巴歇尔槽公式复数概念及公式总结

2020年10月2日发(作者：元晟)
***
数系的扩充和复数概念和公式结总
1.
虚数单位
i
:


2
它的平方等于 -1，即

i

1
2
2.
i
与－
1 的关系 : i 就是－ 1 的一个平方根，即方程 x
=－1 的一个根，方
2
=－1 的另一个根是－ i
程 x

3.

i
的周期性：

i


4n+1
=i, i
4n+2
=-1, i
4n+3
=-i, i
4n
=1
4.
复数的定义： 形如
a
示，即
z a bi (a,b R)
bi( a, b R)
的数叫复数， a叫复数的实部， b 叫复数
的虚部 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 C 表示 复数通常用字母 z 表
5.
复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系： 对于复数
a bi (a,b R)
，当且
仅当 b=0 时，复数 a+bi(a、b∈R)是实数 a；当 b≠0 时，复数 z= a+bi 叫做虚数；
当 a=0 且 b≠0 时， z=bi 叫做纯虚数； a≠0 且 b≠0 时， z= bi 叫做非纯虚数的纯
虚数；当且仅当 a= b=0 时，z就是实数 0.
5.复数集与其它数集之间的关系： N Z Q R C.
6. 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们
就说这两个复数相等 如果 a，b，c，d∈R，那么
a+bi=c+di a= c，b=d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小 .如果两个复数都
***
***
是实数，就可以比较大小 当两个复数不全是实数时不能比较大小
2.
复平面、实轴、虚轴：
点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+ bi(a、b∈R)可用点 Z(a，b)表示，这
个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，
轴 实轴上的点都表示实数
（1）实轴上的点都表示实数
（2）虚轴上的点都表示纯虚数
（3）原点对应的有序实数对为 (0，0)
z
1
=a+bi，z
2
=c+di 设( a、b、c、d∈R)是任意两个复数，
8．复数 z
1
与 z
2
的加法运算律： z
1
+z
2
=(a+bi )+(c+di )=(a+c)+( b+d)i .
x 轴叫做 实轴 ，y 轴叫做 虚
6.
复数 z
1
与 z
2
的减法运算律： z
1
-z
2
=(a+bi)-( c+di)=( a-c)+( b-d)i.
7.
复数 z
1
与 z
2
的乘法运算律： zz
2
= (a+bi )( c+di )=(ac－bd)+( bc+ad)i .
1·
8.
复数

z与 z
的除法运算律：

z
1 2
ac bd
z
2
=(a+bi)÷(c+di)=
2 2
1÷
bc ad
i
（分母实数化）
2 2
c d c d
9.
共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互
为共轭复数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数 z的共轭复数为
z
。例如 z =3＋5i 与
z
=3－5i 互为共轭复数
10.
共轭复数的性质
（1）实数的共轭复数仍然是它本身
2 2
（2）
Z Z Z
Z
（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称
11.
复数的两种几何意义：

复数

15 几个常用结论
Z a bi a,b R

（1）
1 i
1
（3）
2
，
（2）
1 i
2 i
2
2i
一一对应 一一对应
1 i
i
，
（4）
i
1 i i
点

Z(a, b)
一一对应
向量
OZ
（5）

7.复数的模：
8.

***
1 i
1 i
i
***
复数
Z

a bi
的模

Z
2
b
2

a
（6）
bi a bi
2
a

b
2
a
***