高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计

教材内容分析
本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数 学选
修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学
习了函数平 均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均
变化率的几何意义，迁移至瞬时变化 率即导数的几何意义。
导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技
术中有着广泛的应用 ，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。
在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行
高中教材体系中处于一种特殊 的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不
等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以 更高的观点和更简捷的方
法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。
从纵向看，导数是函 数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，
同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基 础，具有承前启后的重要作
用。
学生学情分析
学生在高一年级的物理课程中 已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在
某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出 函数在某点的平均变
化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．
而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数?y
y?f(x)
的图像，平均变化表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下
?x
了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后，立即让学生继续探索导数的几
何意义， 学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。

教学目标
1、知识与技能目标
会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用
导数的定义求简单函 数在某点处的导数，掌握求导数的基本步骤，初步学会求解
简单函数在一点处的切线方程。
2、过程与方法目标
通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体 会
逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感态度与价值观

经历数学发现过程 ，感受数学研究方法，提升数学学习兴趣和信念，应用图
形计算器进行数学实验中改善数学学习的方法。
教学重点 导数概念的建构及用定义求导数的方法。
教学难点 导数的几何解释及切线概念的形成。
教学策略分析
采用“教师适时引导和学生自主探究发现 相结合”的教学方式．课堂教学始
终贯彻“教师为主导、学生为主体，探究为主线，思维为核心”的教学 思想.
利用数学实验室，学生更好的进行合作探究活动，借助图形计算器让学生通
过计算亲身 体验，同时借助多媒体动态演示，让学生感受逼近的思想方法。
从去年南京宝马车肇事案，介绍南京交 警如何对小车进行测速，提高学生对
求瞬时速度的兴趣欲望，以已知探求未知，激发学生的学习热情；引 导学生自主
操作数值逼近求出瞬时速度，从而得到导数的定义，注重抽象概念不同意义间的
转换 ，再从惠普图形计算器的一个动态演示，让学生探索出导数的几何意义。
教学过程设计
一、设置问题情境
生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，
奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。科学上对瞬时速度的研究也
是非常有必要的 ，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每
个瞬间的速度都相等。
（设计意图：自然引出瞬时速度的定义，激发学生对瞬时速度的求知欲）

而在去年6月份， 震惊全国的南京宝马车肇事案中，车辆经过事发路口时候，
车速达195.2kmh。南京交警是怎么鉴 定这个速度的呢？从一份鉴定报告书中，
我们可以看到，监控视频的两次抓拍的过程中，汽车移动的距离 是3.615m，时
1
间间隔为s。通过计算，发现交警鉴定的速度是用位移除以时间。那么， 交警
15
的这种用平均速度来计算瞬时速度的方法合理吗？为什么？
（设计 意图：引导学生，当时间间隔非常小，平均速度与瞬时速度就极为
接近，从而为探求瞬时速度埋下伏笔）
二、问题情境，数学探究
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的
时间t(单位：s )存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10，求ｔ＝2时的瞬时速度。

问题1、能否借助南京交警的测速方法，来解决这个问题？
（设计意图：引导学生由已知探求未知，激发学生学习热情）
t在[2,2.1]，[2,2.01]，[2,2.001]内的平均速度分别是多少？

要使得到的瞬时速度更精确，时间的间隔就要很小，那繁琐的计算，能否引
进一个量，使其得到简化？
h(2??t)?h(2)
以上三个式子可以统一写成
v?

?t
（设计意图：注重数学思想方法的渗透，将复杂计算引入变量可以化成简单统一）
Δ
t
的取值可正可负。用计算器动手实践，完成：Δt＝0.1，0.01 ，0.001，

0 .0001，0.00001及Δt＝－0.1，－0.01，－0.001，－0.0001，－0.0000 1时，
即在区间[2，2＋Δt]内所对应该的平均速度
v
。
通过计算器的终端控制系统，读取学生的实验结果。
_

（利用图形计算器，让学生更深刻的感受到数值的逼近）
问题2、当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？
学生通过观察发现：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的
值-13.1。
总结：这个确定的值即瞬时速度，为了更明确的表述趋近的过程,可用极限的
h(2?? t)?h(2)
??13.1
?t?0
?t
思想来表示,即
lim
（设计意图，利用极限思想，将函数表达式抽象化）
三、模型建构
问题3、如果将以上问题中的函数用
f(x)
来表示，那么函数
f( x)
在
x?x
0
处
的瞬时变化率该如何表示呢
f(x0
??x)?f(x
0
)
?y
?lim

?x?0
?x
?x?0
?x
总结：我们就把这个瞬时变化率称为导数。导数的的定义：表达式
引导学生写出
f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率可表示
lim

?x?0
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
?lim
，即
y?f(x)
在
x?x0
处的导数。记作
f
?
(x
0
)

?x?0
?x?x

（设计意图：由平均变化率到瞬时变化率，再由平均变化 率到瞬时变化率，符合
学生的认知过程。要注重对抽象表达式的理解）


四、模型解释（导数的几何意义）
介绍导数的小故事：导数是微积分的核心内容之一 。在17世纪，英国的物
理学家牛顿与德国的几何学家莱布尼茨在不同的国度不同的领域创立了微积分。牛顿从运动学，即瞬时速度的方向研究，莱布尼茨则是在几何学角度去研
究。莱布尼茨是研究的 方向是怎样的呢？
f(x??x)?f(x
0
)
?
常数A，这是从 问题4、我们已经知道，
?x?0
时，有
0
?x

代数的角度来刻画的，那么是不是可以从几何的角度来加以描述？

解释几何构造： 设点
P(x
0,
f(x
0
)),Q(x
0
??x, f(x
0
??x))
，则
可表示为曲线的割线PQ的斜率
f(x< br>0
??x)?f(x
0
)
?x
学生用图形计算器在几何学的A PP中进行操作，探索
?x?0
时
f(x
0
??x)?f(x
0
)
的无限逼近值的几何意义
?x

总结概括：函数y=f(x )在点x0处存在导数时，导数的几何意义为：函数在
该点处切线的斜率。
五、应用拓展
例题讲解 课本例题1
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种产品，需要对原油进行冷却或者加热，
如果在第x h时 ，原油的温度为
y?f(x)?x
2
?7x?15(0?x?8)
。计算第2 h 与
第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。

练一练
1、求函数f(x)=
x
在x=3处的导数。

2

2、求
y?

1
在x=1的导数，并求出在该点处切线的斜率
x
六、复习小结
1、导数的概念的形成过程
?y
（3）取极限。
?x
3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般

马克思曾对微 积分作过一番历史考察，他把这一时期称为“神秘的微积分”
时期，并有这样的评论：“于是，人们自己 相信了新发现的算法的神秘性。这种
算法肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的（而且在几何应用上 是惊人的）
结果。人们就这样把自己神秘化了，对这新发现的评价更高了，使一群旧式正统
派数 学家更加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这种叫嚣甚至在数学界以外产生了
反响，而为新事物开拓道路， 这是必然的。”恩格斯早就指出：“一个民族想要
站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。”
板书设计

1.1导数的概念及几何意义

h(t
0
??t)?h(t
0
)

1.瞬时速度
lim
例１
?t?0
?t


2.
f(x)
在
x?x
0
处的导数：


?y
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
?x



f(x
0< br>??x)?f(x
0
)
?lim
?x?0

?x

3.导数的几何意义：

在该点处切线的斜率






点评
这堂课是新课改后的一种 新的教学模式。体现了信息技术与数学学科的高
度融合。利用图形计算器进行数学实验，经历“提出问题 ——设计实验——动手
操作——思考归纳——解决问题”这几个环节，使数学实验教学与问题解决教学< br>的有机结合，充分体现了学生的主体地位，让学生经历数学发现的过程，自主探
究，激发学生求知 欲望，提高学生对数学的兴趣。
这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过 程。
提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，
促进了个性 化学习。准确的把握了课程标准的要求和教材的编写意图．从教学目
标的设置及课堂活动过程看，突出了 对实例的感悟及由平均变化率到瞬时变化率
过程的经历，切实突出了本节的重点．
充分的为学 生的自主学习与合作学习创设了良好的时空，不仅课堂活动严谨
2、求导步骤：（1）求
?y< br>（2）求

有 序，强化了学生对知识形成过程的感知，而且为学生提供了科学的学习与研究
问题方法的指导．
利用图形计算器平台辅助教学，不仅丰富了学生的直观感悟与经历，化解了
教学难点，还优化了对平均 变化率数值的计算，较好的提高了课堂教学的效益．

《导数的概念》课例点评

这 堂课是新课改后的一种新的教学模式。体现了信息技术与数学学科的高
度融合。利用图形计算器进行数学 实验，经历“提出问题——设计实验——动手
操作——思考归纳——解决问题”这几个环节，使数学实验 教学与问题解决教学
的有机结合，充分体现了学生的主体地位，让学生经历数学发现的过程，自主探究，激发学生求知欲望，提高学生对数学的兴趣。
这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了 一个完整的数学探究过程。
提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程 ，
促进了个性化学习。准确的把握了课程标准的要求和教材的编写意图．从教学目
标的设置及课 堂活动过程看，突出了对实例的感悟及由平均变化率到瞬时变化率
过程的经历，切实突出了本节的重点．
充分的为学生的自主学习与合作学习创设了良好的时空，不仅课堂活动严谨
有序，强化了学生对 知识形成过程的感知，而且为学生提供了科学的学习与研究
问题方法的指导．
利用图形计算器 平台辅助教学，不仅丰富了学生的直观感悟与经历，化解了
教学难点，还优化了对平均变化率数值的计算 ，较好的提高了课堂教学的效益．