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《2.2.2对数函数及其性质》教学设计
一、内容与内容解析
对数函数是
学生在高中阶段接触到的第二个基本初等函数,在基本初等函数
(Ⅰ)中起到了承上启下的作用。 本节课的主要任务是在学习对数的概念与运算性质之后,类比研究指数函数
的过程认识对数函数。这
节课是第一课时内容,主要介绍对数函数的图象和性质
以及性质的简单应用。
二、目标与目标解析
本节课的教学目标是:
1、理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;
2、能画出具体的对数函数的图象,借助图形计算器探索对数函数的性质;
3、能利用对数函数的性质解决相关问题;
4、在学习过程中,渗透从特殊到一般、数形结合
等数学思想,让学生体会
类比推理在获得数学结论上的作用。
为了更好地完成以上教学目标,
我认为本节课的教学重点应围绕“对数函数
的图象及性质”进行,其中的教学难点是突破对“底数
a
对函数图象的影响”的
认识。
三、教学问题诊断分析
通过前面的学习
,学生已掌握了对数的概念及其运算性质,特别是对换底公
式可以熟练的应用。在指数函数的学习过程中
,学生已初步掌握研究函数的思路
和方法。
鉴于之前对于教学内容、教学目标、教学重、难点
的分析,本节课的教学活
动应以教师引导、学生主动探究为主,教学设计的主导思想应定位在“本节课为
学生在研究函数上的一次实践”上。因此在教学设计上教师应当对于学生的探究
活动进行精心的
组织,使得学生明确任务,有的放矢,既能完成预定的教学目标,
又能让学生体会探究的乐趣。让学生在
掌握一些学习方法的同时培养和发展学生
的数学素养。
四、教学支持条件
本节课中,师生使用的图形计算器是CASIO fx-
CG20。本款图形计算器在完
成教学目标上起到了很大的作用,可以称之为 “教学利器”。首先,学
生利用它
基本的计算功能,完成了较复杂的对数计算,让自己感受到数字的真实存在;其
次,它
强大的绘图功能,尤其是动态绘图的功能,为研究函数性质,突破教学难
点铺平了道路,学生在计算器上
所得到的直观感受比起教师的抽象讲解效果要好
很多;最后,我们不但能利用计算器检验解题结果,还为
学生留下无限的遐想空
间,有助于激发学生的学习兴趣。
五、教学过程设计
(一)获得新知
通过前面指数函数的学习,我们初步形成了研究函数的思路和方法。在随后<
br>的对数及其运算性质的学习中,我们又认识到了指、对数之间的紧密联系,今天
我们继续学习一个
基本初等函数——对数函数。
它到底是一个什么样的函数?它与指数函数又有什么关系呢?让我们一起
拭目以待!
【设计意图】简要回顾前面所学知识,为本节课的学习做好铺垫,最后以问
题串的形式激发学生对对数函数的学习兴趣。
问题1:首先请看一个考古学上
的数学问题:考古学家一般通过提取附着在
出土文物、古遗址上死亡生物体的残留物,利用
t?
log
1
p
估算出出土文物和
5730
2
古遗址的年代。
例如对于下表中所示的碳14的含量
P
,请同学们利用计算器计算出生物死
亡
年数
t
的值(保留到整数)为:
碳14的含量
P
0.5
0.3 0.1 0.01 0.001
生物死亡年数
t
5730
9953 19035 38069 57104
通过计算请同学们分析:
t
是不是
P
的函数,为什么?
【
设计意图】通过实例引出对数函数的概念,让学生体会研究对数函数的实
际意义。学生通过计算,可以体
会两个变量间的对应关系,从而联想到利用函数
的定义分析新的问题,使得函数概念建立之初就能用一个
比较高的观点审视之。
预设的师生活动:从特殊的几组数值推广到一般,学生根据函数的定义
可以
得出结论:对于每一个碳14含量
P
,都有唯一确定的年代
t
与
它对应,所以
t
是
P
的函数。而刚才的关系式
t?log
1
p
就是函数的解析式。
5730
2
在此基础上,教师给出一般性的
结论:这个函数解析式是一个对数式,底数
为一个常数,自变量在真数的位置上,生活中还有很多类似形
式的函数,将他们
抽象为数学问题,就是我们今天要研究的对数函数:
一般地,我们把函数<
br>y?log
a
x
(a?0,且a?1)
叫做对数函数,其中
x
是自变
量,函数的定义域是
(0,??)
。
问题2:类比
指数函数的学习过程,你能制定一套研究对数函数的方案吗?
请先独立思考,之后小组讨论,确定你们的
研究方案。
【设计意图】培养学生规划研究方案的意识和能力,达到对函数概念以及指
数函数的巩固的目的,并为本节课的研究理清思路。
预设的师生活动:学生按照要求完成之后进行展示交流。具体方案如下:
研究的思路是:先作
函数图象(哪个函数图象?
y?log
a
x
?),然后根据图
象研究
函数性质(包括定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点、图象的其他变
化特征等方面)。
问
题3:想必大家已经清楚下一步的任务了,接下来请同学们借助图形计算
器,根据前面确定的方案在小组
内研究,看看你能得到什么结论,并且思考能否
用一个恰当的形式记录下来。
【设计意图】将研究函数的性质的主动权交给学生,培养学生的基于类比进
行自主学习的能力。
预设的师生活动:学生小组内进行讨论,教师巡查指导,最后请同学上台演
示计算器作图以及讨
论成果:(下表在现场生成,依据学生的发现随时增删)
y?log
a
x
0?a?1
a?1
图 象
定义域
值 域
过定点
单调性
奇偶性
函数值的
分布
在
(0,??)
上单调递减
非奇非偶
当
0?x?1
时,
log
a
x?0
当
x?1
时,
log
a
x?0
当
0?x?1
时,
log
a
x?0
当
x?1
时,
log
a
x?0
(0,??)
R
(1,0)
在
(0,??)
上单调递增
注:(1)函数值的分布:在对数函数中,当底
数与真数在同一范围取值时,
对数为正,当底数与真数在不同范围取值时,对数为负;(如果学生未提及
,可
以不作说明)(2)当两个对数函数的底数互为倒数时,这两个对数函数的图象关
于
x
轴对称(可在图形计算器中输入
y?log
a
x
以及
y
?log
1
x
这
两个对数函数,
a
设定参数
a变化时观察函数图象所呈现出的情况)。
问题4:对于函数
y?log
a
x
以及
y?log
1
x
的图象关于
x
轴对称,你
可以解
a
释吗?
【设计意图】尝试用代数的形式分析直观现象,数形结合,培养学生思维的
严谨性。
预设的师生活动:图象的对称的本质是点的对称,利用换底公式可以解释。
在函数
y?log<
br>1
x
的图象上任取一点(x
1
,y
1
),则
log
1
x
1
??log
a
x
1
,所以点
(x
1
,
a
a
-y
1
)在函数
y?log
a
x
的
图象上。又点(x
1
,y
1
)和点(x
1
,-y
1
)关于
x
轴对称,
所以这两个函数图象关于
x
轴对称。(展
板展示学生的演练过程)
(二)初步应用
例1 求下列函数的定义域:
(1)<
br>y?log
2
x
2
;(2)
y?log
3
(
4?x)
。
问题5:上述两个函数是对数函数吗?
预设的师生活动:不是。但是由
于真数位置上存在变量,利用换元的思想,
我们可将他们换作新变元
t
,因为
t
的取值范围是
(0,??)
,可得:
解:(1)因为
x
2
?0
,即
x?0
,所以函数的定义域是
{x|x?0}
。
第二问请学生自行完成:
(2)因为
4?x?0
,即
x?4
,所以函数的定义域是
{x|x?4}
。
【设计意图】首先巩固学生对对数
函数概念的认识,之后利用换元的方法,
将新问题转化为基本问题,体现代数问题求解的程序化思想。
问题6:你想知道他们的函数图象吗?
师生活动:利用图形计算器展示两个函数的图象。从图
上可以验证结论的正
确,同时也可以通过观察图象了解这些函数的其他性质。
【设计意图】通
过图形计算器的作图,验证了求解结果,同时也激发了学生
讨论上述函数其他性质的兴趣,相比较以前教
师抽象的讲解要形象了很多。
例2 比较下列各组数中两个值的大小:
(1)
log
2
3.4,log
2
8.5;
(2)
log
0.3
1.8,log
0.3
2.7;
(3)
log
a
5.1,log
a
5.9(a?0,且a?
1)
;
(4)
log
3
2,log
4
2.
【设
计意图】类比指数函数中同类问题的解决办法,利用对数函数的单调性
解题。(1)小题由教师板演,(
2)(3)小题请学生仿照处理,培养学生类比的学
习能力,同时渗透分类讨论的思想;(4)小题则发
挥图形计算器的作用,培养学
生直观想象素养。
预设的师生活动:本题是对函数单调性的应用,因此可以类比前面指数的同
类问题解决: 解:(1)因为函数
y?log
2
x
在
(0,??)
上
单调递增,且
3.4?8.5
,
所以
log
2
3.4?lo
g
2
8.5
;
(2)(3)由学生口述完成:
(2)
因为函数
y?log
0.3
x
在
(0,??)
上单调递减,且
1.8?2.7
,
所以
log
0.3
1.8?log
0.3
2.7
;
(3)当
a?1
时,
log
a
5.1?log
a
5.9
;
当
0?a?1
时,
log
a
5.1?log
a
5.9
;
(4)对于底数不同、真数相同的对数的比较,可以借助函数图象操作。
请学生先行思考,之
后进行展示。教师可利用图形计算器在同一坐标系中作
出
y?log
3
x以及
y?log
4
x
的图象以及直线
x?2
,观察直线
与曲线的交点,
通过比较交点的纵坐标发现
log
3
2?log
4<
br>2
。(可能会有学生考虑到利用函数
y?log
x
2
的单调性
进行求解,这时教师应对学生的这种想法给予肯定,同
时明确指出:虽然函数
y?log
x
2
并不是我们所熟悉的函数,而且目前我们
也并不了解其函数性质,但是我们可以
利用图形计算器画出其函数图象来,
借助图象进行求解。)
(三)梳理总结
问题7:通过这节课的学习你有哪些收获呢?
【设计意图】授之以鱼不如授之以渔,一堂课下
来,学生们所能掌握到的思
路、方法及思想远比知识本身更重要。通过这一环节的设定,教师要将学生的
学
习提升到方法论的层面上来,让学生在头脑中形成学习、研究的意识。
预设的师生活动:师
生共同小结。从基本知识、信息技术的使用、研究思路
和方法、数学思想等方面进行。
(四)随堂检测、布置作业
《对数函数及其性质》课例点评
《对数函数及其性质》虽然是一堂较老的课例
,但是通过本节课的展示,我们看到梁瑞
老师给我们呈现出了一些较新的元素。整节课他教态自然大方,
教学语言简洁,板书规范明
了、重点突出,教学设计理念新,教学目标、重点与难点定位准确,展现出了
其良好的数学
专业素养和扎实的教学功底,尤其是在调动学生活动及教学资源运用等方面,亮点颇多,主
要表现在以下几个方面:
1、 课堂引入,勇于尝试
本节课的引入教师大胆选用了
很多老师所回避的课本上的考古学中的数学问题,让学生
在实际问题中进行抽象得出对数函数的概念,体
会对数函数的实用价值,引入的过程简明扼
要,但又不缺乏内容,不但复习了前面所学的知识,而且将对
数函数概念的形成提升到一个
宏观认识上;
2、 科学引导,大胆放手
由于之前指
数函数学习的铺垫,在本节课的教学过程中,教师进行了大胆的尝试,无论
是从研究函数的思路和方法上
还是在对数函数的性质上,教师把主动权完全交给了学生,给
了学生充足的时间和空间,任由其发挥,而
他只作为一名倾听者,适时的规范学生的表述、
纠正学生的错误,帮助学生提高语言组织能力和研究问题
的能力;
3、 学生参与,可持续性
教师的授课非常注重学生的可持续性发展,注重培养学
生的学习能力,教学内容、难度
收放自如,既能完成课前所设定的教学目标,又为学有余力的同学留足了
思考空间,激发了
他们的学习兴趣;
4、科学技术,服务教学
多媒体技术的应用为
本节课增色不少,尤其是图形计算器,其动态作图功能是本节课
的一大亮点,通过计算器的演示,很多抽
象的数学问题不言而喻,免去了教师过多的解释。
而且教师在使用多媒体辅助教学时又能很好地把握尺度
,既要让学生感受到客观事实,又要
适度的利用理论加以论证,既培养了学生的直观想象,又培养了其逻
辑推理的核心素养。
总体来说,这节课还是非常成功的。当然,教学过程中也暴露出一些问题,比如板
书
字迹太过潦草,希望教师能加以改进。
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