高中数学基本功 试题-高中数学是a版
《函数的单调性与导数》教学设计
前言：
同学们，前几节课我们已经学习了
平均变化率与导数，知道他们都可以来描述函数
的变化情况，今天，我们想利用导数来研究函数的性质，
函数最重要的性质是单调性，
我们先回顾增函数的定义：
1．回顾增（减）函数的定义．
增函数定义：
如果函数
y?f(x)
在区间
I
上有定义，
?x
1
,x
2
?I,x
1
?x
2
，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，
那么称函数y?f(x)
是区间
I
上的增函数．
增函数这个定义的伟大之处：将一个区间上函数的变化趋转化为任意两个函数值的
比较。
下面，我来问大家这样一个问题：
请大家拿起计算器接受我的问题，并提交答案。
问题1：函数
y?f(x)
在区间
I
上是增函数
?
?x1
,x
2
?I
，都有
f(x
1
)?f(x2
)
?0
．
x
1
?x
2
很
容易证明这个命题是正确的。大家观察这个比值，它的几何意义是什么？平均变
化率！
通过这
个命题，我们知道，原来单调性的判断不仅可以用定义，还可以用过任意两
点的割线的斜率（平均变化率
）来判断。
2．提出本节课的研究问题．
接下来，我们看一个具体的例子：
问题2：你能判断函数
f(x)?0.9x?sinx
的单调性吗？
（请动手画图）
到现在为止，我们判断函数的单调性有哪些方法了？
图象法、定义
法、平均变化率的方法，当然，平均变化率的方法与定义法实质是一
样的。我们不妨用最直观的方法——
图象法来研究。请大家画出函数的图象，再告诉我
这个函数的单调性。
我们感觉
f(
x)
的图象是上升的，但通过放大局部图象可以发现其图象有升有降，
显然
f(x)<
br>并非增函数．我们还可以计算几个具体的值，可以发现从左往后，函数值有
大有小。
这说明，利用函数的图象观察其单调性很不可靠．
既然如此，还是回到定义的方法比较可靠，那么：
问题3：你能利用增（或减）函数的定义判
断函数
f(x)?0.9x?sinx
在
(,)
上的
单调性吗？
1
ππ
32
请大家在草稿纸上面进行演算推理。
证法一：
?x
1
,x
2
?(,)
且
x1
?x
2
，则
ππ
32
f(x
1
)
?f(x
2
)?(0.9x
1
?sinx
1
)?(0.9x
2
?sinx
2
)
?0.9(x<
br>1
?x
2
)?(sinx
1
?sinx
2
)
．
难！
证法二：
?x
1
,x
2
?(,
)
且
x
1
?x
2
，则
ππ
32
f(x
1
)?f(x
2
)0.9(x
1
?x
2)?(sinx
1
?sinx
2
)
?
x1
?x
2
x
1
?x
2
?0.9?
sinx
1
?sinx
2
．
x
1
?x
2
通过函数
y?sinx
（
ππ
sinx
1
?sinx
2
?x?
）的图象观察，平均变化率似乎小于
32
x
1
?x
2
0.9
，从而
ππ
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
，于是判断
f(x)
在
(,)
上为增函数．这一方法看似自
32
x
1
?x2
然，但不能这样证明．
刚才这个问题，我们用了图象法、定义法、平均变化率的方法，三种方法都不行！
为此，我们
必须寻找新的出路！刚才我们已经提到，函数的单调性与平均变化率有
关，而平均变化率的极限是导数，
那么，函数的单调性与导数是否有关呢？它们有什么
样的关系呢？我们不妨从最熟悉的函数，高台跳水这
个实例入手研究。
3．寻找判断增（减）函数的新方法．（不用念题，让学生动与讲） <
br>问题4：10米高台跳水运动员以每秒2米的初速度起跳，运动员离开水面的高度随
时间变化的函
数为
h(t)??4.9t
2
?2.5t?10
，
运动员从起跳
到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
如何刻画运动员不同的运动状态？
师生互动：大家观察图象的升降，函数的增减与导数有什么样的关系？
为了方便观察，我们画
出任意一点的切线，现在，我们就来观察函数的单调性与切
线的斜率的关系。
我们拖动切线，
发现当运动员从起跳到最高点，切线是上升的，即函数为增函数时，
导数大于0；当运动员从最高点到入
水这个时间段，切线都是下降的，即函数减函数时，
导数小于0.这个规律是否普遍适用呢？让我们观察
更多的图象，请大家研究以下问题。
说明：点班级，观察学生的情况（可显示姓名），并放某个学生的动作。
问题5：观察下图4种典型函数的图象，你能说出它们的单调性与导数的关系吗？
2
师生互动：分别喊4个同学，让他们讲讲单调性与导数的关系。
那我们是不是可以得到这样的结论：
若可导函数
f(x)
是区间
I
上的增函数，则
f
?
(x)?0
？
我们仔细观察函数y
=x^3，该函数在R上为增函数，但是，它的导数为y=3x^2，当
x<0时，导数大于0；当x=
0时，导数等于0，当x>0时，导数大于0,可见，
若可导函数
f(x)
是区间<
br>I
上的增函数，则
f
?
(x)?0
．
今天我们这节课要关心的不仅仅是函数为增，则导数大于等于0
，而是函数满足什
么条件时，它一定是增函数。
请大家回答这个问题：
问题6：可导函数
y?f(x)
在区间
I
上满足
，则
f(x)
是区间
I
上的增函数．
(1)
?x
1
,x
2
?I
且
x
1
?x
2
，<
br>f(x
1
)?f(x
2
)
?0
；
(2)
f
?
(x)?0
；
x
1
?x
2<
br>f(x
1
)?f(x
2
)
?0
；
(4)
f
?
(x)?0
x
1
?x
2
； (3)
?x
1
,x
2
?I
且
x
1
?x
2
，
A．①或②
B．①或④ C．③或② D．③或④
根据增函数的定义我们已经知道（1）与（3），选（
3），那么（2）、（4）应该选哪
一个？
注意到（2），对于常数函数，其导数恒为0，所
以不对，应该将导数大于等于0，
加强为大于0。
因此，我们得到这样一个猜想：
f
?
(x)?0
，则
f(x)
是区间
I
上的增函数．
我们能从理论进行证明吗？
问题7：如果可导函数
y?f(x)
在区间I
上都有
f
?
(x)?0
，你能证明
f(x)
是区间
I
上的增函数吗？
根据定义，要证明增函数，可以是图象法、定义法、平均变
化率的方法，你希望哪
个方法？也就是将问题转化为：
如果
f
?
(
x)?0
，那么
?x
1
,x
2
?I
，
f(
x
1
)?f(x
2
)
?0
.
x
1
?x
2
也就是证明，如果导数大于0，则平均变化率大于0，从几何的角度来讲，就是证明函数在任意一点的切线的斜率为正，那么在任意两点的割线的斜率为正。
也就要找切线与割线斜率之间的关系。
为了方便大家研究，我们不妨用一个增函数，例如
y?x
，还试一试。
有发现，….
我们有发现，事先给一条割线，总有一条切线与之是平行的，即给一个平均变化
率，
总存在一个点的导数值与之相等。找一条割线试试？
3
是不是对任意一条割线，都有这个结论呢？
我告诉大家，著名的数学家拉格朗日早就发现了这个结论，这个结论就是
介绍：拉格朗日中值定理：
如果函数
f(x)
满足：(1)在闭区间
?
a,b
?
上连续；(2)在开区间
?
a,b
?
内可导；那么在
?
a,b
?
内至少存在一点
?
，使得f
?
?
?
?
?
f
?
b
??f
?
a
?
.
b?a
现在，允许你直接使用这个定理，证明问题7，请你动笔
证明：
?x
1
,x
2
?I
，根据拉格朗日中值定理，必存在一点
?
?I
，使得
f
?
?
?
?
?
由已知，
f
??
?
?
?0
，所以
f(x
1
)?f(x
2
)
x
1
?x
2
f(x
1
)
?f(x
2
)
?0
，
x
1
?x
2
所以，
f(x)
是区间
I
上的增函数．
（5）得出结论： 如果可导函数
y?f(x)
在区间
I
上都有
f
?
(x)?0
，那么
f(x)
是区间
I
上的增函数；
如果
可导函数
y?f(x)
在区间
I
上都有
f
?
(x)
?0
，那么
f(x)
是区间
I
上的减函
数．
<
br>这真是一个伟大的进步，如果说增函数的定义是将函数在一个区间上的变化趋势转
化为任意两点的
平均变化率，那么用导数来判断单调性，则是用函数的任意一点导数.
1．利用导数判断函
数
f(x)?0.9x?sinx
在
(,)
上的单调性；
2．利用
导数判断函数
f(x)?x
3
?3x
的单调性，并求出单调区间．
归纳判断函数的单调性的步骤：
（1）确定函数
f(x)
的定义域；
（2）求出函数的导数；
（3）解不等式
f
?
(x)?0
，得函数的单调增区间；解不等式
f
?
(x)?0
，得函数的单
调增
区间．
学习小结
让学生谈谈今天的学习体会：解决了哪些问题？有什么收获？
4
ππ
32