高中数学《函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质》公开课优秀教学设计

课题： 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（第一课时）
教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修4
一、内容与内容解析
1．本课地位和作用
三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和 其他
领域中具有重要的作用．“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”是三角函数的一个重要内
容，通过揭示参数A，ω，φ变化对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，有助于进一
步深化对 函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象
的重要数学模型．
2．本课内容剖析
“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”主要是探讨函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数
y＝sinx的图象之间的关系．图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上点的位
置变化，而点的位 置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，
只需研究图象上每个点坐标的变化规律 ．
本节课是“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”的第一课时，本节课的教学设计是先
分 别探讨φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影 响，
再探究y＝sin(2x＋1)的图象和y＝sin2x的图象之间的变换关系．其中，对参数φ< br>的研究方法可以迁移到后续问题解决中去．
本节课的重点是：对
y＝sin(x＋φ)、
y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象和
y＝sinx的图象之间的变换规律的理解.

二、目标与目标解析
1．分别探究φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图 象
的影响；
2．在理解φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A> 0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的
变换规律的基础上，探究ω不为1时的平移变换；
3．让学生自主探究研究策略，经历从具体到抽象、由感性到理性的研究过程，
培养学生的认知策略．
三、学生学情分析
在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角函

数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内容的延伸
和拓展，从“形”的角度上升到从“点的坐标”这一代数本质去理解图象的变换规
律．
1．参数φ引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？在教
学中引导学生理性思考， 让新旧知识交汇，有利于提升学生对平移变换的理解；
2．A、ω对y＝Asinx(A>0)、y＝ sinωx(ω>0)图象的影响，由学生类比方法独立
研究．其中，参数A和ω的取值，学生会忽视0 ＜A＜1和0＜ω＜1情况，在这里
注意引导，从而全面认识参数A和ω的变化引起的图象变换． 通过本节课的学习，学生经历从由形导数到由数释形的深化过程，形成研究函
数图象变换的一般策略 ．
四、教学策略分析
本节课的难点是：①伸缩变换；②ω不为1时的平移变换．
突破难点的策略是：①通过探讨φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响，初步感悟变换
的实质，进而类比 探究A、ω对y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响．比
如，从y＝si nx到y＝sinωx，代数上是用ωx代换x，因此是将y＝sinx图象上坐标
1
为(x< br>0
，y
0
)的点变换到坐标为(x
0
，y
0
)的点，所以是将y＝sinx图象上各点纵坐标不
ω
1
变、横坐标变为原来的
ω
；②从y＝sin2x的图象变换到y＝sin(2x＋1)的图象，究竟
1
是向 左平移1个单位还是
2
个单位？突破难点的方法是通过坐标变换理性分析，如
果学生仍 有困难，结合几何画板作图观察．
教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个具体的例子，增加 供归纳的样
本，让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，逐步概括图象变换的规
律 ．学生通过充分地思考和探究，发现函数图象之间的关系，并对结论进行理性思
考，从中学习解决问题的 一般方法．
本节课遵循自主探究的教学方式，因为每个人的知识、能力不同，因此认识问
题的 习惯与特点不同，所以本节课并不把探究过程设计成一个封闭的、静态的系统，
而是设计为一个动态的、 开放的系统，充分发挥学生的主观能动性，这有利于学生
认知策略的发展．
五、教学过程


创设情境，提出问题

以问题为载体

以活动为主线








1. 创设情境、提出问题
研制策略，优化方案
合作探究，感悟方法
类比方法，自主探究
思考巩固，深化铺垫
整理小结，规划任务
如图，摩天轮的半径为A m (A>0)，摩天轮逆时针做匀
速转动，角速度为ω rad／min (ω>0)，如果当摩天轮上点
P从图中点P
0
处开始计算时间．请 在如图所示的坐标系
中，确定时刻x min时点P的纵坐标y．
【设计意图】
用数学的眼光观察世界，感悟函数y＝Asin(ωx＋φ)是刻画自然界周期现象的常
见的数学模型， 具有丰富的自然背景．借助于实际意义来理解函数y＝Asin(ωx＋φ)
的图象性质是自然的、清楚 的、明白的！
师生活动：先将点P
0
置于x轴正半轴上，利用正弦函数的定义得到y ＝Asinωx；再
将点P
0
置于如图所示位置，得到在时刻x min时点P的纵坐标y＝Asin(ωx＋φ)．
小结：形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数在生 活中经常可见，
如弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移满足
y＝Asin(ωx＋φ )，如图所示．再比如潮汐现象中水位的
高度等也满足这个解析式，因此今天我们来探讨这个
函 数，为了探讨方便，这里A>0，ω>0．
设问1：按照我们以往的经验，一般我们通过什么方法研究或认识函数的性质呢？
结论：图象．
板书课题：函数y＝Asin(ωx＋φ)（A>0，ω>0）的图象
设问2：显然，参数A，ω，φ取不同实数，我们就得到不同的函数表达式，进而

函数图象就发生变化，在这个大家庭中，有你熟悉的函数吗？
结论：函数y＝sinx．
2．研制策略，优化方案
问题1：如何由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象？
师生活动：引导学生制定研究方案，教师板书方案．
小结：在比较讨论的基础上确定本节课的 研究方案，即相对固定其中2个，仅一个
变动，先分别探讨φ、A、ω对函数y＝sin(x＋φ)、y ＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)
的图象的影响，再综合．
【设计意图】
首先，强调面对一个问题，让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决问
题的方法;其次， 面对多变量问题，学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化，
体会从简单到复杂的研究问题的一般方法 ．
3．合作探究，感悟方法
问题2：如何由y＝sinx的图象得到y＝sin(x＋1)的图象？
师生活动：①让学生 们说一说，几何画板作图验证，追问学生“为什么？”；②再
π
举几个例子如：y＝sin(x －1)，y＝sin(x＋
3
)； ③抽象到一般．

板书： y＝sinx ———————→ y＝sin(x＋1)

点M (x
0
，y
0
) ———————→ 点N(x
0
－1，y
0
)

向左(
φ>0
)或向右(
φ<0
)
y＝sinx ———————→

y＝sin(x＋φ)
平移|
φ|
个单位
向左平移1个单位
点M (x
0
，y
0
) ———————→ 点N(x
0
－φ，y
0
)
【设计意图】

第一，人们认识问题大多从具体到抽象，具体的研究清楚了，抽象的就不难了；
第二，引导学生说明为什么？从形上说图象变换是图象上每点的位置变化，从数上
讲是点的坐标变化，这 里找出是纵坐标相同的两点，从横坐标的变化关系解释平移
变换．
着重探讨清楚φ对函数y＝ sin(x＋φ)的图象的影响，学生可以将探究方法迁移
到后续对A、ω的探究中去．
4．类比方法，自主探究
问题3：(1) 如何由y＝sinx的图象得到y＝Asinx(A>0)的图象？
(2) 如何由y＝sinx的图象得到y＝sinωx(ω>0)的图象？
师生活动：让学生类比之前的方法自主探讨，然后交流．
① y＝Asinx(A＞0)的图 象可以看作是把y＝sinx图象上所有点在横坐标不变的情况
下纵坐标变为原来的A倍得到的．


板书： y＝sinx ————————→ y＝Asinx (A>0)
纵坐标变为原来的A倍
横坐标不变

点M (x
0
，y
0
) ————————→ 点N (x
0
，Ay
0
)

② y＝sinωx(ω＞0 )的图象可以看作是把y＝sinx图象上所有点在纵坐标不变的情况
1
下横坐标变为原来的< br>ω
倍得到的．

纵坐标不变
板书： y＝sinx ————————→ y＝sinωx (ω＞0)
1
横坐标变为原来的倍
ω

x
0
点M (x
0
，y
0
) ————————→ 点N (
ω
，y
0
)
【设计意图】
类比前面的探讨方法，请学生 独立探究A、ω对y＝Asinx、y＝sinωx的图象有
什么影响.此处不仅从形的角度认识规律， 更加突出从点的坐标这一数的本质去理
解，实现思维水平的提升.
设问3：刚才我们分别探讨了φ、A、ω对函数图象的影响，我们是怎样研究的呢？
结论：（1）从特殊到一般；（2）作图比较；（3）理性分析．
小结：φ引起的是图象的平 移变换，A、ω引起的是图象的伸缩变换．图象变换的
本质就是图象上每个点的位置变化，而点的位置变 化对应了点的坐标的变化．因此，
欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律．
5．思考巩固，深化铺垫
探究：如何由y＝sin2x的图象得到y＝sin(2x＋1)的图象呢？
1
师生 活动：学生讨论后交流．这里是向左平移1个单位还是向左平移
2
个单位？①
利用几何 画板画图观察，②从坐标关系理性分析．

板书：
y＝sin2x ————————→ y＝sin(2x+1)

1
点M(x
0
，y
0
) ————————→ 点N(x
0
－
2
，y
0
)
小结：从中发现，横向变换只对x的变化而言，同理纵向变换仅对y的变化而言．

1
向左平移个单位
2

11
y＝sin2x的图象 向左平移
2
个单位，得到的函数图象对应的解析式是y＝sin2(x＋
2
) ，
1
而不是y＝sin(2x＋
2
)．
【设计意图】
探 讨y＝sin(2x＋1)的图象与y＝sin2x的图象的关系，仅作为平移变换的巩固，
深化对变换 本质的把握，为下节课的研究铺垫. “为理解而学习、教学”是建构主
义的核心目标．
鼓励 学生进行探究，并用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维，鼓励学
生对出现的不同结论进行探讨， 找出问题的正确解答．这样做有利于培养学生的学
习积极性，有利于培养学生的思维能力．
6．整理小结，规划任务
小结：今天我们分别探讨了φ、A、ω对函数 y＝sin(x＋φ)、
y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变换规律，下面
探讨什么呢？
【设计意图】
培养学生反思的习惯，确定接下来的探讨内容和方法.
布置作业：1．阅读课本（系统回顾本节课学习内容，学习规范表达）；
2．书第39页练习第1题，第4题．

《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（第一课时）》一课的点评

本节课的引入环节，教师通过摩天轮这一实际问题，让学生从实际背景中抽象
出具体的数学模型，不仅 紧扣了函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期性这一特点，而且让学
生感受到研究这一函数模型的必要性 ．
对于问题1——“如何由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的 图
象？”，教师留给学生充裕的时间和空间，让学生自主探究研究策略，并通过师生、
生生交流 ，展示不同学生的研究思路．学生在合作学习与交流研讨中，逐步体会多
变量问题的研究方法——通过控 制变量的个数将复杂问题简单化，领会从简单到复
杂的研究问题的一般方法．在此过程中，学生主动参与 知识的建构过程，这有利于
认知策略的发展．
本节课的重点是分别探究φ、A、ω对y＝si n(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)
的图象的影响．在教学中，教师 对教材理解准确到位，不是简单地利用“五点法”
来作图，这是因为“五点法”作图是在已知函数图象的 基本形状与特征的前提下所
采用的一种简化作图的方法，而此时对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 的特征尚不清
晰，因此本节课的重点是探究参数φ、A、ω对函数图象的影响．在研究过程中，
教师紧扣“研究图象的变换规律实际上就是研究图象上每个点的变化规律”这一本
质来进行教学，先重点 研究了参数φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响，初步感悟欲研究
函数图象的变换规律，只需研究图象 上每个点坐标的变化规律，进而让学生类比已
有的研究方法，自主探究另两个参数对函数图象的影响．从 最后一个问题（如何由
y＝sin2x的图象得到y＝sin(2x＋1)的图象呢？）来看，学生能够 抓住图象上任意一
点坐标的变化关系正确解答问题，很好地达成了本节课的教学目标．
本节课 活动充分，教师注重通过问题引导，启发学生思考，让学生在自主思考
与相互交流中，探究研究方法，从 中获得研究函数图象变换的一般方法．