高中数学《等差数列复习课》公开课优秀教学设计

《<等差数列>单元复习课》教学设计
课题
项目


教

学

内

容
教
解

析




材
学

情

分

析


分



教

学
析
目

标
《等差数列》单元复习课
内 容
《等差数列》是高中数学教材的重要内容之一， 等差数列作为一种特殊
的函数，与函数思想密 不可分，研究等差数列问题所需的恒等变形、解方程
(组)、方程思想方法也是学生学习数学必须掌握的 基本技能，学习等差数列有
助于培养学生综合运用知识解决问题的能力.
本节课是一节单元复 习课，1道例题和6道练习题都立足于课本，突出基
础知识和基本技能，学生在解题的过程中回顾等差数 列的相应知识点，形成知
识网络，进一步加深对等差数列的理解和掌握。
学生已经学习了等差 数列的通项公式、前
n
项和公式及相关性质,也做了
一些配套练习，但是对等差数列的 认识还不够系统、深刻，做题还存在简单模
仿和套公式，对概念和性质缺少思考，性质的运用也不熟练。 此外，作为高二
的学生，他们已经具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初
步 形成，思维特点是活跃、敏捷，但缺乏冷静、深刻，不够严谨.
1.知识与技能：掌握等差数列的通项公式、前
n
项和公式及相关性质.
2 .过程与方法：通过典型例题讲解引导学生回顾等差数列的通项公式、前
n
项
和公式及 相关性质，通过课堂练习和巩固练习提高学生对知识的综合应用能
力，通过归纳总结使学生构建等差数列 知识网络.
3.情感态度与价值观：通过提出有指向性的问题，培养学生独立思考的习惯和
发 散思维，通过学生课堂的即时训练和归纳小结，培养对知识的应用意识和观
察归纳的能力，通过让学生在 课堂上获得成功体验，培养学生学习数学的兴趣.
重
难
点
教
学
策
略
分
析
重点：等差数列的通项公式、前
n
项和公式及相关性质的理解.

难点：等差数列的通项公式、前
n
项和公式及相关性质的应用.
本节课采用 了讲练结合的教学策略：教师讲解例题→学生反馈练习→教师
点评→学生巩固提高→教师点评→学生归纳 总结→学生完成课后作业，以学生
为本，关注学生的发展.在学生解题的过程中引导他们对等差数列的知 识进行
整理和深入思考、提高运用知识的能力.设计能够激发学生发散思维的练习题，
使学生在 掌握方程的基本方法的同时，能够结合等差数列的性质提高解题效
率，力求使各层次的学生都有所提高.

教


学


设


计










例.

等差数列{
a
n
}中，
a
4
??3,a
10
??15
,求通项
a
n及前
n
项和
S
n
.


?
a
1
?3d??3
?
a
1
?3
解：由
?< br>,解得
?
,

?
d??2
?
a
1
?9d??15

故
a
n
?a
1
?(n?1)d??2n?5
,

例
题

S?
(a
1
?a
n
)n
?
(3?2n?5)n
??n
2
?4n
,

n
22
讲
解
d
2
d?2< br>2
?
?2
?
2
S?n?(a?)n??n?3?()n??n ?4n
.

或
n

1
??< br>222
?
2
?
注：求通项
a
n
也可由
d?
a
n
?a
m
可先求公差，再根据等差数列通项公式推广
n?m
式
a
n
?a
m
?(n?m)d
求通项a
n
，即：
a
10
?a
4
?15? (?3)
d????2
，
a
n
?a
4
?(n?4) d??2n?5
.
10?410?4
例
在典型例题讲解的过程中，引导学生 回顾等差数列的通项公式和前
n
项和
题
设
公式及相关性质并能直接应 用.引导学生应用
d?
a
n
?a
m
和等差数列通项公
n?m
计
意
式推广式
a
n
?a
m
?(n ?m)d
提高解题速度.
图

















1.等差数列{
a
n
}中，若
a
1< br>??1
,
a
3
?a
7
?22
,则
a
10
?
.
?
a
1
??1
?a
1
??1
思路：由
?
,解得
?
,故
a
10
?a
1
?9d?26
.
?
d?3
?
a
3
?a
7
?2a
1
?8d?22
2. 等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,已 知
a
1
?a
2
?a
3
?3
，
a< br>48
?a
49
?a
50
?426
，求
S50
.
?
3a
1
?3d?3
?
a
1
??2
思路一：由
?
,解得
?
,
?
d? 3
?
3a
1
?144d?426
(a
1
?a
50
)?50
故
a
50
?a
1
?49d?145
，所以
S
50
??3575
.
2
?
3 a
2
?3
?
a
2
?1
思路二：由
?
,解得
?
,
?
3a
49
?426
?
a
49
?142

教


学


设


计






























课
堂
练
习


















课
堂
练
习
设
计
意
图
故
d?
a
49
?a
2
?3
，
a< br>1
?a
2
?d??2
，
a
50
?a
49
?d?145

49?2
(a
1
?a
50)?50
?3575
.
2
,得
3(a
1
?a
50
)?429
,
所以
S
50
?
思路三：由
a
1
?a
2?a
3
?3
a
50
?a
49
?a
48
?426
由
a
1
?a
50
?143
所以
S
50
?
(a
1
?a
50
)?50
?3575
.
2
3.等差数列{
a
n
}中，
a
1
?20,a
5
?12
,求通项
a
n
及前
n
项和
S
n
的最大值.
思路一：由
a
1
?20,d?
a
5
?a
1
得
a
n
?a
1
?(n?1)d??2n?22
，
??2
，
5?1
S
n
?
(a
1
?a
n
)n
??n
2
?21n
，二次函数
y??x
2
?21x
开口向 下，对
2
21
，所以当
n?10
或
n?11
时，< br>S
n
取最大值
S
10
?S
11
?110.
2
称轴为
x?
思路二：由
a
1
?20,d ?
a
5
?a
1
得
a
n
?a
1?(n?1)d??2n?22
，
??2
，
5?1
可知数列{
a
n
}为单调递减数列，令
a
n
?0
，
n ?11
，
当
n?11
时，
a
n
?0
，当
n?11
时，
a
n
?0
，
所以当
n?1 0
或
n?11
时，
S
n
取最大值
S
10< br>?S
11
?110
.
课堂练习的三道题由浅入深，第1题由学生口答 ，第2、3题由两位学生
演板，其他学生独立完成.及时点评，规范学生解题步骤，给予学生及时的肯< br>定和鼓励.注意在点评的过程中实现如下设计意图：
通过第1题的练习过程，使学生进一步掌握 方程的思想方法求首项和公
差，并能熟练应用通项公式求数列的任意项；
通过第2题的练习过 程，使学生回顾倒序求和的数学方法，并能够应用等
差数列中若
m?n?p?q
，则< br>a
m
?a
n
?a
p
?a
q
这一重要 性质解决问题；
通过第3题的练习过程，让学生体会等差数列通项公式与一次函数的关
系、前
n
项和公式与二次函数的关系，并能应用函数思想解决数列问题.

教


学


设


计



















1.等差数列{
a
n
}中，若
a
1
??1
,
a
3
?a
7
?22
,则
a
5
?
，
a
9
?
.
思路：由
a
3
?a< br>7
?a
1
?a
9
?2a
5
,解得
a
9
?23
,
a
5
?11
.
2.等差数列 {
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,若
a
2
?2,S
5
??5
,求
S
n
.
思路一：由
S
5
?a
1
?a
2
?a< br>3
?a
4
?a
5
?5a
3
??5
得
a
3
??1
,
故
d?a
3
?a
2
??3
,所以
a
1
?a
2
?d?5
,

S
n
?
d
2
d?3
2
?3313
n?(a
1
?)n?n?(5?)n??n
2
?n
.
222222
思路二：由
S
5
?a
1
? a
2
?a
3
?a
4
?a
5
?5a
3
??5
得
a
3
??1
,
故
d?a3
?a
2
??3
,
a
1
?a
2
?d?5
,
a
n
?5?(n?1)?(?3)??3n?8


S
n
?

巩
3.等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,若
S
2
?4,S
4
?16,
则
S
6
= .
固
d
2
d
练
思路一：由
S
n
?n?(a
1
?)n
,根据题意
22
习

( a
1
?a
n
)n(5?3n?8)n313
???n
2?n
.
2222
d
?
2d?2(a?)?4
1
?
?
a
1
?1
2
,解得
?
,
?
d
?
d?2
?
8d?4(a
1
?)?16
?
2
所以
S
6
?18d?6(a
1
?
d
)?36
.
2
思路二：由
S
2
,
S
4
?S
2
,
S
6
?S
4
成等差数列,得
S
2< br>?(S
6
?S
4
)?2(S
4
?S
2
)
，整理得
S
6
?3(S
4
?S
2
)

所以
S
6
?3?12?36
.
思路三：由
S
2
S
4
S
6
S
S2S
4
, , 成等差数列,得
2
?
6
?

24
264
6
整理得
S
6
?6
，所以
S
6
?36
.
6

巩
固
练
习
设
计
意
图

巩固练习的三道题由浅入深，第1题由学生口答，第2、3题由两位学生
演板.及时点评，规范学生解题 步骤，给予学生及时的肯定和鼓励.注意在点评
的过程中实现如下设计意图：
通过第1题的练习过程，使学生进一步掌握等差中项的概念和等差数列的
重要性质；
通过第2题的练习过程，使学生能够熟练应用等差数列前
n
项和公式的两
种基本形式解 决问题；
通过第3题的练习过程，让学生体会等差数列前
n
项和的两个性质，即?
S
?
S
m
,
S
2m
?S
m
,
S
3m
?S
2m
,
?
成等差数列和?
n
?
为等差数列，体会利用性质
?
n
?
迅速 解决问题带来的愉悦.












归
纳
总
结

等差数列{
a
n
}：
定义：当
n?2
时,
a
n
?a
n?1
?d
(常数)
通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
(累加法)
等差中项：
a,A,b
成等差数列，则
A?
性质：若
m?n ?p?q
，
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

推广式：
a
n
?a
m
?(n?m)d

a?b

2
a
n
?a
m
求公差：
d?

n?m
等差数列的前
n
项和
S
n
：

通项公式：
S
n
?
(a
1
?a
n)n
d
2
d
?n?(a
1
?)n

2 22
性质1：
S
m
,
S
2m
?S
m
,
S
3m
?S
2m
,
?
成等差数列
S
n
dd
?
S
n
?
性质2：由
?n?(a< br>1
?)
，知
??
为等差数列
n22
?
n
?

课
后
作
业

1.等差数列{
a
n
}中，若
a
3
?7,a
7?3
，则
a
10
?

．
2.等差数列{
a
n
}中，若
a
4
?a
8
?10
，
a
10
?6
，则公差
d?
．
3.等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,若
a
3
?6,S
3
?12
，则公差
d?
．
4.等差数列{
a
n
}的前
n
项 和为
S
n
,若
a
5
?a
7
?16
，则
S
11
?
．
5.数列{
a< br>n
}的前
n
项和为
S
n
?3n
2
? 5n
，则
a
6
?
．
6.等差数列{
a
n
}中，
a
1
?a
2
?a
3
?34
，
a
n?2
?a
n?1
?a
n
?1
，则
n?
．
7.若
S
n
是等差数列 {
a
n
}的前
n
项和，
S
5
?10,S< br>10
?30
,则
S
15
?
．
8 .等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,
a
1
?2014
，
则
S
2016
?
．
9.数列{
a
n
}中，已知
a
1
?1
,当
n?2
时,
a
n
?a
n?1
?n
,求{
a
n
}的通项.
10.等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,已知
a
2
?a
5
?1
，
S
15
?75
，
T
n
为数
?
S
?
列
?
n
?
的前
n
项和
(n?N
*
)
．
?
n
?
S
2014
S
2012
???2
，
20142012
（1）求
S
n
；
（2）求
T
n
及
T
n
的最小值．





通项公式及性质
板
书

设

计




课题
例题讲解区
及
学生演板区

例题讲解区
及
学生演板区


前
n
项和公式
及性质

《<等差数列>单元复习课》课例点评
这节《<等差数列>单元复习课》有以下几个特点：
1.复习模式新颖。很多老师在上复习课 的时候都是先让学生回顾知识点，再
讲解例题和练习，但是本节课是先完成例题和练习，在学生解题的过 程中引导
学生回顾和归纳等差数列的知识点，这种模式有时可能更符合学生实际——学
生不一定 在学习了一个章节以后马上就有清晰的知识脉络，而是在做题的过程
中不断强化才能总结出知识网络。
2.例题和练习的设计指向性很强，突出基本知识和基本技能。选取的1道例
题和6道练习题层 次分明，涵盖的知识点全面，落实了课程标准的要求。
3.突出了学生的主体地位。教师在课堂练习和 巩固练习环节让学生上台演
板，也关注了其他学生解题的情况；在点评的时候，能够欣赏和肯定学生，善
于启发引导和归纳总结，使学生获得积极的成功体验，体现了教师为主导学生
为主体的课堂模式 。
4.教师的基本功扎实。这节课教学设计思路清晰、节奏感强，教师的语言表
达能力强，肢 体语言丰富，善于激发学生的学习热情，善于引导学生思考和表
达自己的观点，课堂驾驭能力强。