跟踪误差公式杨辉三角的规律以及推导公式

2020年10月1日发(作者：殷潜之)

杨辉三角的规律以及定理
李博洋
摘要 杨辉三角中
的一些规律
关键词 杨辉三角 幂 二项式
引言
杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所著的《详解九章算法》 一书中，画了一张表示二项式展
开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉 三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角” 的规律进行探讨和研究。
内容
1二项式定理与杨辉三角
与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式
(a+b)
的展开式来探讨。
由上式得出：
(a+b)
＝
a
3
22
2
+2ab+b
2
此代数式的系数为： 1 2 1
3
则
( a+b)
的展开式是什么呢？答案为：
a+3a
2
b+3ab
2+b
3

由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1
4
但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看
(a+b)
的展开式。
展开式为：
a
4
+4a
3
b+6a
2< br>b2+4ab
3
+b
4
由此又可发现，代数式的系数为：
0
1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：
1 (11)
1 1 (11)
1 2 1 (11)
1 3 3 1 (11)
1 4 6 4 1 (11)
1 5 10 10 5 1 (11)
1 6 15 20 15 6 1 (11)
65
4
3
2
1
因此可得出二项式定理的公式为：
(a+b )n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n- r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n
因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数 形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式
展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。 用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉
三角形来计算，称作“图算”
。
2杨辉三角的幂的关系

首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：

1 ( 1 )
1 1 ( 1+1=2 )
1 2 1 (1+2+1=4 )
1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )
1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )
1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )
1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )
……
相加 得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三 角第n
行中n个数之和等于2的n-1次幂
3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系

(1)
1 (2) n=1
1 1 (3) n=2
1 2 1 (4) n=3
1 3 3 1 (5) n=4
1 4 6 4 1 (6) n=5
1 5 10 10 5 1 n=6
1 6 15 20 15 6 1
把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15
把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20
把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15
把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6
把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1
将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。


1
1 1
1 2 1
1 3 3 1

1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和， 即第n行的数分别为1、(1)中第n
行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第 n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、…、
(n-3)中第n行之前的数字之和、1。
总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：
1、
每个数等于它上方两数之和。
2、
每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、
第n行的数字有n+1项。
4、
第n行数字和为2^(n-1)。（2的(n-1)次方）
5
(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
[1]

6、
第n行的第m个数和第n- m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质
上面的式子是什么意思？首先< br>c
i
n＋1
中的n+1，i的意思是从n+1个相同物体中选出i个物体有多少 种选法。
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如 上所示的
三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》， 并绘画了
“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。在我国古老的文明中，人们发现了 很多有
趣的规律，而杨辉三角就是其中一个。