高中数学《排列与排列数公式》公开课优秀教学设计

《排列与排列数公式》（第1课时）教学设计
一．教学内容解析
本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课，排列是一类特殊而重
要的计数问题， 教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出
排列的概念，应用分步计数原 理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根
据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方 法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注
意应用两个计数原理思考和解决问题。
本节课 具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前
提，对具体的排列问题的 分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计
数原理的一个重要应用，同时，排列数 公式又是推导组合数公式的主要依据。
基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认 识，在后面知识的学
习过程中，逐步加深理解和灵活运用。
本节课的教学重点是排列的概念、 排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念
有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由 特殊到一般的归纳思想来建构概念的
理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征， 再进一步概括出本质特
征，得出排列的定义，再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强 调一个排
列的特点，n个不同的元素，取出m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础，< br>为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，
为后 面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优
点，让学生直观感 受学习排列的必要。
二．教学目标设置
1.通过几个具体实例归纳概括出排列 的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题
是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式， 能简化分步计数原理解决问题的步
骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后 能够对排列或非排列
问题作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。
2.在 教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻
辑思维能力，以及解决与 计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在
实际生活中的应用，增强学生学习数学 的兴趣。
3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的
着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化.

三．学生学情分析
学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考，
学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置
密码、车牌 号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、
有特殊到一般的思想方 法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜
色、数字、人抽象为元素，对着色的 方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨
论的基础上再由老师引导突破教学难点。
四．教学策略分析
在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融 合，让抽象的数学概
念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。

1

针对学生的认知水平，为培养学生抽象概括的能力，本节课采取导学 案和PPT相结合的
方式组织教学，为让学生充分体验概念形成的过程，通过三个例子高度抽象概括出排 列的定
义，刻意在学案上不出现排列的定义，也让学生避开教材以免学生对概念的认识不够深刻。
本节课排列定义的得出比较抽象，需要引导学生逐一抽象概括寻找共同点，教学过程采
取学生独立思考、相互讨论、老师以问题串引导的方式突破难点，紧接着通过大量例子加深
对概念的理解 ，对于概念理解不够深刻的同学也通过同学的辨析对概念有了深刻的认识。
排列数符号的得出通过引导 学生类比小学乘号的得来，自然而然需要引入排列数符号简
化有规律的运算。
学生的认知水平 决定了排列数公式的推导完全可由学生独立总结，老师只需适当补充说
明，公式的简单应用让学生在独立 思考的过程中，体会排列如何简化分步计数原理繁琐的步
骤，体现其优越性。
在教学中，让学 生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、归纳、思考、探
索、交流、反思参与学习，认识和 理解数学知识、学会学习，发展能力。
五．教学过程
（一）问题引入

随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。
交通管理部门出台 了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字
母和3个不重复的阿拉伯数字， 并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组
出现，字母在前，数字在后，那么这种办法共 能给多少辆汽车上牌照？
开门见山给出学习本节课的目的，对于这个前面已经利用分步计数原理解决的 计数问题，
解题步骤机械重复，能否改进和简化？
为了解决这一类问题，进入今天研究的课题。
（二）铺垫
从生活中三个简单常见的计数问题出发，激发学生探究的兴趣。
问题一：从红、黄、蓝三种颜色中选出两种给地图上的重庆市和四川省上色，有多少种
不同的着色方案？
问题二：从1、2、3、4这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，一
共可以得到多少个不同的三位数？
问题三：6名同学站成一排照相，有多少种不同的排法？
第一个问题以重庆直辖，地图上要用不同的颜色将川渝两地加以区分作为背景，让学生
了解颜色区分地 图的背后，蕴涵了丰富的数学知识和文化，既为抽象概括排列定义，也为最
后回到着色问题埋下伏笔。
第二个问题排数问题来自教材，既为抽象概括排列定义，也为后面探究二中顺利加大排
数问题的 难度作好的铺垫。
第三个排队问题，排队照片为本班六名同学，激发学生对问题本身感兴趣的同时，能 深
入挖掘问题的本质属性，也为后面全排列概念的顺理成章的得出及课后探究中有条件的排队
作 好铺垫！
【教师提问1】：你能利用前面所学计数原理的知识解决问题吗？
【学生探究 1】：巩固复习分步计数原理（可借助框图直观表示），同时会用列举法或树形图
把结果一一列出。
（三）特点探寻归纳提炼

【教师提问2】：这三个问题有哪些共同特征？
【学生探究2】：引导学生得出都是分步计数问题，运算有规律，都是从若干个不同元素选
出元素，选出 的对象都要排序，顺序不同方案不同。

2

难点突破： 引导学生从三个问题的事情本身出发，将颜色、数字、同学抽象为元素，元
素顺序不同结果就不一样。
（四）探究归纳，形成概念
排列：从n个不同元素中取出m（m
?
n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫
做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（Arrangement），这样的所有排列的个数叫
排列 数。
【教师提问3】：这三个问题有无不同点？
【学生探究3】：学生探究得出全排列、选排列的定义。
（五）概念辨析，引出排列数符号
引导学生对排列定义的再理解，让学生归纳出值得注意的关键词：
（1）n个不同的元素；（2）取出m（m
?
n）个元素 ；(3)一定的顺序。
对排列定义的巩固，判定下面问题哪些是排列问题，如果是排列数是多少？
（1） 从四个男生中，任选两名同学组成一队参加年级乒乓球男双比赛；
（2） 从四位男同学中，任选两位同学分别参加上下午的活动；
（3） 从0-9这9个数字中，任选4个不同的数字（可重复）作为手机的密码；
（4） 从8名同学中选4人参加4
?
100米接力赛；
（5） 圆上10个不同点，过每2个点，画一条弦；
（6） 圆上10个不同点，以其中每2个点作有向线段；
（7） 1、3、5、7、11这5个质数任选两个相乘；
（8） 1、3、5、7、11这5个质数任选两个相除；
（9） 一个学生有20本不同的书，这些书以不同的方式排在一个单层的书架上；
(10) 53位同学随机选8位派往8个不同的地方参加活动，每个地方派一人.
学生争论辨析判定后再追问，其中的排列问题各有多少个不同的排列？类比问题一、二、
三用分步计数原理解决问题，分别得到：
4?3，8?7?6?5，10?9，5?4，4?3，

20?19?18?17? ????2?1，
53?52?51?50?????47?46
【教师提问4】：结合前面的 三个问题，这些排列数有哪些共同特征？
【学生探究4】：学生找出规律的同时，指出书写繁琐的共同 点，类比小学引入乘号简化加
mm
法运算，自然引入数学符号
A
n
， 对比运算符号
A
n
更简洁，从而体现了数学符合的简洁美，
随之简单介绍排列 数符号的发明者法国数学家范德蒙德，体现数学丰厚的文化背景。
（六）揭示规律，导出公式
23423m
【教师提问5】：
A
3
，
A
10
表 示什么？等于多少，继续追问更为一般的
A
n
、A
4
、A
8
4
，
A
n
、A
n
表示什么？等于多少？
【学生探究5】：学生独立思考分析解决并展示。
m
A
n
?n(n ?1)(n?2)???(n?m?1)，(m,n?N
*
,
且
m?n).
引导学生对公式的理解：
（1）从n开始依次递减连续m个正整数的积；
（2）m
、
n都是正整数且
m?n
；
m
（3）符 号
A
n
既表示一个结果，又表示一种运算
。


3

这样，一个问题若是排列问题，就可用上式求出具体的排列个数。（简化了运算过程）
n说明特殊情况
A
n
?n(n?1)(n?2)???3?2?1
。

简单记为
n！
，读作n的阶乘，强调这个符号更为简洁的同时，顺提阶乘符号的发 明者
法国数学家基斯顿.卡曼
。

（七）公式应用，突出优越性
探究二：从0-9这10个数字中，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
学生结合所学知 识多角度对问题进行思考，对比分步计数原理的解题方法，突现排列
优化步骤的特点，并进一步跟进对引 例步骤的优化：
随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需 要扩容。
交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组
出现，字 母在前，数字在后，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
学生独立思考并完成优化6个步骤简化为2个步骤，再次让学生体会排列的优越性。
（八）强化公式，跟进新公式

8
A
8
7！
3学生计算排列数（1）
A；（2）
5
；（3）A
7
；（4）.< br>
A
5
4！
3
8
【教师提问6】：学生给出答案后问 ，有何数学发现？
【学生探究6】：猜测出一般的结论
A
n
?
m< br>n！
,
(n?m)！
根据课堂时间让学生尝试证明，让学生展示并点评，否则 作为课后作业，顺便说明公式中如
果
m?n
时，
A
n
?n
n！
n
！?1
. ，
A
n
?n!
,故规定
0
0！
（九）小结

1.本节课我们学到了哪些基本概念和公式？
2.研究过程中体会了哪些数学思想和方法？
3.通过本节课的学习有哪些收获和困惑？
（十）课后探究：
1.从10个不同元素选其中2个元素，有多少种不同的选法？
思考：从n个不同元素选其中m(m≤n)个元素，有多少种不同的选法？
2.6名同学站成一排照相，甲乙两名同学要相邻，有多少种不同的排法？
3.如图，用四种 颜色给五个区域着色，相邻的区域不能使用同一种颜色，共有多少种着
色方法？



1
1


最后介绍四色问题激发学生探索数 学问题的兴趣：任意一幅地图都可以用四种颜色染色，
使得没有两个相邻的国家染的颜色相同。



4
5
2
3
5
3
4
4
2

《排列与排列数公式》(第一课时)教学点评

< br>本节课为概念课，要求学生能从一些特殊实例中发现规律、抽象出数学概念，
同时能对所学新知加 以应用。具有一定的执教难度。
执教教师以三个生活实例的解决与提炼，让学生全程参与并体会了新概 念
“排列”的发生发展过程。为使问题解决中的表达与运算简洁，探究“排列数”
的计算规律及 性质，以“能力提升”、“小结”、“课后探究”等环节检测回馈了学
生对新知的掌握情况，教学效果好 。整体来看，突出体现了以下几个亮点：
1．课堂目标明确，环节清晰流畅。
以染色问题直 奔主题，以世界难题四色问题结束，首尾呼应，体现出执教者
的独具匠心。将排列概念的发现及抽象凝练 作为教学的重难点，放手让学生去发
现规律，形成概念，渗透从特殊到一般的数学思想，看得出执教者在 概念课教学
中的勇气与胆魄。
2．突出“以人为本”理念，体现学生课堂主体作用。
以学生认知特点及水平为出发点，关注学生活动。学生整节课思维活跃，活
动充分，交流展示形式多样 ，在不断的思维碰撞中习得新知。
3．文化育人、生活教育特色鲜明。
将数学知识、数学文 化和现实生活有机融合，避免了数学概念抽象过程的枯
燥，同时拓宽了学生视野。排列数符号和阶乘符号 以介绍数学家的形式自然引入，
避免了学生对数学符号抽象晦涩的认识，吸引学生了解数学历史，关注数 学的产
生与发展。从生活中的问题引入到生活中问题的解决，体现了数学来源于生活而
又服务于 生活，凸现数学应用价值。
4．在培养学生数学核心素养中做出了一些尝试。
排列概念中三 个问题的类比及对比、抽象，在激发学生思维的同时，培养学
生数学抽象、数学建模核心素养；排列数公 式的推证，培养学生直观想象、数学
运算核心素养。
5．课堂气氛民主和谐，学生意见表达充 分，小结中学生表达的困惑更体现
学生对所学内容的深入思考。
6．课外探究部分的设计精巧。
其中第一个问题承上启下，为下节课的学习埋下伏笔；第二三 个问题让学有
余力的学生根据自身情况探究，有利于张扬学生个性发展，充分体现出了高中新
课 程的选择性特点。
7．课堂评价形式多样，教师对学生评价适时、恰当，学生对学生评价公正
客观。
教学就是不完美的艺术，课堂中还存在以下不足：
1．学生略显拘谨，教师对学生的鼓励表扬 不够，如学生总结出元素互异这
一共同点时，学生在完成排列数公式的证明后。
2．老师语言不够简练，设问意图指向及追问待进一步提高。



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