高中数学同步的软件-高中数学老师的课改故事
课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容）
? 教学内容解析：
本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学
（选修2-1）》（人教A
版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2
节“空间向量
的数乘运算”的部分内容。
向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运
算本身又是一个“图形”所以它可
以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用
。本章要学习的空间
向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小
节的主
要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理
立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后
展开的，经
历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，
又为后面用向量解决立
体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学
生类比猜想、自主探索，得出相应的
法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化
归等思想方法，提高数学素养。
? 学情分析：
1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性
运算的学习打下
了坚实的知识基础。
2.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面，发展不
够均衡，尚有待加强，必须在教师一
定的指导下才能进行。
? 教学目标：
1.知识与技能目标：
（1）了解空间向量的概念；
（2）掌握空间向量的加减数乘运算；
（3）掌握空间向量的运算律。
2.过程与方法目标：
（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法；
（2）会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律；
（3）用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题。
3.情感态度价值观目标：
（1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点；
（2）通过变式训练，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。
?
教学重点：
空间向量的线性运算；
? 教学难点：
体会类比的数学方
法；（平面向量向空间向量的推广过程中学生对于其相同点与不同点
的理解有一定的困难）
1
? 教学策略：
多媒体教学、问题式教学、讲授法、类比法、讨论法、自主学习、合作探究
?
教学设计：
1.教学结构设计
2.教学过程设计
? （一）创设情境，导入新课
国庆期间，某游客从上海世博园（
O
）游览
结束后乘车到外滩（
A
）观赏黄浦江，然后抵
达东方明珠（
B
）游玩
，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个
D
过程？
OB
A
OB
图1
A
图2
如果游客还要登上东方明珠顶端（
D
）俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际
发生的位移
是什么？又如何表示呢？
设计意图及效果评价：
图1中的引
入情境即为必修四中“平面向量”章节的引入情境，于学生而言，非常熟
悉。课堂上追问学生，若登顶东
方明珠D又该如何表示，既贴近学生生活实际又自然将平面
向量拓展到空间向量，既揭示了学习空间向量
的必要性，又激发了学生的学习兴趣，也为后
续空间向量的加法运算做了铺垫（尤其是在验证空间向量的
加法结合律）。课堂教学中，起
到了很好的引入效果.
2
? (二)精读教材，概念类比
?
问题一：基本概念的类比
定义
平移
表示法
平面向量
既有大小又有方向的量
几何表示：
自由向量，平移后不发生改变
空间向量
向量的模
相等向量
相反向量
单位向量
零向量
?
????
字母表示：
a
，
AB
?????
向量的大小：
a
，
AB
方向相同且长度相等
方向相反且长度相等
长度为1的向量
长度为0的向量
设计意图及效果评价：
学生对平面向量的知识结构已经比较了解，空间向量的知识结构和它有
很多的相似性，与其
再次由教师喋喋不休地重复，不如让学生自己去阅读、比较、辨别、思悟。
? (三)跳出平面，明确概念
给出以下命题：
①
两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
??
????
② 若空间向量
a
和
b
满足
a?b
，则
a
=
b
；
③ 空间中任意两个单位向量必相等；
④
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。
其中正确命题的个数是_______.
设计意图及效果评价：
此环节
的设计，以题目形式出现，第一：让学生明确空间向量的基本概念和平面向量是
一样的，让学生在不知不
觉中“跳出平面，踏入空间”；第二：对于跟踪练习的第4个问题是
下面在运算法则和运算律类比中非常
重要的一个结论，高中阶段学习的向量是“自由向量”，
所以任意两个空间向量都可以“平移”到同一个
平面内，之所以没有单独拿出来作为思考进
行，是因为想让学生在不知不觉中完成平面向量到空间向量的
思维跨越，同时也自然衔接到
下面的类比当中。
3
? (四)合作交流，运算类比
? 问题二：线性运算法则的类比
平面向量
空间向量
加法运算 三角形法则或平行四边形法则
减法运算 三角形法则
数乘运算
? 问题三：运算律的类比
加法交换律
平面向量
?
ka
（k为正数，负数，零）
空间向量
????
a?b?b?a
加法结合律
?
??????
a?b?c?a?b?c
???
数乘分配律和
结合律
????
?
a?b?
?
a?
?
b
??
??
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
设计意图及效果评价：
学生明确了任
意两个空间向量都可以“平移”到同一个平面内的结论后，那么涉及两个空间
向量的运算法则和运算律的
问题，显而易见是可以平稳对接的，教学过程中让学生合作交流，
相互倾听彼此的声音。实际教学的小组
讨论中出现疑义较多的还是关于加法结合律是否需要
图形验证的问题，有的说需要有的说不需要，最后多
数小组讨论确定的结果是不用进行验证，
原因就是先算两个向量的和，这样这个“和向量”和另外一个向
量的结合还是两个向量的问
题，故此不用验证。听上去很有道理，学生还都认可，其实仔细一想，他们犯
了概念中“偷
梁换柱”的错误，审题出错了。学生说的是求空间三个向量和的问题，可是要是能够更顺理
成章的进行运算，必须要保证加法结合律在空间依旧成立才是可以的。接下来借助引例中的
图2
，让同桌二人分工协作，一个用图形求左边的向量，一个求右边的向量，很轻松的验证
成功，同时让学生
把两个图放到一起就看出了四面体这个空间几何体，又一次跳出平面，跨
入了空间。
经历了结
合律图形验证后，抛出任意三个不共面的向量和如何计算？利用平行六面体进
行求和，再一次验证了结合
律的正确性，同时又得到了第2个重要的结论：“三个不共面的向
量的和等于以这三个向量为邻边的平行
六面体的体对角线所表示的向量。”
4
? (五)独立思考，形成结论
结论1：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量；
<
br>结论2：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的
向量。
设计意图及效果评价：
给学生一些消化的时间，归纳到个人知识体系中，也为后面题组训练打好铺垫。
?
(六)题组巩固，深化理解
题组1：如右图，在三棱柱
ABC?A
1
B1
C
1
中，M为
BB
1
的中点，化简下列各式，
并在图中标出化简得到的向量：
????????
1、
CB?BA
1
；
????????
1
????
2、
AC?CB?AA
1
；
2
A
1
C
1
M
B
1
????????????3、
AA
1
?AC?CB
变题：
AC
?????????????????????
1、
OA
1
?
A
1
A
2
?A
2
A
3
?
?
?A
n?1
A
n
?
_______________；
B
???????????????????
2、
OA
1
?A
1
A
2
?A
2
A
3
?
?
?A<
br>n
O?
_______________。
OA?3
，
OB
?4
，
OC?2
，题组2：如图，在长方体
OADB?CA
1
D
1
B
1
中，
????
?????
OI?OJ?
OK?1
，点
E
，
F
分别是
DB
，
D1
B
1
的中点。设
OI?i
，
OJ?j
，?
?
?????????
?????
OK?k
，试用
i
，
j
，
k
表示
OE
和
OF
。
变题：
C
A
1
K
B
1F
J
????
1、 点
F
为
D
1
B<
br>1
的三等分点（靠近
B
1
），表示
OF
？
????
A
F
OF
2、 点为
D
1
B1
的四等分点（靠近
B
1
），表示？
????
3、
点
F
为
D
1
B
1
的
n
等分点（靠
近
B
1
），表示
OF
？
O
I
D
1
E
D
B
?
?
?
拓展：若点
F
是空间中任意一点，能否用
i
，
j
，
k
表示？
5
设计意图及效果评价：
① 题
组一旨在帮助学生熟练空间向量的线性运算法则，并借助空间几何体增强学生对空间
?????
向量线性运算的直观感知；题组二表明向量
OF
可以用三个两两互相垂直的单位向量
i
，
?
?
j
，
k
线性表示，为后面学习空间向量基本
定理以及正交分解和坐标表示作好铺垫；
② 课堂教学中先练后评，及时反馈。题组二中的三个变题旨
在让F动起来，依旧可以完成
要求。既体现了从特殊到一般的归纳推理，同时又加强了空间向量运算的直
观感知（首
?
?
尾相连，连首尾）。继而推广为一般性的提问，若点F是空间任意一点
，能否用用
i
，
j
，
?????
k
表示向量
OF
？这样的教学不仅为后续知识学习作好铺垫，也指导学生学会在研究问
题方法上进行迁移
。
? (七)总结整理，提高认识
1、
学生总结（提示学生从知识和思想方法上进行总结梳理）
2、 教师总结（体现在板书的生
成上，主要让学生明确本节课的体系，让学生明确研究
问题的基本思路和方法）
?
(八)布置作业，独立探究
书面作业：
课本第89页第1、2题；（必做）
研究性学习：
类比平面向量基本定理，你能得到空间向量平面定理吗？
（从研究方法、研究过程和结论进行类比）
3．板书设计
空间向量及其线性运算
基本概念
运算法则
结论1
类比
运算律
空间向量
平面向量
结论2
工
具
转化
6
本节课是空间向量及其运算的起始课，讲课老师创造性的使用教
材，
不拘泥于教材的框架，既把握了本节课的核心又为以后的学习打
好了很好的铺垫。尤其是整堂课主线清晰
，板书生成的过程美轮美奂，
有种看“美国大片”的感觉。
课堂上，学生验证空间向量运算法
则（尤其是加法结合律）时，
如何作图超出学生原有的认知基础，教学中讲课老师用引例的铺垫以
及整个教学“跳出平面，踏入空间”的思维引领，“逼迫”学生突破
原有的认知结构，构造四面体和平
行六面体。例题的处理，讲课老师
坚持先练后评，将探究的机会还给学生；再请学生讲评，将交流的平<
br>台搭建起来；后由教师问，将前后知识串联起来，帮助学生完善知识
建构。
整个课堂教
学流畅自然，学生于不知不觉之中把向量知识从平面
扩展到了空间，教学过程放手让学生主动探究发现，
虽然是录像课作
为讲课老师并没有提前熟悉学生，提前发学案，而是奉献了一场原汁
原味的优质
课堂，展现了讲课老师的讲课风采以及过人的课堂掌控能
力。
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