高中数学《函数的单调性》公开课优秀教学设计

1.3.1函数的单调性教学设计
一、教学内容分析:
函数的单调性是学生 在掌握了函数的概念，函数的表示方法
等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其< br>定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学
习函数其它性质提供了方法依据， 如在研究函数的值域、最大值、
最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不
等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。
同时它又是后续研究指数函数、对数函数 以及三角函数性质的基
础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启
下的重要 作用。
二、教学目标设置:
（一）知识与技能：
1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并
能正确理解单调性的定义；
2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并
能用单调性定义证明函数在给 定区间上的单调性；
3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的
运用能力。
（二）过程与方法：
1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调
性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下
降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变 量x和相应函数f(x)
的变化进行语言表述；
2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳 、总结，师生互相讨
论交流，最终形成严格的数学概念；
3.形成概念后，引导学生自主探究 ，通过生生互动，师生互动，
达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概
念 的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自
变量取值“任意”性的理解，是一个很好的 问题；问题（2）的
变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过
教师的引 导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，

对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更
深层次的理解， 同时也为在高三阶段利用导函数研究函数的单调
性奠定了良好的知识基础；
4.知识应用部分 ,首先师生合作完成用单调性定义证明一个一次
函数单调性，让学生初步体会用符号语言刻画单调性的代 数描述
过程，然后由教师演示实验（教材中的例题2）让学生直观感知
压强和体积的关系,培养 了学生数学建模思想和在物理问题中应
用数学知识解决问题的能力,最后让学生运用本节课所学知识进< br>行单调性判定和证明,使学生能够学以致用.
(三)情感态度与价值观:
创设情境引 出课题,让学生充分认识到数学源于生活,又能应用
于生活,进而激发学生自主学习和主动探究的学习兴 趣;在探索
概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到
理性的认知过程， 完成对单调性定义的三次认知的提升;在概念
应用阶段，通过对定义法证明单调性过程的具体分析，以及 证明
过程的严格板书，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和
步骤，培养学生清晰地思维 、严谨的数学推理能力；最后先由学
生自己独立完成再进行小组合作交流，展示自己用单调性定义证明函数单调性的全过程，培养了学生运用所学知识解决实际问题
的能力，增强了学生学好数学的信心 .
三、学生学情分析:
本班学生的数学基础和学习能力存在差异，学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：第一，把具体的、直观形象的函数单调
性的特征抽象出来，用数学的符号语 言进行描述,比如把定义域
内某区间上“随着
x
的增大，相应的函数值
f(x )
也随着增大”（单
调递增）这一特征用该区间上“任意的
x
1
?x
2
，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
”进行刻画，其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个
大小不等的
x
1< br>，
x
2
；第二，利用定义证明函数的单调性过程中，
对学生在代数方面 严格推理能力的要求较高,教师应该给以适时
的点拨和纠正.
四、重难点:
重点：1. 函数单调性的概念；2.判断和证明函数的单调性.

难点：理解函数单调性的概念
五、教学策略分析:
1. 多媒体演 示创设情境，让学生通过观察气温变化曲线图的变
化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，为概念的引 入提供了
必要性,并让学生带着问题（什么是函数的单调性？）进入新课;
2. 问题串引导学生探究式学习法，小组合作和自主探究相结合，
问题作引导，引发积极思考；
3.实验器材的恰当使用,提高了课堂的趣味性,丰富了学生的直
观感受;
4.多媒体展示和学生板演相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答
的规范性.
六、教学过程:
（一）创设情境,引入新知
第一,先观察一个图形(函数)
(通过多媒体给出承德今年8月8日气温变化曲线图)
T

（℃）
(14，36.8）

40
35

30

25
(4，25.1）

20

15
10

5


618202224
t (h)
师：同学们和我一起来观察承德今年8月8日的气温曲线图，如
果用函数观点来分析，设 时间为t,温度为T,这条曲线表达的是
关于这两个变量的函数关系吗？为什么？
（学生回答 ，教师结合学生回答追问：如果设时间t为自变量，
能从图中得出自变量的变化范围吗？师追问：这个函 数的定义域
及它的对应关系）
< /p>

【设计意图】回归函数定义，教师总结：该曲线反映了气温T
随时间t的变化规律 ，在区间[0,24]内每给一个时间t的值，根
据图象都有唯一确定的温度T与之对应，是一个函数.
师：观察图象，结合已学过的函数观点,你能说出这一天的气温
变化规律吗？
(学生独立思考5秒后回答)
预案:⑴当天的最高气温,最低气温及何时达到;⑵某些时段温度
升高,某些时段温度降低 < br>（师追问：最高气温和最低气温是在什么范围研究的？结合学生
回答给以及时评价；如果在定义域 内一部分一部分地研究，你又
会发现什么规律？学生补充）
师：归纳关键点：研究函数性质要 在整个定义域内研究；在定义
域内的某个区间上，随着时间t的增加，对应温度升高、降低的
变 化规律就是函数的单调性——引出课题，板书课题）
师: 除了气温在某一范围的变化规律，你还能举出生活中具有单
调性质的实例吗?
预案:⑴承德橡胶坝水库一年中水位随时间的变化;⑵某段时间
学生身高的变化.
师 归纳:抛开实际背景,从函数观点看,它们都反映了在定义域内
的某区间上，随着自变量的变化,函数值 变大或变小的规律（即
函数的单调性）；同学们在初中就已学会用文字来描述函数的单
调性,这 节课我们就来学习一种更为方便的定义形式——用符号
语言对单调性进行代数刻画.
【设计意 图】生活情境引入新课,可以激发学生的学习兴趣,让学
生感悟数学来源于生活，运用数学知识可以解决 生活中的实际问
题，并向学生提出这节课的学习目标.
（二）探索归纳,建构定义
第二,进一步研究
观察下列函数图象，（师：根据我们刚刚对“函数单调性的初步
讨论”）说出函数的变化规律.
①
f(x)?x
②
f(x)??x?1
③
f(x)?x2
(图象见课件)

(学生回答图象变化趋势并描述函数的变化规律，参照学案内
容)
【设计意图】
1.由图象认识增函数与减函数,直观且易于学生接受；2. 为单调
函数定义中关键词“区间上”作铺垫；3.让学生初步体会数形结
合的思想.
探究一：
问题1:根据上面的描述,对比函数
f(x)?x
与
f( x)?x
2
在区间
(??,??)
上的变化规律,说出它们的不同点? (学生独立思考5秒后
回答)
预案: 函数
f(x)?x
在整个定义域上都是增函数,
f(x)?x
2
是 在定
义域内的区间
(0,??)
上是增函数
师追问:如果要定义增函数,应该选择在定义域上还是在定义域
内的区间上呢?(学生答)
师归纳:单调性应与定义域内的区间相对应.
问题2:请归纳函数
f(x)?x< br>,
f(x)?2x?1
在其定义域上和函数
f(x)?x
2
在 区间
(0,??)
上的共同特征,并试着用符号语言表述“函
数
f(x)在定义域内某区间D上是增函数”.(学生独立思考5秒后
回答出共同特征后，进入小组合作探究— —如何用符号语言表述
“函数
f(x)
在定义域内某区间D上是增函数”)
预案:增函数的共同特征:在定义域内某区间D上,函数值随自变
量的增大而增大;（此处不同小组进行 符号表述，但学生描述可
能不准确，如： 在区间D上,取两个自变量值
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时，
有
f (x
1
)?f(x
2
)
，则称函数
y?f(x)
在 区间D上是增函数.）
【设计意图】由特殊到一般,归纳得到增函数定义.(此时定义还
需进一步完善)
第三步:产生认知冲突:

（-?，??）
讨论：“在函数
f(x)?x
2
的定义域上 ，取两个自变量值
x
1
??1,x
2
?2
，由
x? x
,计算得到相应的函数值
f(x
1
)?f(x
2
)
，则称
12
函数
f(x)?x
2
在
（-?，??）
上是增函数”，这种说法对吗？为什
么？ (学生独立思考5秒后回答)
（-?，??）< br>预案:⑴在定义域上不是增函数（举反例如
x
1
??3
，
,? ?)
上
x
1
,x
2
取特殊值;⑶
x
1,x
2
取特殊值不具有代表
x
2
?2
）;⑵在
(0
性，任意取,才能代表区间上的所有值.
师生合作:归纳得到增函数定义（此处增函数定义得到完善，师
完善板书)
【设计意 图】定义中
x
1
,x
2
取值的“任意性”是关键点，也是学生理解的难点问题，为了帮助学生对
x
1
,x
2
“任意性”的理解， 教师应
给以适时的点拨：区间上的值有无数多个，是取不完的，因此应
该取任意值，不可由特殊 值来代替.
（三）严格定义，理解概念
（多媒体给出定义）增函数：一般地，设函数
f(x)
的定义域为Ｉ

如果对于定义域Ｉ内某个区间D上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)? f(x
2
)
，则称函数
f(x)
在区间D上是增函数
（in creasing function）.
,??)
上师：有了增函数的定义,请你具体谈 谈你对“
f(x)?x
2
在区间
(0
是增函数”是怎样理解的？（幻灯片给出该问题）
预案：对定义域: 研究函数性质，首先应该在定义域内研究; 对区
,??)
这个区间, 单调性与定义域内区间相对应,是局部概间:针对
(0
念;两个自变量的取值的任意性,代表了区间上所有值; 自变量变化
与相应函数值变化的一致性.

【设计意图】深化对定义的理解.
师：有了对函数性质的这些认识，对比增函数的定义，你能给出减函
数的定义吗？
【设计意图】让学生通过类比，归纳概括出减函数定义.
(师:用多媒体给出减函数定义：一般地，设函数
f(x)
的定义域为Ｉ
< br>如果对于定义域Ｉ内某个区间D上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2< br>，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x)?f(x)
12
，则称函数
f(x)
在区间D上是减函数
（decreasing function）)
(师用多媒体给出：如果函数
y?
那么就说
y?f(x)
在区间D上是增函数或减函数，
f(x)
在这一区间具有（严格的）单调 性，区间D叫做
y?f(x)
的单调区间.)
教师应提出：函数
f(x)? x
在整个定义域内都是单调的，而函数
f(x)?x
2
,??)
内不 单调，只在区间
(0 ,??)
上单调。 在其定义域
(??
问题3：回到 前面引课时的气温曲线，说出函数的单调区间，并指明
函数在相应区间上是增函数还是减函数.
【设计意图】让学生正确表达单调区间以及函数在相应区间上的单
调性.
（师：检测学生对定义的理解情况.）
巩固练习：判断下列说法是否正确,并结合定义说明理由.
(1)定义域为
[0,??)
的函数
[0,??)
上是增函数.( )
f(x)
，满足
f(n)?f(n?1),n?0,1,2,3,
?，则 函数
f(x)
在
(2)对于定义域内的区间D,若任意
x
1
,x
2
?D,当x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，则函

数
f(x)
在D上是增函数. （ ）
变式：函数
f(x)
在D上增函数，若任意
x
1
,x
2
?D, f(x
1
)?f(x
2
)
，则有
x
1
__ ____
x
2

(3) 对于定义域内的区间D,任意
x
1
,x
2
?D
，都有
(x
1
?x
2
)[f(x
1
)?f(x
2
)]?0
，则函
数在D上是增函 数. ( )
【设计意图】深化学生对定义的理解,进一步巩固概念.
师总结——有 了定义，我们对函数的单调性有了什么新的认识：单调
性反映了在定义域内某个区间上随自变量的变化， 函数的变化规律；
描述法比较形象的反映了函数的这一特征，但不够精确；单调性的定
义从代数 形式进行刻画，更简练，更精确；
我们借助图象可以直观感知单调性,但无法操作，而且并不是所有函
数的图象都很简单，如果我们目前画不出图象怎么办（教师举例
f(x)?x?
1）而单调性的定义，则为我们用代数法严格证明单调性提
x
供了依据.
（四）知识应用
探究二：
例1：用定义证明:函数
f(x)?2x?1
在其定义域上是增函数.
(师 生合作完成如下步骤:⑴用区间表示定义域；⑵取值（突出“任意性”）
两个不等的自变量值
x
1
,x
2
，(预案:以下有学生完成:不妨设
x
1
?x
2
；将自变
量值
x
1
,x
2
代入到解 析式得到相应函数值
f(x
1
)
，
f(x
2
)（师问：如何比较
f(x
1
)
，
f(x
2
)< br>的大小呢?）希望获得
f(x
1
)
，
f(x
2
)
的什么关系，结论是什么.)
（师：用多媒体展示完整的证明过程和证明步骤）
【设计意图】让学生学会如何分析问题，并初步体会用定义法证明单调性
的过程中逻辑的严密性和言必 有据；增强了学生运用代数法描述单调性的
信心.
教师演示（小实验）:向上拉动活塞，在实验仪器中用手指封住一定

量的气体，记下此时仪器上的刻度，用力向下压活塞并记下此时仪器
上显示的刻 度，结合手指的感觉，猜想压强P随体积V的变化规律．
（师:多媒体给出例题）
探究三：
例题2： 物理学中的玻意耳定律
p(V)?
k
（其中
k?0
，且
k
为常数），
告诉
V
我们，对于一定量的气体，当体积V减小 时，压强P将增大．试用函
数的单调性证明之．(先由学生独立5秒后,思考突破本题难点)
预案:⑴定义域⑵由题意,要证明P（V）在
(0,??)
上是减函数⑶学生独
立书写 证明过程⑷学生进行组内讨论⑸最后展示本组结果:学生板演
后，其他小组纠错，讲解自己的证明过程）
【设计意图】不同小组展示，纠正用定义证明过程中出现的错误，
让学生明确如何从条件和已知 出发获得想要的结论和用定义证明单
调性的步骤.
能力提升：“函数
f(x)?在定义域
(??,0)?(0,??)
上是减函数”这个说
法正确吗？并说明理由 .(补充写出函数
件))
预案⑴函数在
(??,0)
和
(0,?? )
都是减函数，所以在其定义域是减函数是
正确的;⑵举反例，取
x
1
??1,x
2
?2
(??,0)?(0,??)
是减函数是错误的. f(x)?
1
x
1
x
的单调区间(见课
，
f( ?1)??1?f(2)?
1
2
，所以在
师：对学生判断做出评价，并指出函 数
调但在定义域上并不单调.
f(x)?
1
x
在定义域内的区间单
【设计意图】通过学生之间的交流，举出反例，使学生能够正确理解

单调性与区间相对应，并能正确书写函数的单调区间.
(师补充作业:用定义证明函数
(课后完成))

f(x)?
1< br>x
在
(??,0)
和
(0,??)
都是减函数
(五) 课堂小结：本节课你有哪些收获?
(学生交流本节课学习过程中的体会和收获,师生合作共同完成小结 )
①用定义证明函数单调性的方法和步骤:取值,作差变形,判定符号,
下结论;
②数学思想方法:数形结合;等价转化;归纳和类比等思想方法的运
用.
(六)分层作业：
必做题：课本32页 练习
思考题：探究一次函数f(x)?kx?b(k?0)
，二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c (a?0)

和反比例函数
f(x)?
k
(k?0)
的单调性
x