高中数学《三角函数的诱导公式》公开课优秀教学设计

学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是
学 生理解、归纳公式二至公式四的基础，推导公式的关键是明确单位圆上对称点的坐标关系，
这一点对于实 验班的学生来说是可以独立完成的，学生数学基础与思维能力较好，具有一定
的分析问题和解决问题的能 力，初步养成了独立思考、合作交流的学习习惯．
2.难点及突破策略

难点：
1、如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法。
2、怎样帮助学生理解公式中角
?
的任意性。
3、怎样记忆公式二至公式四
突破策略：
1.教师通过复习任意角三角函数的定义先引入单位圆，引起学生对单位圆这一有 效工具
的注意，从总体上认识研究的目标与手段．
2.教师利用几何画板的演示帮助学生直观感受
?
的任意性。
3.通过小组内交流，组间相互补充，展现思维过程后师生共同归纳概括公式的记忆方法。
Ⅳ．教学策略设计
根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用自主 学习方式．通
过教师引领学生经历诱导公式二至四的推导过程，认识研究的目标与策略，在研究的过程中
逐渐完善研究的方法与手段。
本节课学生需探究的问题如下：
给定一个角
?
:
(1)角
?
?
?
的终边 与角
?
的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
(2)角
?< br>?
的终边与角
?
的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
(3)角
?
?
?
的终边与角
?
的终边有什么关系？它们的 三角函数之间有什么关系？
(4) 诱导公式一至四的共同特征是什么，怎样记忆更容易？
Ⅴ．教学过程设计
（一）. 创设问题情境

师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师板书问题的结果。
问题1：（1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数的？

（2）终边相同角的各三角函数之间有什么关系？
问题2: sin390°=？ 那sin570°=？
教师引导：由公式一可将sin570°化为sin2 10°，210°虽然在0°～360°之间可是
也不能直接获得其三角函数值，能否再把0°～360 °间的角的三角函数值化为我们熟悉的
0°～90°间的角的三角函数问题呢？如果能，那么任意角三 角函数求值问题都可以化
归成锐角三角函数求值，特殊的锐角有特殊值，而非特殊锐角的三角函数值可以 通过查表最
终解决。这节课我们就来学习和研究解决这类问题的方法.
【设计意图】通过复 习旧知，提出的新问题，引导学生进一步思考，为新知识的学习打
下基础，激起学生们的兴趣.

(二) . 探索新知，汇报交流
问题3： 你能用我们刚刚复习的方法求出sin210°吗？
师生活动1：教师提出具体问题，学生独立思考并回答老师的提问。
师生活动2：教师追问： 390°的终边与锐角30°角的终边重合，那210°角的终边与那个
锐角的终边有关系呢？它们的三 角函数间又有怎样的关系呢？
【设计意图】教师通过问题引导，从课前提出的具体问题入手，用定义求 解学生是可以想到
并完成的，但借助学生熟悉的特殊角去建立30°角的终边与210°角的终边的位置 关
系，再转化为角的终边与单位圆交点坐标之间的关系需要教师引导，从这个过程中让学
生体会 研究此类问题的思路和方法，为下一步研究任意角
?
和
?
?
?
个三角函数之间
的关系做好铺垫。
探究一：给定一个角
?
:
角
?
?
?
的终边与角
?
的终边有什么关系？它们的三角函数之 间有什么关系？
师生活动：学生进行组内探究，教师走进小组，观察学生探究的进展，指导组内生生互 助，
共同完成任务。然后学生代表为全体学生讲解研究过程．

经过探索，归纳成公式
------公式 二

【设计意图】有了 30°和210°角各三角函数关系的推导，学生们对问题3的研究思路和解
决问题的方法有一定的认识 ，在此基础上引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜
想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.
问题4：公式中的角仅是锐角吗？
引入的，之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式【设计 意图】课前提问的问题是以
的角，有些同学肯定会有这样的疑问，这也是本节课的一个教学难点，所以这 个问题的
解决好，就是突破难点的关键.
师生活动：演示几何画板课件，首先作出第一象限的 任意角，之后得到相应的三角函数值，
拖动其终边上任意点，再让学生观察每一象限内三角函数值的符号 和它们之间存在的对称关
系，从而验证了猜想，使学生更直观的理解了这个公式．
问题5： 你知道
探究二：任意角
与(-
与(-
)终边有怎样的对称性吗？它们的三角函 数之间有什么关系呢？
)三角函数的关系，及 与(－)的三角函数值的关系．
经过探索，归纳成公式
-------------公式 三
【设计意图 】类比公式二的推导方法，大多数学生应该能够完成公式三的推导及证明了，仍
然设计以学生分组讨论， 合作学习的方式来完成探究任务的目的是在活动中借助生生互助，
相互交流来培养学生的合作意识，让学 生感受数学中的对称美，激发学生更积极地去寻找规
律、认识规律.
探究三：如果两角的终边关于y轴对称，那么这两个角之间有什么关系？
它们的三角函数之间又有什么关系？
----------公式 四
师生活动：教师展示学生的研究成果，学生叙述其研究过程，教师板书公式四。
【设计意图】 借助终边关于y轴对称找出两角的关系要比终边关于原点，x轴对称难度找两
角的关系大一点，前面已经 有了两次探究的体验，研究问题的思路学生已经清楚了，只要能
找出终边关于y轴对称的两角的最简表示 形式即
?
与
?
?
?
，公式四的推导就会水到渠成。

在此过程中充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既 动
脑又动手，让学生体验数与形的关系，尝试自主探究的乐趣.
师生活动：教师提问，学生思考并回答问题。
问题6：除了再次利用单位圆的对称性推导公式三公式四外，你还有其他方法吗？
【教学预设 】在类比公式二的推导方法完成公式三和公式四的推导及证明（图形中点的对称
——几何角度）后继续拓 展学生的思维，利用
?
角的任意性结合角的整体代换的思想（代
数角度）由公式二，三 可以得到公式四，这也是对刚刚获取的新公式的一次应用，作为实验
班的学生应该有这样的想法。另外借 助三角函数线也可以完成这几组公式的推导，教师作适
当点拨，引导有兴趣的学生课下继续研究。

(三)总结概括新结论
师生活动：教师利用PPT将公式一至公式四一起展示在屏 幕上，为总结概括公式的特征
和记忆的方法做好准备。
三角函数的诱导公式
公式一 ：
公式二：
公式三：
公式四：
说明：公式中的指使公式两边有意义的任意一个 角．




探究四：诱导公式一至四的共同特征，归纳记忆方法
问题7：你能概括一下公式一、二、三、四的共同特征吗？
师生活动：教师提醒学生从三角函 数名称和式子的符号两方面总结概括公式一、二、三、
四的特征。
的三角函数值，等于的同名 函数值，前面加上一个把
看成锐角时原函数值的符号.公式特点：“函数名不变，符号看象限”
【设计意图】训练学生的概括能力，但是学生未必能总结出十字口诀，教师要适时引导和
提醒。

(四)巩固应用
例1 求下列三角函数值：

师生活动：学生板书，教师巡视，纠正错误．
（1）；（2）；（3）；（4）
分析：先将不是0～范围内角的三角函数，转化为0～范围 内的角的三角函数（利
用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到～
值.
范围内角的三角函数的
解：（1）．
（2）．
（3）
（4）
．
=．
【设计意图】在得到诱导公式后，在此让学生独立去实践解决问题，在实践 中体会诱导
公式在解题过程中的应用，使任意一个角都转化为他们所熟知的锐角，体会从未知到已知的< br>化归思想，从而为总结出解题的一般步骤奠定基础.
问题8：用诱导公式可将任意角的三角函数 化为锐角的三角函数，其一般步骤是什么？
（学生大胆说，互相讨论后师生共同归纳结论）

(五)课堂小结
问题9 ：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？主要提示从以下三方面 （由学生
完成）

【设计意图】通过提问的形式，引导学生概括归纳已有知识，形成知识体系；深化对诱
导公式内 涵和实质的理解，挖掘知识形成过程中所体现归纳和转化的思想方法，培养学生的
抽象概括能力．
（六）作业布置：
1．27页练习1、2、3（其中1题直接在书上填空）
1已知cos(75??
?
）?，求cos(105??
?
)的值
3
2、（选做）
3．思考题(预习作业)
给定一个角，终边与角的终边关于直线对 称的角与角有什么关系？它们
的三角函数之间有什么关系？能否证明？
【设计意图】通过分层 次布置作业，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的
能力也让学有余力的同学“吃得饱”，思 考题的设置为了下节课学习公式五、六做预习准备
的.教会学生利用所学知识进行数学学习，这是本节内 容的一个提高与拓展.

张丽梅老师的《三角函数的诱导公式》评课材料

本节课中教者对课堂进行了精心设计，体现了教育教学改革的
新理念，取得了良好的教学效果，其主 要教学特点如下：
1.创造性的利用教材，充分利用学生已有知识和经验进行教学
本节课教 者把教材上的探究问题做了改编，将预授知识与学生
已有的经验和认知规律相结合，从新知的引入到新知 的发生发展过
程，从新知的探究到新知的巩固，教者都灵活而富有创造性的设计出
了在学生在已 有经验的“就近发展区”上“衍生”出新的知识，帮助学
生实现对已有知识和经验的重组、提升和再创造 。
2.注重学生数学核心素养的培养，使课堂真正成为学生自主学习
和展示的舞台。
没有任何教学目标比“使学生成为独立地、自主地高效地学习者”
更重要。本节课教者精心设计课堂上 学生的活动，使学生积极有效的
参与到课堂之中，并通过课堂交流与展示，寻找学生已有知识与课堂探究的最佳契合点，在真正意义上找到了能够适合学生发展，并能够
在真正意义上培养学生思维能力 的一个突破口和教学的基本落脚点。
3.精心设计“问题”，在研究与解决问题的过程中渗透数学思想
本节课的教学活动始终围绕着探究三角函数诱导公式的角之间
的关系——对称关系——坐标间的 关系进行，在解决教师设计的一个
个问题的过程中，展现学生的思维和探索过程，使学生从中体会学习< br>数学的方法，学会用数学的思维、数学的思想方法分析、思考和解决
问题。