新高一必修数学《集合》公开课讲义

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1.1.1集合的概念
（45分钟公开课 由智华教育杨老师提供）

入课部分：同学们先考虑一下老师提出的一下3个问题。
（1）2012年沈阳市中考的考生都是谁？
（2）不等式2x-1<0的解是什么？
（3）一元二次方程的
x?
2
x?
0
的根是什么？
2
一、集合（简称为集）概念：能够确定的不同的对象所构成的整体称为集合。
．．．．．．
元素：构成集合的每个对象叫做元素。
例1:判断下列语句能否构成集合
（1）沈阳31中高一2班身高超过170cm的男生。
（2）沈阳31中高一2班身高较高的男生。
（3）小于0的整数
（4）较小的整数
注意：利用集合概念中的确定性来判断集合，使学员明白确定性与相对性的区别。
二、元素与集合的关系：集合一般用大写字母A、B、C…来表示，
元素一般用小写字母a、b、c…来表示；
如果元素a是集合A中的元素，记a∈A，读作“a属于A”，
如果元素a不是集合A中的元素，记a
?
A，读作“a不属于A”；
如：集合A={5,6} 2∈{1,2,3}；5
?
{1,2,3}
三、通过
x??1
引入空集概念
空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作
?

注意：0
?
?
；空集是一个集合而不是一个元素。
例2：下列说法正确的是（ ）
A．0
?
?
B．
?
?
0C．0
?
{0} D．
?
?
A
注意：集合与集合之间不能用
?
符号。
四、集合的性质：①确定性：集合中的元素必须是确定的，不能含混不清。
②互异性：集合中 不能有重复的元素。如：{1,2,3,4}是集合，{1,1,2}是错误的表示方法
③无序性：集合中元素可以任意排列。如：{1,2,3}={3,1,2}
说明：如果两个集合中的元素完全相同，则这两集合为相等集合。
例3：已知集合
A ?{x,xy,x?y},B?{0,x,y}
，且A=B，则
x?
________ ___，
y?
___________。
五、集合的分类：1、按照集合中元素的个数分类
①有限集：含有有限个元素的集合。注：空集
?
是有限集。
如：大于2小于10的整数； 方程3x+1=0的根。
②无限集：含有无限个元素的集合。
如：所有的实数；线段AB上的点。
2、按性质分类
①数集；如：{1,2,3}
②点集；如：{（2,1）（1，2）（3,8）}
③其他集合；如{平行四边形}，{高一1班的学生}，{身高超过170cm的人}
强调：不能写成{所有平行四边形}，在{ }里面不能有全体、所有等全称量词存在。
六、用某些字母表示常见集合：
*
①自然数集：记做N； ②正整数集：记做N或N
+
，或Z
+
；
③整数集：记做Z； ④有理数集，记做Q； ⑤实数集：记做R
2

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强调：*与+号的区别：*号代表除去0以外的数， +号代表一个数域的正向部分。
*
如：R
-
表示负实数；Q
+
表示正有理数；R表示表示非0实数。
例4：用符号
?
或
?
填空：
0_____｛0｝，0__ ___
?
，a_____｛a｝，π____Q，
1
*
_____Z ，－1_____R
-
，0_____N．
2
七、集合的表示
1、列举法：把集合中的所有元素都列举出来，写在“{ }”内。
A=
?
?1,1
?
B={2,4,6,8,10,12,14,16}
注意：列举法也可以表示无限集，如：自然数集{0,1,2,…,n,…}
但列举法不能表示无规律的无限集，如：{0,
2
,-1,
?
,
1< br>,…}这样表示是不正确的，因为不
3
满足集合的确定性。 < br>2、描述法：形式为：{x|p(x)}，其中x为代表元素，p(x)为代表元素所具有的性质（特征性 质）。
22
如：1、方程x-1=0的根所够成的集合可以表示为{x|x-1=0}={-1,1}
2、大于3的全体偶数：{x|x>3,x=2k,k
?
N}
例5：用列举法表示下列集合
① 20以内的质数集合②
{(x,y)|
?
?
x?y?1
}

?
xy??6

例6：用描述法表示下列集合
①
?
?1,1
?
②在自然数内，小于100的奇数所构成的集合 ③平行四边形全体

八：难点解读
1、一个集合可以有多种表示方法：
2
如：①{-1,1}={x|x-1=0}={x|(x+1)(x-1)=0}={t||t|=1 }
②{x|x是正奇数}={x|x=2k+1，k
?
N}={x|x=2k-1， k
?
N
+
}={x|x=2k-1，k
?
Z
+}
③{x|x
?
1}={x|y=
x?1
}={y|y=x+ 1}={y|y=x+2x+2}
2、同一个特征性质表示不同的集合
22
①A= {x|y=
x?1
}表示x的取值范围。A={x|x
?
1}
②B={y|y=
x?1
}表示y的取值范围。A={y|x
?
0}
③C={（x，y）|y=
x?1
}表示在直角坐标系中曲线y=
x?1上点的坐标。
（此部分没时间可以不讲）

课上习题：
1、下列各 组对象：①接近0的数的全体②比较小的正整数全体③平面上到点O的距离等于1的点的全体④正
三角形 的全体⑤2中16岁以下的学生，其中能构成集合的组数是（ ）
A、2组 B、3组 C、4组 D、5组
2、下列说法错误的是（ ）
A、平面直角坐标系中的所有整点（纵横坐标都是整数的点）可形成一个集合
B、小于0.01的整数的集合是有限集
C、0
?
Q，0
?
Z
D、｛0｝表示仅含有一个元素0的集合
3、
用符号?或?填空：

（1）-3N；（2）3.14Q；（3）
（5）
3
Q；（6）
?
1
Q；（4）0Φ
3
1
R；（7）1N
+
；（8）
?
R。
2
4、若集合
A?{xax
2
?2x?1?0,a?R,x?R}
中 只有一个元素，则
a
=___________。

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5、用适当的方法表示下列集合（1）36的正约数集合 （2）A={(x,y)|y=x-1,
x?2,x?Z
}
6、若-3∈{a-3,2a-1,a+1},求实数a的值。

（讲不完留作业）


2
2
课后练习
1、判断下列命题真假
⑴很小的实数可以构成集合；（）
⑵集合｛1，5｝与集合｛5，1｝是不同的集合；（）
⑶集合｛（1，5）｝与集合｛（5，1）｝是同一个集合；（）
⑷由1，
36
，，0.5组成的集合有4个元素．（）
24
2、有 下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为
{1,2,3}
或
{3,2,1}
；
（3）方程
(x?1)
2
( x?2)?0
的所有解的集合可表示为
{1,1,2}
；（4）集合
{x4? x?5}
是有限集.
其中正确的说法是（）
A. 只有（1）和（4） B. 只有（2）和（3）C. 只有（2） D. 以上四种说法都不对
3、已知有下 列四个命题：①
?
0
?
是空集；②若
a?N
，则
? a?N
；
③集合
A?x?R|x
2
?2x?1?0
有两个 元素；④集合
B?
?
x?Q|
其中正确命题的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
4、已知集合
M ?{xmx
2
?2x?m?0,m?R}
中有且只有一个元素的所有
m
的值组成的集合为
N
，则
N
为
（ ）
A.
?
?1,1
?
B.
?
0,1
?
C.
?
?1,0,1
?
D
N?R

5、若集合
A?{x,xy,xy?1}
，其中
x?Z
，
y?Z
且
y?0
，若
0?A
，则A中元素 之和是___________。
6、定义集合运算:
A?B?zz?xy,x?A,y?B
.设
A?
?
1,2
?
,
B?
?
0 ,2
?
,则集合
A?B
的所有元素之和
为．
7、已知集 合A={a+2，(a+1)
2
，a
2
+3a+3}，若1
?
A，则a值为多少？










2222
8、设集合A={x-y,x+y,xy},B={ x-y,x+y,0 }，且A=B，求实数x和y的值及集合A、B。
??
?
?
6
?
?N
?
是有限集，
x
?
??