找高中数学解答题-高中数学十八题
2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计
正弦定理
2016年10月
第一课时
一、教学内容解析
本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第
一章第一节《正弦定理和余弦定理》。
课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中
的具体运用，更是初中“三角形
边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可
转化为三角形计算的其他
数学问题及生产生活实际问题的重要工具。
本节课的内容共分为三个
层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上，
触碰解斜三角形的思维困惑点，自
然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直角三角形顺利过
渡到即将要面对的解任意三角形，实现知
识的螺旋式上升，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，
在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上
，以此作为启发点，首先对特殊的斜三角形边角量化
关实验验证。其次是严密的数学推导证明，得到正弦
定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证
明，教学过程中充分体现了转化化归的数学思想；第三，解
决引例，首尾呼应，并学以致用。
正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析
化。从三角学的历史发展
来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中
，渗透了学科发展
中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。
通过这三个
层次：探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来，到实际中去。课堂上，
引导学生充分体验、直
观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。
二、教学目标设置
《数学课
程标准》中关于本节课的
课程目标要求是：“在本章中，学生将在已有知识的基础
上，通过对任
意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系，并认
识运用它们可以解决
一些与测量和几何计算有关的实际问题。”
根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为：
1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理；
2、证明正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法；
3、初步熟知正弦定理的两个重要应用。
另外，学生通过亲身经历正弦定理的发现、验证、证
明，体会“陌生的知识借助熟悉的知识处
理” 转化化归的数学思想，培养学生发现问题、提出问题、分
析问题、解决问题的能力；通过自主
探究、合作交流，亲身体验正弦定理的发现过程，培养学生勇于探索
、善于发现、不畏艰难的思维
品质和个人素养；培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法。
三、学生学情分析
1、学生具有的基础
本节课内容安排在高二上学期讲授，学生在
初中已经学过平面几何的相关知识，并能够较为熟
练地解直角三角形，必修四中也刚刚学过三角函数，在
本章节的理解上不会有太大问题。
2、即将面临的问题
学生虽然有一定的观察分析和解决问
题的能力，但是在前后知识的串联上会有一定的难度，学
生对解直角三角形熟悉，但是面对一般的解三角
形问题，解决起来有一定难度。因此，我确定本节
课的难点是借助熟知的解直角三角形知识生成正弦定理
的过程。
3、难点突破技巧
在教学过程中，我特别注重提升学生的学习积极性，尽量多得设
置思维引导点，带领学生一起
分析并解决问题；在问题的处理上，更加注重前后知识的串联，用已有知识
解决新问题，并得到新
知识；学习过程的推进也是逐步实现，环环相扣，循序渐进。
四、教学策略分析
本节课采用问题探究式教学模式，循序渐进，用问题驱动课堂教学，在老师
的引导下，让学生
探究、合作、交流、展示，尽可能多的质疑、探究、讨论，多参与课堂知识的生成和发
现的过程，
形成思维。
五、教学过程
学习目标展示
?
1、
通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理
；
?
2、
证明正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法
；
?
3、
初步熟知正弦定理的两个重要应用
.
学习环节
（一）
实例引入
激发动机
学习目标
观察学生的解决问题的完成
过程，并让学生分
享展示结果，评价
学生的转化化归
能力
，对后续证明
的影响。
评价任务
获取学生解
直角三角形的知
识的
掌握情况，评
价学生设计方案
的合理性。
学习活动
引例1：如图，设A、B两点在河的
两岸，测绘人员只有皮尺和测角仪两种工
具，没法
跨河测量，利用现有工具，你能
利用所学的解三角形知识设计一个测量
A、B两点距离的方案吗
？
（学生发散思维，老师提问发言）
（老师追问）
引例2：如果测量人员任意选取C
点，测出
BC
的距离是54m，
设
计意图
引例1：引导学
生从熟知的直角三
角形出发，解决实
际问题，为后续
处
理一般三角形埋下
伏笔。
引例2：对于一
般三角形，学生比
较熟悉转化为直角
三角形解决，转化
化归的思想为后续
正
弦定理证明埋下
伏笔。
目标1
?B?45
,
?C?60
.问根据这些数据能
解决测量者的问题吗？
学习环节
学习目标
目标1
评价任务
评价学生前后
知识串联的熟练
程度和对新问题
的探究欲望。
学习活动
引例2数学模型：在
?ABC
中，
BC?54
，
设计意图
培养学生数学
建模思维。
?B?45
,
?C?60
.求边长
AB
.
问题：再看这个数学问题，已知三角
形的部分边长和内角，求其他边长和内
角。这个问题其
实是解斜三角形的边角关
系问题。但是没有学过，我们知道在任意
三角形中有大边对大角，小边
对小角的关
系，那么我们是否能够得到这个边、角关
系准确量化的表示呢？
（一）
实例引入
激发动机
在新问题产生
时，学生根据已有
的知识
是迷茫的，
有疑惑的，这时也
是产生知识缺陷，
急需新知的时候，
恰如其分的
勾起了
学生的求知欲。
评价学生利
用三角函数定义
串
联三边和三个
内角数量关系是
否准确合理。
探究一：直角三角形边角数量关系
（引导学生利用正弦函数定义，关键是引
导学生把两个正弦等式
从已有的知识
结构出发，不让学
生在思维上出现跳
跃，逐层递进，通
过已经熟悉的直角三角形的边角关系
的探究作为切入
点，再对特殊的斜
三角形进行验证，
过
渡到一般的斜三
（二）
实验探究 目标1
猜想证明
目标2
ab
?sinA?;sinB?
糅合在一起。）
cc
探究二：斜三角形边角数量关系
实验1：如图，在等边
?ABC
中，
?A??B??C?
?
3
,对应边的边长
a:b:c?1:1:1
，验证
abc
??
是否成立？
sinAsinBsinC
学习环节
学习目标
目标1
目标2
评价任务
评价学生实
验的完成情况，和
实
验结果的准确
性，对实验结果的
认可。
评价展示过
程，观察学生的感
知情况，把握信息
的情况。
学习活动
实验2：如图，在等腰
?ABC
中，
设计意图
角形边角关系的探<
br>究。让学生亲自体
验数学实验探究的
过程，逐层递进，
体会数学实验的归
纳和演绎推理两个
侧面。
?A??B?30
?
,
?C
?120
?
，对应边的
边长
a:b:c?1:1:3
，验证
abc
是否成立？
??
sinAsinBsinC
实验3：借助多媒体动态演示，引导
发现随着三角形的任意变换，
（二）
实验探究
猜想证明
目标1
目标2
多媒体技术的
引入演示，让学生
更加直观感受到变
换，加深理解。
abc
的值相等。
、、
sinAsinBsinC
<
br>猜想：通过这样的一些实验，我们可
以猜想对于任意的斜三角型也存在这样
的边角数量关
系：
大胆猜想，激
发学生探索未知世
界的勇气。
经历猜想到证
abc
??
；
sinAsinBsinC
问题：但是并没有经过严密的数学推
导，那么如何证明这个结论呢？
明的过程，让学生
体会到数学新知识
的获得仅仅靠猜想
学习环节
学习目标
目标1
目标2
评价任务
评价学生证
明过程的展示，证
明方法和解决思
路的能力。
评价学生对
生成概念的理解
的准确程度。
概念生成：
学习活动
证明方法1——作高法和面积法 引导学生利用熟悉的解直角三角形
知识对锐角三角形边角数量关系进行证
明，学生展示证明
过程，并用不同的方法
进行说明。
设计意图
和演绎推理是不
够
的，必须经过严密
的数学推导进行证
明才可以。在这个
过程中，也进一步<
br>促进学生数学思维
品质的提升。
让学生加深对（二）
实验探究 目标1
猜想证明
目标1
目标2
展示正弦定理的定义：我们把三角形
边角关系的这条性质称为正弦定理（law
正弦定理概念的准
of
sines），即在任意一个三角形中，各边
和它所对的角的正弦的比相等，即
确理解
证明方法2——外接圆法
评价学生证
引导学生思考外接圆中直角的生
多种方法的证
明，拓宽
学生思维，
成，并进一步鼓励学生课下对其他证明方
进一步加深对正弦
法的搜集和整理
。
定理的理解。
abc
??
。
sinAsinBsinC
明正弦定理的方
法的掌握程度。
学习环节
学习目标
评价任务
评价学生正
弦定理
解决引例
的情况，和前后不
同解决方法对比
的优越性。
学习活动
带领学生利用正弦定理解三角形，演
示解题过程，解决引例中的疑问，引导学
生对前后方法进行
对比，体会正弦定理的
应用。
借助解决过程给出定义：一般地，把
三角形的三个角<
br>A、B、C
和它们的对
边
a、b、c
叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解
三角形。
设计意图
让学生了解三
角形的概念，形成
知识的完备性。回
过头来，解决引例
中的问题，让学生
体
会学习正弦定理
新知识解决实际问
题的方便，激发学
生不断探索新知识
的欲望
。
（三）
首尾呼应 目标1
解决引例
目标3
关注学生能够使<
br>用规范的数学语
言和符号表述解
题过程，能够顺利
使用正弦定理，体
现
正弦定理的工
具性。
评价学生利
用正弦定理解决
问题的掌握情况。
用
引导学生利用正弦定理解决例题并
展示，教师展示规范的解题过程。
例1：
在?ABC中，已知A?30
通过例题归纳
出正弦定理在解三
（四）
学以致用 目标1
归类总结
目标3
B?45，a?2,求C、b、c.
。
角形中的两个主要
A?30，
引导学生归纳正弦的第一个主要应应用，形成用正弦
定理解三角形的思
路，解决问题，提例2：在
?ABC
中，已知升学习热情，体验
?
a?22
，b?23
，
A?45
，
解三角形。
学习乐趣。
引导学生归纳正弦的第二个主要应
用。
学习环节
学习目标
目标1
目标3
评价任务
了解学生对
正弦定理解三角
形的理解深度，并
引导后续的学习。
学习活动
问题：解三角形还有其他情况吗？
如：已知两边和夹角。
设计意图
串联前后知
识，形成知识串，
激发学生后续学习
的兴趣。
评价学生的
分享内容，把握学
生对所学知识的
理解程度。
提问学生，总结分享收获：
通过学生的总结，突出本节课所学的知识<
br>和技能，提炼学习过程中渗透的数学思想
方法，感受学习成功的喜悦。
有助于加深学<
br>生对本节课重点核
心知识和数学思想
方法的把握，提升
学生的数学素养。
（五） 目标 1
总结升华 目标2
提升素养
目标3
1、正弦定理的其他证明方法；
2、通过以下题目，
在已知三角形两条边
和其中一条的对角的条件下探究三角形
解的情况：
?在?ABC
中，已知
A?45
,
a?
?
课堂的学习时间有限，课后的练
习和探究除了能够
加深对本节课重点
（六） 目标 1
布置作业 目标2
课下探究
目标3
关注学生作业的
完成情况，进一步
跟进学生的学习
和思考。
6，
知识的巩固，还可
以让学生的学习延
b?3
，求
B
;
?在
?ABC
中，已知
A?45
,
a?
?伸到课外，获取更
6
，
2
多数学知识，培养
学生探究的兴趣。
b?3
，求
B
;
1
?
?在
?ABC
中，已知
A?45
,
a?
，
2
b?3
，求
B
;
《正弦定理》点评
本节课以实际问题作为驱动，创设了问题情境，
明确了学习目标。从特
殊到一般，猜想正弦定理，然后证明正弦定理。猜想、证明的流程自然、
有序、明了，体现了学习的认知规律，进行了思想方法的渗透，展示了数
学内在的逻辑力量。“先猜后证
”是数学研究的一般模式，用之于数学教学
也是合情合理的。在学生大胆猜测结论的过程中，还对定理的
发现机制进
行了设计，从形式美的角度大胆猜测，让学生学会欣赏数学结构之美、之
称。然后回
归引例，首尾呼应，通过两个例题，让学初步体会学有所成，
能够及时应用，收获成就感。
课堂教学中，使用多媒体课件和动态演示，以及通过计算器的应用，
辅助于课堂教学，学生手脑并用，两
者结合的恰到好处。
从整体上看，本节课以问题作为知识产生之源，在猜想证明中分析问
题
解决问题，在变式训练中巩固知识。从数学知识掌握的连续性上看，老
师很善于做数学的“减法”，用已
有的知识解决新的知识。提出问题是一门
学科的真正进步。从育人的角度而言，本节课在问题作为引领的
前提下，
让学生充分参与课堂教学，经历探索、发现、解决问题的过程，从而体会
数学的价值，
享受数学学习的乐趣。可以看出本节课设计的理念是新的，
符合新课程标准的理念倡导，是一节优秀的示
范课。