高中数学《函数的概念》公开课优秀教学设计

函数的概念教学设计
教学内容分析
函数的概念是数学中最重要 的概念之一，其本质是从一个非空数集到另一个非空数集的
特殊对应，它揭示了现实世界中数量关系之间 相互依存和变化的实质，是描述客观世界中变
量间依赖关系的数学模型。本节课在高中数学中有着承上启 下的作用，从初中运动观下的函
数定义出发，过渡到使用集合语言描述了更为确切的函数定义，本节课渗 透的函数思想将被
应用到数学的各个分支领域。本课的教学重点是：理解函数的概念，教学难点是：函数 概念
及对符号的理解。
教学目标设置
知识与能力：理解函数的集合观定义，并会使 用符号表示；理解函数符号；会求一些简
单函数的定义域，理解对应法则；使学生提高抽象概括、分析总 结、数学表达等基本数学能
力。
过程与方法：创设情境，使学生经历从具体函数实例和运动观 定义去解析函数的基础上，
理解函数的集合观定义，进而理解法则，培养学生类比与联想的学习能力。< br>
情感、态度和价值观：学生亲身经历了由特殊到一般的研究过程，培养了学生质疑、探
究的科学精神，也培养学生唯物主义观点。
学生学情分析
教学对象：市重点高中学生。学生 对函数概念并不陌生，初中的函数概念教会学生认识
变量间的依存关系，并且掌握了一次函数、二次函数 和反比例函数的基本性质，已经基本具
备建模的能力。学生思维普遍活跃，善于表达，善于发现问题，乐 于和教师交流分享他们的
解题心得。但高一学生的抽象概括能力较弱，由实例到抽象的数学语言，需要教 师的引领。
教学策略分析
在短短的45分钟要让学生经历函数定义发展史上100年的探究 历程，学生不可能独立完
成，这需要教师用材料铺好一条路，要了解学情并对学生的疑问做好预设，难度 大的地方搭
好梯子，本节课以“学生为主体，教师引导”教学原则来设计，着重解决了学生的几个疑问。
1、怎么从初中概念出发得到高中函数概念？
学生的抽象概括能力还很薄弱，这使得用集合语 言刻画函数概念很有难度，如果直接归
纳定义学生会失去刚刚燃起的探究欲望，所以我选择从生活中的三 个实例入手，用问题串引
领学生完成实例的分析，在分析过程中，重点让学生体会每个例子的“变化过程 ”就是对应
法则，初中定义的”某一区间”用集合语言描述就是定义域A，自然过渡到集合语言描述函< br>数概念。师生共同研究得到函数定义；锻炼了学生的语言表达及思辨能力，让学生感受建立
函数模 型的过程和方法。
2、对应法则是指什么？
1

学生会觉得对应法则这个词很陌生，理解不好对应法则就无法真正理解函 数的概念。我
从三个实例中逐一的让学生体会初中定义中的 “变化过程”，第一个例子股票的函数关系 变
化过程是通过图像来展现的，第二个例子国民生产总值的函数关系是通过表格来展现的，第
三 个例子函数关系是通过解析式来表达的，变化过程通过不同的方式呈现，我们把这些呈现
方式理解为函数 的对应法则。
3、为什么要引入抽象符号
①先让学生回忆初中如何设出二次函数？

提问什么要标明？是为了突显自变量是!
现在二次函数可以设为：清楚明了的表达了谁是自变量！
②初中求当 现在可以表示为,简洁清晰。
以上两点需要教师引导，学生才能体会的到，学生这时会从内心对不抵制 ，不惧怕，明
白了它其实就是一种符号语言的表达。

4、如何更深入的理解对应法则呢？
这是本节课的难点。通过学生熟悉的一次函数、二次函 数入手，在求解的过程中和学生
一起发现各自的对应法则是什么；再通过例2的三个小题，让学生体会变 量表达形式不同但
对应法则相同，求函数解析式的过程就是确定对应法则的过程，进而突破难点。


教学过程分析
教学流程：
实例建模、形成概念 讨论研究、深化概念 例题教学、应用概念
知识回顾、总结方法 精炼作业、巩固延伸


◆实例建模、形成概念
实例一 下图的兰色曲线记录的是某天自上午 9：30至下午3：00上海证券交易所的股
票指数的情况,股票指数是时间的函数吗？

实例二 下表列出了我国从1988年到2002年，每年的国内生产总值，国内生产总值是
年份的函数吗？
2

年份
1998
1999
2000
2001
2002
生产总值亿元
78345
82067
89442
95933
102398
实例三 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目 标．炮弹的射高为845m，且炮弹距
地面高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是h＝ 130t－5．炮弹距地面高度h
是时间t的函数吗？为什么？

【师生活动】每个 例子都请同学来判断是否是函数关系,学生的判断过程也是体会运用初中定
义的过程；接着追问“某一范 围”可以用什么来更为准确的描述；“变化过程”是通过什么
来展现的。让学生体会怎么样用集合语言来 描述函数关系。
【设计意图】学生对初中的函数定义理解掌握情况将决定这节课的学习起点，和本节课 建构
知识的基础。这三个实例既巩固了学生对初中定义的理解，也拉齐了学生的起点，为下一步
用集合语言和对应来定义函数做好了准备。从中学生还体会了用集合A来描述比“某一范围
内”更为准确 ；变化过程通过不同的载体来展现：有图像、表格和解析式，这也是函数的几
种表示方法，为下一小节埋 好了伏笔。
概念的形成的阶段从实际问题引出概念，激发学生的兴趣，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学知识的发现、发展的过程。知识不再是生硬的，变成了学生的亲身体验，学
生主动去 探究新知，更好的提升学生的数学素养，提高分析问题的能力。在师生、生生的互
动交流中形成共识，得 到集合观的函数概念：
设集合A是一个非空数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确 定的数y
与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作：y=f（x），x

◆讨论研究、深化概念
讨论点1：找出定义中的关键词，明确高中和初中函数概念的区别和联系。
请同学找到概念中的关键词帮助自己理解吧！
学习了初中高中的函数定义，你能谈谈它们的区别和联系吗？
对应法则本质是相同的，初中是 在运动观下的定义，高中是在集合观下的定义，用集合
这种符号语言来表述概念更加清晰明了，高中还引 入了一个抽象符号来表示函数关系。
下列图中能表示函数关系的是？

学生辨析函数关系的过程就是理解定义的过程。接着给出函数的定义域值域概念：
3

其中x叫自变量，自变量的取值范围（数集A）叫做这个函数的定义域。
如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f（a）或
y. 所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域。
讨论点2：确定函数的要素有哪些？
函数定义 中提到了两个集合：定义域和值域，还有对应法则，能确定两个函数是同一函
数的要素有哪些呢？
学生回答：定义域和对应法则，追问学生为什么引发学生思考。
例1 求下列函数的定义域：
.

①先让学生回忆初中如何设出二次函数？

提问什么要标明？是为了突显自变量是!
现在二次函数可以设为：清楚明了的表达了谁是自变量！
②初中求当 现在可以表示为,简洁清晰。
讨论点4：理解法则
第一步：从一次函数入手，求的过程中和 学生一起发现各自的对应法则是什么？让学生
口答一个二次函数的法则，接下来给出例2，深刻理解对应 法则。
◆例题教学、应用概念
.
.
.
【设计意图】以学生 熟悉的一次函数、二次函数为例，这样贴近学生的最近发展区，能够帮
助学生深入浅出的理解对应法则； 再通过例2的三个小题，让学生体会变量表达形式不同但
对应法则相同，求函数解析式的过程就是确定对 应法则的过程，进而突破难点。通过习题促
进知识向技能的转化，本题中体现了函数中凑项的重要思想， 为日后求解函数解析式做好了
铺垫。问题的产生不是教师刻意提出，而应该是教师通过使用恰当的材料， 陪学生一起探究
新知的过程中自然的产生疑惑，从而激发学生的学习欲望，随着一个个疑惑的解开，完成 教
学难点的突破。

◆知识回顾、总结方法
今天，我们在初中函数定义的基础上，运用集合与对应的语言重新刻画了函数，
回顾一下本节课我们共同学习了哪些知识？
通过比较两个函数的定义，同学们有什么新的收获？
在练习中你积累了哪些解题经验？
引导学生思考回答，老师作适当补充．

◆精炼作业、巩固延伸
4

1.判断下列各式中是不是的函数？
（2） （3）.
2.求下列函数的定义域：

3
..

.
4.已知函数
（1）求的值；（2）求的值；
（3）你从中发现了什么结论？


5

《函数概念》课例点评

一、理解教材和《课标》，恰当分析学生认知水平，并使三者融合
1、基于学生认知设计教学。
首先创设三个问题情景，引导学生利用初中函数定义判断是否为 函数，激
起学生对已有知识的回忆与联想，同时也感受到初中定义的局限性，激发学生
学习新知 的愿望。教师引导学生用“初中
x
在某一确定范围内去理解非空集合
A
”，< br>“初中某一变化过程去理解按照一定对应法则
f
”，这样处理有利于形成知识的
正迁移．
通过学生的“观察分析
?
比较
?
归纳
?
概括”培养学生抽象思维的能力，
同时也培养了学生的创新意识。
2、科学设计，突破难点。
本课难点：一是符号
f(x)
的理解；二是法则的理解。教师列举初中“二次函
（f1）
数一般式
y?ax
2
?bx?c
，
f(x)?ax
2
?bx?c
（
a?0
为常数）”及“当
x?1
求
y
的值，”，
让学生感受引入
f(x)
的简捷性。 教师用具体事例
f(x)?x
2
?1
的法则为变量的平方加1，函数f(x-1)
的变量为
x?1
等引导学生由具体到抽象理解对应法则，感受到由特 殊到一般、具体到抽象
的分析问题的方法。
二．充分激发学生学习主动性
关注学生 的学习过程,充分利用直观、形象、肢体语言等。小组合作探究
的教学方法,营造了一种轻松愉快、团队 合作的学习氛围,让学生在不知不觉中
参与了函数概念学习活动中。本课贵在真实、自然,巧在开放、民 主,妙在营造
了一个贴近生活,学以致用的数学天地。
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