等比函数公式四面体的六条棱长求体积公式

2020年10月2日发(作者：辛莽)
欧拉四面体求积公式

问题内容：历史上欧拉提出了这样一个问题：如何用四面体的六 条棱长去表示
它的体积。试用矢量代数知识来解决这个问题。并计算棱长分别为10米，15
米 ，12米，14米，13米，11米的四面体形状的花岗岩巨石的体积。

问题应用背景

几何

涉及的知识点

（知识点的标准说法
参见知识框架结构图）

知识点一：

知识点二：

矢量的数量积

矢量的向量积

解题方法

（解题思路、解题提
示、解题要点等）

用六条棱长表示的四面体体积公式

内容：将四面体放入直角坐标系内，利用矢量混合 积的几
何意义及坐标运算公式，结合矢量数量积的坐标运算公式、
定义及余弦定理得到用六条棱 长表示的四面体体积公式。

解题过程

（详细过程）

第一步：建立直角坐标系，设A,B,C三点的坐标分别为
和，并设四面体的
六条棱长分
别为

。








第二步： 由空间解析几何知，该四面体的体积V等于以矢
量为棱的平行六面体的体积的,即


将上式平方后得

V=
由于行列式转置后其值不变，将第二个行列式进行转值后再相乘，
得
V=
=
(1)


解题过程
（详细过程）


第三步： 根据矢量数量积的坐标表示及数量积的定义得




又根据矢量数量积的坐标表示、定义及余弦定理得





第四步：将以上各式代入第二步的（1）式便得


这就是利用四面体的六条棱长去计算四面体体积的欧拉四
面体求积公式。

欧拉四面体求积公式
第五步：计算花岗岩巨石的体积。

设l=10米,m=15米,n=12米,p=14米,q=13米,r=11米，

代入四面体体积计算公式得


故得花岗岩巨石体积近似为

（米
3
）。

花岗岩巨石体积

数学实验
其他

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