列的前
n项和约
2课时
2.4等比数列约
2课时
2.5等比数列的前


n项和约
2课时
问题与小结约
2课时
四、评价建议
1、重视对学生数学学习过程的评价

关注学生在数列知识学习过程中，是否对所呈现的现实问题情境充满兴趣；在学习过
程中，能否发现数列的等差关系或等比关系，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数
函数的关系。
2、正确评价学生的数学基础知识和基础技能

关注学生在数列知识的学习过程中，能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，发现
数列的等差关系或等比关系，正确运用等差数列、等比数列的通项公式和求和公式解决具
体
问题。


2．1数列的概念与简单表示法
（一）教学目标
1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了
解数
列是一种特殊的函数；
2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数
列
的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数
列
的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
（一）教学重、难点
重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几
种

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间单的表示法（列表、图象、通项公式）；
难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
（二）学法与教学用具
学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简
单
的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
教学用具：多媒体、投影仪、尺等
（三）教学设想

1、多媒体展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序
号有什么关系？
2、（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫
做这个数列的项。

（2）辩析数列的概念： “1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“ 1，
3，2，4，5”呢？给出首项与第 n 项的定义及数列的记法：{an}

（3）数列的分类 : 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。
3、数列的表示方法
（1）函数 y=7x+9 与 y=3 x，当依次取 1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么
特
点？
（2）定义数列 {an}的通项公式
（3）数列 {an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能
确定这个数列的哪些方面的性质？

（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。
4、例 1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4项分别是下列各数：
（1）1，-12，13，-14；
（2）2，0，2，0．
引导学生观察数列的前 4项的特点，寻找规律写出通项公式。再思考：根据数列的前
若干项写出的数列通项公式的形式唯一吗？举例说明。
5、例 2、图 2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（ Sierpinski）三角形，在下图 4个三角
形

2．1数列的概念与简单表示法海口一中陆健青
中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4项，请写出这个数列的一个通项公式，
并在
直角坐标系中画出它的图象。

通过多媒体展示希尔宾斯基（ Sierpinski）三角形，引导学生观察着色三角形的个数的


变化，寻找规律写出数列的一个通项公式，并用图象表示数列。体会数列的图象是一系列
孤立的点。

6、问题：如果一个数列{an}的首项 a1=1，从第二项起每一项等于它的前一想的前一项
的 2
倍再加 1，即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※）
你能写出这个数列的前三项吗？

像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，（※）式称为递推公式。递推公式也是数列的
一种表示方法。
7、例 3 设数列{an}满足

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写出这个数列的前五项。

此题与例1的学习是互为相反的关系，也是为了引入下文的等差数列，等差数列是最简
单
的递推数列。
8、课堂练习：P36 1~5，课后作业： P38习题 2.1 A组 1，2，4，6。
9、课堂小结：

（1）数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；
（2）了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；能发现数列规律找出可
能
的通项公式。
（3）了解数列是一种特殊的函数。
（四）评价设计
1、重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价
关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过
程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。
2、正确评价学生的数学基础知识和基础技能
能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示
数
列，了解数列是一种特殊的函数。了解递推公式也是数列的一种表示方法。

2．2 等差数列
（一）教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在
具
体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与
一
次函数的关系。
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象
出
等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数
列
通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差
数
列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
（二）教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一
些


简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、
储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等
差
数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学用具：投影仪

（四）教学设想
[创设情景]

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上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家
以
后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学
习
一类特殊的数列。
[探索研究]
由学生观察分析并得出答案：
（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从 0开始，每隔 5数一次，可以得到
数列：
0，5，____,____,____,____,……

2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共
设置了 7个级别。其中较轻的 4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如 果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放
水算
起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5

我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一
期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活
期
存入 10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：

时间 年初本金（元） 年末本利和（元）
第 1年 10 000 10 072
第 2年 10 000 10 144
第 3年 10 000 10 216
第 4年 10 000 10 288
第 5年 10 000 10 360

各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10360。
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①

48，53，58，63 ②

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③

10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④



看这些数列有什么共同特点呢？

（由学生讨论、分析）

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：

对于数列①，从第 2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；

对于数列②，从第 2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；

对于数列③，从第 2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；

对于数列④，从第 2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；

由学生归纳和概括出，以上四个数列从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常
数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

[等差数列的概念]

对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，
尝试着给等差数列下个定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d表示。那么对于以上四组等差数列，
它们的公差依次是5，5，-2.5，72。

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提问：如果在 a与b中间插入一个数 A，使a，A，b成等差数列数列，那么 A应满足
什么
条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
A-a=b-A

所以就有 A
=a
+
b


2

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做 a与 b的
等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第 2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的
前
一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是 3和 7的等差中项， 1和 9的等差中项。
9是 7和 11的等差中项，5和 13的等差中项。

看来，a2 +a4 =
a1 +
a5, a4 +
a6 =
a3 +
a7

从而可得在一等差数列中，若 m+n=p+q

则 am
+an
=
ap
+
aq




[等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学
习的内容。

⑴、我们是通过研究数列{an
}的第 n项与序号 n之间的关系去写出数列的通项公式的。下
面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式：

①这个数列的第一项是5，第 2项是10（=5+5），第 3项是 15（=5+5+5），第 4项是 20
（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an
=
5n


② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项
是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 an
=
48 +
5(n
.1)

③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），
第 4项是 10.5（=18-2.5×3），第5项是 8（=18-2.5×4），第 6项是5.5（=18-2.5×5）
由
此可以猜想得到这个数列的通项公式是an
=
18 .
2.5(n
.1)

④这个数列的第一项是 10072，第 2项是 10144（=10172+72），第 3项是 10216
（=10072+72×2），第 4项是 10288（=10072+72×3），第 5项是 10360
（=10072+72×4），由
此可以猜想得到这个数列的通项公式是an=
10072 +
72(n
.1)

⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项a1和公差d，它的通项公式是什么呢？
引导学生根据等差数列的定义进行归纳：

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a2 .
a1 =
d,
a3 .
a2 =
d,

（n-1）个等式

a4 .
a3 =
d,

…
所以 a2 =
a1 +
d,
a3 =
a2 +
d,
a4 =a3 +
d,

……
思考：那么通项公式到底如何表达呢？

a2 =
a1 +
d,
a
=
a
+
d
=
(a
+
d) +
d
=


a
+
2d,


32 1

a4 =a3 +
d
=
(a1 +
2d) +
d
=
a
+
3d,

……
得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以a1为首项，d为公差的等差数列 {an
}的通项
公式为：an
=a1 +
(n
.1)d
也就是说，只要我们知道了等差数列的首项 a1和公差d，那么这个等差数列的通项 an
就
可以表示出来了。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）： {an
}是等差数列，所以 an
.
an.1 =
d,
an..
a
=
d,

1 n.2

a
.
a


=
d,

n.2 n.3

……

a2 .a1 =
d,

两边分别相加得 an
.a1 =
(n
.1)d,

所以 an
=a1 +
(n
.1)d


（迭代法）：{an
}是等差数列，则有 an
=
an.1+
d


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=
an.2 +
d
+
d


=
an.2 +
2d


=
a+
d
+
2d

n.3

=
an.3 +
3d


……

=a1 +
(n
.1)d


所以 an
=a1 +
(n
.1)d


[例题分析]
例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第 20项.



⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
分析：⑴要求出第 20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该
等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；

⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中
的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。
解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得 a20 =
8 +
(21.1) ×
(.3) =.49

⑵由a1=-5， d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为 an=.5 .
4(n
.1) =.4n
.1,
由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于 n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第 100项。

例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于 an
、a1、d、

n（独立的量有 3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中
的
项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它
就
不是数列中的项。
（放投影片）例 2．某市出租车的计价标准为 1.2元km，起步价为 10元，即最初的 4km
（不
含 4千米）计费 10元。如果某人乘坐该市的出租车去往 14km处的目的地，且一路畅
通，等
候时间为0，需要支付多少车费？

解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4km时，每增加1km，乘客需要支付 1.2

元.所以，我们可以建立一个等差数列 {an
}来计算车费.

令a1=11.2，表示 4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至 14km处时，n=11，

此时需要支付车费a11=
11.2 +
(11.1) ×1.2 =
23.2(元)



答：需要支付车费 23.2元。
例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象

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出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。
（放投影片）思考例题：例 3 已知数列 {an
}的通项公式为an
=pn
+
q, 其中p、q为常数，
且 p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？


分析：判定{an
}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看 an
.
an.1 （n＞1）是不是一个与 n无关的常数。

解：取数列{an
}中的任意相邻两项an与an.1 （n＞1），

求差得 an
.
an.1=
( pn
+
q) .[ p{n
.1) +
q] =
pn
+
q
.
( pn
.
p
+
q] =
p


它是一个与 n无关的数.
所以{an
}是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？


这个数列的首项 a1=
p
+
q,公差d
=
p
。由此我们可以知道对于通项公式是形如

an
=pn
+
q
的数列，一定是等差数列，一次项系数 p就是这个等差数列的公差，首项是 p+q.

例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的
通
项公式是关于正整数 n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。

[探究]
引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为an=
3n
.
5 的数列的图象。这个图象有什么特点？
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数 y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数
列
an
=pn
+
q
与一次函数 y=px+q的图象之间有什么关系。
分析：⑴n为正整数，当 n取1，2，3，……时，对应的 an
可以利用通项公式求出。经过描
点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；

⑵画出函数 y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改
一
次函数当 x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列
an
=pn
+
q
的图象是一次函数 y=px+q的图象的一个子集，是 y=px+q定义在正整数集上对


应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列an
=pn
+
q
中的 p的几何意义去探究。

[随堂练习]
例 1之后：课本 45页“练习”第 1题；
例 2之后：课本 45页“练习”第 2题；
[课堂小结]


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新人教高中数学必修 5教案全集

本节主要内容为：

①等差数列定义：即.1 =d(n≥2)
②等差数列通项公式：an
=a1 +(n.1)d(n≥1)
推导出公式：an
=am+(n.m)d


(五）评价设计

1、已知{an}是等差数列.

⑴ 2a
aa2a
aa
=+是否成立？ =+呢？为什么？

537 519

⑵ 2aa
=+an
.1 是否成立？据此你能得出什么结论？
（）

nn.1 n+1

2aa
+a+
n1

n
=
nk
.
nk
.是否成立？据此你又能得出什么结论？

（）

aa




2、已知等差数列 {an}的公差为d.求证： m.
.
n=d


mn


2．2 等差数列的前n项和
（一）教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在
具
体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与
一
次函数的关系。
2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第 k项与倒
数
第 k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一
些简
单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、
性
质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。
（二）教学重、难点
重点：探索并掌握等差数列的前 n项和公式；学会用公式解决一些实际问题，体会等差
数列
的前 n项和与二次函数之间的联系。
难点：等差数列前 n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前 n项公式解决一些
简单
的有关问题
（三）学法与教学用具
学法：讲练结合
教学用具：投影仪

（四）教学设想
[创设情景]

等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到
的
问题。在 200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上
演
了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：


1+2+3+……
+100=？当时，当其他同学忙于把 100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅
速算

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新人教高中数学必修 5教案全集

出了正确答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050
高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…前 100项的和的问题。
今天我们就来学习如何去求等差数列的前 n项的和。
[探索研究]
我们先来看看人们由高斯求前 100个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受
到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，…，n，…的前 n项的和：
由 1 + 2 +… + n-1 + n
n + n-1 +… + 2 + 1

（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）

可知1+2 +3 +... +n=(n+1) ×n


2

上面这种加法叫“倒序相加法”
请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？
高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第 k项与倒数第 k项的和与首项与尾项的和是
相

等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前
n
项和的。
[等差数列求和公式的教学]

一般地，称 a1+a2 +a3 +... +an为数列 {an} 的前 n项的和，用 Sn表示，即

S=a+a+a+... +a

n
123 n


1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？
思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。

我们用两种方法表示Sn：

Sn
=a1 +(a1 +d) +(a1 +2d) +... +[a1 +(n.1)d], ①



S=a+(a.d) +(a.2d) +... +[a.(n.1)d], ②

nnnn
n


n
=（aa1 +n
）+（1 +
）

由①+②，得 2S）+（aa1 +n
aan）+...+（aa1 +n

......................


..................

n个

=n(a1 +an)

由此得到等差数列 {an}的前 n项和的公式 Sn
=n(a12
+an)

对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前 n
项和了。
2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）

当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：

S
aaa
=++
3...+a

n
12 n


=aad


a
d
1 +
++
+
(1 )(12) ...[and
1 ( 1)]

++
+.


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=na1 +[d
+2d
+...+(n
.1) ]

d


=na1 [1 2 ... +(n
.1)]

+++
d


( .1)

nn


=na
+d

12

这两个公式是可以相互转化的。把an=a1(n
1) d
代入Sn
=( 12
+
n

+.na
a
)
中，就可以得

nn


到Sn


=na
1 +(
2
.1) d


引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第 k
项与倒数第 k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的
前 n
项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于 n的“二次函数”，可以与二次函数进行比

较。这两个公式的共同点都是知道a1和 n，不同点是第一个公式还需知道 an
，而第二个公

式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

[公式运用]
（课本 52页练习 1、2）

1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 {}an的前 n项和S.

⑴a1 =.4，a8 =.18 ，n
=8；
⑵a1 =14.5，d=0.7 ，an=32；
[例题分析]
例 1、2000年 11月 14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某
市
据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从 2001年起用10年时间，在全市中小学建成
不
同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为 500万元.为了保证工
程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加 50万元.那么从 2001年起的未来
10
年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

⑴、先阅读题目；
⑵、引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；
⑶、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前 n项和公式进行求解。
解：根据题意，从 2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50
万元.所以，可以建立一个等差数列 {}，表示从 2001年起各年投入的资金，其中

an

a1 =500 ， d=50.



那么，到 2010年（n=10），投入的资金总额为

Sn
=10×500 +10×（10 .1）×50 =7250 （万元）

2

答：从 2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是 7250万元.

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例 2．已知一个等差数列 {}前 10项的和是 310，前 20项的和是1220.由这些条件能确
定

an

这个等差数列的前 n项和的公式吗？
引导学生分析得到：等差数列前 n项和公式就是一个关于 aa
nd

、、n或者a、、的

n1 1

方程。若要确定其前 n项求和公式，则要确定a和d的关系式，从而求得。

1

分析：将已知条件代入等差数列前 n项和的公式后，可得到两个关于 a1与 d的二元一

次方程，由此可以求得a1与 d，从而得到所求前 n项和的公式.

解：由题意知 S10=310， S20 =1220 ，

将它们代入公式 Sn+（nn
2
.1）d，

=a

n
1


10a1 +45d=310，

得到

20a1 +190d=1220

解这个关于 a1与 d的方程组，得到 a1=4，d=6，



所以S
4n（nn.1）×6 =32 +

=+
nn


n
2

aa


另解： S10 =1 +
2
n10

×=310

得 aa
62 ①

+=；
1 10

aa

+

S=1 20 ×20 =1220

20 2

所以 aa=122；

1 +20 ②

②-①，得 10d=60 ，
所以 d=6
代入①得： a1=4

所以有 S
an+（nn.1）=32 +



=
d
nn


n
12

例题评述：此例题目的是建立等差数列前 n项和与解方程之间的联系.已知几个量，通
过解方程，得出其余的未知量.

例 3 已知数列 {}的前 n项为 =2 +1 n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数

aSn


nn2

列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解：根据 S
aa
=+++... a.+a

n
12 n1 n


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