最新人教版高中数学必修二圆的标准方程公开课优质教案

第四章 圆与方程
本章教材分析
上一章,学生已经学习了直线与 方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究
直线间的位置关系、直线与直线 的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体
验.本章将在上章学习了直线与 方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法
研究点与圆、直线与圆、圆与 圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何
对象奠定基础,这些知识是进 一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数
形结合的思想,形成用代数方 法解决几何问题的能力.
通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一 ,坐标法不仅是研究几何问题的
重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系 把点和坐标、曲线和方程联系起
来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重 要思想,不怕反复.用坐标法解决几
何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然 后对坐标和方程进行代数运算;最后把运
算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题 的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综
合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体 几何问题.
本章教学时间约需9课时,具体分配如下(仅供参考):
4.1.1
4.1.2
4.2.1
4.2.2
4.3.1
4.3.2

圆的标准方程
圆的一般方程
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
空间直角坐标系
空间两点间的距离公式
本章复习
精品资料，祝您成功。
1课时
1课时
2课时
2课时
1课时
1课时
1课时

§4.1 圆的方程
§4.1.1 圆的标准方程
一、教材分析
在初中曾经学习过圆的有关 知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解
析法研究圆的方程,它与其他图 形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆
的方程,就为后面学习其他 圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的
作用,具有重要的地位, 在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的
广泛性,对圆的标准 方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时
培养学生的应用 意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教
学内容设计 为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启
发学生 “探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动
脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.
二、教学目标 < br>1．知识与技能
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
（2） 会用待定系数法求圆的标准方程.
2．过程与方法
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能 力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际
问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决 问题的能力.
3．情感态度与价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习 数学的热情和兴趣.
三、教学重点与难点
教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.
精品资料，祝您成功。

教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)
说明:在白纸上要表演的是一个小魔 术,名称是《日出》,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画
出太阳.要求其他学生在自己的脑海 里也构画出自己的太阳.
课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学 觉得不够美(点评:其实每
个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).
然后上升到数学层次：
不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.
从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.
那么在给定圆心和 半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教
师板书本节课题:圆的 标准方程.
思路2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆 的方程怎样来
求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它 们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?
②具有什么性质的点的轨迹称为圆？
③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
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图1
④我们知道,在平面直角坐 标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件
是什么?
⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?
⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？
讨论结果：①根据两点之间 的距离公式
(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
,得
|AB|=
(2?6)?(9?5)?
|CD|=
(x?3)?(y?8)
.
②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心 ,定长是半径(教师在黑板上画一个
圆).
③圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆 心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的
位置和大小.
④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.
⑤确 定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r＞0) .
设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA |=r},由两点间的距
离公式让学生写出点M适合的条件
(x?a)?(y?b)
= r.①
将上式两边平方得(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
.
化简可得(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
.②
若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程②,反之若点M的坐标满足方程②,这 就说
明点M与圆心C的距离为r,即点M在圆心为C的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为 r的圆的方程,
22
22
22
22
212
,
精品资料，祝您成功。

我们把它叫做圆的标准方程.
⑥这是二元二 次方程,展开后没有xy项,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标
和 圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x
2
+y
2
=r
2
.
提出问题
①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?
②确定圆的方程的方法和步骤是什么?
③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?
讨论结果：①圆的标准方程(x－a)
2
＋(y－b)
2
=r
2
中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,这
时圆的方程就被确定,因此 确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定
形条件.
②确 定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)< br>和半径r,一般步骤为：
1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x－a)
2
＋(y－b)
2
=r
2
；
2°根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组；
3°解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.
③点M(x
0
,y
0
)与圆(x-a)
2
+(y-b)2
=r
2
的关系的判断方法：
当点M(x
0
,y0
)在圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
上时,点M的坐标满足方程(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2.
当点M(x
0
,y
0
)不在圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
上时,点M的坐标不满足方程(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
.
用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:
1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外
?
(x
0
-a)
2
+(y
0
-b)
2< br>＞r
2
,点在圆外;
2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上
?(x
0
-a)
2
+(y
0
-b)
2
= r
2
,点在圆上;
3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内
?
(x
0
-a)
2
+(y
0
-b)
2
＜r
2
,点在圆内.
（三）应用示例
精品资料，祝您成功。

思路1
例1 写出下列各圆的标准方程：
(1)圆心在原点,半径是3；
⑵圆心在点C(3,4),半径是
5
;
(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；
(4)圆心在点C(1, 3),并且和直线3x-4y-7=0相切.
解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方 程为(x-0)
2
+(y-0)
2
=3
2
,即x
2
+y
2
=9.
(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准 方程是(x-3)
2
+(y-4)
2
=(5)
2
,即(x- 3)
2
+(y-4)
2
=5.
(3)方法一:圆的半径r=|CP |=
(x-8)
2
+(y+3)
2
=25.
方法二:设圆 的标准方程为(x-8)
2
+(y+3)
2
=r
2
,因为圆 经过点P(5,1),所以(5-8)
2
+(1+3)
2
=r
2,r
2
=25,因此所求
圆的标准方程为(x-8)
2
+(y+ 3)
2
=25.
这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参 数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要
视问题的方便而定.
(4)设圆的标准方程为(x -1)
2
+(y-3)
2
=r
2
,由圆心到直线的距离等于 圆的半径,所以
r=
(5?8)
2
?(1?3)
2
?25< br>=5,因此所求圆的标准方程为
|3?12?7|
25
?
|16|25
.因此所求圆的标准方程为(x-1)
2
+(y-3)
2
=
256
.
25
点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.
例2 写出圆 心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M
1
(5,-7),M
2< br>(-
5
,-1)是否在这个圆上.
解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是
(x-2)
2
+(y+3)
2
=25,
把点M
1
(5,-7),M
2
(-
5
,,-1)分别代入方程(x-2)2
+(y+3)
2
=25,
则M
1
的坐标满足方程, M
1
在圆上.M
2
的坐标不满足方程,M
2
不在圆上.
精品资料，祝您成功。

点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准 方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这
里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程—— 从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆
上——从代数到几何.
例3 △ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)
2
+(y-b)
2
=r2
入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定
a、b、r三个参数.另外可利用直线 AB与AC的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、
提炼方法.
解法 一:设所求的圆的标准方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2< br>,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,
它们的坐标都满足方程(x -a)
2
+(y-b)
2
=r
2
,于是
?
(5?a)
2
?(1?b)
2
?r
2
,
?
222
?
(7?a)?(?3?b)?r
?
(2?a)
2
?(?8?b)
2
?r
2
.
?
(1)
(2)

(3)
?
a?2,
?
解此方程组得
?
b??3 ,
所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)
2
+(y+3)
2
=2 5.
?
r?5.
?
解法二:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为- 2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=
1
(x-6).
2
同理线段AC的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的 方程为y+3.5=3(x-3.5).
解由①②组成的方程组得x=2, y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=
(5?2)?(1?3)
=5,所以
△ABC的外接圆的方程为(x-2)
2
+(y+3)
2
=25.
点评:△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心,它是△ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.
思路2
例1 图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m需用
一个支柱支撑,求支柱A
2
P
2
的长度(精确到0.01 m).
22
精品资料，祝您成功。

图2
解:建立坐标系如图,圆心在y轴上,由题意得P(0,4),B(10, 0).
设圆的方 程为x
2
+(y-b)
2
=r
2
,因为点P(0,4)和B (10,0)在圆上,
222
?
?
b??10.5,
?
0 ?(4?b)?r,
所以
?
解得
?
2

2
222
?
?
r?14.5,
?
10?(0?b)?r.
所以 这个圆的方程是x
2
+(y+10.5)
2
=14.5
2
.
设点P
2
(-2,y
0
),由题意y
0
＞0,代入 圆方程得(-2)
2
+(y
0
+10.5)
2
=14.5< br>2
,
解得y
0
=
14.5
2
?2
2
-10.5≈14.36-10.5=3.86(m).
答：支柱A
2
P
2
的长度约为3.86 m.
例2 求 与圆x
2
+y
2
-2x=0外切,且与直线x+
3
y=0相 切于点(3,-
3
)的圆的方程.
活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生 利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用
配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆 外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求
的圆的方程.
解:设所求圆的方程为( x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
.圆x
2
+y
2
-2x=0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切,所以圆心
距等于 两圆半径之和,即
(a?1)?(b?0)
=r+1, ①
22
?
b?31
?(?)??1,
?
a?3
3
?
33
由圆与直线x+y=0相切于点(3,-),得
?
?
|a?3b|
?r.
?
1?(3)
2
?
解得a=4,b=0 ,r=2或a=0,b=-4
3
,r=6.
故所求圆的方程为(x-4)
2
+y
2
=4或x
2
+(y+4
3
)
2=36.
(2)

(3)
点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求 出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出),可用圆的标准
精品资料，祝您成功。

方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径.
变式训练
一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.
解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).
则圆的方程为( x-a)
2
+(y-a-2)
2
=r
2
.
因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,
1
?
a??,
222
?
?
?
(0?a)?(0?a?2)?r,
?
4
所以
?
解得
?
222
?
?
(1?a)?(3?a? 2)?r,
?
r
2
?
25
.
?
8
?
所以所求的圆的方程为(x+
1
2
7
25
)+(y-)< br>2
=.
8
44
13
,),
22
解法二： 由题意：圆的弦OP的斜率为3,中点坐标为(
所以弦OP的垂直平分线方程为y-
3
1
1
=-(x-),即x+3y-5=0.
2
3
2
因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP的垂直平分线上, < br>1
?
x??,
?
?
y?x?2,
?
4
,即圆心坐标为C(-
1
,
7
). 所以由
?
解得
?
44
?
x?3y?5?0,
?
y?
7
,
?
4
?
又因为圆的半径r=|OC|=
(?)
2
?()< br>2
?
所以所求的圆的方程为(x+
1
4
7
4
25
,
8
1
2
7
25
)+(y-)
2
=. 8
44
点评:(1)圆的标准方程中有a、b、r三个量,要求圆的标准方程即要求a、b 、r三个量,有时可用待定
系数法.
(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.
例3 求下列圆的方程:
(1)圆心在直线y=-2x上且与直线y=1-x相切于点(2,-1).
精品资料，祝您成功。

(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22.
解:( 1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x相切于点(2,-1),所以
|a?2 a?1|
1
2
?1
2
?(a?2)
2
?(?2a? 1)
2
,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径
22
r=(1?2)?(?2?1)
=
2
.所以所求圆的标准方程为(x-1)
2
+(y+2)
2
=2.
(2)设圆的方程为(x-2)
2
+(y+1)
2
=r
2
(r＞0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为 d=
|2?1?1|
1?1
22
=
2
.又
直线y= x-1被圆截得弦长为2
(x-2)
2
+(y+1)
2
=4. 2
,所以由弦长公式得r
2
-d
2
=2,即r=2.所以所求圆 的标准方程为
点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外 平面几何
的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确 定圆的圆心
和半径入手来解决.
（四）知能训练
课本本节练习1、2.
（一）拓展提升
1.求圆心在直线y=2x上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.
活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方
法.
解:首先两平行线的距离d=
C
1
?C
2
A
2
?B
2
=2,所以半径为r=
d
=1.
2方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0 ,由平行线间的
距离公式d=
|C
1
?C
2
|
A? B
22
,得
|k?7|
3?4
22
?
|k?3|< br>4?3
22
,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0 与
精品资料，祝您成功。

2
?
x?,
?
3 x?4y?2?0,
?
24
?
11
y=2x组成的方程组
?
得
?
,因此圆心坐标为(,).又半径为r=1,所以所求圆的
1111?
y?2x,
?
y?
4
,
?
11
?< br>方程为(x-
2
2
4
)+(y-)
2
=1.
1111
14
?
6
?
y?,y??,
?
?
3x?4y?7?0,
?
3x?4y?3?0,
?
??
1111< br>与
?
得
?
和
?
方法二：解方程组
?
因此圆心坐标为
y?2x,y?2x,73
??
?
x?
?
x ??.
??
1111
??
(
2424
,).又半径r=1, 所以所求圆的方程为(x-)
2
+(y-)
2
=1.
11111111
点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.
（六）课堂小结
①圆的标准方程.
②点与圆的位置关系的判断方法.
③根据已知条件求圆的标准方程的方法.
④利用圆的平面几何的知识构建方程.
⑤ 直径端点是A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2< br>)的圆的方程是(x-x
1
)(x-x
2
)+(y-y
1)(y-y
2
)=0.
（七）作业
1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.
2.预习有关圆的切线方程的求法.
3.课本习题4.1 A组第2、3题.
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