高中数学必修1公开课教案1.1.3 集合的基本运算第2课时

第2课时
导入新课
问题:①分别在整数范围和实数范围内解方程(x-3) (x
-3
)=0,其结果会相同吗?
②若集合A={x|0学生回答后,教师指明:在不同的范围内集合中的元素会有所不同,这个“范围”问题就是本节
学习的内容,引出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①用列举法表示下列集合:
1
)(x
-2
)=0};
3
1
B={x∈Q|(x-2)(x+)(x
-2
)=0};
3
1
C={x∈R|(x-2)(x+)(x
-2
)=0}.
3
A={x∈Z|(x-2)(x+
②问题①中三个集合相等吗？为什么？
③由此看,解方程时要注意什么？
④问题①,集合Z,Q,R分别含有所解方程时所涉及的全 部元素,这样的集合称为全集,请给出全
集的定义.
⑤已知全集U={1,2,3},A={1},写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.
⑥请给出补集的定义.
⑦用Venn图表示A.
活动：组织学生充分讨论、交流,使学生明确集合中的元素,提示学生注意集合中元素的范围.
讨论结果：
①A={2},B={2,
?
11
},C={2,?
,
2
}.
33
②不相等,因为三个集合中的元素不相同.
③解方程时,要注意方程的根在什么范围内,同一个方程,在不同的范围其解会有所不同.
④ 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,
通常记为U.
⑤B={2,3}.
⑥对于一个集合A,全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集 合A相对于全集U
的补集.
集合A相对于全集U的补集记为
⑦如图1-1-3-9所示,阴影表示补集.
A,即A={x|x∈U,且xA}.

图1-1-3-9

应用示例
思路1
1.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求A,B.
活动：让学生明确全集U中的元素,回顾补集的定义,用列举法表示全集U,依据补集的定义写
出A,B.
解：根据题意,可知U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以
A={4,5,6,7,8};B={1,2,7,8}.
点评：本题主要考查补集的概念和 求法.用列举法表示的集合,依据补集的含义,直接观察写出
集合运算的结果.
常见结论:(A∩B)=(A)∪(B);(A∪B)=(A)∩(B).
变式训练
1.2007吉林高三期末统考,文1已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7 },B={3,4,5},则
(A)∩(B)等于( )
A.{1,6} B.{4,5} C.{2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}
分析:思路一:观察得(A)∩(B)={1,3,6}∩{1,2,6,7}={1,6}.
A)∩(B)=(A∪B)={1,6}. 思路二:A∪B={2,3,4,5,7},则(
答案：A
2.2007北京东城高三期末教 学目标抽测一,文1设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},B={2},则
A∩( B)等于( )
A.{1,2,3,4,5} B.{1,4} C.{1,2,4} D.{3,5}
答案：B
3.2005浙 江高考,理1设全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5, 6,7},则P∩(
( )
A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,6,7} D.{1,2,3,4,5}
答案：A
2.设全集U={x|x是三角形},A={x|x 是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}.求A∩B,(A∪B).
Q)等于
活动：学 生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的
含义写出结果.A∩B 是由集合A,B中公共元素组成的集合,
中剩下的元素组成的集合.
解：根据三角形的分类可知
A∩B=
?
,
A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},
变式训练
(A∪B)={x|x是直角三角形}.
(A∪B)是全集中除去集合A∪B

1.已知集合A={x|3≤x<8},求A.
解：A={x|x<3或x≥8}.
2.设S={x|x是至少有一组对边平行的四边形},A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形} ,C={x|x
是矩形},求B∩C,B,A.
解：B∩C={x|正方形},B={x|x是邻边不相等的平行四边形},A={x|x是梯形}.
3.已知全集I=R,集合A={x|x
2
+ax+12b=0},B={x|x2
-ax+b=0},满足(A)∩B={2},(B)∩A={4},
求实数a、b的值 .
答案：a=
812
,b=
?
.
7
7
A)∩B等于…( ) 4.设全集U=R,A={x|x≤2+
3
},B={3,4,5,6},则(
A.{4} B.{4,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}
分析:∵U=R,A={x|x≤2+
3
},∴
∴ (A)∩B={4,5,6}.
A={x|x>2+
3
}.而4,5,6都大于2+
3
,
答案：B
思路2
1.已知全集U=R,A={x|-2≤x≤4},B={x|-3≤x≤3},求:
(1)
(2)(
(3)(
A,B;
B),
B),
(A∩B),由此你发现了什么结论？
(A∪B),由此你发现了什么结论？
A)∪(
A)∩(
活动：学生回想补 集的含义,教师指导学生利用数轴来解决.依据补集的含义,借助于数轴求得.
在数轴上表示集合A,B .
解：如图1-1-3-10所示,

图1-1-3-10
(1)由图 得
(2)由图得(
A={x|x<-2或x>4},
A)∪(
B={x|x< -3或x>3}.
B)={x|x<-2或x>4}∪{x|x<-3或x>3}={x|x<-2或x>3};
∵A∩B={x|-2≤x≤4}∩{x|-3≤x≤3}={x|-2≤x≤3},
∴(A∩B)={x|-2≤x≤3}={x|x<-2或x>3}.
(A∩B)=(A)∪(B). ∴得出结论

(3)由图得(A)∩(B)={ x|x<-2或x>4}∩{x|x<-3或x>3}={x|x<-3或x>4};
∵A∪B={x|-2≤x≤4}∪{x|-3≤x≤3}={x|-3≤x≤4},
∴(A∪B)={x|-3≤x≤4}={x|x<-3或x>4}.
(A∪B)=(A)∩(B). ∴得出结论
变式训练
1.2006重庆高考,理1 已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(A)∪( B)等于
( )
A.{1,6} B.{4,5} C.{1,2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}
答案：D
2.2005江西高考,理1设集合I={x||x|<3,x∈Z},A={1,2},B={-2,-1, 2},则A∪(B)等于( )
A.{1} B.{1,2} C.{2} D.{0,1,2}
答案：D
2.设全集U ={x|x≤20,x∈N,x是质数},A∩(B)={3,5},(A)∩B={7,19},(A)∩(B )={2,17},
求集合A、B.
活动：学生回顾集合的运算的含义,明确全集中的元素. 利用列举法表示全集U,根据题中所给
的条件,把集合中的元素填入相应的Venn图中即可.求集合A 、B的关键是确定它们的元素,
由于全集是U,则集合A、B中的元素均属于全集U,由于本题中的集合 均是有限集并且元素
的个数不多,可借助于Venn图来解决.
解：U={2,3,5,7,11,13,17,19},
由题意借助于Venn图,如图1-1-3-11所示,

图1-1-3-11
∴A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.
点评：本题主要考查集合 的运算、Venn图以及推理能力.借助于Venn图分析集合的运算问
题,使问题简捷地获得解决,将 本来抽象的集合问题直观形象地表现出来,这正体现了数形结
合思想的优越性.
变式训练
1.2007临沂高三期末统考,文1

图1-1-3-12

设I为全集,M、N、P都是它的子集,则图1-1-3-12中阴影部分表示的集合是( )
A.M∩[(N)∩P] B.M∩(N∪P)
C.[(M)∩(N)]∩P D.M∩N∪(N∩P)
分析:思路一:阴影部分在集合M内部,排除C;阴影部分不在集合N内,排除B、D.
思路 二:阴影部分在集合M内部,即是M的子集,又阴影部分在P内不在集合N内即在(N)∩P
内,所以阴 影部分表示的集合是M∩[(N)∩P].
答案：A
2.设U={1,2,3,4,5,6 ,7,8,9},(A)∩B={3,7},(B)∩A={2,8},(A)∩(B)={1,5,6},则集 合
A=________,B=________.
分析:借助Venn,如图1-1-3- 13,把相关运算的结果表示出来,自然地就得出集合A、B了.

图1-1-3-13
答案：{2,4,8,9} {3,4,7,9}
知能训练
课本P
11
练习4.
【补充练习】
1.设全集U=R,A={x |2x+1>0},试用文字语言表述
解：A={x|2x+1>0}即不等式2x+1>0的解集,< br>应当满足2x+1≤0.∴
A的意义.
A中元素A中元素均不能使2x+1>0成立,即
A即不等式2x+1≤0的解集.
2.如图1-1-3-14所示,U是全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分表示的集合是______ _.

图1-1-3-14
分析:观察图可以看出,阴影部分满足两个条件:一是 不在集合S内;二是在集合M,P的公共部
分内,因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M,P 的交集的交集,即(
答案：(S)∩(M∩P)
S)∩(M∩P).
3.2007 安徽淮南一模,理1设集合A、B都是U={1,2,3,4}的子集,已知
(A)∩(B)={2}, (A)∩B={1},则A等于( )

A.{1,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{1,4}
分析:如图1-1-3-15所示.

图1-1-3-15
由于(A)∩(B)={2},(A)∩B={1},则有A={1,2}.∴A={3,4}.
答案：C
4.2006安徽高考,文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集 合S={1,3,5},T={3,6},则
( )
A.
?
B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}
分析:直接观察(或画出Venn图),得S∪T={1,3,5,6},则
答案：B
5.2007河北石家庄一模,文1已知集合I={1,2,3,4},A={1},B={2,4},则A∪ (B)等于( )
A.{1} B.{1,3} C.{3} D.{1,2,3}
分析:∵B={1,3},∴A∪(B)={1}∪{1,3}={1,3}.
答案：B
拓展提升
问题:某班有学生50人,解甲、乙两道数学题,已知解对甲题者有34人,解对乙 题者有28人,
两题均解对者有20人,问:
(1)至少解对其中一题者有多少人？
(2)两题均未解对者有多少人？
分析:先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型,然 后根据题意写出它们的运算,问题便
得到解决.
解：设全集为U,A={只解对甲题的学生} ,B={只解对乙题的学生},C={甲、乙两题都解对的学
生},
则A∪C={解对甲题的学生},
B∪C={解对乙题的学生},
A∪B∪C={至少解对一题的学生},
(A∪B∪C)={两题均未解对的学生}.
由已知,A∪C有34个人,C有20个人,
从而知A有14个人;B∪C有28个人,C有20个人,所以B有8个人.
因此A∪B∪C有N
1
=14+8+20=42(人),
(A∪B∪C)有N
2
=50-42=8(人).
∴至少解对其中一题者有42个人,两题均未解对者有8个人.
(S∪T)={2,4,7,8}.
(S∪T)等于

课堂小结
本节课学习了:
①全集和补集的概念和求法.
②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.
作业
课本P
12
习题1.1A组9、10,B组4.
设计感想
本节教 学设计注重渗透数形结合的思想方法,因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴
或Venn图进行集 合的补集运算.由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合,本
节也对此也予以体现,可以利 用课余时间学习有关解不等式的知识.
习题详解
(课本P
5
练习)
1.(1)中国∈A,美国
?
A,印度∈A,英国
?
A.
(2)∵A={x|x
2
=x}={0,1},∴-1
?
A. (3)∵B={x|x
2
+x-6=0}={-3,2},∴3
?
A.
(4)∵C={x∈N|1≤x≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
∴8∈C,9.1
?
C.
2.(1){x|x
2
=9}或{-3,3};
(2){2,3,5,7};
?
y?x?3
(3){(x,y)|
?
}或{(1,4)};
y?-2x?6
?
(4){x∈R|4x-5<3}或{x|x<2}.
(课本P
7
练习)
1.
?
,{a},{b},{c},{ a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.
2.(1)a∈{a,b,c}.
(2)∵x
2
=0,∴x=0.∴{x|x
2
=0}={0}.
∴0∈{0}.
(3)∵x
2
+1=0,∴x
2
=-1.又∵x∈R,
∴ 方程x
2
=-1无解.∴{x∈R|x
2
+1=0}=
?
. ∴
?
=
?
.
(4).
(5)∵x
2
=x,∴x=0或x=1.
∴{x|x
2
=x}={0,1}.
∴{0}{0,1}.
(6)∵x
2
-3x+2=0,∴x=1或x=2.
∴{x|x
2
-3x+2=0}={1,2}.
∴{2,1}={1,2}.
3.(1)由于1是任何正整数的公约数,任何正整数都是自身 的公约数,所以8的公约数是1,2,4,8,
即B={1,2,4,8}.∴AB.
A. (2)显然B
?
A,又∵3∈A,且3
?
B,∴B
(3)4与10的 最小公倍数是20,4与10的公倍数应是20的倍数,显然A=B.
(课本P
11
练习)
1.A∩B={5,8},A∪B={3,5,6,7,8}.

2.∵x
2
-4x-5=0,
∴x=-1或x=5.
∵A={x|x
2
-4x-5=0}={-1,5},
同理,B={-1,1}.
∴A∪B={-1,5}∪{-1,1}={-1,1,5},
A∩B={-1,5}∩{-1,1}={-1}.
3.A∩B={x|x是等腰直角三角形},
A∪B={x|x是等腰三角形或直角三角形}.
4.∵
∴A∩(
B={2,4,6},A={1,3,6,7},
B)={2,4,5}∩{2,4,6}={2,4},
(A)∩(B)={1,3,6,7}∩{2,4,6}={6}.
(课本P
11
习题1.1)
A组
1.(1)∈ (2)∈ (3)
?
(4)∈ (5)∈ (6)∈
2.(1)∈ (2)
?
(3)∈
3.(1){2,3,4,5};
(2){-2,1};(3){0,1,2}.
(3)∵-3<2x-1≤3,∴-2<2x≤4.
∴-1又∵x∈Z,∴x=0,1,2.
∴B={x∈Z|-3<2x-1≤3}={0,1,2}.
4.(1){y|y≥-4};
(2){x|x≠0};
(3){x|x≥
4
}.
5
5.(1)∵A={x|2x-3<3x}={x|x>-3},B={x|x≥2},
∴-4
?
B,-3
?
A,{2}B,BA.
(2)∵A={x|x
2
-1=0}={-1,1},
∴1∈A,{-1}A,
?
A,{1,-1}=A.
(3);.
6.∵B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},
∴A∪B={x|2≤x<4}∪{x|x≥3}={x|x≥2},
A∩B={x|2≤x<4}∩{x|x≥3}={x|3≤x<4}.
7.依题意,可知A={1,2,3,4,5,6,7,8},
所以A∩B={1,2,3,4,5,6,7,8}∩{1,2,3}={1,2,3}=B,
A∩C={1,2,3,4,5,6,7,8}∩{3,4,5,6}={3,4,5,6}=C.
又∵B∪C={1,2,3}∪{3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6}.
∴A∩ (B∪C)={1,2,3,4,5,6,7,8}∩{1,2,3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6 }.
又∵B∩C={1,2,3}∩{3,4,5,6}={3},
∴A∪(B∩C)={ 1,2,3,4,5,6,7,8}∪{3}={1,2,3,4,5,6,7,8}=A.
8.(1)A∪B={x|x是参加一百米跑的同学或参加二百米跑的同学}.
(2)A∩C={x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}.

9.B∩C={x|x是正方形},
B={x|x是邻边不相等的平行四边形},
A={x|x是梯形}.
10.∵A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2∴(A∪B)={x|x≤2或x≥10}.
又∵A∩B={x|3≤x<7}∩{x|2∴(A∩B)={x|x<3或x≥7}.
(A)∩B={x|x<3或x≥7}∩{x|2A∪(B)={x|3≤x<7}∪{x|x≤2或x≥10}={x|x≤2或3≤x<7或x≥10 }.
B组
1.∵A={1,2},A∪B={1,2},
∴B
?
A.
∴B=
?
,{1},{2},{1,2}.
2.集合D={(x,y)|2x-y=1}∩{(x,y)|x+4y=5}表示直线2x-y=1与 直线x+4y=5的交点坐标;
?
2x-y?1
由于D={(x,y)|
?
}={(1,1)},
x?4y?5
?
所以点(1,1)在直线y=x上,
即DC.
3.B={1,4},
当a=3时,A={3},
则A∪B={1,3,4},A∩B=
?
;
当a≠3时,A={3,a},
若a=1,则A∪B={1,3,4},A∩B={1};
若a=4,则A∪B={1,3,4},A∩B={4};
若a≠1且a≠4,则A∪B={1,a,3,4},A∩B=
?
.
综上所得,
当a=3时,A∪B={1,3,4},A∩B=
?
;
当a=1,则A∪B={1,3,4},A∩B={1};
当a=4,则A∪B={1,3,4},A∩B={4};
当a≠3且a≠1且a≠4时,A∪B={1,a,3,4},A∩B=
?
.
4.作出韦恩图,如图1-1-3-16所示,

图1-1-3-16