手机公式编辑器等价无穷小公式大全

2020年10月1日发(作者：于逖)
当x→0时,
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
1-cosx~(12)*（x^2）~secx-1
（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)x~lna)
（e^x）-1~x
ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx
[(1+x)^1n]-1~（1n）*x
loga(1+x)~xlna
（1+x)^a-1~ax(a≠0)
值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,
在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分
别代换）
等价无穷小的定义：设当
若
时，和均为无穷小量。
。 ，则称和是等价无穷小量，记作
例如：由于，故有。
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极
限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件
1.

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2.

被代换的量，作为被乘或 者被除的元素时可以用等价无穷小代换，
但是作为加减的元素时就不可以。
定理
无穷小等价替换定理
设函数，，，在

(1)若
(2)若
证明：
(1)
(2)
例如：利用等价无穷小量代换求极限
解：由于
而
故有
，，
。
，
，
。
。
，则
，则。
；
内有定义，且有
注意：等价无穷小 一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时
会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意 单独代换或分别代
换）。如在上例中：
若因有，，而推出
,则得到的是 错误的结果。
注：可直接等价替换的类型




（以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法
则）
需要满足一定条件才能替换的类型
若，则
（该条性质非常重要，这是判断在加减法中能否分别等价替换
的重要依据）
变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替
换。
公式
编辑
常见等价无穷小当


时，












注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。
极限
数学分析的基础概念。它指的是变 量在一定的变化过程中，从
总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。
极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概
念(连续、微分、积分和级数)都是 建立在极限概念的基础之上，然
后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史
上是柯西(Cauchy，A.- L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。
他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个 定值，并
且最终与它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，这个定
值就称为这个 变量的极限.其后，外尔斯特拉斯(Weierstrass，
K.(T.W.))按照这个思想给出严 格定量的极限定义，这就是现在数学
分析中使用的ε-δ定义或ε-Ν定义等。从此，各种极限问题才有 了
切实可行的判别准则。在分析学的其他学科中，极限的概念也有同
样的重要性，在泛函分析和 点集拓扑等学科中还有一些推广。