1.2.1排列(公开课教案)

1．2．1排列
上课班级：高二（19）班 授课教师： 赵寿忠
教材：人教版 选修2—3
教学目标：
1、知识与技能：了 解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，
并能运用排列数公式进行 计算。
2、过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题
3、情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.
教学重点：排列数公式的理解与运用；排列应用题常用的方法有直接法，间接法
教学难点：排列数公式的推导
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体
内容分析：
分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个 划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的
这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标 准，最后在确定的标准下进行分类.分
类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计 数原理是指完成一件事的任何方
法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才 算完成这件事，每步中的
任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别 的，分类计数原理
更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教 学的起始阶
段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题. 只有这样才能 使学生
认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的
基础
分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、 组合
问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的< br>始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.
排列与组合都是研究从一些不 同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同
方法的问题.排列与组合的区别在于问题 是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是
组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别 重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，
但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底 与顺序有无关系.
教学过程：
一、复习引入：
1分类加法计数原理： 做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有
m
1
种不同
的方法， 在第二类办法中有
m
2
种不同的方法，??，在第n类办法中有
m
n
种不同的方法那么
完成这件事共有
N?m
1
?m
2
?
?m
n
种不同的方法
2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有
m
1种不同的方
法，做第二步有
m
2
种不同的方法，??，做第n步有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事有

1

N?m
1
?m
2
??
m
n
种不同的方法
二、讲解新课：
问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中 一名同学参加
上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

图 1.2一1
把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，c中
任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是
ab,ac,ba,bc,ca, cb,
共有 3×2=6 种．
问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同
的三位数？
第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；
第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个
数字中去取，有 3 种方法；
第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2
个数字中去取，有 2 种方法．
根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，
按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有
4×3×2=24
种不同的排法， 因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．

由此可写出所有的三位数：
123，124, 132, 134, 142, 143，
213，214, 231, 234, 241, 243，
312，314, 321, 324, 341, 342，
412，413, 421, 423, 431, 432 。
同样，问题 2 可以归结为：
从4个不同的元素a, b, c，d中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种

2

不同的排列方法？
所有不同排列是
abc, abd, acb, acd, adb, adc,bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,
cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.
共有4×3×2=24种.
树形图如下


a b ｃ ｄ

ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｄ ａ ｂ ｄ ａ ｂ ｃ

2．排列的概念：
从
n
个不同元素中，任取
m
（
m?n
）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺
．． ．．
序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列< br>．．．．．

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
尝试练习1：．下列问题中哪些是排列问题？
（1）10名学生中抽2名学生开会
（2）10名学生中选2名做正、副组长
（3）以圆上的10个点为端点作弦
（4）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线
（5）有10个车站，共需要多少种车票？
（6）有10个车站，共需要多少种不同的票价？
3．排列数的定义：
从
n
个不同元素中，任取
m
（
m?n
）个元素的所有排列的个数叫做从
n
个元素中取出
m
元m
素的排列数，用符号
A
n
表示
注意区别排列和排列数的不同 ：“一个排列”是指：从
n
个不同元素中，任取
m
个元素按照
一定的 顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从
n
个不同元素中，任取
m
（
m?n
）个元素的
．．．．．
m
所有排列的个数，是一个数所以符号
A
n
只表示排列数，而不表示具体的排列
4．排列数公式及其推导：
3 3
求
A
n
可以按依次填3个空位来考虑，∴
A
n
=
n(n?1)(n?2)
，
m
求
A
n
以按依次填
m
个空位来考虑
A
n
?n(n?1)(n?2)
m
(n?m?1)
，
排列数公式：
m
A
n
?n(n?1)(n?2)(n?m?1)

（
m,n?N,m?n
）
说明：（1）公式特征：第一个因数是
n
，后面每一个因数比它前面一个
少1，最后一个因数是
n?m?1
，共有
m
个因数；

3
?

（2）全排列：当
n?m
时即
n
个不同元素全部取出的一个排列 < br>n
全排列数：
A
n
?n(n?1)(n?2)2?1?n!
（ 叫做n的阶乘）
另外，我们规定 0! =1 .
n
A
n
n!
.
A?
n?m
?
A
n?m
(n?m)!
m
n
尝试练习2：
3
64
1. 计算：（1）
A
16
;(2)
A6
;(3)
A
8

32
2. 解方程：
A
2
=100
A
xx

n?1
n?3
3. 求
A
2n
+
A
4

例1．(课本例2)．某年全国 足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在
主、客场分别比赛一次，共进行多少场比 赛？
解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素2
的一个排列．因此，比赛的总场次是
A
14
=14×13=182.
例2．(课本例4)．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析 ：在本问题中，0到9这10个数字中，因为0不能排在百位上，而其他数可以排在任意位
置上，因此。 是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题
解法 1 ：由于在没有 重复数字的三位数中，百位上
的数字不能是O，因此可以分两步完成排列．第1步，排
百位上的 数字，可以从1到9 这九个数字中任选 1 个，
1
有
A
9
种选法 ；第2步，排十位和个位上的数字，可以从
2
余下的9个数字中任选2个，有
A
9
种选法（图1.2一

5) ．根据分步乘法计数原理，所求的三位数有
1
A
9
?A
9
2
=9×9×8=648（个） .
3
解法 2：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为
A
10
，其中 O 在百位上的 排列数
2
是
A
9
，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字 的三位数的个数，
32
-
A
9
=10×9×8-9×8=648.
A
10
巩固练习：课本20页1，5，6
课外作业：1.第27页 习题1.2 A组4，5，6，7
2投影思考1、2
教学反思：



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