转生术公式圆锥曲线焦点弦公式及应用

2020年10月1日发(作者：全思诚)
圆锥曲线焦点弦公式及应用
湖北省阳新县高级中学 邹生书

焦点弦是圆 锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于
一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中 频频亮相，题型多为小题且位置靠
后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
定理1 已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点
。（1）当焦点
的弦
内分弦
与的< br>时，有焦点所在的轴的夹角为，且
；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有
。
证明 设直线是焦点
，点在直线
所对应的准线，点在直线上的射影分别为
上的 射影为。由圆锥曲线的统一定义得，
，又
（1）

当焦点内分弦时。
，所以。
如图1，，所以
。

图1
（2）

当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以
。

图2
评注 特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公
式的 不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线
右 焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若
的
，则的
离心率为（ ）

解 这里，所以，又，代入公式得，
所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理 科第12题）已知椭圆
的离心率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若
，则（ ）

解 这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，
所以，所以，故选。
的焦点作倾例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线
斜角为
＿＿
的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿

图3
解 如图3， 由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在
轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所
以。
例4 （2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，
，则的离是短轴的一 个端点，线段
心率为＿＿＿
的延长线交于点，且
解 设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，
代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线
焦点
＿
且斜率为的直线交的两支于两点。若的离心率为
，则
，过左
＿＿
解 这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式
，代入公式得，所以所以，所以
。
定理2 已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦
的弦与曲线的焦点所在的轴 准距（焦点到对应准线的距离）为。过点
的夹角为
证明 设点
交直线于点
，则有
在准线上的射影分别为
，交直线于点
。
，过点作轴的垂线
。由圆锥曲线的统一定义得，
，所以。

图4
（1）当焦点内分弦时。如图4，
。
，
，
所以较长焦半径，较短焦半径。
所以
（2）当焦点外分弦
。
时（此时曲线为双曲线）。

图5
如图5，
所以
，
，
。
所以较长焦半径，较短焦半径。
所以。
综合（1）（2）知，较长焦半径，较短焦半径
。焦点弦的弦长公式为。 < br>特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦
半径，较短焦半径，焦点弦 的弦长公式为
。当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为
。
注 由上可得，当焦点内分弦时，有
。当焦点外分弦时，有
。
例6 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线
作倾斜角为
＿
的直线，交抛物线于两点，若线段
的焦点
的长为8，则＿＿
解 由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。
例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆
焦点为，经过
。
且倾 斜角为的直线与椭圆相交于不同两点
的右
，已知
（1）求椭圆的离心率；（2）若，求 椭圆方程。
解 （1）这里，，由定理1的公式得，解得。
（2）将，代入焦点弦的弦长公 式得，，
解得，即
，代入①得
，所以
，所以
①，又
，所以< br>，设
，故所求椭
圆方程为。
的右焦点
的值为＿＿＿
，离心 率，点准距
作倾斜角为例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线
的直线，交双曲线于
解 易知
两点，则
均在右支上，因为
，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得，
。
例9 （由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线
斜角为的直线，交双曲线于 两点，则
的右焦点
的值为＿＿＿
作倾
解 因为
，所以。注意到，离心率，点准距，因倾斜角为
分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，
。
例10 （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆
分别为
且
，过的直线 交椭圆于两点，过
的左、右焦点
两点，的直线交椭圆于
。求四边形面积的最小值。

图6
解 由方程可知，
设直线
的夹角为
，则
，所以直线
。
与轴 与轴的夹角为，因为
。代入弦长公式得，
，。故四边形的
面积为，。
所以四边形面积的最小值为


。