高中数学选修2-2公开课教案1.3.2《函数的极值与导数》

1．3．2 函数的极值与导数(1)
一、教学目标：理解函数的极大值、极小值 、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步
体验导数的作用.
y
f(a)
二、教学重点：求函数的极值.
教学难点：严格套用求极值的步骤.
三、教学过程：
f (b)
（一）函数的极值与导数的关系
a
x
O
O
x
b
1、观察下图中的曲线
a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．
y

f(0)
2、观察函数 f(x)＝2x
3
－6x
2
＋7的图象，
6
思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点
4
处的函数值，比较有什么特点?
（1）函数在x＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，
2
我们说 f(0) 是函数的一个极大值；
2
（2）函数在x＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，
Ox
则f(2)是函数的一个极小值．
f(2)
函数y＝2x
3
－6x
2
＋7 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)．
函数y＝2x
3
－6x
2
＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )．
3、极值的概念：
一般地 ，设函数f(x)在点x
0
附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜ f(x
0
)
我们就说f(x
0
)是函数f(x)的一个极大值，记作 y极大值＝f(x
0)
；
如果对x
0
附近的所有的点，都有f(x)＞f(x
0
)
我们就说f(x
0
)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x
0
)．
极大值与极小值统称为极值．
4、观察下图中的曲线
考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．

y
f '(a)＝0

f '(x)＜0

f '(x)＞0
f '(x)＞0
f '(x)＜0
f '(b)＝0


x
O
b
a
x
O

上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，
极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正．
函数的极值点x
i
是区间[a, b]内部的点，区间的端点不能成为极值点． 函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小
于极大值 ．
函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小
值点．

5、利用导数判别函数的极大（小）值：
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：

- 1 -

⑴如果在x
0
附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x
0
)是极大值；
⑵如果在x
0
附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x
0
)是极小值；
思考：导数为0的点是否一定是极值点？
导数为0的点不一定是极值点．
如函数f(x)＝x
3
，x＝0点处的导数是0，但它不是极值点．
函数f (x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f
'
(x)在(a，b)内的函数
图像如图，则函数f(x)在开区间(a，b)内存在极小值点个.
例1求函数
y?
1
3
x?4x?4的极值.

3
y
解：y?＝x
2
－4＝(x＋2)(x－2)．令 y?＝0，解得 x
1
＝－2，x
2
＝2．
当x变化时，y?，y的变化情况如下表．

2(2, +∞)
x
(－∞, －2)－2(－2, 2)

+0－0+
y?

极大值极小值

284
y
?

33
因此，当x＝－2时， y极大值＝10
8
6
4
2
-4
x
O
4
2 84
，当x＝2时，y极小值＝－．
3
3
求可导函数f (x)的极值的步骤：
⑴ 求导函数f ?(x)；
⑵ 求方程 f ?(x)＝0的根；
⑶ 检查f ?(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值．
例2．求函数
y?xe
2?x
的极值
例3 求函数y＝(x
2
－1)
3
＋1的极值．
解：定义域为R，y?＝ 6x(x
2
－1)2.由y?＝0可得x
1
＝－1，x
2
＝ 0，x
3
＝1
当x变化时，y?，y的变化情况如下表：

x
(－?，－1)
－1(－1，0)0





y
3
2
1
y?
y
x
y?
y
－
(0，1)
0
无极值
1
－
(1，+?)0
极小值0
＋0
无极值
＋
-2-11
x
2当x＝0时，y有极小值，并且y
极小值
＝0．
x
3
?2
例4．
y?
的极值
2
2(x? 1)
例5．
y?(x?1)
3
x
2
的极值
思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？
练习：求函数
y?xe
3?x
的极值

- 2 -

（三）课堂小结
1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤.
（四）课后作业

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