关键词不能为空

当前您在: 主页 > 高中公式大全 >

虚根计算公式牛顿迭代法求平方根

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-02 22:28
tags:平方根的公式

马克思主义的当代价值和指导意义-时光荏苒是什么意思

2020年10月2日发(作者:朱高炽)
牛顿迭代法求平方根

求n的平方根,先假设一猜测值
X
0
= 1
,然后根据以下公式求出
X
1
,再将
X
1
代 入公
式右边,继续求出
X
2
…通过有效次迭代后即可求出n的平方根,
X
k+1


(迭代公式)
简单推导
假设
f(x)
是关于
X
的函数:

求出
f(x)
的一阶导,即斜率:

简化等式得到:

然后利用得到的最终式进行迭代运算直至求到一个比较精确的满意值,为什么可以
用迭代法呢理 由是中值定理(Intermediate Value Theorem):
如果
f
函数在闭区间
[a,b]
内连续,必存在一点
x
使得
f(x) = c

c
是函数
f
在闭
区间
[a,b]
内的 一点
我们先猜测一
X
初始值,例如1,当然地球人都知道除了1本身之外任何数的 平方
根都不会是1。然后代入初始值,通过迭代运算不断推进,逐步靠近精确值,直到
得到我们 主观认为比较满意的值为止。例如要求768的平方根,因为
25 = 625


30 = 900
,我们可先代入一猜测值26,然后迭代运算,得到较精确值:。
回到我们最开始的那个”莫名其妙”的公式,我们要求的是
N
的平方根,令
x = n

假设一关于
X
的函数
f(x)
为:
2
2
2
f(X) = X
2
- n


f(X)
的一阶导为:
f'(X) = 2X

代入前面求到的最终式中:
X
k+1
= X
k
- (X
k
2
- n)2X
k

化简即得到我们最初提到的那个求平方根的神奇公式了:

用泰勒公式推导
我之前介绍过在
The Art and Science of C
一书中有用到< br>泰勒公式求平方根的算法
,其
实牛顿迭代法也可以看作是泰勒公式(Taylor Series)的简化,先回顾下泰勒公式:

仅保留等式右边前两项:


f(X
0
+ε) = 0
,得到:

再令
X
1
= X
0
+ ε
0
,得到
ε
1
…依此类推可知:

转化为:

引申
从推导来看,其实牛顿迭代法不仅可以用来求平方根,还可以求立方根,甚至更复
杂的运算。
同样,我们还可以利用pascal语言来实现下那个最简单的求平方根的公式(尽管我
们可以 直接用
sqrt()
完成)
program asd (input,output);
var
a,x,n,i:real;
begin
writeln('Please input a!');
read(a);
x:=1;
n:=1000;
i:=1;
while i<=n do
begin
x:=(x+(ax))2;
i:=i+1;
end;
writeln(x:10:3);
readln;
end.















2007年赣州市信息学奥赛高中组上机测试题

第2题:编程求平方根(15分)

任给常数b,编程求b的算术平方根 ,要求准确到小数点后3位,注意不能调用高级语言
系统的开平方根函数。

输入输出样例:输入:b=7

输出:

确定迭代关系式: x:=(x+(bx))2;



program asd (input,output);
var
a,x,n,i:real;
begin
writeln('Please input b!');
read(b);
x:=1;
n:=1000;
i:=1;
while i<=n do
begin
x:=(x+(bx))2;
i:=i+1;
end;
writeln(x:10:3);
readln;
end.

高锰酸钾的相对分子质量-描写长江的古诗


聊城大学分数线-2018广东省考


中药学专业-医师资格证和医师执业证的区别


100句赞美别人的话-倍镜


四川专科学校排名-史记分为哪五部分


set的过去式-生源地助学贷款查询


郑州轻工业大学是几本-如何治近视


华北平原-广西金融职业技术学院



本文更新与2020-10-02 22:28,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/409318.html

牛顿迭代法求平方根的相关文章