高中数学《函数的奇偶性》公开课优秀教学设计

函数的奇偶性教学设计


1教材分析
函数的奇偶性是继函数的单调性之后的又一重要性质。“奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。在函数的单调性学习中，
教材先 是从几个特殊的函数图象开始，学生通过对函数图象的观察，也即对“形”的认识，
从数学直观上体验到 函数图象的上升和下降，又进一步从“数”的角度给出函数的单调性定
义。在奇偶性的教学中教材的教学 方式和单调性的教学方式是一致的，因此在教学中采用类
比的方法进行。从知识结构看，它既是函数概念 的拓展和深化，也是为继续研究指数函数、
对数函数、幂函数、三角函数奠定基础。因此，本节课起着承 上启下的重要作用。
2学情分析
初中时学生已经学习过中心对称和轴对称图形的相关概念。
学生对
f(x)?kx,f(x)?ax,f(x)?
2
k
等函数的 图象比较熟悉。因此在此基础上引
x
入“奇偶性”的概念。在引入概念时始终结合具体的函数图 象，学生在学习时始终处于“最
近发展区”，符合学生的认知规律
。

3教学目标
知识与技能：《数学课程标准(实验)》要求，结合具体函数，了解奇偶性的含义 。能够
说出函数奇偶性的定义；根据奇偶性的定义学会判断函数的奇偶性；根据函数的奇偶性能够
说出函数的分类；能够领悟判断函数奇偶性的一般方法和步骤。并能进一步领悟数形结合思
想。
过程与方法： 通过几个具体函数，学生能够获得直观上的奇偶性的认识，然后利用表
格探究数 量变化特征，通过代数运算，发现定义域中的任意一个x都成立，最后在这个基础
上建立奇偶函数的概念 。通过具体的特例学生进一步形成对函数奇偶性的深刻认识。
情感、态度与价值观：
数学是 美的也是自然的，但需要学生的领悟，不但能够直观看到函数曲线的对称美，还
要体会逻辑美。因此概念 的生成不能僵硬，要调动学生参与数学学习的热情和兴趣，这样的
课堂不但能够更好的学习知识还具有很 强的育人作用。
4教学重点与难点
重点：（1）函数的奇偶性定义及几何意义（2）数形结合思想的体现
难点：（1）学生通过 对几个函数图象的观察，从“形”的角度能观察出函数图象关于y
轴对称或关于原点对称，但如何将观察 到的“形”的问题转化成“数”的形式是本节课的难
点。（2）判断函数的奇偶性。
5教学方法
采用自主合作交流，问题导学、教师点拨的教学方法。同时利用几何画板和pppt进行
辅助教学。
6教学策略分析
从一线教学来看，函数的奇偶性教学要比单调性的教学较为容易一些，也正因 如此一
些一线教师对奇偶性的教学重视不够，基本上是以广而告之式的教学方式进行教学，然后抛

1

出大量的习题让学生去做。事实上，高一的学生还没有完全适应高中数学的特点，这种教学
方式不仅会让 一部分学生不能适应，而且还会造成学生不重视概念课的教学，不能体会到概
念的形成过程、不能对概念 的本质进行深入的挖掘、不能形成对概念的深刻认识。学生会错
误的认为高中数学就是解题。长此以往对 学生的学习极为不利。为此在教学中学生要领悟概
念的生成过程，体会数学的基本思想和方法，本节课的 核心思想是数形结合思想。高一的学
生在领悟思想方法的过程中需要过程和载体，本节内容就是一节体会 思想方法的重要载体的
课。在教学中，给学生较多的时间去作图，思考、举例、沟通是非常重要的。也是 符合新课
程理念的。因此在教学中采用自主合作，问题导学等教学方法。
教学以“ 数学知识发生发展的过程和理解数学知识的心理过程为基本线索”让知识自
然的流入学生的头脑之中。在 得到函数的的奇偶性定义时尽可能多的让学生多举出奇函数或
偶函数的例子，如果调动学生的能力不够或 启发不当，会造成学生的学习不自然，教师的教
学强加于人，同时概念教学培养学生思维能力的作用会大 打折扣。本节课的教学流程如下：
引言




7教学过程
（1） 教学引言—直击课题
引言 在函数的单调性学习中，我们先是 从几个特殊的函数图象开始，通过对函数图象
的观察，也即对“形”的认识，从数学直观上体验到函数图 象的上升或下降，又进一步从“数”
的角度给出函数的单调性定义。本节课我们用同样的方法来研究函数 的奇偶性。
设计意图 所谓好的开始是成功的一半，老师的几句引言对本节课的学习起到提纲挈领的作用。同时也为学生的学习指明方向，奠定这节课的好的开始。
（2）偶函数的定义生成过程
完成表格，做出函数
f(x)?x
和
f(x)?x
的图象，思考下列 问题：
2
偶函数定义

奇函数定义
概念的深化与应用
布置作
业
学生总结
课堂检测
x

f(x)?x

2
-3 -2 -1 0 1 2 3

x

f(x)?x

-3 -2 -1 0

源学科网
1

2

3




（1） 这两个函数图象有什么共同特征？______________________ _________
（2） 相应的函数值是如何体现的这些特征的？_________________
（3）如何利用函数解析式描述函数图象这个特征呢?______________________
（4）偶函数的定义：____________________________________ ______________
（5）偶函数的图象特征：___________________ _____________________________
（6）函数
f(x)?x, x?
?
?1,2
?
是偶函数吗？
偶函数的定义域有什么特征？
2
[—_____——————---来源学§科§网Z§X§X§K]

__________________________________________________ _______________
（7）你能举出一些偶函数的例子吗？

2

_________________________ ______________________________________
设计意图 先给出几个特殊的函数的图象，通过学生的列表，描点，连线，从“形”的角
度获得函数图形的感性认识 ，也即从“形”的角度认识函数的奇偶性。如何从数的角度对函
数图象关于y轴对称是教学的难点。这个 过程也是学生从感性认识上升为理性认识的关键。
因此在教学中偶函数的定义不能过早的给出，要一点一 点的慢点挖掘，使概念自然的生成。
在学生给出偶函数的定义后，对定义要再进一步的认识，对“任意一 个”变成“存在一个”
的探讨，把定义域变成不关于原点对称问题的探讨。设计的开放性问题，“你能举 出一些偶
函数的例子吗？”使课堂的讨论达到最为热烈的程度，事实上课堂中生成了幂函数的图象，为今后的幂函数学习形成了一定的认识。从概念教学的角度来看，在教学中遵循了从特殊到
一般，又 从一般到特殊的认知过程。通过一系列问题串的设计学生能够形成对偶函数定义的
深刻理解。偶函数的定 义挖掘的深刻，对于奇函数的学习自然是水到渠成。
（3）奇函数的定义生成过程
2做出函数
f(x)?x
和
f(x)?
质。
1
的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性
x





x

f(x)?x

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

1
f(x)?

x
-3 -2 -1 1

源学科网
2

3




（1）奇函数的定义:
________ __________________________________________________ ____
（2）奇函数的图象特征：
______________________ __________________________________
（3）函数
f( x)?x,x?
?
?1,2
?
是奇函数吗？
奇函数的定义域有什么特 征？
_________________________________________ ___________________________________
（4）你能举出一些奇函数的例子吗？
______________________ __________________________________________________ _____
（5）函数奇偶性定义：如果一个函数是奇函数或是偶函数则称这个函数具有奇偶性。
____________________________________________ _________________________________
设计意图：
该部 分内容完全类比偶函数的学习，设计问题串。结合具体函数，通过作图直观获得对
奇函数的认识，然后利 用表格探究数量变化特征，学生自主合作交流得到奇函数的定义，结
合实际情况由学生在课堂中进行展示 ，教师进行点拨。
学生通过类比很容易得到奇函数的定义。学生在举奇函数的例子时，若能举 出
f(x)?x
3
，
f(x)?x
5
等例子，而这些函数图 象都经过原点，若能引导学生探究出奇函数
f(0)?0
（0在定义域内）这一性质，再从奇函 数的定义出发给出证明的话，那么无疑学生
会从冰冷的定义中获得智慧。
（4）概念的应用
例1. 判断下列函数的奇偶性．


3

（1）
f(x)?x?
11
（2）
f(x)?
2

x
x
x
3
?x
2
22
（3）
f(x)?
（4）
f(x)?x?4?4?x

x?1

设计意图 通过例1，学生能够根据函数的奇偶性将函数分成4类，也即 奇函数、偶函
数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。
通过例1解决，学生能够掌握判断 函数奇偶性的一般方法，定义法和图象法。用定义法
判断奇偶性的一般步骤是，第一步：判断定义域;第 二步;判断
f(?x)与f(x)
的关系;第三步：
下结论。
对第（4）小 题进行了探究，让学生构造出了多个既是奇函数也是偶函数的例子，并从
中发现，这样的函数满足的条件 是函数值必须为0，定义域关于原点对称即可。学生又一次
经历了对奇偶性概念的深刻认识和自我应用。
例2（1）函数
f(x)?x
，
x?(?5,a)
为偶函数，求a
。
（2）函数
f(x)?x?b
为奇函数，求
b
。

设计意图 （1）函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称。（2）若一次 函数是
奇函数，则必过原点。同时可适度变式训练，总结出二次函数是偶函数，则解析式应为
f (x)?ax
2
?c
。
f(x)?
k
(k?0)
是 奇函数。
x
8 归纳总结—布置作业

1下列函数为奇函数的是（ ）
A
y??x

B
y?3?x
C
y?
2. 已知f(x)=a-

1
2
D
y?x?4

3
x
2
是定义在R上的奇函数，则a= .
x
2
?1
2
3若二次函数f(x)=ax+bx+c是偶函数， 则g(x)=ax+bx+cx是 函数。
4 若函数f(x)=ax
?bx?7
,有f(5)=3则f(－5)=
5（3）f(x)是[－2，2]上的奇函数，若在[0，2]上f(x)有最大值5，则f(x)在[ －2，0]上有最大
值还是最小值，值是多少？
设计意图 作业的布置紧紧围绕本节课的 重点判断奇偶性和奇偶性定义的初步应用。为奇
偶性的其他方面性质做好进一步铺垫。
9反思 课堂中学生的参与热情很高，学生学得效果较好，学生对奇偶性概念的理解透彻。
究其原因，在 教学设计中充分尊重了学生的主体地位，对问题串的设计较为合理，通过提问
的方式与学生进行了有效的 沟通，对学生的思维进行了有效的培养。

3
3
2

参考文献
1李兴贵 基于六环节模式的“函数的单调性”教学设计[J].数学通报，2014,8:54-59
2刘明 “数列”起始课的教学设计[J].数学通报，2015,1:17-21
3顾继玲.数学“学案导学”研究评述[J]数学通报，2012,12:1-3

4

《函数的奇偶性》点评

从整个教学过程来看，本节课亮点很多，各个环节清晰自然。其中主要取得的成绩有如
下几个方面：
第一问题导学设计精彩。学生已经熟悉关于y轴对称的二次函数，和关于原点对称的正
比例函数和反比例函数。本节课的生长点也基于此。老师给学生充足的时间来做出
f(x)?x
2
，
f(x)?x
、
f(x)?x
和
f(x)?
1
的图像。在作图的过程中老师充分体现了
x
作图的基本方法也即列表、描点、连线的方 法。通过学生的展示我们可以看到学生在作图方
面是非常规范的，养成了比较好的学习习惯。在做完图之 后，探究偶函数的概念时老师所设
设计的一系列问题串非常好。如：这两个函数图象有什么共同特征？相 应的函数值是如何体
现的？如何利用函数解析式描述函数图象这个特征呢?偶函数的定义？偶函数的图象 特征？
问题串的设计环环相扣最终揭示问题的本质。通过整节课来看各个环节对问题串的处理都有
体现，教师十分熟悉问题串在教学实践中的应用。这些问题提的精到而准确，有的可以帮助
学生理解数 学概念的双向性，有的可以潜移默化影响学生重理解轻机械化记忆的上乘学习方
法。这种做法值得学习。
第二 教学目标达成有效。该教师把本节课的教学目标设置为：“能够说出函数奇偶性的
定义； 根据奇偶性的定义学会判断函数的奇偶性；根据函数的奇偶性能够说出函数的分类；
能够学会判断函数奇 偶性的一般方法和步骤。并能进一步领悟数形结合思想”。教师制定的
教学目标可操作性强，同时也容易 进行检测。通过学生回答问题情况和黑板板演情况来看，
本节课的教学目标达成是有效的。尽管教师没有 安排大量的练习，但是本节课紧紧围绕概念
有条不紊的进行推进，这种做法学生学会的是对概念的深刻理 解和对方法的深入思考。
第三 课堂生成精彩。在关于偶函数的教学中，教师提问：“你能举出其它偶 函数的例子
吗”？在学生举出几个之后，老师追问：“你是怎样想到的”？学生的回答是从“形”的角< br>度得到，还有学生是从“数”的角度得到的。使得学生深刻的体会到了“数形结合思想”。
教师在 点评即是奇函数又是偶函数的例题时，对如何构造这类函数的提问也很自然流畅，没
有强加给学生。
第四 数学思想方法落实的到位。本节课的核心思想是“数形结合思想”，函数的奇偶性
概念本 身就是从数与形这两个角度进行揭示。教师在教学中的较高立意就是数形结合思想的
体现，应该说站在较 高的立意之处课才能上的游刃有余。
总的来说，本节课是一堂很有典型意义的概念课，需要注意的是问题串的呈现方式。







5

《函数的奇偶性》点评
本节课是一节概念课，概 念课的教学要强调概念的自然生成。从整个过程来看脉络清
晰，教学任务完成较好。其中以下几个方面给 人的印象非常深刻。
第一 教师的执教理念符合学生的认知规律。在第一环节偶函数定义的生成过程中 ，教
师先让学生作图，做完图之后，教师设计了一系列的问题串进行点拨。在生成偶函数的定义
之后教师继续对概念进行了深入的挖掘，比如说把“任意一个”换成“存在一个”或“有些”
的探讨。从 而加深学生对概念的深入理解。偶函数的定义得到后，让学生自主合作交流得到
奇函数的定义。这种处理 提高了课堂的效率，学生之间的合作交流也很好。
第二善于追问。追问既是聆听的一种延续，又是对学 生思维中的一些不足的引导和点拨。
在学生对问题的表述不够准确或者不够精炼时，教师都能及时地通过 追问的方式加以引导。
第三注意概念的理解与深化。概念课难上。因为一堂好的概念课，从问题情境的 设置到
问题的生成再到问题的分析探究及至概括总结，都必须精心设置，以达到行云流水，自然生
成的效果方为上乘。再者，概念课还应让学生理解概念中的种种精微之处，对这些精微之处
应通过多手 段让学生加以辨析，琢磨，体会。教师在提问过程中一直把握着整个课的脉络，
也即数与形的统一。通过 问与追问进行思辨，通过数与形相互辉映，通过练习与总结加以巩
固等手段帮助学习深刻理解了函数奇偶 性的本质。


6

《函数的奇偶性》


听《函数的奇偶性》一节课，总结如下：
第一 教师素养方面。不论是老师的写还是 学生的板演，整个板书设计美观大方，字迹
清秀得体，能够体现本节课的教学目标。从语言方面来看，教 师一直在启发学生的思考，设
计的问题串也比较得体。其中最为引人注目的是，学生利用投影进行展示环 节，学生的语音
洪亮，思维逻辑严谨，充分体现了乌兰浩特一中学生的整体风貌。信息技术方面，教师利 用
ppt和几何画板比较娴熟，充分体现了信息技术在课堂中的作用。另外教师有着很强的驾驭
课堂的能力。
第二 教学环节。 整个流程比较自然，遵循了从特殊到一般的认知规律，各个 环节教学
目标的达成比较有效。自主合作交流的过程所占时间较多，学生有着自己深刻的思考。概念探究环节，概念生成的比较自然，生成概念后对概念的内涵挖掘比较充分。总结环节，学生
不但从思 想方法上给出总结，还从知识与技能反面给出总结。最后老师的总结谈到：下节课
中我们还要研究奇偶性 与最值之间的关系，奇偶性与单调性之间的关系，使得学生的思绪更
加宽阔。
第三 教师的习题观。概念课的学习不在于题做了多少，而是学生对概念的来龙去脉是
否学得透，用的明白。教 师在整节课所配备的习题难度不大，但是每道题都有着独特的作用。
黑板上所选4道题目，正好对应着利 用奇偶性进行分类的四类函数。在学生讲解完之后，教
师没有急着进行下一环节，而是提出了一些变式， 进一步又让学生总结除了判断函数奇偶性
的一般方法和步骤。这种教学模式很好，学生很受用，不但能会 做题，还要学会方法。
第四教材的处理。教师在深入研读教材的基础上，形成了自己的认识。并 设计出了一系
列的逻辑严谨的问题串，对课本中的例题也有所变动，从这个意义上讲，教师是在用教材而
不是在教教材。
第五“高立意”与“低起点”。本节课思路清晰 ，其中关键因素是 教师对思想方法的挖
掘比较到位，在具体操作中起点比较低。使得数形结合、特殊与一般的思想方法深入 人心。
从而取得了不错的效果。
值得探讨的地方是，把偶函数的定义也放手给学生去研究效果或许会更好。


7